Jon Vislie, oktober 7 Veiledning til obligatorisk øvelsesogave ECO 36/46 HØST 7 Ogave. Betrakt en lukket økonomi der det roduseres en vare, i mengde x, kun ved hjel av arbeidskraft. Denne arbeidskraften tilbys av den arbeidsdyktige del av befolkningen. I alt er det ersoner i denne økonomien, hvorav en viss andel er utenfor arbeidslivet for eksemel som følge av uførhet eller sykdom. Vi lar +, der utgjør (en gitt) arbeidsstyrke, mens er den del av befolkningen som ikke er i arbeid ( tærende del av befolkningen ). La roduktfunksjonen for x varen være x n, der n er samlet antall timeverk brukt i de bedriftene som roduserer x varen. (Vi tenker oss at denne varen roduseres av mange, små og like bedrifter, og som vi i det følgende kan ofatte som én suerbedrift uten markedsmakt.).) Utled bedriftens ettersørsel etter arbeidstimer, tilbud av ferdigvaren og den maksimale rofitten, når den tilasser seg en gitt realris i timer er enhet av ferdigvaren,, mens vi setter lønn er arbeidstime lik én. Profitten, skrevet som en funksjon av n, er: π ( n) n n n n. Vi ser at rofitten er ikke negativ for n ; med π. π ( n), som er () π( ) kontinuerlig å dette intervallet, onår et maksimum å intervallet,, med π ( n) n, n π 3 ( n) 4 n <, () π og π ( ). Funksjonen når sitt maksimum for en bruk av arbeidstimer lik, bestemt av π ( n ). For en gitt realris å ferdigvaren (målt i timer), er det rofittmaksimerende antall arbeidstimer bestemt fra n
n n n. Denne er bedriftens ettersørsel etter 4 arbeidstimer. Siden x n, finner vi bedriftens tilbud av ferdigvaren som x( ), mens den maksimerte rofitten ( rofittfunksjonen ) som Π ( ) x( ) n( ). 4 4 Alle arbeidstakere er like og hver har referanser over konsum av x varen og fritid. La samlet tid til disosisjon (i den erioden vi betrakter) for hver arbeidstaker være H timer som kan anvendes til arbeidstid (h) eller fritid (f); dvs. H h + f. Hver arbeidstaker har en nyttefunksjon gitt ved Ucf (, ) f+ lnc H h+ lnc, der ln angir den naturlige logaritmen. Den enkelte arbeidstaker maksimerer nytte til gitte riser og gitt inntekt. Inntekten kommer dels som lønnsinntekt og dels som andel av rofitten fra x vareroduksjonen. Vi skal anta at denne rofitten deles likt mellom arbeidstakerne i befolkningen og ofattes som en lum sum overføring..) Utled individuell ettersørsel etter konsumvaren, tilbud av arbeidstimer og verdien av den maksimerte nyttefunksjonen ( den indirekte nyttefunksjonen ). Hva slags egenskaer har ettersørselsfunksjonen og tilbudsfunksjonen? Hver arbeidstaker velger et ar (, c f ) som maksimerer Ucf (, ) f+ lnc, gitt budsjettbetingelsen Π( ) Π( ) c h + H f + c + f H + R, der vi i den første likheten har at utgiften til konsum, c, må være lik summen av lønnsinntekt h og R som er utbytte eller rofitt er arbeidstaker; R Π( ), og som ofattes som en lum sum inntekt.
