(Daa Dependen Triangulaions) DEFINISJON. (Daa-avhengig riangulering) En riangulering AÂPÃ, P = ÆÂx i,y i,z i ÃÇ, der valg av sidekaner i A avhenger av funksjonsverdiene F = Æz i Ç. (Æz i Ç er ypisk høydeverdiene il nodene i AÂPÃ) Dee er forskjellig fra Delaunay-rianguleringer der valg av sidekaner ble gjor eer (ekvivalene) krierier som var definer i plane. 1. Moivasjon 2. Opimale rianguleringer (revisied) 3. Generell maemaisk modell 4. Daa-avhengige swappe-krierier 5. LOP og varianer av denne 6. Simuler sørkning (Simulaed Annealing) 7. Eksempler 1
Gi en riangulering AÂPÃ, P = Æp i Ç Ana a alle p i = Âx i, y i Ã, i = 1, u,n i P har en assosier reell (høyde-)verdi z i. Ana a ÆÂx i,y i,z i ÃÇ er sample fra en underliggende funksjon (flae) F. La f A 5 S 1 0 ÂAà være en approximasjon il F definer som den enydige sykkevise lineære funksjonen som er e lineær polynom over hver rekan T i in A og som inerpolerer ÆÂx i,y i,z i ÃÇ, f A Ti 5 E1, f A Âx i, y i à = z i, i = 1, u,n, der E1 er romme av lineære polynomer. De er opplag a f A avhenger av valg av A. 2
Tesfunksjon Skal se på approksimasjoner il: 0.2 0.1 0 1 0.8 0.6 y 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1 F 1 Âx,yà = ÂanhÂ9y? 9xà + 1Ã/9. F 1 Âx, yã er gla Observasjon: Reningsderivere i reningen u = Â1,1Ã: Âf x, f y à 6 Â1,1à = 0 Â1, 1à f xx f xy f xy f yy Â1,1à = 0 Førse og andre reningsderivere il F 1 Âx,yà i reningen u = Â1,1à er null over al. 3
Sampler i e uniform grid over Ä0,1Å ¼ Ä0,1Å (a) (b) Delaunay-riangulering A og f A Âx,yà Daaavhengig riangulering A v og f A v Âx,yà (ABN & L1 & LOP) 4
Observasjoner: Sammenligner A med A v og f A Âx,yà med f A v Âx,yÃ: A er ikke likevinkle slik som Delaunay v Trekanene i A er langsrake i reninger u hvor v 2 / F 1 Âx,yà er lien. / 2 u Trekanene i A v er ynne i reninger u hvor /2 F 1 Âx,yà er sor. / 2 u f v A Âx, yã gjenspeiler bedre glaheen i F 1 Âx, yã (rikigere nivåkurver) f v A Âx, yã er rolig en bedre approksimasjon il F 1 Âx, yã X Ä0,1żÄ0,1Å f v A Âx, yã? F 1 Âx,yà dxdy Konklusjon: Må se eer andre krierier enn Delaunay, og algorimer for å konsruere A v. 5
Recall: Delaunay-rianguleringer En Delaunay-riangulering av e punkse P = ÆÂx i,y i,z i ÃÇ ble definer i plane uen å bruke funksjonsverdiene F = Æz i Ç: Til alle mulige rianguleringer k ÆA ÂPÃÇk=1,u ilordnes en indikaor-vekor: IÂA k à = ÂJ1, J2, u, JTÃ, Ji Jj, i < j, der Ji er den minse vinkelen i rekan T i. Sorerer k ÆIÂA ÂPÃÃÇk=1,u leksikografisk: a b IÂA à > IÂA à hvis J i a = J i b, i = 1, u,m? 1 og J m a > J m b av P DEFINISJON. Den opimale rianguleringen i er den med sørs indikaor-vekor. ÆA k ÂPÃÇk=1,u Dee definerer også MaxMin-vinkelkrierie DEFINISJON. (Delaunay-riangulering I) En riangulering av P som er opimal i henhold il MaxMin-krierie og som er definer på ConvÂPÃ, kalles en Delaunay-riangulering av P. 6
