HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for ingeniørutdanning

Transkript

1 HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for ingeniørutdanning EKSAMEN I KLASSE LVD525 Videregående algoritmer : 3DA og 3DB DATO :. april 2005 ANTALL OPPGAVER : 4 ANTALL SIDER : 4 VEDLEGG : side HJELPEMIDLER : ingen TID : 4 timer ( ) FAGLÆRER(E) : Sven-Olai Høyland (tlf ) MERKNADER : kalkulator er ikkje tillatt Postboks 7030, 5020 Bergen. Tlf , Fax Besøksadr.: Nygårdsgt. 2, Bergen

2 Oppgåve (30%) a) Skriv ein grovalgoritme for sorteringsmetodane sortering ved innsetting (insertion sort), QuickSort og flettesortering (mergesort). Du treng ikkje skrive kode for subrutinene int del( ) (for QuickSort) og void flett( ) (for flettesortering), men angi parameterlista og forklar kort kva subrutinene gjer. b) Kva utføringstid har sortering ved innsetting, QuickSort og Flettesortering i verste fall og i gjennomsnitt (du treng ikkje grunngi svara)? Kor mykje (ekstra) arbeidsminne (workspace) treng dei ulike algoritmane? c) Vis korleis vi kjem fram til tidskompleksiteten for flettesortering. Du kan få behov for Masterteoremet som du finn som vedlegg etter alle oppgåvene. d) Forklar kva vi meiner med ein tilnærmingsalgoritme (approximation algorithm). Kvifor er tilnærmingsalgoritmar spesielt interessante i forbindelse med NP-komplette problem? val( I, A( ) e) For å samanlikne tilnærmingsalgoritmar definerer vi r A = for eit minimeringsproblem og r A = for eit maksimeringsproblem. Vidare val( I, A( ) definerer vi RA ( m) = maks{ ra I s. a. = m}. Forklar dei ulike elementa i formlane. Bruk gjerne eit eksempel for å illustrere nokre av elementa. Oppgåve 2 (20%) a) Skisser algoritmen djupne-først-søk (depth-first-search) for retta (directed) grafar. Heile grafen skal undersøkast. b) I samband med djupne-først-søk på retta grafar kan vi få dei 4 kanttypane tre-kantar (tree-edges), bakover-kantar (back edges), framover-kantar (decendant edges or forward edges) og kryss-kantar (cross edges). 2

3 - Forklar skilnaden (forskjellen) på dei ulike kanttypane. - Utfør djupne-først-søk på grafen ovanfor med node som startnode. Viss du har fleire alternativ, anta at noden med minst nr blir valgt. c) Definer sterkt samanhengande komponent (strongly connected component) for retta grafar. Gi ein grovalgoritme for å finne sterkt samanhengande komponentar i retta grafar. d) Finn sterkt samanhengande komponentar i den gitte grafen ved hjelp av algoritmen i punktet ovanfor. Vis viktige mellomresultat. Oppgåve 3 (30%) a 5 7 b c 2 d e f g h 4 i a) Forklar kva vi meiner med eit minste spenntre (minimum spanning tree) (MST). Skisser Kruskals algoritme for å finne eit MST og gå gjennom algoritmen på grafen ovanfor. Få med eventuelle forutsetningar. b) Anta vi har ein graf der alle vektene er ulike. Kva må til for at kanten med størst vekt skal vere med i eit MST? c) Konstruer ein graf med n nodar og Θ( n 2 ) kantar slik at alle MST inneheld dei n/2 kantane med størst vekt. Anta at alle vektene er ulike. d) Skisser Dijkstras algoritme for å finne kortaste sti frå ein node s til alle andre nodar i ein graf. Få med eventuelle forutsetningar. Gå gjennom utføring av Dijkstras algoritme på grafen ovanfor med node c som startnode. Vis viktige mellomresultat. 3

4 Oppgåve 4 (20%) I problemet Sum av delmengde (Subset sum) har vi ei liste (mengde) av element der elementa har storleik s, s, 2,. Finst der ei delmengde der summen av elementa er C? Eksempel: s n 2,5,9,7,2,33} 2,9, 7} C=8, så er svaret nei. La storleikane vere: {. Viss C=28, så er svaret ja (for eksempel { ). Viss Nedanfor finn du ein rekursiv algoritme for å løyse problemet (storleikane globale): s, s, 2, s n er algoritme S(k, C) if (C <= 0 or k == 0) if (C == 0) return true else return false else return S(k-, C) or S(k-, C s k ) a) Forklar algoritmen med ord. b) Kva er hovudideen bak å bruke dynamisk programmering (dynamic programming)? Bruk dynamisk programmering for å gjere algoritmen meir effektiv. Kva blir tidskompleksiteten for den nye algoritmen? c) Skriv ein ny versjon av algoritmen som ikkje brukar rekursjon i det heile. Kor mykje minne (lagerplass) treng algoritmen? Lukke til! 4

5 Vedlegg Masterteoremet n La E = lg( b) / lg( c). Løysing av rekursjonslikninga T ( n) = bt ( + f ( n) har forma c E ε E. Viss f ( n) O( n ) for ein positiv ε, så vil T ( n) n ). E 2. Viss f ( n) n ), så vil T ( n) f ( n) log( n)). E+ε E+δ 3. Viss f ( n) Ω( n ) for ein positiv ε og f ( n) O( n ) for ein δ ε, så vil T ( n) f ( n)). 5