Algoritmer for Delaunay-triangulering

Transkript

1 Algoritmer for Delaunay-triangulering Øyvind Hjelle Simula Research Laboratory, September 21, 2009

2 Innhold Algoritmer 1 En enkel algoritme 2 Radial Sweep 3 Steg-for-steg 4 Inkrementelle algoritmer 5 Splitt-og-hersk Innsetting av punkter Punkt-lokalisering Tidsforbruk

3 Enkel LOP-basert algoritme Direkte resultat fra kapitlene foran. Vi bruker: Algoritme (I) fra første del: Triangulering av et lukka polygon basert på fremskutte punkt. Algoritme (II); innsetting av et punkt i en triangulering. LOP (lokal optimerings-prosedyre) som swapper sidekanter etter Delaunay-kriterier til trianguleringen er Delaunay.

4 Gitt et punktsett P. Algoritme 1 Beregn Q = ConvHull(P). 2 Algoritme (I) på Q gir en triangulering. 3 Algoritme (II) for å sette inn alle punkter fra P innen for Q i gir en triangulering (P). 4 LOP på sidekantene i helt til ingen sidekanter kan swappes gir: = En triangulering (P) der alle sidekanter er lokalt optimale. I følge Teorem ( ) er Delaunay.

5 Kommentarer: ConvHull(P) kan beregnes i O(N log N). Step 4 er av orden O(N 2 ) i verste fall. Krever en effektiv punktlokaliserings-algoritme i Step 3. Algoritmen er ikke spesielt rask. Algoritmen kan være ustabil da vi ikke får swappet bort smale trekanter etter hvert. Hvordan kan vi få den mer stabil?

6 Radial Sweep algoritme Bytter ut Step 1,2,3 i enkel algoritme. (Figur på neste lysark) 1 Velg et punkt p nær senteret av P og lag sidekanter {e p,pi } i=1 N 1 ; figur (a) 2 Sorter og ordne {P \ p} på retning og avstand fra p og lag randkanter E B1 ; figur (b) triangulering (P). 3 Lag trekanter {t pi 1,p i,p i+1 } på randen av (P) og oppdater randen etter hvert. Repeter til Conv(P) er dekket av trekanter (P); figur (c). 4 LOP på sidekantene i (P) helt til ingen sidekanter kan swappes; figur (d) = En triangulering der alle sidekanter er lokalt optimale. I følge Teorem ( ) er (P) nå Delaunay

7 (a) (b) p (c) (d)

8 Kommentarer til Radial Sweep. Algoritmen er statisk, dvs. man må kjenne alle punktene når man starter algoritmen. Sortering er av orden O(N log N) Step 4 av orden O(N 2 ) i verste fall.

9 Steg-for-steg algoritme Metoden går ut på å lage en og en Delaunay-trekant fra punkter i P til vi har en Delaunay-triang. (P). Hvordan kan vi velge tre punkter a, b og c fra P slik at t a,b,c er en Delaunay-trekant? Fra forrige kapittel har vi: Lemma (sirkel-lemma) Den omskrivende sirkel til en trekant i en Delaunay-triangulering av P omslutter ingen punkter fra P. Men, kan det finnes en trekant t a,b,c slik at C(t a,b,c ) ikke omslutter punkter fra P, men som likevel ikke er Delaunay?

10 Vi gjør nå resultatet komplett slik at det er implikasjonener begge veier ( hvis og bare hvis )! Theorem ( ) En trekant t a,b,c med hjørnepunkter a, b og c fra et punktsett P er en Delaunay-trekant i (P) (hvis og bare hvis) C(t a,b,c ) omslutter ingen punkter fra P. = Hvis t a,b,c er en Delaunay-trekant i en Delaunay-triangulering (P), så omslutter C(t a,b,c ) ingen punkter fra P (i følge sirkel-lemma).

11 Bevis med voksende sirkel (growing circle) b α p t b,a,p c t a,b,c e b α C(t a,b,c ) a

12 Proof. =. Vi lager et konstruktivt bevis som samtidig definerer en algoritme. Anta at C(t a,b,c ) omslutter ingen punkter fra P, se figur. La sirkelen vokse på motsatt side av e b fra c til den når et punkt p. Hvis et punkt fra P ikke kan nås, må e b være en kant på ConvHull(P); velg en annen sidekant i t a,b,c som e b etc. Lag trekanten t b,a,p ; C(t b,a,p ) omslutter nå ingen punkter fra P. Gjenta dette med en ny e b hver gang til hele Conv(P) er dekket av trekanter {t i } T i=1 i en triangulering (P). C(t i ), i = 1,..., T omslutter nå ingen punkter i P. > (P) er en Delaunay-triangulering i følge Teorem ( ) og Teorem ( ) (eller Corollar). >> t a,b,c er en Delaunay trekant.