DEFINISJON. En sidekan E i kalles lokal opimal eer LOP. DEFINISJON. En riangulering A kalles lokal opimal hvis alle sidekaner i A er lokal opimale (eer LOP). LOP med MaxMin-krierie resulerer i en (enydig) global opimal riangulering, dvs. en Delaunay-riangulering, uanse i hvilken rekkefølge vi swapper kanene. d.v.s. en lokal opimal riangulering er også (allid) global opimal når vi bruker MaxMin-krierie (og de ekvivalene krieriene: sirkel-, og Voronoi). Men MaxMin krierie er de enese kjene krierie med denne egenskapen. 7
Daa-avhengige rianguleringer Defineres på ilsvarende måe som over eer opimalieskrierier, men: 1. Bruker andre lokale krierier (elemener i indikaor-vekoren) som avhenger av F = Æz i Ç 2. Den globale kosfunksjonen kan defineres på ulike måer 3. Bruker LOP og andre algorimer for å opimere kosfunksjonen (... og andre siden de nå blir vanskeligere å finne e god opimum). Vi skal kun se på sykkevise lineære funksjoner f A 5 S 1 0 ÂAà som inerpolerer F = Æz i Ç, d.v.s f A Âx i,y i à = z i, i = 1, u,v. 8
Generell maemaisk modell Konsruksjon av lokale og globale kosfunksjoner: Gi en vilkårlig riangulering AÂPà og daaverdier Æz i Ç Gi f A 5 S 1 0 ÂAà over A som definer idligere lokal kos câa,e i à il alle indre kaner i A. n (1) n (2) θ p 1 =(x 1,y 1,z 1 ) T Q Q 2 1 T 2 1 E i p 2 =(x 2,y 2,z 2 ) Eksempel på lokal kos, c ABN ÂA,E i à = S. Merk: c ABN ÂA,E i à måler glahe il f A Âx,yà langs E i Indikaor vekor: IÂAà = ÂcÂA, E 1 Ã, u,câa,e EI ÃÃ. 9
Kvalieen på A kan nå måles ved å måle IÂAà i en l p norm: Global kosfunksjon: C p ÂAà = > i=1 E I câa,e i à p, p = 1,2. Evn. C K ÂAà = max Ei câa, E i Ã. Ulike rianguleringer av P kan nå sammenlignes ved å sammenligne global kos. Den opimale rianguleringen av alle mulige rianguleringer av P er den med mins global kosfunksjon. Eksempel med c ABN ÂA, E i Ã: Den opimale rianguleringen gir en f A Âx,yà som er gla! 10
Swapping (lokal berakning): Anar a kun geomerisk info. om T k og T l som deler E i brukes i câa,e i à Effeken av å swappe en kan kan måles lokal: 1 Ei 2 E i T k E i 4 E i T l 3 E i A A v ved å swappe en kan E i Den globale kosfunksjonen C p ÂAà vil ikke minke hvis: 4 câa,e i à p k + > câa,e i à p < câa,e v v i à k=1 (A er mer opimal enn A v.) p 4 + > k=1 câa v,e i k à p Hvis ulikheen over holder, eller hvis E i ikke kan swappes, sier vi a E i er lokal opimal. Hvis alle kaner i A er lokal opmale sier vi a A er en lokal opimal riangulering. 11
LOP med vilkårlige swapping-krierier Algorihm (LOP) 1. Make an arbirary legal riangulaion A of a poin se P. 2. If A is locally opimal, ha is, if he inequaliy holds for all inerior edges in A, STOP. 3. Le E i be an inerior edge of A which is no locally opimal. 4. Swap E i o E i v, ransforming A o A v. 5. Le A := A v. 6. GOTO 2. Naurlig å sare med en Delaunay riangulering Som Delaunay, men vilkårlige krierier i Sep 3. For hver swap vil den globale kosfunksjonen minke >> Siden anall rianguleringer er endelig, konvergerer LOP il e lokal minimum. MEN: Generel ikke il e global minimum og resulae er avhengig av i hvilken rekkefølge vi swapper kanene. 12
