R kapittel 1 Vektorer Løsninger til kapitteltesten i læreboka 1.A a Punktet P har koordinatene P = (,, 5). Det gir PQ = [1,, 3 5] = [1,, 8] b PQ = [1,, 8] = 1 + ( ) + ( 8) = 69 8, 3 c OR = OQ + QR = [1,, 3] + [3,, 1] = [1+ 3, +, 3 + ( 1)] = [4,, 4] Koordinatene til punktet R er R = (4,, 4). d OS = OP + PS = [,, 5] + ( ey 5 ez) = [,, 5] + [,, 5] = [,, ] Koordinatene til punktet S er S = (,, ). 1.B a Siden m er parallell med l, har m samme retningsvektor som l, nemlig [,, 1]. [ x, y, z] = [4,, 1] + t [,, 1] x = 4+ t y = + t z = 1 t b I et punkt på y-aksen er x= z =. Fra likningen for l gir det 6+ t = 3 t = Begge likningene gir t = 3. Dermed er y = + t = + 3=8 Skjæringspunktet mellom l og y-aksen er (, 8, ). c På x-aksen er y = z =. Det gir likningene + t = og 3 t =, som ikke har noen løsning. Linja skjærer derfor ikke x-aksen. På z-aksen er x= y =. Det gir likningene 6+ t = og + t =, som ikke har noen løsning. Linja skjærer derfor heller ikke z-aksen. P = ( 6,,3) er et punkt på l, og Q = (4,, 1) er et punkt på m. Begge linjene har retningsvektor v = [,, 1]. QP = [ 6 4,,3 ( 1)] = [ 1,,4] QP v = [ 1,,4] [,, 1] = [ ( 1) 4, 4 ( 1) ( 1), ( 1) ] = [ 8,, ] QP v [ 8,, ] ( 8) + ( ) + ( ) 468 468 D = = = = = 7,1 v [,, 1] + + ( 1) 9 3 Avstanden mellom linjene er 7,1. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 1 av 6
1.C a Punktet P ligger i planet, og vektorene PQ og PR er parallelle med planet. PQ = [1,, 3 1] = [1,, ] PR = [4,, 1 1] = [4,, ] For et vilkårlig punkt A = ( x, y, z) i planet gjelder vektorlikningen OA = OP + s PQ + t PR [ x, y, z] = [,,1] + s [1,,] + t [4,, ] Det gir parameterframstillingen x = s+ 4t y = s z = 1+ s t b PQ PR = [1,,] [4,, ] = [( ) ( ), 4 1 ( ),1 ( ) 4] = [4,1, 8] = [, 5, 4] Vi velger normalvektoren n = [, 5, 4]. Punktet P = (,,1) ligger i planet. ax ( x) + by ( y) + cz ( z) = ( x ) + 5 ( y ) + 4 ( z 1) = x+ 5y 1+ 4z 4= x+ 5y+ 4z 14= 1 1 1 18 c G = PQ PR = [4,1, 8] = 4 + 1 + 8 = = 45 6,7 d Vi setter koordinatene til S inn i likningen for planet: 6 + 5 5 + 4 1 14 = 1 + 5 + 4 14 = 7 Punktet ligger altså ikke i planet. e PS = [6, 5,1 1] = [6, 3, ] 1 1 1 54 V = ( PQ PR) PS = [4,1,8][6,3,] = 46 + 13 + 8 = 9 6 6 6 6 = 1.D a Normalvektorene er n Π = [1,, ] og n Σ = [3, 1, ]. [1,, ] [3, 1, ] cos θ n n = Π Σ = n Π nσ 1 + ( ) + 3 + ( 1) + 13 + ( )( 1) + 5 = = 9 1 3 1 θ = cos = 58, 3 1 Vinkelen mellom planene er 58,. b Skjæringslinja står vinkelrett på begge normalvektorene. n retningsvektor for skjæringslinja. nπ nσ = [1,, ] [3, 1, ] = [( ) ( 1), 3 1,1 ( 1) ( ) 3] = [, 6, 5] 1 5 Π n Σ er derfor en Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side av 6
Vi trenger et punkt som ligger på skjæringslinja. Med x = blir y = 4 fra likningen for Σ. Likningen for Π gir da ( 4) + z = 1 z = 4 z = Punktet (, 4, ) ligger altså på skjæringslinja. [ x, y, z ] = [, 4,] + t [,6,5] x = t y = 4+ 6t z = + 5t c Avstanden mellom planene er lik avstanden mellom punktet P = (, 3, 1) og planet Π. Planet Π har likningen x y+ z 1 = og normalvektoren = [1,, ]. n Π ax + by + cz + d ( 3) + ( 1) 1 6 6 D a + b + c 1 + ( ) + 9 3 Avstanden mellom planene er. 1 1 1 = = = = = 1.E a Vi finner skjæringspunktet med x-aksen ved å sette y = z =. Det gir 4x= 1 x=3 Tilsvarende finner vi at x= z = gir y = 1 y = 6, og x= y = gir 3z = 1 z = 4. Skjæringspunktene med koordinataksene er altså ( 3,,), (, 6, ) og (,, 4). b Π har normalvektoren n = [4,, 3], og l har retningsvektoren v = [, 3, 1]. Det gir n v = 4 + ()3 + 3(1) = 1 Siden n v, vet vi at linja skjærer planet. Vi finner skjæringspunktet ved å sette uttrykkene for linja inn i likningen for planet: 4( + ) t (3 t 1) + 3(1 t) = 1 8+ 8t 6t+ + 3 3t = 1 t = 1 t = 1 Vi setter t =1 inn i uttrykkene for linja: x= + 1= 4 y = 3 1 1= z = 1 1= Skjæringspunktet er (4,, ). Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 3 av 6