3 Otimal tilasning for den enkelte arbeidstakerhusholdning finner vi ved å sette inn for f fra budsjettbetingelsen; f H + R c, i nyttefunksjonen. La oss definere Fc () H+ R+ lnc c som vi skal finne et maksimum for. Anta at denne funksjonen har et maskimum avledet fraf () c +, der vi har c brukt at ln d dc c. Denne betingelsen gir oss direkte husholdningens ettersørsel c etter konsumvarer skrevet som c ( ). Vi ser her at det kun er realrisen å konsum som åvirker konsumettersørselen negativt, og slik at samlet utlegg til denne varen er konstant, siden c. Ettersørselen etter denne varen er nøytralelastisk, med ettersørselselastisitet lik. Men da følger ettersørsel etter fritid direkte som f H + R, eller tilbud av arbeid som h H f R h( R). Vi ser at det antall arbeidstimer en husholdning vil ønske å tilby avhenger kun av inntektskomonenten vi kalte utbytte er husholdning, R, og det å en negativ måte. (Siden R Π( ) 4 vil, i likevekt, denne inntektskomonenten avhenge ositivt av risen eller negativt av reallønna.) Videre har vi at verdien å den maksimerte nytten ( den indirekte nyttefunksjon ) er: V(, R) H + R + ln( ) H + R ln, der vi bruker at ln( ) ln ln ln, siden ln. Vi ser at individuell velferd er voksende i R og synkende i konsumrisen. Anta i første omgang at hele folket er i arbeid, med. 3.) Still o likevektsbetingelsene for markedene, og vis at den realris å x varen som sikrer generell likevekt er.
4 Vi har to markeder, ett konsumvaremarked og ett arbeidsmarked. I konsumvaremarkedet har vi et tilbud gitt ved x ( ) og en samlet ettersørsel, fra alle husholdninger, gitt som c( ). I arbeidsmarkedet har vi ettersørselsfunksjonen n ( ) 4, og et samlet tilbud gitt som h ( R), der R Π( ) 4 i likevekt. Det er kun én ukjent variabel, nemlig likevektsrealrisen å konsum, betegnet, hvilket gir mening siden Walras lov gjelder: Likevekt i ett marked innebærer likevekt i det andre markedet; kun én uavhengig markedsklareringsbetingelse, som vi her kan uttrykke som:. ( c( )) ( x( )), som gir oss direkte Til denne likevektsrisen har vi: x ( ), Π ( ), med Π( ) R ( ) og individuelt arbeidstilbud som: h R. Individuelt konsum er c ( ) ( ) [ ], mens maksimal individuell velferd er V(, R( )) H + R( ) ln H ln(( ) ) H ln + ln H + ln+ ln V. [ ] (Flere av de egenskaene vi finner her er kun resultat av de sesifikke funksjonsformene vi har valgt.) 4.) Hva er virkningene i denne økonomien av at vokser; sesielt skal du se hvordan individuell velferd, roduksjon og konsum åvirkes av en større befolkning (lik arbeidsdyktig befolkning). Forsøk å gi en forklaring å hva som skjer i denne økonomien når vokser.
5 Vi ser umiddelbart at x ( ( )) x( ) er voksende i ; roduksjonen (lik samlet konsum) vokser med, dvs. x (( )) (), med dx d > (), men med avtakende dx derivert: < d. Videre ser vi at individuelt konsum c ( ) ( ) avtar med siden øker med, samtidig som c. (Husk at Π( ) n h ( R) ( ).) Hver arbeidstaker yter h, slik at samlet arbeidstilbud i likevekt er. Om øker med %, vil rosentvis økning i tilbudet av ferdigvaren øke i henhold dx til El x ; tilbudet av ferdigvaren vokser med,5 % x d om befolkningen vokser med én rosent. For å få rodusentene til å øke tilbudet av ferdigvaren, må øke; om øker med %, må d likevektsrisen øke med,5 %. (Vi har at El.) d Men fordi c, må konsum er caita c ( ) synke med,5 %, når risen øker med,5 %. Dermed må individuell velferd V ( ) variere negativt med, dv som følge av lavere konsum; <. d Alternativt resonnement: Gjennomsnittsroduktiviteten (roduktmengde er arbeidstime) er, xn ( ) n n, som i likevekt, med n ( ), x ( ), og med likevektsris, er 4