Daaavhengige swappe-krierier Ulike lokale kosfunksjoner câa, E i à ilordne kanene i A brukes i den globale kosfunksjonen: C p ÂAà = > E I câa,e i à p, p = 1,2. i=1 n (1) n (2) θ p 1 =(x 1,y 1,z 1 ) T Q Q 2 1 T 2 1 E i p 2 =(x 2,y 2,z 2 ) Bruker 3D geomerisk informasjon om T 1 og T 2 som deler E i Q i Âx,yà = a i x + b i y + c i, i = 1,2. Planene Q 1 og Q 2 er resriksjonen il f A Âx,yà il T 1 and T 2. 13
Angle beween normals (ABN) Normalvekorer n Â1à og n Â2à il Q 1 og Q 2 : der n Âià = nx Âià ¼ ny Âià = Â?a i,?b i,1ã, i = 1,2. nx Âià = Â1, 0, /Q i //xã = Â1,0,a i à og ny Âià = Â0, 1, /Q i //yã = Â0,1,b i Ã. c ABN ÂA, E i à = S = cos?1 n Â1à 6 n Â2à qn Â1à q 2 qn Â2à q 2 = cos?1 a 1 a 2 + b 1 b 2 + 1 Âa 1 2 + b 1 2 + 1ÃÂa 2 2 + b 2 2 + 1Ã. Måler vinkelen mellom Q 1 og Q 2. Siden c ABN ÂA,E i à måler glahe lokal langs E i, vil LOP erminere med en A som er gla. Trianguleringen i førse eksempele ble generer med: x c ABN ÂA, E i Ã, x l 1 norm og x LOP. 14
Jump in normal derivaive (JND) n (1) n (2) θ p 1 =(x 1,y 1,z 1 ) T Q Q 2 1 T 2 1 E i p 2 =(x 2,y 2,z 2 ) Måler differanse i reningsderivere normal på E i : La n = Ân x, n y à være en enhesvekor i plane som er orhogonal på E i. Derivere av Q i Âx,yà in reningen n: /Q i //n = 4Q i 6 n = Â/Q i //x, /Q i //yã 6 Ân x,n y à = Âa i n x + b i n y Ã. Lokal kosfunksjon: c JND ÂA,E i à = /Q 1 //n? /Q 2 //n = Âa 1? a 2 Ãn x? Âb 1? b 2 Ãn y. 15
Deviaions from linear polynomials (DLP) n (1) n (2) θ p 1 =(x 1,y 1,z 1 ) T Q Q 2 1 T 2 1 E i p 2 =(x 2,y 2,z 2 ) Generell form: c DLP ÂA,E i à = Q 1 Âx 2, y 2 Ã? z 2 Q 2 Âx 1, y 1 Ã? z 1. Måler verikal avsand mellom Q 1 og p 2, og mellom Q 2 og p 1, i en norm q6q. Diskre l p norm gir: c DLP ÂA, E i à =  Q 1 Âx 2,y 2 Ã? z 2 p + Q 2 Âx 1,y 1 Ã? z 1 p à 1/p med p = 1 eller p = 2. 16
Disance from planes (DFP) n (1) n (2) θ p 1 =(x 1,y 1,z 1 ) T Q Q 2 1 T 2 1 E i p 2 =(x 2,y 2,z 2 ) Ersaer verikale avsander i (DLP) med normal-avsandene fra p 2 og p 1 il Q 1 og Q 2. Generell form: c DFP ÂA, E i à = disâq 1,p 2 à disâq 2,p 1 Ã. Avsanden mellom QÂx, yã = ax + by + c og p l = Âx l,y l,z l à er gi ved disâq,p l à = QÂx l,y l Ã? z l /Âa 2 + b 2 1Ã1/2 +. Diskre l p norm gir: c DFP ÂA,E i à = ÂdisÂQ 1,p 2 à p + disâq 2,p 1 à p à 1/p med p = 1 eller p = 2. 17
Smoohness of conours (SCO) Q 1 Q 2 E i l 1 l 2 γ v(1) v (2) SCO Q h Opimerer glahe av nivåkurver (koer) på f A Âx,yà Siden f A Âx, yã er sykkevis lineær, er også koene sykkevis lineære. La l 1 og l 2 være (horisonale) skjeringslinjer mellom e horisonalplan Q h og Q i, i = 1,2 La v Â1à og v Â2à være hor. normal vekorer il l 1 og l 2 v Â1à og v Â2à har samme reninger som projeksjonene av n Â1à og n Â2à under ABN ned i horisonalplane Vi får: v Â1à = Â?a 1,?b 1,0à og v 2 = Â?a 2,?b 2, 0Ã. La L være vinkelen mellom v Â1à og v Â2à 18
