Løsningsforslag til esamen i TELE1-A Reguleringsteni 3.6.15 Ogave 1 a) Reguleringsventil: Vi ser av resonsen i figur at dette er en første-ordens rosess med tidsforsinelse. s Ke Da har vi: hv s Vi må finne arametrene K, T og τ 1 Ts ys 9,11 8,1 K 1,8 us 7,5 3 4,5 τ = tidsforsinelsen = 5 se T T 63 1 se Dette gir: h s v 1,8 e 1 1s b) Tan: Resonsen i figur 3 viser at vi har en integrator med tidsfforsinelse. Tanens overføringsfunsjon blir da: t h s 5s 1 s e Vi må finne arametrene Ti og τ. Ts Ti = integrasjonstiden = tiden det tar å «gjenta inngangssranget» = 5 se 1 3s τ = tidsforsinelsen = 3 se Vi har da: ht s e 5s i c) Måleelement: Studerer vi Bode-diagrammet i figur 4 ser vi av faseurven at vi har en.ordens rosess uten tidsforsinelse. Resonanstoen forteller at vi har omlese oler. K Dermed har vi: hm s Vi må finne K, og s s 1 K: Denne er gitt av lavfrevens-asymtoten (LFA). Denne ligger å 8 db. Da har vi: KdB 8 1 1,4 1,5 K ω er ca. resonansfrevensen dvs: 4 rad/se Relativ demningsfator ζ er gitt av resonanstoen. Denne når o til ca. db som er 14 db høyere enn LFA (8 db) Dette tilsvarer -log(ζ) (side 176 i læreboa.) log 14 log 14 Vi har da: 14 Vi har da:,7 log, 7 1,,1,5 hm s s s 1,1 4 4
d) Srangresons for måleelementet er vist i nedenstående figur hm s,5 s s 1,1 4 4 4.5 Ste Resonse 4 3.5 3 Amlitude.5 1.5 1.5 1 3 4 5 6 7 8 9 1 Time (seconds) 4 Srangresons for alternativ funsjon gitt i ogavetesten hm s 1,4s,1s er vist i nedenstående figur (benyttes bare av de som ie fant ritig overføringsfunsjon): 7 Ste Resonse 6 5 Amlitude 4 3 1.5 1 1.5.5 3 Time (seconds)
e) Stasjonær utgang for reguleringssløyfe med 4% srang i referansen. 5s 1,8 e 1 3s,5 r v t m h K h h e h 11s 5s s s 1, 4 4 Overføringsfunsjon fra referanse til målt utgang: h h s 5s 3s 1,8e e,5 1 1 s 5 s s s 1, ys h 4 4 1,8,5 1 1 1 s 5 s s s 1, 4 4 M 5s 3s r s 1 h e e M s 8s 9e s s 5s 11s 1, 9e 4 4 8s 9e Stasjonær forsterning fra inngang til utgang blir da: hm 1 y s r 511 9e M.a.o. når referansen gis et srang fra til 4% vil stasjonær utgang bli 4%. Vi får altså null stasjonært avvi og dette syldes tandynamien (integrasjon). Ogave a) Med samlingstid h = 1, se må vi regne med tidsforsinelse i sløyfa τ = 1,5 se. For den digitale reguleringssløyfa gjelder da (med P-regulator): 1,5s K e K 1,75s h (Pade arosimasjon) 1 s 1 5s 11s 1 s 1 5s 11s 1, 75s Karateristis lining: K 1, 75s 1 1 som gir: s s s s C s h 1 1 5 11 1, 75 s s s s K s 1 1 5 11 1, 75 1, 75 (Dette svaret er tilstreelig.) Ferdig ganget ut får vi: 4 3 37,5s 98, 75s 77, s 16, 75 1,5 K s 1 K b) Kritis forsterning og eriodetid. Fra tabell 1 ser vi at et olar rysser den imaginære asen når K øes fra 6, til 6,3 Vi ser videre at for K = 6,1 havner dette olaret noså nøyatig å imaginærasen. Vi får da stående svingninger og vi har funnet ritis forsterning K = 6,1
