Fastsetting av pris uten kostnadsfordeling.

Transkript

1 Fastsetting av pris uten kostnadsfordeling. I følgende lille eksempel skal vi se at vi kan fastsette optimale priser uten å foreta kostnadsfordeling. Et lokalt oljeselskap driver et lite raffineri i nærheten av noen av sine oljekilder. Raffineringen foregår i serier, og hver serie produserer en gitt mengde av i alt 5 forskjellige ferdigprodukter, kalt A, B, C, D og E. Omsatt mengde av disse produktene er en funksjon av prisen, og markedsavdelingen har estimert etterspørselsfunksjonen for hvert av ferdigproduktene. Eventuelle produserte kvanta som ikke blir solgt må destrueres til en nærmere angitt kostnad. Disse data foreligger : Produkt Mengde pr. serie Etterspørsel pr. uke Destruksjonskost A 100 liter Q A = P A 10,- pr. liter B 50 liter Q B = / / 3P B 5,- pr. liter C 10 liter Q C = P C 20,- pr. liter D 20 liter Q D = P D 50,- pr. liter E 40 liter Q E = / / 3P E 15,- pr. liter P i = Pris pr. liter produkt i; Q i = etterspurt mengde produkt i pr. uke; i = A; B, C, D, E. Det påløper raffineringskostnader på kr ,- pr. serie. En serie krever 1000 liter fat råolje. Råoljeprisen er for tiden kr. 15,- pr. fat. Faste driftsbetingede kostnader i raffineriet utgjør kr ,- pr. uke. LP formulering med pris som beslutningsvariabel. Ettersom vi har en fallende etterspørselskurve, blir inntektsfunksjonen ikke lenger lineær. Følgende symboler benyttes : X R =antall raffineringsprosesser X O = antall liter olje X i = antall liter produsert av produkt i; i = A, B, C, D, E Q i = antall liter solgt av produkt i; i = A, B, C, D, E D i = antall liter destruert av produkt i; i = A, B, C, D, E P i = pris pr. liter av produkt i; i = A, B, C, D, E

2 B E S L U T N I N G S V A R I A B L E R Kan reduseres med antall variabler som blir bestemt ut fra verdien på andre variabler Redusere problemet fra 22 til 6 beslutningsvariabler Ta med variabler med separate kostnader (X O ) Beslutningsvariablene er antall raffineringsprosesser X R og prisene P i på produktene. De øvrige variablene er entydig bestemt av likhetsrestriksjoner fra disse variablene. F. eks. er produksjon av antall liter av produktene X i bestemt av antall raffineringer X R, og det gjelder også antall liter olje X O. Tilsvarende er antall liter solgt (Q i ) gitt ut fra prisen P i og etterspørselsfunksjonene. Antall liter destruert (D i ) er lik differansen mellom antall liter produsert og solgt : X i Q i. For å sikre at antall liter solgt ikke er større enn antall liter produsert, kan en skille mellom etterspørsel og salg (S i ), og angi at salg er det minste av etterspørsel og produserte mengder : S i = MIN { X i ; Q i }. Isteden bør man heller legge en ikkenegativitetsrestriksjon på mengde destruert : D i = X i Q i ; D i 0. Derved oppnår man det samme, men unngår diskontinuerlige funksjoner, og problemet blir mye lettere å løse. Vi kan derfor formulere problemet som følger : Målfunksjon : Max DB = 7000X R 15X O + P A Q A + P B Q B + P C Q C + P D Q D + P E Q E 10D A 5D B 20D C 50D D 15D E Restriksjoner : Salg : Etterspørselen bestemmes av prisen. Q A = P A Q B = / / 3 P B Q C = P C Q D = P D Q E = / / 3 P E Etterspurt mengde A Etterspurt mengde B Etterspurt mengde C Etterspurt mengde D Etterspurt mengde E Produksjon : Kvanta bestemmes av antall raffineringer X R. X O = 1000X R X A = 100X R X B = 50X R X C = 10X R X D = 20X R X E = 40X R Antall liter olje Antall liter A produsert Antall liter B produsert Antall liter C produsert Antall liter D produsert Antall liter E produsert Lager/destruksjon : Produksjon Salg.

3 D A = X A Q A D B = X B Q B D C = X C Q C D D = X D Q D D E = X E Q E Antall liter A destruert Antall liter B destruert Antall liter C destruert Antall liter D destruert Antall liter E destruert Ikke-negativitetsrestriksjoner : X R, P i, D i 0 Dette problemet kan løses manuelt, ved å redusere problemet til kun én beslutningsvariabel. Vi bruker da X R som beslutningsvariabel; antall raffineringsprosesser. Når antall raffineringsprosesser er bestemt er også produksjonsmengdene og produksjonskostnadene bestemt, og ut fra etterspørselsfunksjonene kan vi bestemme prisene som må til for å få solgt produksjonen, uten at noe behøves å destrueres. Dermed kan vi også berengne inntektene. Vi må altså beskirve kostnadene og inntektene som en funksjon av X R, og så beregne marginalkostnader og marginalinntekter, som må være like i optimum. For å beregne inntektene går vi fram som følger: P A er inntekten fra en liter A. Inntekten pr. raffineringsprosess fra A; P RA, er 100 ganger så stor, ettersom vi får 100 liter A pr. raffineringsprosess. Dvs. og Dermed får vi (når vi også antar at produksjon X er lik etterspørsel Q): * + =. Og siden får vi:. I alt har vi:

4 Vi får dermed totalt (når vi erstatter Q med X, dvs. etterspørsel med produksjon): * + ; * + ; * + ; * + ; * + ; Inntekten/prisen pr raffineringsprosess er altså. Totalinntekten er selvsagt lik pris ganger mengde;. Da får vi: [ ] Marginalinntekt eller grenseinntekt blir da: Totale kostnader er lik: [ ] Marginalkostnad eller grensekostnad blir da: I optimum må GI = GK, dvs. Dvs. optimal produksjon består i å sette i gang 71,4 raffineringsprosesser i løpet av perioden, dvs. pr. uke. Totalt resultat, TR = TI TK blir da slik: [ ]. Når får vi: ( ) Resultatet blir altså vel ,- pr. uke. Grafisk kan vi vise optimal tilpassing slik:

5 GI GK GI TI X R X R GK TK X R 71,4 X R FIGUR ERROR! NO TEXT OF SPECIFIED STYLE IN DOCUMENT.-1. Grafisk illustrasjon av marginalinntekter og marginalkostnader. Om vi skal foreta interne leveranser eller beregne lagerverdier, kan vi ta utgangspunkt i at marginalinntektene og marginalkostnadene i optimum må være like. Vi kan for eksempel beregne marginalverdien av en liter A. Siden totaltlinntekten fra A er lik pris mengde, får vi: * + Grenseinntekten eller marginalinntekten blir følgelig: Setter vi inn at får vi:

6 En liter av produkt A er altså verd ca. 7,14. Vi kan selvsagt beregne verdiene for de andre produktene på samme måte. Merk at destruksjonskostnaden er 10,- pr. liter A, slik at marginalkostnaden ved å produsere for mye blir lik 7, = 17,14. Merk at prisen på produkt A settes lik:. Prisen på de øvrige produktene finnes på samme måte.