13 Algoritme (steg-for-steg) 1 Finn en Delaunay-sidekant e pi,p j fra P; for eksempel: 1 p i og p j er to nærmste naboer i P, eller: 2 p i og p j er to naboer på ConvHull(P). 2 Lag den første voksende sirkelen C I tilfelle (a); la C ha senter i (p i + p j )/2 I tilfelle (b), la C være uendelig stor med senter utenfor Conv(P) 3 Resten blir som konstruksjonen i beviset ovenfor.

14 Kommentarer til steg-for-steg algoritme: Vi trenger en passende underliggende data-struktur for P slik at søk etter et hjørnepunkt p til en Delaunay-trekant t a,b,p blir effektiv. Hvis ikke, blir tidsforbruket alltid O(N 2 ). Algoritmen undersøker vinkelen α med toppunkt i p, se figur. Punktet p som gir max α velges. Algoritmen er statisk.

15 Inkrementelle algoritmer for Delaunay-triangulering. Inkrementelle algoritmer på et punktsett P kjennetegnes ved: 1 Starter med en initiell Delaunay-triangulering I, for eks.: (a) I ( P); der P er et subsett av P ( I kan være en trekant) (b) I (S) der S er temporære punkter som ikke hører til P. p i Conv(S), i = 1,..., N. 2 De gjenværende punktene blir satt inn ett og ett (i vilkårlig rekkefølge). 3 Trianguleringen oppdateres til å være Delaunay for hvert punkt som settes inn. 4 I tilfellet (b) over må S fjernes til slutt. *) Det vil lønne seg å sortere punktene, f.eks. leksikografisk på x og y for effektiv lokalisering.

16 Step 2 Hvordan kan vi sette inn et punkt p i en Delaunay-triangulering N (P) slik at N+1 (P p) også er Delaunay? (a) (b) p Q p R p p Definition Influens-regionen R p = er trekantene som må endres ved innsetting av p. Definition Influens-polygonet Q p = er randen til R p.

17 Alternativ (a): (i) finn R p (ii) fjern alle trekantene i R p (iii) retrianguler {Q p p}. Alternativ (b): (i) finn trekanten t pi,p j,p k slik at p t pi,p j,p k (ii) lag sidekanter e p,pi, e p,pj og e p,pk ; (iii) swap kanter til trianguleringen er Delaunay. HVORDAN ER R p?

18 Lemma En trekant t i må endres når p settes inn hvis og bare hvis p C(t i ). Proof. Beviset følger direkte fra Teorem ( ) over.

19 Theorem La N+1 være Delaunay-trianguleringen fra innsetting av p i en Delaunay-triangulering N. Da vil alle nye (og endrede) trekanter i N+1 ha p som en felles node. Motbevis. Merk først at kun trekantene innenfor Q p i N vil endres. Anta at det er (blir) en Delaunay-trekant t pi,p j,p k i N+1 innenfor Q p slik at p ikke er en node i t pi,p j,p k. p i, p j og p k er Voronoi-naboer relativt til {P p}. > Da er de også Voronoi-naboer i P i følge Lemma ( ); og > siden t pi,p j,p k er en Delaunay-trekant i N+1, er den også en Delaunay-trekant i N. >> Motsigelse: Siden t pi,p j,p k er innenfor Q p har vi at p C(t pi,p j,p k ) og følgelig kan t pi,p j,p k ikke være en Delaunay-trekant i N+1.

20 (a) (b) Q p p R p Konsekvenser: Nodene til trekantene i N innenfor R p hører til Q p R p er sammenhengende (hvis p er innenfor N ) Q p er stjerneformet s.a. alle noder i Q p er synlige fra p Algoritme (1, med R p og Q p.) 1 Finn R p, dvs. {t i } slik at p C(t i ); Figur (a) 2 Fjern alle t i 3 Lag sidekanter {e p,pi } der p i er punkter på Q p.

21 (c) (d) p Hvis p ligger utenfor N må vi sørge for at randen til N+1 blir konveks slik: p forbindes til alle punkter på ConvHull(P) som er synlige fra p.

22 Punktinnsetting og rekursiv swapping Innsetting av p i en triangulering: N (P) N+1 (P p) Det fremgår av det foregående at: 1 Influensregionen R p er sammenhengende når p er innenfor N 2 R p er ofte begrenset (men i verste fall kan R p være hele (P) Vi skal utnytte dette til å lage en rask og kompakt algoritme basert kun på swapping.

