Veiledning til seminaroppgave uke ECON 3610/4610 (Denne oppgaven starter med seminaroppgave i uke 37 som et utgangspunkt.)

Transkript

1 Jon Vislie; oktober 009 Veiledning til seminarogave uke ECO 360/460 (Denne ogaven starter med seminarogave i uke 37 som et utgangsunkt.). Hvordan åvirkes markedslikevekten utledet tidligere av disse endringene? (Hint: Vis hvordan husholdningens tilasning åvirkes av at den må betale t timer i lum sum skatt. Vis hvordan dette åvirker arbeidstilbudet, likevektsbetingelsene, likevektsris, rofitt er arbeidstaker og velferd til hver arbeidstaker.) Anta som en forenkling at de som mottar omsorg kun mottar omsorgstjenester svarende til timer; de konsumerer ikke noe utover det. Med en lum sum skatt å t timer, er budsjettbetingelsen til en arbeidsfør husholdning: c + f = H + R t, der t = er gitt, å samme måte som Π( ) overføringen R =. yttefunksjonen er den samme; Ucf (, ) = f+ lnc, slik at otimal tilasning er kjennetegnet ved c( ) = eller c ( ) =, og med h = R + t. Skatten utløser med andre ord en like stor økning i arbeidstilbudet fra hver arbeidstaker og som akkurat motsvares av det økte ressursbehovet i offentlig forsyning av omsorg. (Det skjer ingen fortrengning av ressurser.) Igjen vil vi kunne fastlegge likevektsrisen ved å se å én (husk Walras lov) av de to markedsklareringsbetingelsene. La likevektsrisen i dette tilfellet være ˆ, som da er bestemt av x ( ) = c ( ). Bedriften tilasser seg som før med x ( ) =. Det nye er at konsumettersørselen kommer kun fra den arbeidsdyktige del av befolkningen. Dermed må likevektsrisen bestemmes av kravet: = =. Vi finner Π( ) likeså at Π ( ˆ) = =, slik at R = =. Arbeidstilbudet h = + t, eller 4 f = H + R t c = H t.

2 Dermed finner vi individuell velferd direkte og som i dette tilfellet blir: Vˆ = H t + ln c( ) = H t + ln( ) = H t ln( ) = H t ln ln = H t ln ln + ln ln + = [ + + ] + = ln ln ln + ln H t V = + + = V ln V + ln( + ). (Vi har brukt uttrykket for V fra ogaven i uke 37.) Individuell velferd for en arbeidstaker er i dette tilfellet lavere jo mer omsorg som ytes hver omsorgstrengende erson; dvs. når øker, hvilket ikke er særlig vanskelig å aksetere, innenfor modellen. Videre ser vi at jo mindre er; dvs. jo mindre den arbeidsdyktige del av befolkningen er, jo lavere er likevektsrisen og jo høyere er konsum er arbeidsfør erson. Dette trekker isolert sett i retning av høyere velferd. Om er konstant, betyr en lavere arbeidsdyktig befolkning en økende andel omsorgstrengende, som her vil trekke i retning av lavere velferd for en arbeidsdyktig erson.. Hva kjennetegner otimumsbetingelsen? Vi har ˆ = V V + ln( + ) = V( ), med V ( ) =. Velferden er gitt ved W( ) = V( ) + v( ). Det velferdsotimale omsorgstilbudet er omsorgstrengende er bestemt fra: W ( ) = V ( ) + v ( ) = 0 for = ˆ, bestemt av v ( ˆ ) =. Dette betyr at i vårt velferdsotimum fastsettes omsorgstilbudet er omsorgstrengende slik at det totale nyttetaet fra de yrkesaktive som følge av økt lum sum skatt er enhets økning i (og som leder til mindre fritid), akkurat veies o av den samlede nyttegevinsten for de omsorgstrengende av høyere ; dvs. ˆ dt v( ) = = v ( ˆ ) =. d 3. Forklar hva betingelsene () (5) uttrykker: () x ( ) = cq ( ) () h = n+ ng

