Tall og figurer Eksamensoppgaver Våren 016 OPPGAVE 4 (MED HJELPEMIDLER) Figur 1 Figur Figur 3 Tenk deg at du skal lage figurer av blå og hvite ruter som vist ovenfor. a) Skriv av tabellen nedenfor, og fyll den ut. Figur Antall hvite ruter Antall blå ruter Antall ruter totalt 1 1 8 9 4 1 16 3 9 16 5 4 16 0 36 n n 4n + 4 n + 4n + 4 Alle figurene har blå ruter i alle de fire hjørnene, vi har da + 4 for alle figurene. Ser vi f.eks. på figur 1 har den i tillegg 4 andre ruter: OPPE-NEDE-HØYRE-VENSTRE. Disse er tallet 4 i 4n og n er figurnummeret. Vi har da formelen 4n + 4 for de blå rutene. b) Hvor mange hvite ruter trenger du dersom du skal lage en figur med totalt 81 ruter? Løsning 1: Bruk GeoGebra (bytter ut n med x) og skriv inn: f(x) = x + 4x + 4 får da tegnet en funksjonslinje. Skriver så inn (y = 81) for å tegne en horisontal linje. Vi får da et krysningspunkt (7, 81) som forteller oss at figurnummeret er 7 når vi har 81 ruter. Bruker formelen n for de hvite rutene som blir 7 = 49 hvite ruter Løsning : Tegn ett kvadrat med 9 ganger 9 ruter ( fordi 81 = 9 ) og tell antallet hvite ruter.
c) Hvor mange blå ruter trenger du dersom du skal lage en figur med totalt 1 96 ruter? Løsning 1: Bruker GeoGebra og skriver inn: f(x) = x + 4x + 4 får da tegnet en funksjonslinje. Skriver så inn (y = 1 96) for å tegne en horisontal linje. Får da et krysningspunkt (34, 1 96) som forteller oss at figurnummeret er 34 når vi har 1 96 ruter. Bruker: Formelen 4n + 4 for de blå kvadratene: (4 34) + 4 = 140 blå ruter Løsning : Dette er et kvadrat og da må alle side være like lange. Regner ut: 1 96 = 36. Kvadratet er 36 ganger 36 ruter. Vi ser at den blå rammens bredde er én rute på hver side av kvadratet. Det hvite området er da 34 ganger 34 ruter stort. 34 34 = 1 156 hvite ruter Alle rutene Hvite ruter = Blå ruter 1 96 1 156 = 140 blå ruter Høsten 015 OPPGAVE 8 (MED HJELPEMIDLER) Figur 1 Figur Figur 3 Ovenfor ser du figurene i en serie som kan fortsettes. De store kvadratene er sammensatt av hvite og svarte kvadrater. Hvert av de hvite kvadratene har areal lik 1. De svarte kvadratene har areal som øker i størrelse.
a) Bestem det totale arealet av de svarte kvadratene i den neste figuren, figur 4. Ser at både arealet til og antallet av svarte kvadrater er 1, 4 og 9 i de tre første figurene. 1,, 3 Figur 4 må da bli 4 = 16 for hver av de svarte kvadratene. Det totale arealet av svarte kvadrater i figur 4 er: 16 16 = 56 b) Sett opp et uttrykk som viser det totale arealet av de svarte kvadratene i figur n uttrykt ved n. n n = n 4 n fordi de svarte kvadratene er et kvadrattall og n er kvadrattall for antall svarte kvadrater Antall hvite kvadrater i den nederste raden i hver figur kan uttrykkes med et andregradsuttrykk S(n). c) Bestem S(n). S(n) = 3 n 3 fordi det er tre hvite ruter i den nederste raden i Figur 1 n fordi antallet hvite ruter i nederste rad øker kvadratisk 1, 4, 9... d) Sett opp et uttrykk for det totale arealet av de hvite kvadratene i figur n uttrykt ved n. Hver side av de store kvadratene er 3n 4 Arealet til det store kvadratet er da 3n 4 3n 4 = 9n 4 Arealet til de svarte kvadratene er n 4 Det store kvadratet De svarte kvadratene = Arealet til de hvite kvadratene 9n 4 n 4 = 8n 4 Våren 015 OPPGAVE 5 (MED HJELPEMIDLER) F 1 3 linjestykker F 9 linjestykker F 3 18 linjestykker Ovenfor ser du tre figurer F 1, F og F 3. Tenk deg at du skal fortsette og lage figurer etter samme mønster.