Lokal kosfunksjon: c SCO ÂA,E i à = L = cos?1 v Â1à 6 v Â2à qv Â1à q 2 qv Â2à q 2 = cos?1 a 1 a 2 + b 1 b 2 Âa 1 2 + b 1 2 ÃÂa 2 2 + b 2 2 Ã. Ekvivalen med c ABN ÂA, E i à når E i er verikal. Hvis vi roerer A il E i er horisonal vil L øke, men S i ABN er invarian. Unngår skarpe kaner i flae områder og dermed penere konurkar. 19
En digresjon 0 La f A være en funksjon i S 1ÂAà som inerpolerer daa-verdiene Æf i Ç. Definerer e krierium (roughness crierion) som en Sobolev semi-norm: der R r Âf A à = > f A Ti,1 T i=1 2 2 f A Ti,1 = X Ti /f A /x 2 + /f A /y 2 dxdy. Overraskende: Hvis vi minimerer R r Âf A k à over alle mulige rianguleringer A k ÂPà får vi en Delaunay-riangulering!!! R r Âf A à er dermed ikke e daa-avhengig krierium!!! 20
Eksempel: Sample fra en bil Delaunay 21
Observasjon: SCO, l 1, LOP Glaere f A Âx, yã Trekanene srekker seg langs feaures i den fysiske modellen. Men, forsa noen faslåse rekaner med høy lokal kos. 22
Noen konklusjoner: Alle de lokale kosfunksjonene er e mål for glahe av f A langs en kan E i. Alle har verdi null dersom Q 1 = Q 2, dvs. dersom T 1 og T 2 ligger i samme plane. JND and DFP er kun definer for f A Âx, yã : R 2 R. De andre krieriene kan brukes for rianguleringer i 3D, Âf A : R 2 R 3 Ã. Ofe er de lien visuell forskjell mellom ulike lokale kosfunksjoner. De finnes også andre lokale kosfunksjoner, f. eks. baser på (diskree) kurvaurmål og man kan lage varianer av de over. Valg av kosfunksjon avhenger av applikasjonen. 23
Implemenasjon av LOP Må ha en daasrukur med opologi for å kunne swappe effekiv. Kan f. eks. sare med en Delaunay riangulering Alle indre kaner represeneres i vilkårlig rekkefølge i en lineær array AÂE I Ã. AÂE I Ã gjennomløpes flere ganger hel il ingen kaner kan swappes i hh. câa, E i Ã. (dvs. il alle kaner er lokal opimale) Enkel å implemenere! Mege rask!! (konvergerer vanligvis eer noen få ierasjoner)!! Alernaiv: v AÂE IÃ inneholder kun de kaner som il enhver id ikke er lokal opimale. 24
MLOP (Modified LOP) Moivasjon: Resulae fra LOP avhenger av i hvilken rekkefølge vi swapper kaner. MLOP-algorimer velger ulike sraegier for rekkefølge av swaps. Eksempler: 1. Priorieskø : swapper den kanen som gir sørs reduksjon i den globale kosfunksjonen C p ÂAÃ. 2. Swapper den kanen som eerlaer fles swap-bare kaner il nese ierasjon av LOP. 25
Kommenarer: LOP & MLOP: Når algorimen erminerer kan de forsa være mange kaner med relaiv høy kos som ikke kan swappes (dvs. diagonaler i ikke-konvekse kvadrilaeraler). Bidrar il dårlig approksimasjon og synlig på konurer og shading av flaen Alernaiv 1 over gir ofe dårligere opimum. Årsak: Kaner med høy lokal kos blir frosse fas idlig og hindrer a andre kaner kan swappes. MERK: Kun gode swaps er lovlig, d.v.s. slik a den globale kosfunksjonen minker!!! jfr. Simuler herding... 26