Polenes imaginærdel bestemmer ritis svingefrevens:, 465 rad/se som gir ritis svingetid: T 14,7 se Regulator: Kravet til null stasjonæravvi tilsier at vi må ha I-virning. Kravet til rasest mulig reguleringssløyfe tilsier at vi må ha D-virning Vi bør altså brue PID-regulering. Vi velger å brue Ziegler-Nichols innstillinger: K i d,65 K,65 6,1 4, T,5T,514, 7 se 7,4 se T,1 T,1 14, 7 se 1,8 se c) Valg av samlingstid Dette sal vurderes ut fra Bode-diagrammet for åen sløyfe og analog regulator vist i figur 5. Fra denne figuren avleser vi ritis svingefrevens som ω = ω18 =,55 rad/se Kritis svingetid med analog regulator blir altså: T _ analog se 11,4 se,55 Samlingstiden bør velges mindre enn en tiendedel av denne verdien. Siden vi har valgt h = 1, se an vi si at samlingstiden er fornuftig valgt. d) Modifiasjon av Bode-diagrammet Siden regulatoren er digital må vi ta med en estra tidsforsinelse = 1,5h = 1,5 se Denne tidsforsinelsen vil bidra til å dra fasen ned med fatoren ωτ = -1,5ω(radianer) Siden 1 radian er ca. 57 grader blir orresjonen som vist i diagrammet å neste side. Fasen blir truet ned 57 o ved ω =,67 rad/se, 114 o ned ved ω = 1,33rad/se osv.
36 3 4 18 Bodediagram for rosess (am:hel, fas:delt) orinnelig faseurve -3-6 -9 Amlitudeforhold i db 1 6-6 -1 Faseforsyving i grader -1-15 -18-1 -4-18 -7-4 amlitudeforhold orrigert faseurve -3-3 -33-36 1-3 1-1 -1 1 1 1 1 Radianer r se -36 e) Regulatorinnstillinger ut fra Bode-diagram Et rav til reguleringssløyfa var innsvingningsforlø av tyen minimum forstyrrelse. I følge læreboa rever dette 45 o fasemargin og 1dB forsterningsmargin. Med PID-regulator å rodutform får vi da følgende rav til ryssfrevens: * o o o o h jøc 45 155 Ser vi å den orrigerte faseurven har vi o 155 ved ca.,5 rad/se. Dette gir ønset ryssfrevens, 5 rad/se (Har man regnet med regulator å sum-form får man litt andre svar men forsjellen blir ie vesentlig stor.) Regulatorarametrene an nå regnes ut:,8,8 Ti se = 11, se,5 T d øc 1 1 se = 4, se,5 øc * K h j 4dB 7dB 4dB 3dB 1, 4 øc Begrunnelse for å brue PID-regulator er den samme som under t. b. øc
Vi ser at Ti og Td som ble funnet ved frevensanalyse ga høyere verdier enn de som ble funnet under t.b samtidig som K ble vesentlig mindre. Dette er mer «onservative» innstillinger som syldes at vi nå har dimensjonert regulatoren etter gitte rav. Med de nye innstillingene an vi for esemel regne med å få innsvingningsforlø av tyen minimum forstyrrelse. Med Ziegler-Nichols innstillingene fra t.b må vi regne med et mer urolig forlø antaelig minimum amlitude. Ogave 3 a) Innløet til tanen er gitt av følgende sammenheng: 1, 5% 1,5 % q K u K e e inn v Stasjonært må q og q være i balanse. Når q 3% har vi: inn ut ut 3% qinn qut 3% 1, 5% 1,5 e% 5% 1,5 e% 5% e (stasjonært) 1, b) Utløet øer til 5% De samme liningene gjelder nå. Vi får: 5% qinn qut 5% 1, 5% 1,5 e% 5% 1,5 e% 41, 7% Dette gir: 1, 16, 67% 1,5 e% 16, 67% e 11,1% 1,5 Stasjonært målt nivå i tanen finner vi fra sammenhengen: e r y y r e 6% 11,1% 48,9% s s ys 48,9% Stasjonært virelig nivå i tanen: hs 44,4% K 1,1 m