Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel A. c) tan + sin0 + d) sin60 tan0 A. B. A y sin0 0 sin0 cos0 y 0 y cos0 C 60 D cos AD 0 6 B AD 0 cos 0 CD AD B.6 A tan60 CD BD BD BD tan60 6 AB AD + DB + 6 ( ) + 6 C 60 B cos60 AB 6 A.8 AB 6cos60 6 sin60 BC 6 BC 6sin60 6 Vi har at sin 0, og cos 0,906. a) cos6 cos(90 ) sin 0, sin6 sin(90 ) cos 0,906 b) sin sin(80 ) sin 0, cos cos(80 ) cos 0,906
A.9 a) sin(80 + v) sinv d) sin(70 v) A.0 sin(80 + 90 v) sin(90 v) cosv tan(80 v) sin(80 v) cos(80 v) sinv cosv tanv B. a) cos( u) + cosu cosu + cosu cosu b) sin( u) + sinu sinu + sinu 0 B. For enhver trekant ABC gjelder A + B + C 80 Da får vi A + B 80 C. Vi tar sinus til hver side av likningen og får: sin( A + B) sin(80 C) sin C A.c B. a) Vi tegner inn 660 i enhetssirkelen. 660 sin660 sin( 60 ) sin60 cos660 cos( 60 ) cos60 tan660 b) Vi tegner inn 0 i enhetssirkelen. Vi tegner inn i enhetssirkelen. 0 sin( 0 ) sin0 sin sin cos cos tan sin cos cos( 0 ) cos0 tan( 0 ) sin( 0 ) cos(0 )
B.7 6 a) sin sin6 sin(80 ) 6 sin c) sin9 sin(80 + ) sin 6 6 A.9 a) sin sin 0,8,8 + n 60 eller 80,8 + n 60,8 + n 60 eller 8, + n 60 b) 6cos + cos 6cos cos c) tan B.0a 0 7,6 cos cos 0, 7,6 + n 80 8sin t + sint 0 8 + 0 ±, + n 60 ( sint) eller ( sint) sint ellersint t 0, ellert 0 0 B. t, + n 60 t 80, + n 60 t 0 + n 60 t 80 ( 0 ) + n 60 t, + n 60 t 6, + n 60 t 0 + n 60 t 0 + n 60 a) sincos sin 0 sin(cos ) 0 sin 0 eller cos 0 0 + n 60 80 0 + n 60 cos n 80 eller ±8, + n 60 b) sin cos : cos sin cos B.a tan,0 + n 80 sin sin 8,6 + n 60 eller 80 8,6 + n 60 8,6 + n 60 eller, + n 60, + n 80 eller 6,7 + n 80 Legg merke til at vi venter helt til siste trinn med å dele med, slik at perioden blir 80. A.a cos + sin (cos + sin ) A.b y 60,0 siny > 0 cosy Vi bruker enhetsformelen sin y + cos y og får:
siny ± cos y ± ± ± ± siny > 0 siny Til slutt bruker vi definisjonen av tangens: tany siny cosy B.6c sina 0, A 0,90 ] cosa > 0 Fra enhetsformelen får vi cosa ± sin A ± 00 ± 9 0 ± 0 cosa cosa > 0 9 0 tana sina cosa B.7c 0 9 0 0 00 0 9 0 9 9 9 tanv, v [0,90 9 Fra definisjonen av tanv, har vi sinv cosv altså sinv cosv. Dessuten kan vi fra enhetsformelen finne et annet uttrykk for sinv: sinv ± cos v Men siden v [0,90, må vi ha at sinv > 0. Vi setter de to uttrykkene for sinv lik hverandre og finner cosv: cos v cosv cos v (cosv) cos v cos v cos v cosv ± ± cosv > 0 cosv Til slutt finner vi sinv cosv. B.8c sina cosa cosa + sina ( ) ( sina)( + sina) cos A sin A cos A sin A + cos A Siden vi har vist at formelen ( ) er ekvivalent med enhetsformelen, må formelen ( ) også gjelde. B.60 [0,60 sin sincos cos sin sincos cos (sin + cos ) sin sincos cos 0 sin cos sincos cos cos cos 0 tan tan 0 tan eller tan 7,6 + n 80 eller + n 80 Vi lar n variere og plukker ut de verdiene av som gir [0,60. L {7,6,,,6, }
A.6b cos cos( 0 ) cos cos0 + sin sin0 + 6 6 + + ( + ) A.6b sin( + ) cos( ) sincos + cossin (coscos + sinsin ) sin + cos 0 A.6a cos sin + sin( + 0 ) + sin( + 0 ) sin + sincos0 + cossin0 + sincos0 + cossin0 sin sin + cos 0 B.66 sin cos C sin b) cos(90 ) sin() sin( + ) sincos + cossin sincos( + ) + cossin( + ) sin(cos sin ) + cos(sincos + sincos) sincos sin + sincos sincos sin sin( sin ) sin sin sin sin sin sin c) Sinussetningen gir AB sinb sinc Av dette får vi: AC sinb sinc sin sin(80 ) A.67 a) b) sin sin 8cos sin sin cos sin sin sin cos sincos sin cos cos cos( ) cos sin (coscos + sinsin ) cos sin (cos + sin ) (cos + sin)(cos sin) cos sin (cos + sin) A a) C 80 ( ) 80. Siden C > 0, får vi: 80 > 0 80 > 0 Siden også > 0, får vi 0,60. 60 > 0 60 > < 60 B c) sin( + ) cos sincos + cossin cos sin + cos cos sin (sin + cos) (cos + sin)(cos sin) (cos sin)