23 p p p p p Algoritme (2, med swapping) 1 Lokaliser en trekant t pi,p j,p k slik at p t pi,p j,p k 2 Sett inn sidekanter e p,pi, e p,pj og e p,pk. 3 Swap kanter innenfor R p i henhold til Delaunay-kriteriene. I punkt 3 kan vi f.eks. kjøre LOP, men vi skal utlede en smartere swappe-strategi (men som fortsatt kun swapper kanter som ikke er lokalt optimale)...

24 Rekursiv swappeprosedyre (Step 3). (a) (b) e 1,1 e 1,3 ' e 1 p e 1 p e 1,2 e 3 e 3 e 1,4 e 2 e 2 e p,pi, e p,pj og e p,pk kan ikke swappes. Kun e 1, e 2 and e 3 i (a) er kandidater for swapping med LOP. (Alle andre kanter er diagonaler i de samme kvadrilateraler som før innsetting av p og er derfor lokalt optimale siden N er Delaunay.) SWAP, f.eks. e 1 til e 1 ; se figur (b). Merk at e 1 swappes til punktet p. e 1,1 og e 1,2 motsatt e 1 fra p blir nye kandidater for swapping.

25 (a) (b) e 1,1 e 1,3 ' e 1 p e 1 p e 1,2 e 3 e 3 e 1,4 e 2 e 2 Start på rekursiv swapping. Men, hva med e 1,3 og e 1,4? Generelt blir også disse kandidater, men: Hypotese( ): e 1,3 og e 1,4 (som begge har noder i p) er ikke kandidater for swapping (vises senere). SWAP e 1,2 og rekursjon, se over. (e 1,1 er lokalt optimal i dette eksempelet).

26 (a) (b) e 1,1 e 1,3 ' e 1 p e 1 p e 1,2 e 3 e 3 e 1,4 e 2 e 2 Algoritme (recswapdelaunay(edge e i )) 1 if (swaptest(e i ) == OK) 2 RETURN 3 swapedge(e i ) // til p 4 recswapdelaunay(e i,1 ) // rekursjon 5 recswapdelaunay(e i,2 ) // rekursjon

27 p p p p p Konklusjon så langt (hvis hypotesen holder): Kan swappe rekursivt utover fra p uten å måtte beregne influensregionen R p.... flere konklusjoner følger senere...

28 c x e i,3 e i,1 b p ' e i e i,2 C e i,4 C a Se animasjon. Hypotese( ): Lemma Hver kant-swap i algoritme recswapdelaunay(edge e i ) genererer maks. to kandidater for swapping.

29 c x e i,3 e i,1 b p ' e i e i,2 C e i,4 C a Proof. Må vise at e i,3 og e i,4 er lokalt optimale etter at e i er swappet til e i. Vi gjør dette for e i,3 ved å se på kvadrilateralet (p,b,c,x). Må altså vise at x / C i figuren. p C (p.g.a. at e i ble swappet), men ellers er C punktfri siden t a,b,c er Delaunay i N. C : (c p b) C (siden (c p b) interpolerer p.) > (c p b) er punktfri og >> x / C og e i,3 er lokalt optimal. Tilsvarende for e i,4 følger fra symmetri.

30 c x e i,3 e i,1 b p ' e i e i,2 C e i,4 C a

31 Observasjoner og flere resultater: Swapping starter i 3 avgrensede vinkel-sektorer utspent av p og e i, i = 1,2,3 (som dekker hele planet) For hver swap deles en vinkelsektor i to (rekursjon). Hver kant som sjekkes er på motsatt side av p i en trekant med p som node En kant swappes alltid til p og vil ikke swappes igjen i recswapdelaunay Lemma Ingen kanter sjekkes mer enn en gang i recswapdelaunay.

32 En vinkelsektor (p,e i ) i R 2 er ferdigbehandlet hvis e i ikke skal swappes. > recswapdelaunay convergerer. >> Alle kanter i N+1 er lokalt optimale og N+1 er Delaunay. Det følger fra Lemma: Corollary Følgende er Delaunay-kanter: 1 e p,pi, e p,pj og e p,pk (nye kanter som ikke swappes) 2 Alle kanter som swappes (til p) 3 Alle kanter som passerer swaptest. Dette er forskjellig fra generell LOP på en vilkårlig triangulering der en swap av en kant ikke nødvendigvis gir en Delaunay-kant.

