Ulever: 3.mars 7 Løsningsforslag for regneøving 3 Oppgave : a Se opp ligning for spenningen over som funksjon av id, for. R v + - Kres Løsning: Beraker kresen førs: I iden før null vil spenningen over være lik v. Kirchoffs spenningslov, summen av alle spenninger i alle lukkede sløyer er lik null. v + v = R ( ( Ved å benye Ohms lov for v r får vi: vr( = RiR( Vi ve a srømmen gjennom mosanden er den samme som srømmen gjennom kondensaoren og a srømmen gjennom en kondensaor er gi av den derivere av spenningen med hensyn på id. ir( = i ( dv i ( = d Seer disse [3] og [] inn i ligning []: dv ( R + v ( = d R er en konsan og vi ordner variablene på hver sin side, v c ( på en side og på den andre siden: dv ( R = v ( d dv ( = d v R ( Endrer variabelnavn og inegrerer begge sider fra = il :
( v v dx = x R vc ( ln ( x = v R ln ( vc ( ln ( v = R v ( ln = v R v = ve = ve τ ( Seer inn v =V og får: τ v = Ve qed (... dy R De er verd å merke seg a idskonsanen τ som er produke mellom farad og ohm er sekund u fra følgende: En farad er definer som evnen il å lagre en coulomb med ladninger per vol poensialforskjell mellom o ledere: = V En ohm er definer som mosanden(resisans, reakans eller impedans nødvendig for å skape en vol i poensialforskjell per ampere srøm. Med andre ord Ohms lov: Ω= V A Ampere er en grunnenhe, men kan også defineres som coulomb per sekund: A = s Seer vi dee sammen så får vi a produke mellom farad og ohm blir: V Ω = s V = s b Beregn oal kapasians mellom ilkoblingspunkene a og b. ølgende verdier for c-c9 =µ =5µ 3=5,µ 4=µ 5=68µ 6=68µ 7=µ 8=5µ 9=,µ
a 3 4 5 6 b 7 8 9 Kres Løsning: Slår sammen, og 3 : = ( 3 3 + + Slår sammen 5, 6 og 9 : ( 5 + 6 9 (5 6 9 = 5 + 6 + 9 Disse sår ilsammen i parallell med 4 : ( 5 + 6 9 ((5 6 9 4 = + 4 5 + 6 + 9 ølgende kondensaorer sår da i serie med hverandre: 8 ekvivalenen il, og 3 ekvivalenen il 4, 5, 6 og 9 Alle disse sår så igjen i parallell il 7 : + 7 + + ( 3 ((5 6 9 4 8 Her ser vi for a ved en fullsendig uregning så blir formelen for ekvivalen kapasians hel uhånderlig. Bruk mellomsvar, men med ilsrekkelig anall siffer: + 7 + µ 9µ + + + +,µ 4,65µ 5µ ( 3 ((5 6 9 4 8 c Vi kobler inn en mosand og en srømkilde Mellom klemmene a og b, i kres. a i a R + - 3 4 5 6 7 8 9 b
Kres 3 Srømkilden i a = 5µA, og mosanden R =,kω. Når ilsrekkelig lang id har gå, oppnår vi seady-sae. Hvor sor blir da spenningen over klemmene V ab. Løsning: Såkal seady-sae vil her bey a kondensaoren har oppnådd en konsan spenning over seg. Ved konsan spenning så er kondensaorer å berake som åpne kreser. Dee fordi a hvis de går srøm u eller inn av de så vil de forandre spenning: dv i d (= Den derivere av spenningen med hensyn på id er jo de samme som spenningsforandringen over id. Er forandringen null så er srømmen null. Dermed er dee i «seady-sae» ekvivalen med a kondensaorene fjernes fra kresen. Da sier vi igjen med en srømkilde og en mosand i en lukke sløyfe. Spenning V ab er den sammen som spenningen over mosanden, spenningen over mosanden er gi av mosanden i ohm ganger med srømmen i ampere. Vab = Ri a =,kω 5µ A=,,5V = 3,V Oppgave : a Beskriv følgende med egne ord: I. Nodespenningsmeoden Løsning:. Navngi alle nodene. Tilordne nodespenningene spenningsvariable for eksempel v,v osv 3. Hvis noen av nodene har en spenningskilde forbunde mellom o noder ugjør disse nodene en supernode. KVL gir spenningen mellom disse nodene il å være lik spenningskilden. 