3 3 (3) τ x ( ) = ng (4) q = + τ (5) ng = n G der er offentlig ettersørsel etter arbeidstimer, med (foreløig) som en gitt størrelse. Du skal bestemme ris til rodusent ( ), ris til konsument ( q ), og avgiften ( τ ), samt tilhørende individuelt arbeidstilbud i likevekt. Kommenter sammenhengen mellom disse størrelsene å den ene siden og hhv. Omsorgstilbud er erson, Forholdet å den andre siden. Relasjon () er likevektsbetingelsen i varemarkedet, () er likevektsbetingelsen i arbeidsmarkedet, (3) viser offentlig budsjettbalanse: avgiftsinntekt lik offentlig utgift, (4), som er en definisjon, viser sammenhengen mellom rodusent og konsumentris, mens (5) viser hvordan offentlig ettersørsel etter arbeidskraft er åvirket av demografiske forhold og et offentlig fastsatt måltall for omsorgstilbud er erson. Siden lum sum beskatning ikke er mulig, vil en måte å skaffe realressurser til offentlig omsorgsroduksjon være å innføre en avgift å konsumvaren. La stykkavgiften (i timer) være τ, og anta at hele skatteinntekten brukes til å skaffe arbeidskraft til helsesektoren. Igjen har vi omsorgstrengende, og det er fremdeles et ønske om at hver av disse skal ha et omsorgstilbud svarende til timer; ikke som trygd. Dette omsorgstilbudet skaffes til veie av et offentlig helsevesen som ettersør n = arbeidstimer som det må skaes realøkonomisk dekning for. Vi kan beskrive likevekten ved (, τ ), som vi kan finne å følgende måte det er ga. Walras lov, nok å se å en likevektsbetingelse: De fem likningene kan, når vi bruker at cq () = og x ( ) =, q reduseres til: () = q = (4) ( + τ) = q (3) & (5) τ = τ = Anta at > som er nødvendig for at denne økonomien ikke skal klae helt sammen og sett den siste likningen inn i den første: Dette gir den nye likevektsrisen: = ( ) = ( ). G

4 4 ( ) ( ) Denne kan skrives som: = =, hvor = er likevektsrisen med lum sum beskatning. I lum sum tilfellet hadde vi x ( ˆ) = =, ˆ h = +t, eller fˆ= H hˆ= H t og h ˆ = n ( ˆ) + ng, der n ( ˆ) = = og ng = = t. Vi ser at <. Avgiften følger da: 4 τ = τ = = =, slik at konsumentrisen blir q = = ( ) = ˆ >. Dermed følger Π( ) ( ) x ( ) = =, R ( ) = = = =, med h ( ) = R ( ) = = = ( + ). Samlet avgiftsinntekt, τx ( ) = τ, er med samme samlet omsorgsbehov, er lik samlet skatteinntekt i tilfellet med lum sum skatt; t =. Vi ser at: Hvis øker, men hele tiden slik at >, vil rodusentrisen,, gå ned, avgiften τ vil øke; dermed må konsumentrisen, q, gå o. Samlet rivat roduksjon av konsumvaren vil gå ned, mens arbeidstilbudet er arbeidstaker vil øke og rofitt er arbeidstaker vil gå ned. Hvis byrdefordelingen ; øker; dvs. synker, har vi: = vil gå ned, q = vil øke, derfor må avgiften også øke. Produksjonen av x varen vil synke; rofitt er arbeidstaker vil også gå ned; siden R ( ) = synker med, mens arbeidstilbudet øker. 4. Hva er nyttetaet er arbeidsfør erson av at offentlige inntekter kun kan skaffes til veie ved å legge avgift å x varen, sammenliknet med hva tilfellet er med en lum sum skatt? Gi en begrunnelse for dette nyttetaet. Individuell nytte for en arbeidstaker vil med en vridende avgift være:

5 5 V H h( ) ln( ) H ( ) lnq = + q = + = H ln = H ln ln ( ) ( ) ˆ = H ln + ln( ) = H ln + + ln( ) ˆ ln( ) = V + + Der vi har brukt at med en lum sum skatt lik t =, er individuelt nyttenivå gitt som: ˆ V = H ln ln = H ln. Vi kan dermed skrive individuell nytte med avgift, V, som en funksjon av omsorgstilbudet er erson; dvs. som V = V(), og som fra.linje i uttrykket for V eller.ledd i 3.linje med = som er uavhengig av, gir: V = + = + = + < () ( ) ( ) ( ) 0. En viktig forskjell mellom situasjonen med lum sum skatt og den med en stykkavgift, er at om vi øker lum sum skatten, vil denne utløse en like stor økning i individuelt arbeidstilbud: h ˆ = +t, mens med (vridende) avgift, har vi h ( ): = h = ( + ) = +. Med andre ord; med en vareavgift, vil arbeidstilbudet bli redusert sammenliknet med hva tilfelle var om vi hadde en individuell lum sum skatt lik t =. Økonomien lider et (nødvendig) ressursta ved at arbeidstimer blir fortrengt som følge av avgiften. Med samme offentlig ettersørsel etter arbeidskraft n =, vil dette bety at avgiftsfinansiert omsorgstilbud fører til lavere roduksjon av x varen, idet x ( ˆ) = : = xˆ, mens x : = x( ) = = = = x( ), slik at x xˆ = ( ) < eller = >. xˆ x Hver forbruker vil som følge av avgiften vri forbruket bort fra den varen som er blitt relativt dyrere. For alle roduksjonskvanta mellom x og ˆx, vil vi ha at individuell marginal betalingsvilje, = + τ, overstiger marginalkostnaden i roduksjonen av c x varen. Siden x = n, vil n = x og rofitt i timer er dermed x n = x x. Profittmaksimering er kjennetegnet ved at kvantum innstilles slik at rodusentris = grensekostnad ; dvs. x = 0. Denne beskriver da tilbudssammenhengen. Vi kan da tegne samlet velferdsta målt i timer (summert over alle arbeidstakere) som følge av avgiften slik som skissert i figuren under: G

6 6 q, x q = + τ A ˆ B D F c x x = x ˆ = Samlet velferdsta er gitt ved arealet av de to trekantene ABD og BDF. Vi kan dekomonere dette taet: I det nye skatteregimet, øker konsumentrisen fra ˆ til q. Da går samlet konsumentoverskudd ned med en størrelse svarende til arealet qad ˆ. Dette fanger o nyttetaet av at risen øker slik som angitt, med uendret disonibel inntekt. år vi innfører en avgift, vil rodusentoverskuddet (rofitt) også synke, med en størrelse svarende til arealet ˆDF. Dette taet reresenterer et inntektsta for eierne (husholdningene). Men noe tilfaller det offentlige som skatteinntekt, nemlig arealet av rektangelet qa F. Trekker vi denne skatteinntekten fra de øvrige taene, finner vi at netto velferdsta eller effektivitetsta er gitt ved arealet AFD som vi kan si er kostnaden ved å få inn det gitte skattebeløet ved hjel av avgiften. Fordi inntekten (via endringen i rofitt) til hver husholdning åvirkes av en vridende avgift, vil atferden i arbeidsmarkedet også åvirkes, gjennom endring i R. Vi finner at ( ) f = H h ˆ ˆ = H + > f = H h = H ( + t), siden t = ; dermed: ˆ f f =. (Samlet arbeidstilbud går ned, ved overgang fra lum sum skatt til vridende avgift.) For uendret offentlig ettersørsel etter arbeidskraft, vil dermed bruk av arbeidskraft i roduksjonen av x gå ned; denne fortrengningen av ressurser som kunne ha vært brukt i rivat roduksjon, reresenterer en samfunnsøkonomisk kostnad. Økt omsorgstilbud er omsorgstrengende har dermed en ekstrakostnad utover den direkte ressurskostnaden.

7 7 Tilnærmet kan det samlede velferdstaet, Ω, når vi husker at arealet av en trekant er halvarten av roduktet av grunnlinjen og høyden i trekanten AFD, da skrives xˆ som, når vi også husker at = og at x = τ = = : x x xˆ Ω τ ( xˆ x ) = ( xˆ x ) = ( ) = [ ] x x Velferdsta er arbeidstaker er dermed Δ= : Ω som vi ser er ositivt. Vi kan skrive Ω [ ] Δ [ ]. oe mer resist kan nyttetaet er arbeidstaker som følge av en vridende avgift skrives som: ˆ ln( ) Δ V V = som er strengt ositivt når > > 0. (Det er egentlig olagt; jfr. figuren over.) Vi skal allikevel skissere en enkel måte å vise at Δ 0. Sett z : = [ 0, ). Da har vi Δ () z = z ln( z ) er deriverbar, med Δ (0) = 0 z og Δ () z = ( ) = ( ) = = som marginalt z z z velferdsta, med Δ (0) = 0 og Δ () z > 0for alle z (0,). Med andre ord; Δ() z er voksende, og for z > 0, er dermed Δ> 0. En vridende skatt vil derfor innebære et nytteta. Med andre ord: Så lenge vi har 0< <, er Δ>0. 5. Hvordan vil finansieringen av offentlige utgifter ved en vridende skatt åvirke beslutningen om, sammenliknet med tilfellet med lum sum beskatning, der otimalt timetilbud er omsorgstrengende, ˆ, ofylte v () ˆ =? Kommenter resultatet! Det vil bli tilbudt noe omsorg i den nye otimumsløsningen. Myndighetene vil nå velge slik at W() = V () + v() maksimeres. Bruk nå egenskaene til den indirekte nyttefunksjonen V(). Fra W () = V () + v (), ser vi at, fordi V (0) =, og v (0) er stor nok (større enn én), er W (0) = ( v (0) ) > 0. Siden det også er en øvre grense for hvor stor kan være, før økonomien klaer sammen