6 xn ( ( )). I likevekt har vi n ( ) 4 n, slik at for hver ekstra arbeidstime som ønskes, kreves to ekstra ersoner. Samtidig er dx grenseroduktiviteten x ( n) n, med likevektsverdi som: dn x ( n ( )) x ( n ( )) c ( ) n ( ) 4 ; dvs. lik konsum er erson. Vi har nå at roduktmengde er erson, lik konsum er erson; x c, har vi naturlig nok x c ( ) x ( n) er mindre enn roduksjonsøkningen er enhets økning i. Dette ser vi direkte fra: I likevekt er dc d c ( ): c ( ( )) c( ) ( ), med 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) c( ) <. Fra x ( ) c ( ), følger: dx( ) dc( ) c ( ) + c ( ) c ( ) c ( ) < c ( ). d d Vi ser at når øker, vil x øke, men ikke så mye som orinnelig konsum er erson. Derfor må konsum er erson gå ned, hvilket forklarer nedgangen i individuell velferd. Vi skal nå anta at det er en grue arbeidsuføre ersoner i denne befolkningen, ; med < <, som vi tenker oss må ha støtte. Myndighetene har bestemt at hver av disse ersonene skal ha et omsorgstilbud svarende til θ timer som de mottar vederlagsfritt. Totalt antall timer som må brukes til omsorg er dermed θ som det offentlige må skaffe til veie i arbeidsmarkedet. Myndighetene finansierer disse utgiftene ved å beskatte arbeidstakere, med en lum sum skatt. Samlede offentlige inntekter,
7 θ målt i timer, skaffes til veie ved at hver arbeidstaker betaler t : timer til myndighetene. 5.) Hvordan åvirkes markedslikevekten fra tidligere av disse endringene? (Hint: Vis hvordan husholdningens tilasning åvirkes av at den må betale t timer i lum sum skatt. Vis hvordan dette åvirker arbeidstilbudet, likevektsbetingelsene, likevektsris, rofitt er arbeidstaker og velferd til hver arbeidstaker.) Anta som en forenkling at de som mottar omsorg kun mottar omsorgstjenester svarende til θ timer; de konsumerer ikke noe utover det. Med en lum sum skatt å t timer, er budsjettbetingelsen til en arbeidsfør husholdning: c + f H + R t, der t θ er gitt, å samme måte som overføringen Π( ) R. yttefunksjonen er den samme; Ucf (, ) f+ lnc, slik at otimal tilasning er kjennetegnet ved h R + t c( ) eller c ( ), og med. Skatten utløser med andre ord en like stor økning i arbeidstilbudet fra hver arbeidstaker og som akkurat motsvares av det økte ressursbehovet i offentlig forsyning av omsorg. Igjen vil vi kunne fastlegge likevektsrisen ved å se å én av de to markedsklareringsbetingelsene. La likevektsrisen i dette tilfellet være ˆ, som da er bestemt av x ( ) c ( ). Bedriften tilasser seg som før med x ( ). Det nye er at konsumettersørselen kommer kun fra den arbeidsdyktige del av befolkningen. Dermed må likevektsrisen bestemmes av kravet: ˆ ˆ ˆ ˆ. Vi finner likeså at Π ( ˆ) 4, slik at R Π( ˆ ).
8 Arbeidstilbudet h + t, eller + f H R t c H t. Dermed finner vi individuell velferd direkte og som i dette tilfellet blir: Vˆ H t + ln c( ˆ ) H t + ln( ) ˆ H t ln( ) H t ln ln H t ln ln + ln ln θ + [ + ln + ln ] + ln H t V + ln θ θ + + V ln V + ln( + ). (Vi har brukt uttrykket for V fra unkt 3.) Individuell velferd er i dette tilfellet lavere jo mer omsorg som ytes hver omsorgstrengende erson; dvs. når θ øker, hvilket ikke er særlig vanskelig å aksetere, innenfor modellen. Videre ser vi at jo mindre er; dvs. jo mindre den arbeidsdyktige del av befolkningen er, jo lavere er likevektsrisen og jo høyere er konsum er arbeidsfør erson. Dette trekker isolert sett i retning av høyere velferd. Om er konstant, betyr en lavere arbeidsdyktig befolkning en økende andel omsorgstrengende, som her vil trekke i retning av lavere velferd for en arbeidsdyktig erson. Anta tilslutt at det skal tas en olitisk beslutning hva gjelder det antall timer hver arbeidsufør skal tilbys. Vi antar at olitikken bestemmes å grunnlag av en utilitaristisk velferdsfunksjon, gitt som W V(θ) + v(θ), der V(θ) er én arbeidstakers velferd, målt ved den indirekte nytte, når vi har et omsorgsnivå svarende til θ timer er omsorgstrengende og tilhørende lumsum skatt, mens v(θ) er nyttefunksjonen for hver av de omsorgstrengende. Vi antar at v ( θ ) > og v () θ <, og at v() er så stor at det alltid er ønskelig med omsorg. (Det er her nok å kreve at v () >.)
