Formelsmling i mtemtikk Alger Aritmetiske opersjoner ( + c) = + c + c Potensregler Polynom = + c + c d + c = d c c d = d c = d c x y = x+y x = x / x y = x y n x = x /n 0 = x n = x n ( x ) y = xy () x = x y ( ) x = x x x x = x Et polynom v n te grd, er et uttrykk som kn skrives på formen: P (X) = 0 + x + x + + n x n + n x n Her er { 0,,, n } er konstnter. Fktorisering v spesielle polynomer x y = (x + y)(x y) x 3 + y 3 = (x + y)(x xy + y ) x 3 y 3 = (x y)(x + xy + y ) Binomilteorem (x + y) = x + xy + y (x y) = x xy + y (x + y) 3 = x 3 + 3x y + 3xy + y 3 (x y) 3 = x 3 3x y + 3xy y 3 (x + y) n = x n + nx n y + ( n + + k Fkultet n(n ) x n y ) x n k y k + + nxy n + y n n! = n(n )(n ) 3 Annengrdslikning Likningen x + x + c = 0 hr løsning x = ± 4c Kller vi disse løsningene x og x kn vi utføre fktorisernigen: x + x + c = (x x )(x x ) Binomilkoeffisitenten L n N. Dersom k N, hr vi: ( ) n k! = k n!(k n!) Ulikheter og soluttverdi Hvis < og < c, så er < c. Hvis <, så er + c < + c. Hvis < og c > 0, så er c < c. Hvis < og c < 0, så er c > c. Hvis > 0, så etyr ) x = t x = eller x =. ) x < t < x <. 3) x > t x > eller x <.
Komplekse tll i = Et komplekst tll, x, vil h en reell del, R, og en kompleks del, R: Mengdelære Tllmengder x = + i Dersom x Y, etyr det t tllet x kn være et tll fr tllmengden Y. Noen vnlige tllmengder: Intervll Et intervll er en smmenhengende delmengde v den reelle tllinjen. Et intervll kn være enten åpent eller lukket, dvs. om endepunktene skl være med eller ikke: [, ]: lle tll fr og med, til og med. (, ): lle tll fr til, men ikke inkludert og. (, ]: lle tll fr, men ikke inkludert,, til og med. [, ): lle tll fr og med, til, men ikke inkludert,. N: Alle nturlige tll: {,,3, }. Z: Alle heltll, åde positive og negtive: {,-,-,0,,, }. Q: Alle rsjonle tll: tll som kn skrives som en røk v heltll, f.eks. /3 I: Alle irrsjonle tll: tll som ikke kn skrives som en røk v heltll, f.eks.. R: Alle rsjonle og irrsjonle tll, dvs. lle reelle tll. C: Alle komplekse/imginære tll. Listeform Ant t D er en tllmengde. Dersom D = {, }: estår D v tllene og. D = {,, c}: estår D v tllene, og c. D = {,, 3, }: er dette re en nnen måte å skrive D = N. Symolet er en mtemtisk måte å skrive osv. D = {x R x < }: estår D v lle reelle tll, x, gitt t x er mindre enn. Symolet leses gitt t. I lle eksempler over sier vi t D er skrevet på listeform. Omegn Et omegn om et punkt c R er et åpent intervll som inneholder c. Dersom vi hr et punktert omegn om c, vil dette være et omegn om c, men der tllet c ikke er inkludert. Delmengder og notsjon L C og D være to mengder. D gjelder følgende notsjon: x C: x er et element (f.eks. et tll) fr mengden C. x C: x er ikke et element fr mengden C. C D: C er en delmengde v D som er mindre eller lik D. C D: C er en delmengde v D som er mindre enn D. C D: Mengden som er en union v C og D, dvs. lle tll som hører til minst èn v de to mengdene. C D: Snittet v C og D, dvs. lle elementer som er åde i C og D. C \ D: Alle elementer fr C unnttt de som også tilhører D. : Den tomme mengde. Inneholde ingen elementer.