33 Verifisering av Korollar med: Tidligere teorem: En kant e i,j mellom to punkter p i og p j i P er en Delaunay-kant. det eksisterer en sirkel C gjennom p i og p j slik at det indre av C ikke inneholder punkter fra P. (a) C C (b) C C t i p p ' e i e i t i 1 e p,pi, e p,pj og e p,pk ; figur (a). 2 Alle kanter som swappes (til p); figur (b) C inneholder kun p = C er punktfri. 3 Alle kanter som passerer swaptest.; figur (b). (i så fall: p / C)

34 Punktinnsetting forts.... Hvis p settes inn på en eksisterende indre kant dekkes dette av teorien og recswapdelaunay uten spesialbehandling Hvis p settes inn på på en rand-kant e i må vi splitte e i hvis vi ikke tillater degenererte trekanter. Hvis p settes inn utenfor trianguleringen: Får nye initielle kanter e p,p1,e p,p2,e p,p3,... der p 1,p 2,p 3,... er alle noder som er synlige fra p. Ellers er teorien den samme (og recswapdelaunay).

35 Tidsforbruk for inkrementelle algoritmer Først: tidsforbruk for en worst-case konfigurasjon av P. (a) 1 (b) (c) La P = {(x i,y i )} være punkter uniformt fordelt på en parabel y = 1 2 x2 ; figur (a). Start med t p1,p 2,p 3 og sett inn punkter i rekkefølgen: p 4,p 5,...,p 10. Anta at vi har satt inn p k slik at ({p 1,...,p k }) er Delaunay. Ved innsetting av p k+1 er influensregionen R p = ({p 1,...,p k }); dvs. alle trekantene må endres for at ({p 1,...,p k+1 }) skal være Delaunay; figur (b) og (c).

36 Tidsforbruk for å triangulere N punkter blir: siden N (i 1) = 1 2 N2 1 2 N 3 = O(N2 ). i= n = n(n + 1)/2 = 1 2 n n

37 x 4-5 O(N), O(N log N), O(N 2 )

38 Kommentarer: Punktkonfigurasjoner som gir worst-case opptrer nesten aldri i praksis. Tidsforbruket er valigvis mer avhengig av den underliggende data-struktur enn av teoretisk orden på algoritmer. I praksis, hvis man har en passende data-struktur, har de flese algoritmer et O(N log N) eller nesten O(N) forløp.

39 Punkt-lokalisering Problem Gitt et punkt p og en start-trekant t i i (P). Finn trekanten t ι i (P) slik at p t ι ; eller avgjør om p er utenfor. Raske algoritmer for Problem er viktige i, inkrementelle algoritmer evaluering av (P) etc.

40 Eksempel på løsning av Problem Gitt en dart d i = (v i,e i,t i ) orientert mot klokka i t i. La H(d i ) være halvplanet til venstre for d i som inneholder v i og noden i α 0 (d i ). Da er p t i p H(d i ) H (α 1 α 0 (d i )) H (α 0 α 1 (d i )) Anta at randen til (P) er konveks: α 2 (d b ) = d b og p / H(d b ) = p er utenfor (P).

41 d i p

42 Algoritme: d i Gitt p = (x,y) og en dart d i = (v i,e i,t i ) orientert mot klokka i t i. p Algoritme (Punktlokalisering) 1 d start := d i 2 if p H(d i ) 3 d i := α 1 α 0 (d i ) // next edge ccw. in t i 4 if d i == d start 5 FOUND := true, RETURN // inside t i 6 else // try to move to the adjacent triangle 7 if α 2 (d i ) == d i // check if on boundary 8 FOUND := false, RETURN // outside 9 d start := α 0 α 2 (d i ) 10 d i := α 1 α 2 (d i ) // next edge ccw. in adj. t ι 11 GOTO Step 2

43 template <class PointType, class DartType> bool locateface(pointtype& point, DartType& dart iter) { DartType dart start = dart iter; DartType dart prev; for (;;) { // endless loop if (dart iter.inlefthalfplane(point)) { dart iter.alpha0().alpha1(); if (dart iter == dart start) return true; // left to all edges in face } else { // try to move to the adjacent triangle dart prev = dart iter; dart iter.alpha2(); if (dart iter == dart prev) return false; // iteration to outside boundary dart start = dart iter; dart start.alpha0(); dart iter.alpha1(); // avoid twice on same edge and ccw in next } } // end for }

44 Splitt-og-hersk algoritme Splitt-og-hersk (divide-and-conquer) er en generell teknikk brukt innen mange områder av CG, for eksempel i algoritmer for: Konveks omhylning Nærmeste naboer Voronoi-diagram Generelt er splitt-og-hersk algoritmer av orden O(N log N). Splitt-og-hersk er den eneste (kjente) triangulerings-algoritmen som teoretisk er av orden O(N log N). Siden det finnes standard splitt og-hersk algoritmer for å finne Voronoi-diagrammet V D(P), kan vi også avlede Delaunay-trianguleringen fra V D(P) i O(N) tid. Vi skal se på en splitt-og-hersk algoritme for å finne Delaunay-trianguleringen direkte.