a) Hvor mange linjestykker vil det være i F 4? Vi ser at økningen i små trekanter som hver består av tre linjestykker er en for hver store trekant. I F 4 vil det da være 1++3+4 små trekanter som da blir 10 små trekanter som igjen består av 3 linjestykker. Totalt blir det 30 linjestykker. Eller vi kan bruke formelen for "trekanttall", men husk å multipliser med 3 fordi der er 3 linjestykker i hver av de små trekantene. For F 4 har vi da: n (n+1) 3 = 3 4 (4+1) = 30 linjestykker b) Forklar hvordan antall linjestykker endrer seg fra figur til figur, og lag et regneark som gir en oversikt over antall linjestykker i de 0 første figurene F 1, F,..., F 0 Skriv først inn dette i regnearket: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T 1 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 3 Skriver inn formelen: = A + B1 3 i B. Når du trykker enter-tasten vil tallet 9 vises. Dette stemmer bra med F som har 9 linjestykker. Kopier formelen i B ved å ta tak i nedre høyre hjørne og trekk denne helt bort til T. Du får da denne tabellen som du også kan bruke i oppgave c). A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T 1 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 3 9 18 30 45 63 84 108 135 165 198 34 73 315 360 408 459 513 570 630 Antall linjestykker i Figur F n kan skrives som et andregradsuttrykk. c) Bruk regresjon til å bestemme dette andregradsuttrykket. Hvis vi ennå ikke har lært om regresjon bruker vi uttrykket som vist i oppgave a) n (n+1) 3 = 3 n +n = 1,5(n + n) = 1,5n + 1,5n... som er et andregradsuttrykk.
Hvis vi har lært om regresjon kopierer vi tabellen fra regnearket vi lagde i oppgave b), her vist i en rød ramme, og lager en liste med punkt i GeoGebra og bruker kommandoen RegPoly(Liste1,) A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T 1 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 3 9 18 30 45 63 84 108 135 165 198 34 73 315 360 408 459 513 570 630 For å lage en liste med punkt i GeoGebra: Vis Regneark ; du får nå opp ett regneark Du skal nå lage en tabell i regnearket til GeoGebra, men i GeoGebra må tabellen være vertikal og ikke horisontal slik som vi lagde den i regnearket. A B 1 1 3 3 3 4 4 Da blir formelen du skal skrive inn i B slik: = B1 + A 3 Trekk svaret du fikk i B helt ned til B0. Merk hele tabellen og høyreklikk: Lag Liste med punkt I området som heter Algebrafelt får du da opp verdiene på listeform og punktene blir tegnet opp i området som heter Grafikkfelt. I linjen nede på skjermbildet som er merket Skriv inn: RegPoly(Liste1,) I området som heter Algebrafelt får du da: f(x) = 1.5x + 1.5x andregradsuttrykk.... dette er et d) Bruk andregradsuttrykket vi fant i oppgave c) til å bestemme hvor mange linjestykker det vil være i F 0 Bytter ut n med 0 i formelen fra oppgave c) : 1,5n + 1,5n = 1,5 0 + 1,5 0 = 600 + 30 = 630 linjestykker Eller bruker uttrykket fra GeoGebra: f(x) = 1.5x + 1.5x = 1.5 0 + 1.5 0 = 630 linjestykker. i GeoGebra =, eller (også i GeoGebra) Skriv inn: f(0) og tallet 630 vises i området som heter Algebrafelt
Eksempeloppgave 015 OPPGAVE 5 (MED HJELPEMIDLER) m 1 m m 3 Sondre lager figurer med klosser etter et fast mønster. Ovenfor ser du m 1, m og m 3. a) Følg samme mønster og tegn m 4. m 4 Hvor mange klosser trenger Sondre for å lage m 5 og for å lage m 6? Vi ser at seksjonen mellom de to beina er kvadratet av mønsternummeret 1,, 3, 4... som er 1, 4, 9, 16... følger vi dette mønsteret blir m 5 = 5 = 5 og m 6 = 6 = 36 Når det gjelder beina så vokser disse med én høyde for hvert mønster multiplisert med to, fordi vi har to bein. m 1 = 4 beinklosser, m = 6 beinklosser, m 3 = 8 beinklosser, m 4 = 10 beinklosser Følger vi dette mønsteret blir m 5 = 1 beinklosser og m 6 = 14 beinklosser m 5 vil da trenge: 5 + 1 = 37 klosser. m 6 vil da trenge: 36 + 14 = 50 klosser. b) Sett opp en modell som viser hvor mange klosser Sondre trenger for å lage m n, uttrykt med n. (n + 1) + n fordi figuren har to bein (n + 1) fordi hvert av beina har n pluss én kloss n fordi kroppen mellom beina er kvadratisk Bruk modellen til å bestemme hvor mange klosser han trenger for å lage m 0. (0 + 1) + 0 = 4 + 400 = 44 klosser