Eksamensdato Fag Dato: 11.12.14 \\hjem.hist.no\pgis\mine dokumenter\backup\fag\reguleringsteknikk\2014\eksamen\lx2014des_korrigert.wpd HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG AVD. FOR INGENIØR OG NÆRINGSMIDDELFAG INSTITUTT FOR ELEKTROTEKNIKK 15. desember 2014 LØSNINGSFORSLAG Versjon 1 (NB! Ikke helt kvalitetssikra ennå) TELE2001-A Reguleringsteknikk Sign: Pål Gisvold Løsningsforslag basert på læreboka til Bjørvik og Hveem Oppgave 1 (100%) Fartsregulering (Cruisecontrol) Figur 1. Forenkla blokkskjema for fartsregulering. Fartsregulatoren bestemmer gasspedalpådraget. Regulatoren er en digital regulator med samplingstid lik 0,2 sekunder. Når regulatoren brukes som PID-regulator er den på sum-form. Figur 2. Forenkla blokkskjema for motor mm, bilens masse mm og fartsmåler. Dette gjelder ved manuell styring av farten. Sjåføren trykker på gasspedalen. Bilens toppfart er 180 km/t og i normaliserte verdier er 0-180 km/t lik 0 % til 100 %. Nominelle verdier for gasspådraget er satt til 0-1 eller 0 % til 100 %. Krav til reguleringssløyfa 1 Null stasjonært avvik 2 Innsvingningsforløp av typen minimum forstyrrelse 3 Raskest mulig reguleringssløyfe Side 133
Løsningsforslag eksamen i Reguleringsteknikk des 2014 2 A (6%) Eksperimentell modellering av bilens masse og luftmotstand. Sprangresponsen er vist i figur 3. Vi ser at responsen i figur 3 tilhører en første ordens prosess uten tidsforsinkelse. Overføringsfunksjonen har derfor følgende form: Stasjonær endring i utsignalet (virkelig fart) er 40 % - 30 % = 10 % og endringen i innsignalet (netto kraft) er 25 % - 16 % = 9 %. Dette gir: K = Äut/ÄInn = 10/9 = 1,1 Spranget i innsignalet kommer når t = 20,0 sek og endringen i utsignalet kommer nøyaktig samtidig. Vi har dermed ingen tidsforsinkelse. Tidskonstanten er den tida utgangen bruker på å nå 63% av stasjonær endring. Dvs tida det tar å nå 10*0,63 6,3 opp i forhold til startverdien for utsignalet på 30. Utsignalet når verdien 30 + 6,3 = 36,3 [%] når t 40,0 sek. Det betyr at tidskonstanten, T = 40,0-20,0 = 20 sek. Overføringsfunksjonen for bilens masse og luftmotstand: B B (8 %) Eksperimentell modellering av motor, gir, hjul mm. Tar utgangspunkt i sprangresponsene i figur 4 og 5 for å finne overføringsfunksjonen h M. Fra figur 5 ser det ut som det er en første ordens prosess med tidsforsinkelse. Ser vi på figur 5 som viser et utsnitt så ser vi tydelig at det er en skarp knekk der tidsforsinkelsen slutter og første orden prosessen starter. Det tyder på at det ikke er en andre ordens prosess. Overføringsfunksjonen har derfor følgende form: Stasjonær endring i utsignalet (kraft fra hjul mot vei) er 22 % - 14 % = 8 % og endringen i innsignalet (gasspedalpådrag ) er 22 % - 14 % = 8 %. Dette gir: K M = Äut/ÄInn = 8/8 = 1 Spranget i innsignalet kommer når t = 20,0 sek og endringen i utsignalet starter først når t = 20,5 sek. Vi har dermed en tidsforsinkelse ô = 20,5-20,0 = 0,5 [sek]. Tidskonstanten er den tida utgangen bruker på å nå 63% av stasjonær endring. Dvs tida det tar å nå 8*0,63 5,04 opp i forhold til startverdien for utsignalet på 14. Utsignalet når verdien 14 + 5,04 = 19,04 [%] når t 24,5 sek. Det betyr at tidskonstanten, T = 24,5-20,5 = 4 sek. Overføringsfunksjonen for motor, gir, hjul osv: Side 134
Løsningsforslag eksamen i Reguleringsteknikk des 2014 3 C (8 %) Eksperimentell modellering av fartsmåler Tar utgangspunkt i frekvensresponsen til fartsmåleren som vist i figur 6 for å finne h F. Vi ser at amplitudekurva er flat ved lave frekvenser med amplitude på ca 1 db og går nedover med 20dB/dekade ved høge frekvenser. Fasekurva starter ved null grader ved lave frekvenser og ser ut til å flate ut på 90 ved høge frekvenser. Dermed er nivåmåleren en første ordens prosess uten tidsforsinkelse og har denne overføringsfunksjonen: Ved å legge en asymptote med stigning lik 0 db/dekade til kurva for amplitudeforholdet ved lave frekvenser og en asymptote med stigning lik 20 db/dekade ved høge frekvenser finnes knekkfrekvensen ù k = 5 rad/sek. Knekkpunktet ser rett ut fordi kurva går ca 3 db under knekkpunktet. I tillegg ser det ut til at faseforskyvinga er omtrent 45 ved knekkfrekvensen. Det stemmer også med en første ordens prosess. Forsterkinga ved lave frekvenser gir stasjonær forsterking K. Av Bodediagrammet ser den ut til å være ca 1 db. Dette gir K = 1,1. I oppgaveteksten står det at fartsmåleren måler 10 % for mye. Det betyr at når den virkelige hastigheten er 50 km/t så måler fartsmåleren 55 km/t. Dette gir en stasjonær forsterking på 55/50 = 1,1. Dermed blir K = 1,1. Det er det samme som ble funnet ut fra bodediagrammet. Side 135