B.68 a) cos cos b) c) B.70 (cos sin ) cos cos sin cos sin cos (sin + cos ) cos sin + cos cos sin sin + cos (cos + sin)(cos sin) (sin + cos) cos sin sin cos + sin cos + sin cos sin cos tan cos sin + cos sincos + cos + sincos cos tan B.7 cos Siden, er i. kvadrant, må cos, > 0. Vi tar utgangspunkt i regelen for dobbelt vinkel: cosu cos u cos u cosu + cos u cosu + cosu + cosu ± cos, > 0 cos cos, + + + A.7c (cos) +,8cos 0, 0 cos 0, eller cos + Men selv om andregradslikningen her har to løsninger, kan vi bare bruke den ene, siden likningen cos ikke har noen løsning. cos 0, ±78, + n 60 B.76c sin cos 0 B.77c sin cos tan tan, + n 80 sin + cos 0, [0,60 tan + 0 tan 6,6 + n 80 6,6 + n 80, + n 60 Nå lar vi n variere: n 0 gir, n gir 06,9 n gir 666,9 Bare n gir en i definisjonsmenden [0,60, så løsningen blir 06,9. Oppgave.80 a) cos(u + v) + cos(u v) cosucosv sinusinv + cosucosv + sinusinv cosucosv b) Vi lar u + y og v y. Da kan vi skrive om uttrykket slik: cos + y cos y cosucosv Fra oppgave a) vet vi at dette er lik cos(u + v) + cos(u v). Så bytter vi tilbake til og y: 6
cos(u + v) + cos(u v) cos( + y + y ) + cos( + y y ) cos( ) + cos(y ) cos + cosy Oppgave.8a sincos + sin 0, [0,60 sin(cos + ) 0 sin 0 eller cos Vi lar n 80 eller ±0 + n 60 n variere og plukker ut de -verdiene som passer med grunnmengden. Oppgave.8 L {0,0,80,0 } a) I første trinn av løsningen bruker vi resultatet fra løsningen til oppgave 66c, se side. sin sin, [0,60 sincos sin sin Vi rydder likningen, faktoriserer og finner en andregradslikning: sin + sin sincos 0 sin( sin + cos) 0 Her bruker vi produktregelen og får to likninger. Den første likningen er sin 0, som har løsningene n 80. Vi løser den andre likningen: sin + cos 0 ( cos ) + cos 0 + cos + cos 0 cos cos 0 cos 0,809 eller cos 0,09 ±6,0 + n 60 eller ±08,0 + n 60 Til slutt lar vi n variere og velger ut de verdiene av som passer med grunnmengden. L {0,6,0,08,80,,0,,0 } c) cos sin, [0,60 cos sincos cos sincos 0 cos(cos sin) 0 cos 0 eller cos sin 0 cos 0 eller tan 0 ±90 + n 60 eller tan 90 + n 80 eller 6,6 + n 80 Vi varier n og velger ut passende verdier av : {6,6,90,06,6,70 } Oppgave.86b 9sin cos + 7, [0,60 9( cos ) cos + 7 9 9cos cos + 7 9cos + cos 0 Ved cos eller cos ±70, + n 60 eller ±,8 + n 60 å la n variere, kan vi så velge ut de som passer i definisjonsmengden. {70,,,8,8,,89, } Oppgave.87 Vi får oppgitt cos med [90,80. Siden er i. kvadrant, har vi at sin > 0. Da kan vi bruke enhetsformelen slik: sin cos 6 9 tan finner vi på vanlig måte med defninisjonen: tan sin cos Vi finner sin og cos med formlene for den dobbelte vinkel: sin sincos ( ) cos sin ( ) 8 7 Til slutt finner vi tan på vanlig måte: tan sin cos 7 7 7