Logiske slutninger Ant to utsgn/utrykk P og Q. D etyr: P Q: Impliksjon: P impliserer Q, dvs. hvis P er snn, så er også Q snn. P Q: Impliksjon: Q impliserer P, dvs. hvis Q er snn, så er også P snn. P Q: Ekvivlens: P impliserer Q og omvendt, dvs. hvis P er snn, så er også Q snn og omvendt. Geometri Geometriske formler Formler for rel A, omkrets C og volum V : Avstnder og midtpunktsformler Avstnden mellom punktene (x, y ) og (x, y ) er gitt ved: d = (x x ) + (y y ) Midtpunktet mellom (x, y ) og (x, y ) er gitt ved: Linjer ( x + x, y ) + y Stigningstllet til linjen som går gjennom punktene (x, y ) og (x, y ) er gitt ved: Rektngel Treknt Sirkel Sirkelsektor Kule Sylinder Kjegle A = l C = (l + ) A = h A = πr C = πr A = r θ s = rθ (i rdiner) V = 4 3 πr3 A = 4πr V = πr h V = 3 πr h A = πr r + h = y y x x Linjen som går gjennom punktet (x 0, y 0 ) og hr stigningstll,, kn eskrives ved likningen: y y 0 = (x x 0 ) Linjen med stigningstll, og om krysser y-ksen i punktet, kn eskrives ved likningen: Sirkler y = x + En sirker med senter i (h, k) og rdius r kn eskrives ved likningen: Grensevedier Definisjon (x h) + (y k) = r Funksjonen f(x) går mot grenseverdien L når x går mot dersom det for hvert tll ɛ > 0 finnes et tll δ > 0 som er slik t f(x) L < ɛ for lle x < δ. Vi skriver d dette på følgende form: f(x) = L x
Ensidige grenser Dersom det for hvert ɛ > 0, finnes et intervll ) < x < δ slik t f(x) L < ɛ for lle x i dette intervllet, sier vi t f(x) går mot L når x nærmer seg fr høyre. Vi skriver: f(x) = L x + ) δ < x < slik t f(x) L < ɛ for lle x i dette intervllet, sier vi t f(x) går mot L når x nærmer seg fr venstre. Vi skriver: x f(x) = L Diverse om funksjoner Funksjon En funksjon f er en regel som for hvert element x i en delmengde D f tildeler nøyktig ett element, som vi kller f(x), i en delmengde V f. Vi kller D f og V f henholdsvis funksjonens definisjonsmengde og verdimengde. Kontinuerlig funksjon Funksjonen f(x) er kontinuerlig i c dersom f(x) = f(c) x c Injektive funksjoner Grenseverdi og enside grenser x f(x) = L hvis og re hvis åde x + f(x) = L og x f(x) = L. Regneregler for grenseverdier Ant t c er en konstnt og t grensene x f(x) og x g(x) eksisterer. D gjelder: ) x [f(x) ± g(x)] = x f(x) ± x g(x) ) x [cf(x)] = c x f(x) 3) x [f(x)g(x)] = x f(x) x g(x) f(x) 4) x g(x) = x f(x) x Noen grenseverdier ) x xn = dersom n > ) x xn = 0 dersom n < 3) x nx = dersom n > 4) x nx = 0 dersom n < g(x) hvis x g(x) 0 5) x n x = dersom n < 6) x n x = 0 dersom n > En funksjon er injektiv eller en-til-en dersom den ldri gir smme verdi to gnger, ltså Inverse funksjoner f(x ) f(x ) når x x L f være en injektiv funksjon med definisjonsmengde A og verdimengde B. D vil dens inverse funksjon f h definisjonsmengde B og verdimengde A, og er definert slik t: for lle y i B. f (y) = x f(x) = y Symmetri: f(x) og f (x) vil være symmetriske om linjen y = x. Vendepunkt Et vendepunkt er hvor en funksjon går fr å være konkv til å li konveks eller omvendt. Horisontl symptote Linjen y = A er en horisontl symptote for funksjonen f(x) dersom enten f(x) = A eller x f(x) = A x