45 Rekursiv oppdeling av P ւ P = P 0 0 ց P 1 0 P 1 1 ւ ց ւ ց P0 2 P1 2 P2 2 P3 2 ւ ց ւ ց ւ ց ւ ց P 3 0 P 3 1 P 3 2 P 3 3 P 3 4 P 3 5 P 3 6 P 3 7

46 0 0 = (P) {}}{ { }} { { }} { { }} { { }} { { }} { { }} {

47 Løsning 1 Sorterer punktsettet P leksikografisk på X og Y : p i = (x i,y i ) < (x j,y j ) = p j x i < x j, eller x i = x j og y i < y j. 2 Deler opp P rekursivt i punktsett P 1,...,P N slik at hvert P i inneholder noen få punkter. N er et partall. 3 Lag Delaunay-trianguleringer (P 1 ),..., (P N ). 4 Sy sammen ( merge ) to og to nabo-trianguleringer (P L ) og (P R ) til (P L P R ). Step 3 og 4 gjøres rekursivt til vi har en Delaunay-triangulering (P). Vi skal se nærmere på step 4.

48 (a) e u (b) p p R p L e b

49 (a) e u (b) p p R p L e b Gitt (P L ) og (P R ), finn (P L P R ): 1 Finn ConvHull(P L P R ). Siden ConvHull(P L ) og ConvHull(P R ) er funnet, kan dette gjøres i (max) O(N) tid ved å finne e b og e u ; figur (a). 2 Start sammensying ved e b : Finn punktet p fra (P L ) eller (P R ) som danner en Delaunay-trekant med e b. Bruk en voksende sirkel slik som i steg-for-steg algoritmen. t pl,p R,p i figur (a) er nå en Delaunay-trekant i (P L P R ) følge Teorem ( ). Sidekanter i (P L ) og (P R ) som skjerer t pl,p R,p fjernes. Sett e b til den nye sidekanten og repeter helt til e u nås. 3 (P L P R ) er nå Delaunay siden ingen punkter i {P L P R } er innenfor en omskrevet sirkel til en trekant i (P L P R ).

50 Tidsforbruk for splitt-og-hersk (teoretisk). La t(n) = tidsforbruk for Delaunay-triangulering av N punkter. Sammensyingen av (P L ) og (P R ) er av orden O(N): M(N/2,N/2) er tidsforbruk for å sy sammen (P L ) og (P R ) hver med N/2 noder. Siden M(N/2,N/2) er lineær i tid er 2M(N/4,N/4) = M(N/2,N/2). Vi får følgende rekursjons-formel: t(n) = 2t(N/2) + M(N/2,N/2) t(1) = 0 Vi skal nå se at dette vil gi t(n) = O(N log N). Viktig: I praksis er splitt-og-hersk-algoritmen ikke nødvendigvis raskere enn andre algoritmer selv om den (teoretisk) er den eneste som er O(N log N).

51 Bevis for O(N log N) Anta at P ble delt inn i 2 k subsett: t(n) = 2t(N/2) + M(N/2,N/2) = 2(2t(N/4) + M(N/4,N/4)) + M(N/2,N/2) = 4t(N/4) + 2M(N/2,N/2) (bruker 2M(N/4,N/4) = M(N = 8t(N/8) + 3M(N/2,N/2) = 16t(N/16) + 4M(N/2, N/2) = = 2 k t(n/2 k ) + km(n/2,n/2).

52 t(n) = 2 k t(n/2 k ) + km(n/2,n/2). Anta at totalt antall punkter er N = 2 m Hvis N er stor og k er stor er m k Fra tidligere: worst-case for Delaunay-triangulering er O(N 2 ). 1. ledd er av orden: 2 k (N/2 k ) 2 = 2 k (2 m /2 k ) 2 = 2 2m k 2 m (siden m k) = N; dvs. O(N) 2. ledd er av orden: M(N/2,N/2) er O(N): kn mn, men m = log 2 N (siden N = 2 m ); dvs. N log 2 N eller O(N log N)