4. or de reserende nodene bruk Kirchoffs srømlov il å see opp ligning for alle srømmene u av noden. 5. or supernodene sees de opp ligninger for KL for supernoden se under e. 6. Løs ligningssee for å få de reserende spenningene. II. Tidskonsanen τ (au Løsning: Tidskonsanen i en R-kres kan berakes på o forskjellige måer:. Den iden de ar for angenen for spenningskurven il kondensaoren å nå påryk spenning over kresen.. Tiden de ar for spenningen å nå: (-e - V påryk ved oppladning og; e - V påryk ved uladning e - er da når =τ
b Tegn oppbygningen il en kondensaor. Navngi de enkele elemenene og gi en kor forklaring på hvordan de påvirker kondensaorens egenskaper. Løsning: Plaer Dielekrikum En kondensaor besår i prinsippe av o plaer, avskil med e dielekrikum mellom. Kondensaorens kapasians avhenger av 4 paramre: Plaenes areal, plaenes avsand il hverandre og dielekrikume. Sørre plaeareal gir sørre kapasians. Kapasiansen øker jo nærmere hverandre plaene er. Dielekrikumes isolasjonsevne medvirker på å besemme hvor lang fra hverandre plaene kan være, og således vil bedre isolasjon i dielekrikume kunne gi høyere kapasians c Hva er spesiel med oppbygningen av elekrolykondensaorer? Hva må man passe på ved bruk av disse? Løsning: Elekrolye kondensaorer benyer en kjemisk forbindelse for å bygge opp energien. Reverseres spenningen over disse så uvikler de gass via elekrolyse av forbindelsen. orbindelsen er kapsle for å ikke ørke inn, men dee vil gjøre a ved elekrolyse vil de bygge seg opp e rykk i kondensaoren og de vil il slu eksplodere. d Hvor sor srøm må il, for å få e umiddelbar spenningssprang over en kondensaor? Løsning: En spenningsendring i en kondensaor er avhengig av de blir en ladningsforskjell mellom sidene på den. Med andre ord a de bygger seg opp elekroner på den ene siden og e ilsvarende fravær av elekroner på den andre siden. Dee vil fra usiden forone seg som a de går en srøm igjennom kondensaoren, mens i virkeligheen er de bare de a srømmen inn er like sor som srømmen u. dv i d (= En øyeblikkelig spenningsendring ser vi rask u fra ligningen vil kreve en uendelig srøm. En uendelig srøm kan kun være en eoreisk berakning og en øyeblikkelig spenningsendring kan derfor ikke skje. En eoreisk berakningen ilsier a vi renger en renger en gi mengde ladningsendring, K, i kondensaoren for å gi ønske spenningsendring. or a dee skal skje insanan må disse forflye seg inn på null id, alså uendelig srøm. or de maemaiske nysgjerrige av oss er de en inerresan berakning av produke mellom srøm og id gir ladning. I dee ilfelle skal vi ha en uendelig srøm på null id, hvorav produke av disse skal bli K. i = K = K Dee blir heller spesiel før vi benyer grenseverdier: lim i = K i
Oppgave 3: a Srømmen i en kondensaor er gi av ligningen dv i = u fra denne, finn e urykk for spenningen. d [] Løsning: Ordner på hver side og inegrerer. Husk på inegreringskonsanen for ubeseme inegral, i dee ilfelle kal v. De blir o løsninger, avhengig om srømmen er en funksjon av iden eller ikke. Med konsan srøm: dv i = d y= v( x= i dy = dx y= v x= i v ( = + v Med srøm som en funksjon av id:
y= v x= x= x= ( dv i( = d y= v( x= i x dy = ( dx v ( = ixdx ( + v b En kondensaor blir påryk en spenning v(: inn e urykk for srømmen i(. ( = sin ( ω Løsning: Seer inn i formelen for sammenhengen med v( og i(: dv( i( = d d = sin d = cos ( ω ( ω v [] c Hva er faseforskjellen φ, mellom v( og i(? Tegn kurve for srøm og spenning i samme diagram. (mins perioder Løsning: Vi kan enen gjøre begge om il sinus, eller begge om il cosinus. Sammenhengen er gi av: sin ( x + π = cos ( x cos( x π = sin ( x Vi gjør srømmen om il en funksjon av sinus og får: i( = sin ( ω+ π ase forskjellen er da ganske enkel pi/
.8 v( i(.6.4...4.6.8,5,5 id Oppgave 4: - v ( + + v ( - + v R ( - R Kres ** Verdier: =5µ, =µ, R = kω or < har kondensaorene spenningene v (=5V og v (=V a inn v (, v ( og V R ( for. Løsning: Vi slår sammen kondensaorene il en ekvivalen kapasians: eq = + Spenning over dem er: veq ( = v ( v( Merk a v ( har mosa polarie i forhold il v (. Vi har videre a når bryeren lukkes så vil:
eq ( = ( v v R U fra Kirchoffs spenningslov. Vi hener inn ligningen fra oppgave. Ersaer V med sarspenningen over eq, τ ersaes med R eq og v c ( er v eq (: R eq = eq ( veq V e Alså blir: R + ( = ( = ( ( ( R eq 5 kω µ 5+ 4ms v v v v e ( = V 5V e = 5e V or å finne spenningen over hver av kondensaorene går vi via srømmen: v ( = i( x dx + v Srømmen finner vi le u fra Ohms lov: ( ( v ( ( R v vr + ir ( = = e R R Seer så inn i ligningen for v c ( og får ligningene for v (: x= v ( ( x v ( R eq v = e dx+ v( R x= x= v ( ( x v R eq = Reqe + v( R x= eq = ( ( ( eq R v v e + v( Seer inn for eq: R + = ( v ( ( v e + v( + Seer så inn allverdier: 5µ µ µ kω 5µ + µ = ( V 5V e + 5V 5µ + µ 4ms = 7 e V ( Samme uregning for v (, men foregne for srømmen må snus:
v v v e v + R + ( = ( ( ( + ( 5µ µ ( 5V V 5µ kω 5 + µ µ 4 = ms e + V = 3V ( e + V 5µ + µ 4ms ( 7 3e = + V b Beregn energien lagre i kondensaorene og før bryeren lukkes Løsning: Energien i en kondensaor er gi ved: E = V Energien i de o kondensaorene er da gi ved: Eeq ( = ( v ( + v ( Energien før bryerene lukkes er da gi ved iniialbeingelsene for spenningene: Eeq ( = ( v ( ( ( + v = 5 5 + µ J 4mJ c Beregn energien lagre i kondensaorene og når. Løsning: Seer inn for =. Ren maemaisk er de kanskje bes å gjøre dee via grenseverdier. Eeq ( = ( v ( + v ( ( 5 ( 7 ( 7 3 = e + + e µ J = ( 5 7 + 7 µ J 36mJ dvis a energien lever mosanden svarer il differansen mellom svarene i b og c. Løsning: Effeken lever il mosanden er kvadrae av spenningen del på mosanden: ( ( v ( R pr = R orbruk energi er inegrale av effek med hensyn på id. z= ( ( E = pr z dz z= Effek lever il mosanden må da bli når iden går mo uendelig:
( ( ( v ( v ( z= z= R z= z= z= z= z R eq ( vr ( z Elever = E = p z dz = dz R = R e dz z z= ( ( ( eq R eq = v v e z= eq = ( v( v( Her kan vi see inn all og se a energien lever er lik differansen mellom energien i kondensaorene ved = og = : ( 5 4 µ = V V 4,5mJ Differansen: Elever = ( v ( + v ( ( v ( + v ( = ( 5 5 + 5 7 + 7 µ J = ( 5 ( 5 7 + ( 7 µ J 4,5mJ