Vertikl symptote Grfen til ln x og e x x er en vertikl symptote til funksjonen f(x) dersom enten f(x) = eller x x f(x) = x x Skrå symptote Den rette linjen y = x + er en skrå symptote til funksjonen f(x) dersom enten eller f(x) (x + ) = 0 x Trigonometri Definisjon f(x) (x + ) = 0 x Logritmer Definisjon sin x = c cos x = c tn x = log () = x x = csc x = c sec x = c cot x = Den nturlige og riggske logritme Utvidet definisjon ln(x) = log e (x) lg(x) = log(x) = log 0 (x) Regneregler (gjelder lle logritmer) ln() = ln() + ln() ln( n ) = n ln() ( ) ln = ln() ln() log () = ln() ln() Grenseverdier x ex = 0 x e x = ln x = x 0 + x ex = x e x = 0 ln x = x Rdiner Ant R og θ er smme vinkel målt i helholdsvis rdiner og grder. Vi hr d R π = θ 80
Grfen til trigonometriske funksjoner Trigonometriske funksjoner v viktige vinkler θ rdiner sin θ cos θ tn θ 0 0 0 0 30 π/6 / 3/ 3/3 45 π/4 / / 60 π/3 3/ / 3 90 π/ 0 - Inverse trigonometriske funksjoner For π x π gjelder: sin x = y rcsin y = sin y = x For 0 x π gjelder: cos x = y rccos y = cos y = x For π x π gjelder: tn x = y rctn y = tn y = x Fundmentle identiterer csc θ = sin θ tn θ = sin θ cos θ cot θ = tn θ sin( θ) = sin θ tn( θ) = tn θ sec θ = cos θ cot θ = cos θ sin θ sin θ + cos θ = cos( θ) = cos θ sin ( π θ) = cos θ sin(θ) = sin(π θ) cos(θ) = cos(π θ) cos ( π θ) = sin θ tn ( π θ) = cot θ Sinus- og cosinussetningen For en vilkårlig treknt hr vi Rekker og følger Tllfølger En liste v tll i en estemt rekkefølge: { n } =,, 3, 4, Konvergens og divergens v tllfølger Tllfølgen { n } konvergerer mot tllet L dersom det for hvert reellt tll ɛ > 0, finnes et korresponderende nturlig tll N slik t n L < ɛ for lle n N. Dersom dette ikke er tilfelle, sier vi t tllfølgen divergerer. Endelig rekke og sin A = sin B = sin C c k n = + + 3 + + k + k n= = + c c cos A = + c c cos B c = + cos C Uendelig rekke n = + + 3 + n=
Konvergens og divergens v rekker L S N = N n= n. Dersom følgen {S N } konvergerer og S N = S, sier vi t rekken N n= n konvergerer og hr sum S. Vi skriver d n= n = S. Dersom {S N } sier vi t rekken divergerer. Aritmetisk rekke ( + (n )d) = + ( + d) + ( + d) +... n= N te delsum: N ( + (n )d) = n= Geometrisk rekke N( + (N )d) = N( + N) r n = + r + r +... = n= r når < r <. Rekken divergerer for ndre verdier v r. N te delsum v rekken: N n= r n = + r + r +... + N = rn r Derivsjon Definisjon f (x) = df dx = f(x + h) f(x) h 0 h Produktregelen (f g) = f g + f g Kvotientregelen Kjerneregelen ( ) f = f g f g g g Ant u = u(x). D gjelder: d df f(u) = dx du du dx Asoluttverdien v en funksjon Ant en funksjon u = u(x). D gjelder: så lenge u 0. Regneregler d u dx = u u du dx d ( ) f(x) ± g(x) = f (x) ± g (x) dx f(x) dx = f(x) dx Noen funksjoner og dens derivert f(x) f (x) f(x) f (x) x n nx n sin x cos x ln(x) /x cos x sin x e x e x tn x / cos x rcsin x x Høyere ordens deriverte rctn x Ant funksjonen f(x). Dersom f (x) < 0, så er f(x) konkv. f (x) > 0, så er f(x) konveks. Andrederiverttesten + x Ant funksjonen f(x) og l x = c være et punkt slik t f (c) = 0. Dersom f (c) < 0, så er f(c) et loklt mksimum. f (c) > 0, så er f(c) et loklt minimum. f (c) = 0, så får vi ingen konklusjon fr ndrederiverttesten.