Oppgave.89e cos( + 0 ), R + 0 ±60 + n 60 0 ± 60 + n 60 0 ± 60 + n 60 ± 0 + n 80 + n 80 eller + n 80 Nå har vi løst oppgaven. Men mange foretrekker å skrive løsningen med utgangspunkt i positive vinkler. Da legger man til et helt antall perioder, her 80, til vinkelen blir positiv: + n 80 eller + n 80 + n 80 eller 80 + n 80 + n 80 eller + n 80 Oppgave.90 sin sin( 0 ) sin cos0 cos sin0 6 6 cos0 cos(90 + ) cos90 cos sin90 sin 6 6 0 Oppgave.9 Oppgave.9 a) sin( + 0 ), [0,60 + 0 60 + n 60 eller + 0 0 + n 60 0 + n 60 eller 90 + 60 Vi varierer n og velger ut passende verdier av. L {0,90 } b) sin( + 0 ) sincos0 + cossin0 sin + cos c) Vi skal løse likningen sin + cos. Vi bruker omskrivningen vi lagde i b): sin + cos : sin + cos (innsatt fra oppgave b) sin( + 0 ) Men denne siste likningen er den samme som vi løste i a). Altså er løsningen Oppgave.9 C 6 {0,90 } a) sin( + 0 ) + cos( + 60 ) sincos0 + cossin0 b) + coscos60 sinsin60 sin + cos + cos cos sin + cos cos cos sin + cos (cos sin ) sin sin sin A B a) Cosinussetningen gir + cosa 6 0cosA + 6 6 cosa 0 cosa 8 b) Vi bruker cosinussetningen som i a) og får: 8
+ 6 6 cosc 60cosC + 6 6 60cosC cosc 60 Fra regelen om dobbelt vinkel har vi: cosc cos C ( ) 8 6 6 8 cosa Siden A og C begge ligger i. kvadrant, har vi at cosc cosa A C. Oppgave.97 a) Areal av sirkelsektoren PQS: r 60 Areal av PQS: r r sin Differansen av disse to arealene er arealet av det fargede området: r 60 r sin r ( 80 sin) b) La F være skjæringspunktet for høyden fra S til PQ i PQS. Da er cos SF SQ SF r, som er ekvivalent med SF r cos. Fra dette finner vi høyden ved r SF: For r 0, har vi: h r r cos r( cos ) h 0, ( cos ) c) Først finner vi et uttrykk for V (). h() 0, 0,( cos ) 0, cos 0, 0, cos 0, 0, 0,67 ±8, + n 60 ±96, + n 70 Vi setter inn 96, i uttrykket for V (): V (96, ) 0,0 ( 80 96, sin96, ) 0,00m,0dm,0l d) Vi finner først hvilket volum tønna har og deretter hvilken vi må ha for at tønna skal være kvartfull. Tønna er full når 60 : V full 0,0 ( 80 60 sin60 ) 0,0 0,8 Så kvartfull tønne vil si 0,8 0,07. Nå skal vi finne hvilken innsatt i V () som gir dette volumet. Altså skal vi løse likningen V () 0,07 Dette gjør vi grafisk ved å la lommeregneren tegne V () og f () 0,07 og finne skjæringspunktet. Lommeregneren gir her skjæringspunkt for,. Denne setter vi inn i uttrykket for h: h(, ) 0, ( cos, ) 0,79 Så vanndybden er 0,79 meter når vannmengden er / av full tønne. Oppgave.99 C V () l A(),0 A(),0 0, ( 80 sin) 0,0( 80 sin) Så finner vi hva må være for at h() 0,: A B F La A, B, C og F være punkter som på figuren. 9
a) cos AC AC cos cos CF AC CF AC cos cos h La R være radius i kjeglen. Da blir volumet V : V R h sin AF R AF AC sin sincos AC Ut fra dette får vi følgende uttrykk for volumet: V R h 6sin cos cos 6 cos sin b) Vi legger uttrykket for V () inn på lommeregneren og tegner grafen. Så bruker vi maksimums- og minimumsfunksjonen. Da får vi V maks 9,9. c) La u cos. Da får vi V 6 cos ( cos ) 6 u ( u ) 6 (u u 6 ) d) V (u) 6 (u 6u ) V maks finner vi når V () 0. V () 0 6 (u 6u ) 0 u 6u 0 u ( 6u ) 0 u 0 eller u 6 u 0 eller u ± cos 0 eller cos ± Disse tre likningene har følgende løsning ±90 + n 60 ±,6 + n 60 ±,7 + n 60 Fra figuren ser vi at må være mindre enn 90. Altså kan vi bare bruke,6. Oppgave.0 Vi regner ut nevneren for seg: sin( + 60 ) sin( 60 ) sin cos60 + cos sin60 (sincos60 cossin60 ) sin + cos sin + cos cos Så regner vi ut brøken: sin sin( + 60 ) sin( 60 ) sin cos tan 0