9 6.) Hva kjennetegner det timetall som hver omsorgstrengende vil få i henhold til denne velferdsfunksjonen? θ Vi har ˆ V V + ln( + ) V( θ), med V ( θ). Velferden er gitt ved W( θ) V( θ) + v( θ ). Det velferdsotimale omsorgstilbudet er omsorgstrengende er bestemt fra: W ( θ) V ( θ) + v ( θ) for θ ˆ, θ bestemt av v ( ˆ θ). Dette betyr at i vårt velferdsotimum fastsettes omsorgstilbudet er omsorgstrengende slik at det totale nyttetaet fra de yrkesaktive som følge av økt lum sum skatt er enhets økning i θ (og som leder til mindre fritid), akkurat veies o av den samlede nyttegevinsten for de omsorgstrengende av høyere θ ; dvs. ˆ dt v( θ) v ( ˆ θ). dθ (Vi skal i en seminarogave i uke 46 gå videre å denne ogaven ved å anta at det offentlige skaffer seg realøkonomisk dekning for offentlig forsyning av omsorgstjenester, ved å legge en avgift å konsumet. Vi skal da kunne identifisere nyttetaet av en slik vridende avgift, ved at ris til konsument nå vil bli åvirket av avgiften.) Ogave. I en lukket økonomi roduseres to varer ved hjel av arbeidskraft og vareinnsats. Samlet tilgang av vareinnsats er gitt, lik, mens samlet tilbud av arbeid er en variabel. De to ferdigvarene konsumeres i sin helhet av en befolkning som består av identisk like ersoner. Vi ofatter alle disse ersonene som én erson med nyttefunksjon Ucxn (,, ), der ( cx, ) er konsum av to ferdigvarer, mens n er arbeidstid. Vi antar at nyttefunksjonen har normale egenskaer ; der økt forbruk av de to ferdigvarene gir høyere nytte, mens økt z
arbeidstilbud gir lavere nytte, samtidig som c er avtakende og n U er voksende. De to ferdigvarene fremstilles i hver sin bransje, som vi tenker oss består av mange helt like bedrifter. (Derfor ofatter vi hver bransje som én bedrift.) Varene roduseres i henhold til gitte roduktfunksjoner, c f( n, v) og x g( n, y), der n er bruk av arbeidstimer og v er vareinnsats i roduksjonen av c varen, mens n og y er tilsvarende for x varesbransjen. Begge disse funksjonene har normale egenskaer, slik at vi kan finne et entydig rofittmaksimum i hver bransje. I tillegg til teknologi og referanser, gjelder det at z v + y og n n + n. c f( n, v) x g( n, y). Hvorfor må den allokering som maksimerer Ucxn (,, ) gitt, z v + y n n + n ofylle følgende betingelser: Gi disse betingelsene en tolkning! c y v og n? Modellen har følgende 7 variable: {,,,,,,, } c x n n v n y som er bundet sammen i fire betingelser ( den realøkonomiske rammen ). Modellen har 3 frihetsgrader. De tre marginalbetingelsene fyller o med akkurat så mange betingelser at vi får bestemt alle våre variable. Vi kan sette våre bibetingelser inn i målfunksjonen: Ucxn (,, ) Ufn ( (, v), gn ( n, z v), n ). Problemet er derfor:
Velg { } n, v, n slik at U( f( n, v), g( n n, z v), n ) maksimeres..ordensbetingelsene (som vi antar er tilstrekkelige for et maksimum) er dermed: y v : + ( ) c c v y v n : + ( ) c c n : + n Den første av disse betingelsene gir otimal fordeling/allokering/bruk av den gitte roduksjonsressursen z å de to aktivitetene, for fast n og for gitt (otimal) fordeling av denne å de to aktivitetene. Den første betingelsen imliserer at marginal substitusjonsbrøk i konsumet mellom de to varene er lik marginal transformasjonsbrøk i roduksjonen mellom de samme varene med hensyn å z ressursen. Det antall enheter av x varen konsumentene er villig til å gi o for en marginal økning i c varen, er akkurat lik det antall enheter av x varen en må gi o i roduksjonen for en marginal økning i c varen, når dette skjer ved en økning i v. Den andre betingelsen fastlegger otimal fordeling av et gitt (otimalt) arbeidstilbud å de to roduksjonsaktivitetene; bestemt ved at marginal substitusjonsbrøk i konsumet er lik marginal transformasjonsbrøk med hensyn å arbeidskraft. (Samme tolkning som over, bare at økningen i c nå skjer ved en økning i arbeidstimer.)