Løsningsforslag eksamen i Reguleringsteknikk des 2014 4 Tidskonstanten er det inverse av knekkfrekvensen: T = 1/ù k = 1/5 rad/sek = 0,2 sek. Overføringsfunksjonen for nivåmålereren blir dermed: D (10 %) Sprangresponsen fra gasspedalpådrag til målt fart. En rask skisse av sprangresponsen fra gasspedalpådrag til målt fart når spranget i gasspedalpådraget er 40 % i normalisert verdi tar utgangspunkt i overføringsfunksjonene i oppgavene A, B og C. Når vi skal skissere sprangresponsen er det greiest å ta utgangspunkt i en andre ordens prosess med tidsforsinkelse. Den korteste tidskonstanten slås sammen med tidsforsinkelsen. Når innsignalet er et sprang på 40 % så blir stasjonær endring i utsignalet: Sprangresponsen kan nå skisseres ve å tegne opp en første orden prosess med stasjonær verdi på 48,4 % og tidskonstant på 20 sek. Denne starter opp ô + T kortest = 0,7 + 4 = 4,7 sek etter spranget på inngangen. Tida det tar for sprangresponsen å nå 0,63 av stasjonærverdien blir ô + T kortest + T lengst = 0,7 + 4 + 20 = 24,7 sek. Deretter tegnes en bue fra det tidspunktet hvor tidsforsinkelsen slutter over på den første ordens prosessen: Figuren er vist på neste side. Side 136
Løsningsforslag eksamen i Reguleringsteknikk des 2014 5 E (28 %) Frekvensanalyse Ea (6 %) Vi bruker åpen sløyfefunksjon uten regulator, men med tidsforsinkelsen i regulatoren når vi finner fram til overføringsfunksjonen som brukes som utgangspunkt for opptegning av frekvensresponsen i et bodediagram når regulatoren skal justeres inn basert på frekvensanalyse. Eb (15 %) Dimensjonering: Vi skal ha en PID-regulator på sumform. Kravet til innsvingningsforløp er minimum forstyrrelse. I følge læreboka kan vi oppnå dette med o stabilitetsmarginer på minst 45 og minst 12dB. Ved dimensjoneringen tar vi utgangspunkt i fasemarginen. <h 0= 210 + 45 = 165. Bodediagrammet er allerede tegna ut i figur 7 i oppgaveteksten. Men uten fasekorrigering for regulatoren. I diagrammet nedenfor er vist hvilken korreksjon som må gjøres for fasen. For amplitudekurven trengs ingen korreksjon. Side 137
Løsningsforslag eksamen i Reguleringsteknikk des 2014 6 Finner fasevinkelen som gir ønska kryssfrekvens ut fra det skissen til frekvensresponsen for åpen sløyfe uten regulator, men hvor vi har inkludert tidsforsinkelsen i regulatoren. Vi ser at 165 har vi ved 0,4 rad/sek. Dette gir en ønska kryssfrekvens: ù øc = 0,4 rad/sek. Amplitudeforholdet ved denne frekvensen leses av til 22 db. Regulatorparametrene kan nå raskt beregnes: T = 2,8/ù = 2,8/0,4 = 7,0sek og T = 1/ù = 1/0,4 = 2,5 sek, K = h (jù ) 2dB = ( 22dB) 2dB = 20dB = 10 = 10,0 I øc D øc * 20/20 P o øc Ec (7 %) Etterjustering vurderes ut fra Bodediagrammet til åpen sløyfe med den valgte regulatoren for å se om vi har oppnådd den fasemarginen og forsterkingsmarginen vi vil ha dvs ÄK 12dB og Äö 45. For det første ser vi at kryssfrekvensen er ca 0,1 i stedet for 0,4 som var ønska kryssfrekvens. Dette tyder på at regulatoren er stilt inn på en helt annen måte dvs helt andre valg av regulatorparametre. I første omgang bør vi likevel sørge for at vi har tilstrekkelig forsterkningsmargin og fasemargin. Vi ser at forsterkningsmarginen er på hele 32 db. Problemet er fasemarginen som bare er ca. 35 grader. Vi ser at vi kan oppnå en fasemargin på 45 grader hvis vi senker forsterkningen med ca 4 db. -4/20-4dB = 10 = 0,63 Dvs. Forsterkningen må reduseres med en faktor på 0,63. Alternativt må regulatoren stilles inn med de parametrene vi valgte i foregående punkt. Side 138