Oppgave 5 fra eksamen 6: R + v ( - v a + - R R 3 R 4 i b Kres ** Verdier: V a =3V, I b =4AΩ, R =Ω, R =6Ω, R 3 =6Ω, R 4 =3Ω, =, Kresen har så i ro i lang id, og oppnådd seady-sae. Ved iden endres ilsanden på begge bryerne som vis i kresen. Spenningen V ( skal finnes og skisseres. a Hva er spenningen V ( før iden? Løsning: Spenningen over kondensaoren vil være den samme som spenningen over R 3 og R 4 har før iden null. Spenningen vil være sabil og dermed går ingening av srømmen i b gjennom kondensaoren. Da vil de heller ikke ligge noen spenning over R. Spenningen blir da: v( < = vr3( < = vr4( < RR 3 4 = ib R3 + R4 Seer inn verdier: 63 = 4A Ω= 8V 6+ 3 b Tegn opp kresen slik den ser u eer a vensre og høyre bryer har henholdsvis lukke og åpne. Gjør en forenkling av kresen ved å lage en Thèvenin-ekvivalen for kresen se fra kondensaoren. Tegn Thèvenin-ekvivalen se fra kondensaoren. Løsning: Se fra kondensaoren blir Thèvenin-mosanden: RR 6 RT = R3 + = 6Ω+ Ω= Ω R+ R 6+ Og Thèvenin-spenningen blir: R 6 VT = va = 3V = V R + R 6+
c inn og skisser spenningen V ( over kondensaoren. Angi kresens idskonsan på idsaksen.
Oppgave 6 - frivillig R conv v conv + - R blis blis Kres ** Kres ** viser ilnærme skjema over virkemåe il en kamerablis. Blisen fyrer av ved a bryeren slår over ved iden (når uløseren rykkes. Når blisen har bruk opp ladningen lagre i kondensaoren, kobler bryeren over il D-D omformeren for å få lade opp kondensaoren igjen. D-D omformeren er en kres som ar en lav baerispenning (gjerne 3-9V, og ransformerer de opp il den spenning blisen skal ha. I dee ilfelle 5V D. or både å spare plass i kamerae, og ikke overbelase baerie, er designe på D-D omformeren slik a den har en sor indre mosand R conv. Med sor indre mosand kan ikke D-D omformeren drive blisen direke, og er derfor avhengig av en kondensaor il å lagre energien i. Når energien er lagre i kondensaoren, kan den frigjøres i løpe av millisekund gjennom blisen, og vi får e veldig skap, men korvarig lysglim. D-D omformeren er i denne oppgaven represener ved sin Thèvenin ekvivalen. Den har en spenningskilde, med en mosand i serie. Hva omformeren egenlig besår av er ikke av ineresse i denne oppgaven. Blisen vi har i denne oppgaven bruker en spenning på 5V. I løpe av 5ms har blisen appe bliz for ~99,3% av spenningen. Kondensaoren har en sandardverdi på µ. Oppladning av bliskondensaoren ar sekund (for å nå ~99,3%. a Hvor sor mosand har blislampen R blis? Løsning: Vi seer opp ligningen for en R-kres: v = V e τ ( conv Vi har a 99,3% av spenningen er appe ved iden 5τ. Vi ve a de er de samme som 5ms: 5ms = 5Rblizbliz 3ms = Rbliz µ 3ms Rbliz = =, 4Ω µ b Hvor mye energi lagres i kondensaoren? Løsning: Kondensaorenergien er gi av: E = Vconv Seer inn allene: 5 = V µ =, mj c Hvor sor maks-srøm rekker fra D-D omformeren under oppladning av bliskondensaoren?
Løsning: Vi må da førs finne mosanden il omformeren: s = 5Rconvbliz,s = Rconv bliz,s,s Rconv = = =,9k Ω bliz µ Maksimalsrømmen er når kondensaoren ikke er opplade i de hele a og all spenningen legger seg over mosanden: Vconvbliz 5V µ imaks = = =, 8A,s,s d Gi a omformeren har en virkningsgrad på 98%, hvor sor maks-srøm rekkes da fra baerie hvis vi har en baerispenning på 7,V (6 AA baeri, NIMH (ips: samme effek som rekkes fra omformeren, må og gis il omformeren. Husk % av effeken forsvinner under veis e Skisser spenningen og srømmen inn på kondensaoren som funksjon av id. f Hvor lang id ar de før blisen er i sand il å avfyre med ~4% av maksimal effek?