Simuler herding Vi skal nå også illae dårlige swaps!!! Moivasjon: (a) (b) E 1 E 2 E 1 E 2 (c) E 1 E 2 Ana: A a er lokal opimal (eer LOP) med global kos C p ÂA a à câa a, E 1 à er relaiv høy (og kan ikke swappes) E 1 represenerer en (uønske) skarp kan. Swapper som følger: 1. Dårlig swap av E 2 il E 2 v gir A b, med C p ÂA b à > C p ÂA a à 2. Swap av E 1 il E 1 v gir A c s.a. C p ÂA c à < C p ÂA a à 27
Dee moiverer bruk av Simuler herding som alernaiv il LOP. Generell meode for å løse kombinaoriske opimeringsproblemer. F.eks. The Traveling Salesman Problem Analog il emodynamiske prosesser i nauren; f. eks. hvordan mealler avkjøles og sørkner: Samspill mellom energi og emperaur: Energien minker eer som emperauren minker. MEN: De er allid en viss sannsynlighe for a energien øker. Sannsynligheen blir mindre med minkende emperaur. En sake avkjøling fører oss nærmere e global minimum. 28
Simuler herding og rianguleringer La den globale kosfunksjonen C p ÂAÃ svare il energi La dårlige swaps svare il økning i energi som er mes sannsynlig ved høye emperaurer. Lager e minkende emperaurforløp (annealing schedule): 1 > 2 > ` > nemps > 0. Prinsipp: Velger en random sidekan E i i hver sep. Dersom C p ÂAÃ minker ved å swappe E i, så swappes E i (slik som i LOP) Hvis C p ÂAÃ øker, kan også E i swappes ( dårlig swap ): Men, sannsynligheen minker med minkende emperaur og med endring i C p ÂAÃ 29
Algorihm (Simulaed Annealing) 1. do k = 1, u,nemps 2. k = r k 0, 0 < r < 1, e.g., r = 0.95 3. do l = 1, u, nlimi 4. while he number of good swaps glimi 5. le A be he curren riangulaion; and choose a random edge E i in A 6. if E i is swapable 7. le A be he resul of swapping E v i ; and le d = C p ÂA v Ã? C p ÂAÃ 8. if d < 0, i.e., if he global cos decr. 9. swap E i ( good swap ) 10. else 11. choose a random number S 5 Ä0, 1Å 12. if S e?d/ k 13. swap E i ( bad swap ) 14. endif 15. endif 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 200 400 600 800 1000 k Probabiliy of making bad swaps 30
Kommenarer: e?d/ k i Sep 12 svarer il Bolzmann s sannsylighesfordeling i ermodynamikk Merk: glimi konrollerer anall lovlige gode swaps ved hver emperaur: > Hvis vi seer glimi for høy, svarer dee il e ermodynamisk sysem som kjøles ned for rask. jfr. MLOP med alernaiv 1 over. Resula: Dårligere (lokal) opimum. Samme effek kan observeres hvis 0 sees for lav. Simuler herding er mye regere enn LOP Sensiiv overfor valg av paramere Bruk brukerinerface og polling-funksjon i indre løkke! 31
Eksempler: Sarer med en Delaunay riangulering. (a) (b) SIMAN, ABN, l 1 LOP, ABN, l 1 32
SIMAN, SCO, l 1 Lien visuell forskjell på nivåkurvene Men flere rekaner er langsrake i reninger hvor den andrederivere er lien > Dee indikerer a f A Âx, yã med A fra simuler herding er en bedre approksimasjon mål med: X f A Âx,yÃ? FÂx,yà dxdy. 33