LO118D Forelesning 12 (DM)

Transkript

1 LO118D Forelesning 12 (DM) Trær

2 1 Traversering av trær 2 Beslutningstrær 3 Isomorfisme i trær

3 Preorden-traversering 1 Behandle den nåværende noden. 2 Rekursivt behandle venstre subtre. 3 Rekursivt behandle høyre subtre.

4 Inorden-traversering 1 Rekursivt behandle venstre subtre. 2 Behandle den nåværende noden. 3 Rekursivt behandle høyre subtre.

5 Postorden-traversering 1 Rekursivt behandle venstre subtre. 2 Rekursivt behandle høyre subtre. 3 Behandle den nåværende noden.

6 1 Traversering av trær 2 Beslutningstrær 3 Isomorfisme i trær

7 Beslutningstrær For en rekke med påfølgende beslutninger, kan man tegne opp et tre. Et gitt valg tilordnes en node, og subtrærne under er gitt av de valgmulighetene man har. Dette kalles et beslutningstre. Beslutningstrær kan brukes til å definere algoritmer og til å finne nedre grense for kjøretid i verste tilfelle.

8 Myntproblem Vi har fem mynter. Av de fem myntene får vi vite at en har forskjellig vekt fra de andre, men vi får ikke vite om den er lettere eller tyngre. En løsning på dette problemet kan settes opp som et beslutningstre.

9 Optimal løsning Vår algoritme for å finne mynten med annen vekt trenger tre sammenligninger. Vi kan bruke beslutningstrær til å vise at algoritmen er optimal.

10 Sortering Vi kan bruke beslutningstrær til å estimere verste kjøretid for sortering. Gitt n objekter x 1,..., x n så vil vi arrangere dem i ikke-synkende (eller ikke-stigende) rekkefølge. Vi ser kun på algoritmer som gjentatte ganger sammenligner to elementer og basert på resultatet endrer den opprinnelige listen.

11 Teorem Teorem Hvis f (n) er antallet sammenligninger en algoritme trenger for å sortere n elementer i verste tilfelle, så er f (n) = Ω(n log n).

12 1 Traversering av trær 2 Beslutningstrær 3 Isomorfisme i trær

13 Isomorfisme Vi husker (selvfølgelig) at isomorfisme for en graf var definert som: Definisjon Grafene G 1 og G 2 er isomorfe hvis: Det finnes en bijeksjon f fra nodene i G 1 til nodene i G 2. Og det finnes en bijeksjon g fra kantene i G 1 til kantene i G 2. Slik at en kant e er insident på v og w i G 1 hvis og bare hvis kanten g(e) er insident på f (v) og f (w) i G 2 Frie trær, altså trær uten noen definert rot er også underlagt denne definisjonen.

14 Teorem Teorem Det finnes tre ikke-isomorfe trær med fem noder.

15 Isomorfisme i trær med rot Definisjon La T 1 være et tre med rot r 1 og T 2 være et tre med rot r 2. Trærne T 1 og T 2 er isomorfe hvis det finnes en bijeksjon f fra mengden av noder i T 1 til mengden av noder i T 2 som oppfyller følgende: 1 Nodene v i og v j er naboer i T 1 hvis og bare hvis nodene f (v i ) og f (v j ) er naboer i T 2. 2 f (r 1 ) = r 2. Vi kaller funksjonen f en isomorfisme.

16 Teorem Teorem Det finnes fire ikke-isomorfe trær med fire noder som har en definert rot.

17 Isomorfisme i binærtrær Definisjon La T 1 være et binærtre med rot r 1 og T 2 være et binærtre med rot r 2. Binærtrærne T 1 og T 2 er isomorfe hvis det finnes en bijeksjon f fra mengden av noder i T 1 til mengden av noder i T 2 som oppfyller følgende: 1 Nodene v i og v j er naboer i T 1 hvis og bare hvis nodene f (v i ) og f (v j ) er naboer i T 2. 2 f (r 1 ) = r 2. 3 v er venstre barn av w i T 1 hvis og bare hvis f (v) er venstre barn av f (w) i T 2. 4 v er høyre barn av w i T 1 hvis og bare hvis f (v) er høyre barn av f (w) i T 2. Vi kaller funksjonen f en isomorfisme.

18 Teorem Teorem Det finnes fem ikke-isomorfe binærtrær med tre noder.

19 Generelle formler for isomorfisme Vi har vist at det finnes tre ikke-isomorfe frie trær med fem noder, fire ikke-isomorfe trær med fire noder med definert rot og fem ikke-isomorfe binærtrær med tre noder. Det går an å finne generelle formler for trær med n noder av hver av de tre typene.

20 Teorem Definisjon Det finnes C n ikke-isomorfe binærtrær med n noder, der C n = C(2n, n)/(n + 1) er det n-te Catalan-tallet.

21 Teste to trær for isomorfisme For generelle grafer finnes det ingen algoritmer med polynomisk kjøretid som kan teste om to grafer er isomorfe. Dette er ikke tilfelle for trær, det er mulig å teste om to tilfeldig trær er isomorfe i polynomisk tid.

22 Algoritme Algoritme , del 1 Input: Røttene r 1 og r 2 av to binærtrær. Output: true, hvis trærne er isomorfe false, hvis trærne ikke er isomorfe 1 isisomorphic(r 1, r 2 ) { 2 if (r 1 == null and r 2 == null) 3 return true 4 if (r 1 == null or r 2 == null) 5 return false

23 Algoritme Algoritme , del 2 6 lc r 1 = venstre barn av r 1 7 lc r 2 = venstre barn av r 2 8 rc r 1 = høyre barn av r 1 9 rc r 2 = høyre barn av r 2 10 return isisomorphic(lc r 1, lc r 2 ) and isisomorphic(rc r 1, rc r 2 ) 11 }

24 Teorem Teorem Verste kjøretid for algoritme er Θ(n), der n er det totale antallet noder i de to trærne.

25 Neste gang Tallteori