Integrsjon Antideriverte En funksjon F (x) er en ntiderivert for f(x) dersom df dx = f(x) Noen funksjoner og dens ntiderivert f(x) F (x) f(x) F (x) x n n + xn+ sin x cos x e x e x / cos x tn x /x ln x ln x cos x x ln x x sin x x rcsin x + x rctn x Anlysens fundmentlteorem Ant f er en kontinuerlig funksjon på intervllet [, ].. Dersom g(x) = x f(t) dt, så er g (x) = f(x).. Dersom F er en ntiderivert for f, dvs. F = f, så er Uegentlig integrl Regneregler f(x) dx = F () F (). f(x) dx = t F (t) F () f(x) dx = F () t F (t) Uestemt integrl Ant F (x) er en ntiderivert til f(x). D gjelder: f(x) dx = F (x) + C k f(x) dx = k f(x) dx (f(x) ± g(x))dx = f(x) dx ± Delvis integrsjon g(x) dx hvor C er en konstnt. Bestemt integrl Det estemte integrlet er definert som grenseverdien til en Riemnnsum på intervllet [, ]. n n f(x i ) x = i= Bestemt integrl og rel f(x) dx L A være relet mellom f(x) og x-ksen fr x = til x =.. Dersom f(x) 0 på intervllet, så gjelder f(x) dx = A. Dersom f(x) 0 på intervllet, så gjelder f(x) dx = A Sustitusjon u v dx = u v u (x)f(u(x)) dx = Differensillikninger u() u() Seprle differensillikninger u v dx f(u) du En differensillikning er seprel hvis den kn skrives på formen: dy dt = f(t)g(y) Likningen løses ved sepersjon og integrsjon: g(y) dy = f(t) dt
Fysikk SI-enhetene Størrelse Enhet Enhetsnvn Lengde m meter Msse kg kilogrm Tid s sekund Elektrisk strøm A mpere Tempertur K kelvin Stoffmengde mol mol Lysstyrke cd cndel Rettlinjet evegelse Smmenheng mellom kselersjon, hstighet v og posisjon s: Newtons. lov v = ds dt = dv dt Summen v kreftene på et legeme er lik legemets msse multiplisert med legemets kselersjon. Andre enheter Størrelse Enhet Enhetsnvn Krft N = kg m/s Newton Energi J = Nm Joule Areid J Joule Vrme J Joule Effekt W = J/s Wtt Ldning C = As Coulom Spenning V = J/C Volt Resistns Ω = V/A Omh Rdioktivitet Bq Bequerel Frekvens Hz Hertz F = m Loven kn også uttrykkes ved endring v evegelsesmengde, p = mv, hvor v er legemets hstighet: Krft og reid F = dp dt Dersom et legeme lir påvirket v en krft F (s) over en strekning s = til s =, lir det utført et reid W gitt ved: SI-prefikser Nvn Symol Verdi piko p 0 nno n 0 9 mikro µ 0 6 milli m 0 3 centi c 0 deci d 0 dec d 0 hekto h 0 kilo k 0 3 meg M 0 6 gig G 0 9 ter T 0 W = F (s)ds Stndrdform Et tll, x, er skrevet på stndrdform hvis det er skrevet som: x = 0 hvor [0, 0) og R.