8 (husk vi må her ha otimale omsorgstilbudet, må ofylle: 8 < ), følger det fordi V () < 0, v () > 0, med v < 0, at det W () = 0 = V () + v () = 0 med W stigende (synkende) for verdier av omsorgsnivået er bestemt som: mindre (større) enn. Dette + + v = v = + ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) Samlet økning i effektivitetstaet ved økt avgift som følge av høyere, skal avstemmes mot samlet velferdsøkning til dem som mottar omsorg. Den siste likheten kan skrives som: v ( ) = (+ + ) = + ( ) = + = +Δ > Vi skal nå avstemme marginalnytten til en ufør mot en høyere marginalkostnad enn i tilfellet med lum sum skatt. (år øker, må avgiften øke. Dette vil forårsake et velferdsta fordi det ostår et avvik mellom marginal betalingsvilje og marginalkostnad.) Fordi v selv er synkende, følger det at < ˆ. (Den marginale velferdskostnaden av offentlig omsorgsforsyning er høyere enn. Hvor mye utover én, svarer til skattevridningskostnaden.) To kommentarer: Sett at myndighetene, med utgangsunkt i en annen velferdsvurdering enn den utilitaristiske, kanskje at de nå gis en høyere vekt i * velferdsfunksjonen slik at W = V () + αv(), med α >, finner ut at samme omsorgsnivå som i lum sum tilfellet, ˆ, skal tilbys. (Vi har sett at ˆ >.) Med avgiftsfinansiert offentlig ettersørsel etter arbeidskraft; dvs. n ˆ G =, kan en regne ut den tilhørende avgiften og det tilhørende effektivitetstaet. Siden vi har offentlig budsjettbalanse, med τx (()) ˆ = n ˆ G =, der () ˆ er rodusentris med omsorg svarende til ˆ ˆ ; dvs. ˆ () =, og med tilbud av x varen som, ˆ ˆ ˆ () x (()) = =, ser vi at avgiften må settes slik at

9 9 τ () ˆ ˆ = > τ= ˆ, og med et tilhørende høyere effektivitetsta. En kan beregne det ekstra nyttetaet hver arbeidstaker blir åført av et slikt ambisiøst mål. Vi kan også tolke den foreslåtte velferdsnormen W = V() + v() som forventet nytte i følgende forstand: Sett at vi befinner oss i en ex ante situasjon, der vi ennå ikke vet hvilken av i alt to tilstander vi vil havne i. Det er én tilstand der jeg er frisk, med nytte V() som inntreffer med sannsynlighet, og en annen tilstand; syk som gir nytte v() ; en tilstand som inntreffer med sannsynlighet. (Vi lar da og være andeler av befolkningen.) Så lenge en ikke selv kan åvirke sannsynligheten for utfallene, det er ingen moral hazard, og så lenge det ikke er roblemer med å avgjøre hvilken tilstand en har havnet i, vil vi ønske sosiale forsikringsordninger slik at, tolket for eksemel som en stønad er trygdemottaker, vil maksimere forventet velferd. Jo sterkere aversjon en har mot å havne i sykdomstilfellet, jo høyere vil en antakelig sette. Det normale er at en da vil ønske en form for glatting av konsummulighetene, i retning av full forsikring der en onår samme konsum uansett tilstand. Men dette må avveies mot hva som da må fortrenges i tilstanden frisk. (Det å sikre stor grad av likhet i konsummulighetene mellom tilstander, vil bare kunne skje ved at roduksjonen av x går ned; dvs. det blir mindre å fordele.) Her ligger kanskje noen av velferdsstatens utfordringer!