c Vi finner først vinkelen mellom n = [4,, 3] og v = [, 3, 1] : n v 1 1 cosθ = = = n v 4 + ( ) + 3 + 3 + ( 1) 46 θ = cos = 9,8 46 Siden θ > 9, er vinkelen mellom linja og planet α = θ 9 = 9,8 9 =,8 1 1 1.F a b ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) = r ( ) ( x ) + y ( 3) + ( z 1) = 6 ( x ) + ( y+ 3) + ( z 1) = 36 x y z x y z + + 1 + = ( x 1 x+ ( 5) ) + ( y y+ ( 1 ) ( z z ) ) + + + 1 = + 5+ 1+ 1 ( x 5) + ( y 1) + ( z+ 1) = 49=7 Sentrum i kuleflaten er S =(5,1, 1), og radien er r = 7. c Vi finner først avstanden fra sentrum av kula til planet: ax1+ by1+ cz1+ d 5 1+ (1) 5 18 18 D = = = = = 6 a + b + c + ( 1) + 9 3 Høyden i det største kulesegmentet er h= r+ D = 7+ 6= 13 Overflaten er dermed S = π rh= π 7 13 = 18π 571,8 1.G a AD = [ ( ), 1,4 ] = [,1,4] OE = OB + BE = OB + AD = [3,4,] + [,1,4] = [5,5,4] OF = OC + CF = OC + AD = [,, ] + [,1, 4] = [4, 1, 4] Koordinatene til punktene er E = (5, 5, 4) og F = (4, 1, 4). b AB = [3 ( ), 4 1, ] = [5, 3, ] AB AD [5, 3, ] [,1, 4] 5 + 3 1+ 4 13 cosα = = = = AB AD 5 + 3 + + 1 + 4 34 1 714 1 13 α = cos = 6,9 714 c AB AD er en normalvektor til sideflaten ABED, og AB AC er en normalvektor for grunnflaten. AB AD = [5, 3, ] [,1, 4] = [3 4 1, 5 4, 5 1 3 ] = [1,, 1] AC = [ ( ), 1, ] = [4, 3, ] AB AC = [5, 3, ] [4, 3, ] = [3 ( 3), 4 5,5 ( 3) 3 4] = [,, 7] Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 4 av 6
Fra høyrehåndsregelen peker AB AD inn i prismet, og AB AC peker ut av prismet. Vinkelen mellom sideflatene er derfor lik vinkelen mellom de to normalvektorene. [1,, 1] [,, 7] 7 1 cosα = = = 1 + ( ) + ( 1) 7 545 7 545 α = cos = 87,5 545 1 1 d Arealet av grunnflaten ABC er 1 1 7 G = AB AC = [,, 7] = Høyden h i pyramiden er avstanden fra punktet D til grunnflaten. Siden grunnflaten ligger i xy-planet ( z = for både A, B og C), er høyden lik z-koordinaten til punktet D. Altså er h = 4. Volumet av pyramiden er dermed 1 1 7 4 18 3 h= 3 V = G = Vi kan også finne volumet direkte, som 1 1 1 18 V = ( AB AC) AD = [,, 7] [,1, 4] = + 1+ ( 7) 4 = = 18 6 6 6 6 e Vi starter med å finne likningen for planet gjennom B, C og D. CB = [3,4 ( ), ] = [1,6,] CD = [, ( ),4 ] = [,4,4] CB CD = [1,6,] [,4,4] = [6 4 4, ( ) 1 4,1 4 6 ( )] = [4, 4,16] = 4 [6, 1, 4] Vi velger n = [6, 1, 4] som normalvektor for planet. Planet går gjennom punktet C = (,, ). Likningen for planet er dermed ax ( x) + by ( y) + cz ( z) = 6 ( x ) + ( 1) ( y ( ) ) + 4 ( z ) = 6x 1 y + 4z = 6x y+ 4z 14= Normalen gjennom punktet A er gitt ved vektorlikningen OP = OA + t n [ x, y, z ] = [,1,] + t [6, 1,4] Linja har derfor parameterframstillingen x = + 6t y = 1 t z = 4t Vi finner skjæringspunktet Q mellom linja og planet gjennom B, C og D: 6( + 6) t (1 t) + 44 t 14= 1 + 36t 1+ t+ 16t 14 = t 7 = 7 t = Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 5 av 6
Innsatt i parameterframstillingen gir det 7 56 7 6 7 18 x= + 6 = y = 1 = z = 4 = 56 6 18 Punktet Q er altså gitt ved Q = (,, ). Det gir AQ 56 6 18 16 7 18 ( ), 1, = =,, Siden punktene A og G ligger symmetrisk om planet gjennom B, C og D, kan vi til slutt finne koordinatene til G: OG = OA + AG = OA + AQ + QG = OA + AQ + AQ 16 7 18 18 1 16 = OA + AQ = [,1,] +,, =,, 18 1 16 Punktet G har koordinatene G = (,, ) (4,11,,19, 4,8). Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 6 av 6