Løsningsforslag eksamen i Reguleringsteknikk des 2014 7 Når vi reduserer forsterkinga med 3 db så vil også kryssfrekvensen flytte seg til litt lavere frekvens. I dette tilfelle til ca 0,07 rad/sek. F (40 %) Endring i fart ved kjøring i motbakke med P- og PID-regulering. Fa (5 %) Når bilen kjører med konstant hastighet på en flat vei med manuell fartsregulering og sjåføren ser at fartsmåleren viser 70 km/t så kan den virkelige farten bestemmes ut fra fartsmålerens stasjonære forsterking. Stasjonært har vi at y = K F * x. Snur vi på dette finner vi virkelig fart, x, når vi kjenner målt fart,y: x = y/k F = 70/1,1 = 63,6 [km/t]. I normalisert verdi blir dette: Fb (5 %) Gasspedalpådrag (i normalisert verdi) som kreves for å holde denne farten kan regnes ut når vi kjenner stasjonær forsterking for motor mm og for bil mm. Ved Side 139
Løsningsforslag eksamen i Reguleringsteknikk des 2014 8 manuell drift har vi åpen sløyfe og x = u * K M * K B. Vi kjenner alt unntatt u. Ved å snu på dette finner vi: u = x/(k * K ) = 35,3 %/(1 * 1,1) = 32,1 % M B Fc (3 %) Ved innkopling av fartsregulatoren holder bilen en målt fart på 70 km/t samtidig setter referansen også lik 70 km/t. Dermed blir reguleringsavviket e lik null. For at gasspådraget til motoren ikke skal endres må det nominelle pådraget settes lik pådraget vi hadde ved manuell kjøring rett før innkopling av fartsregulatoren. Dvs u = 32,1 %. 0 Fd (12 %) Bilen kjører inn i en lang motbakke med en stigning som tilsvarer F motbakke = 25 % i normalisert verdi. Referansen og det nominelle pådraget endrer seg ikke så lenge fartsregulatoren er innkopla. Vi kan derfor finne ut hvor mye den stasjonære målte farten synker med ved å se på overføringsfunksjonen fra F motbakke til y og så finne virkningen av motbakken på y. Fordi vi skal bruke sluttverditeoremet og der inngår det å la s gå mot null kan vi her forenkle oppsettet når vi kjenner stasjonær forsterking til hver blokk. Når vi har første ordens blokker på standard form er konstanten i telleren lik stasjonær forsterking. (Alternativt kan stasjonær forsterking finnes ved å la s gå mot null i overføringsfunskjonen til hver enkelt blokk.) Vi har en digital regulator og må dermed ta hensyn til tidsforsinkelsen som alltid oppstår i en digital regulator. Som tommelfingerregel kan denne settes til 1,5 ganger samplingstida h. ô reg 1,5 0,2 = 1,5 =0,3 [sek]. Forsterkinga i regulatoren er oppgitt til å være K p=5. Hurtigmetode hvor vi bare ser på de stasjonære forsterkingene med en gang: Endring i stasjonær fart fra flata og over i motbakken blir da: I km/h tilsvarer dette: Fartsmåleren viser nå oppe i motbakken: y + Äy = (70-7,74) km/t = 62,26 km/t Side 140
Løsningsforslag eksamen i Reguleringsteknikk des 2014 9 Fe (5 %) Den virkelige farten bilen holder er lavere enn 62,26 km/t fordi fartsmåleren viser for mye. Den virkelige farten, x, er nå: x = y/k F = 62,26/1,1 = 56,6 [km/t]. Den virkelige farten målt med politiets lasermåler vil dermed bli 56,6 km/t og dette er lavere enn 62 km/t som politiet hadde satt som grense for bøtelegging. Bilføreren blir ikke bøtelagt. Ff (5 %) Med PID-regulator sørger I-delen i regulatoren for at det ikke blir noe stasjonært avvik. Dermed blir den målte farten, y, lik referansen, r. Den målte farten blir dermed 70 km/t. Fg (5 %) Når den målte farten er 70 km/t så blir den virkelige farten lik: x = y/k F = 70/1,1 = 63,64 [km/t]. Politiets lasermåler registrerer den virkelige farten og ser at den er over 62 km/t. Bilføreren vil dermed bli bøtelagt. Sidesprang: Det å sette opp en matematisk modell for en bil er ganske komplisert. Særlig fordi det er mange ulineære sammenhenger. Luftmotstanden øker f eks med kvadratet av farten. En linearisert modell vil derfor bare være riktig i området rundt et arbeidspunkt. Fordi det i virkeligheten er så mange og store ulineære sammenhenger er det vanlig at fartsregulatoren (cruise-controlleren) først kan aktiveres når farten er over ca 35 km/t. Sidesprang slutt. Side 141