y n Disse to betingelsene gir oss dermed c v slik som ogitt i teksten. (Disse betingelsene gir otimal anvendelse av den gitte z ressursen og en gitt mengde arbeidskraft; slik at marginalt bytteforhold å brukersiden er lik marginal transformasjonsbrøk å forsyningssiden for begge faktorer. Den siste av disse to gir betingelsen for roduksjonseffektivitet: Den fordeling av en gitt mengde roduksjonsfaktorer som maksimerer roduksjonen av en vare for gitt rodusert mengde av den andre.) Den tredje betingelsen bestemmer otimalt tilbud av arbeidskraft, bestemt slik at marginal substitusjonsbrøk mellom fritid og x varen, skal være lik grenseroduktiviteten av arbeidskraft i x roduksjonen (eller marginal transformasjonsbrøk mellom arbeidskraft og x varen). Denne betingelsen forteller oss at å marginen skal det antall enheter av x varen (marginalt reallønnskrav) arbeidstakerne i det minste må ha i komensasjon for å øke arbeidstilbudet marginalt, er lik det den marginale økningen i arbeidstid kaster av seg i vedkommende roduksjonsaktivitet; dvs. i x varesektoren. Dermed har vi den siste betingelsen i teksten. (Legg merke til at vi har følgende imlikasjon, når vi bruker de øvrige betingelsene: y c f.) v c Anta at økonomien organiseres som en frikonkurranseøkonomi der hver aktør tilasser seg gitte riser. Husholdningene eier bedrifter og ressurser. La risen er enhet av c varen være, risen å x varen er Q, risen å arbeidskraft er w, mens risen å vareinnsats er q. Hver husholdning maksimerer nytte, mens hver bedrift maksimerer rofitt.
3. Forklar hvorfor følgende markedsmodell leder fram til den otimale allokeringen utledet i foregående unkt: () c f( n, v) () π f ( n, v) wn qv (3) f w f (4) q v (5) x g( n, y) (6) π Qg( n, y) wn qy (7) (8) g Q w g Q q y (9) R π + π + qz () c + Qx wn + R () () c Q n w Q (3) z v +y (4) n n + n (Vi har her 3 uavhengige likninger mellom 3 variable: q w R cxn,,, n, vyn,,,,,,,, Q Q Q Q Q Q rofitt i enheter av π x varen.) π, der vi har valgt å måle riser, inntekt og
4 Relasjonene (), (5), (3) og (4) svarer til våre bibetingelser i realmodellen. Relasjonene (7) og () gir n. Videre ser vi at (3) og (7) gir, Q n som sammen med () gir oss c, mens (4) og (8) gir y v, som Q sammen med () gir c y v. Vi skal tilslutt vise at de resterende likningene kan avledes av de øvrige: Sett (), (6) og (9) inn i (), slik at vi får: c + Qx wn + c wn qv + Qx wn qy + qz wn ( n n) + qz ( v y) Dermed kan ikke den gjenværende, dvs. (), være uavhengig av de øvrige. Vi har dermed at de 3 likningene i markedsmodellen over faller sammen med de syv betingelsene som gir oss den otimale ressursallokeringen fra foregående unkt.