ermodynamikk Side - ermodynamikk Den industrielle revolusjonen startet med at man klarte å omforme varme til arbeid I dette kaitlet skal vi først sette o termodynamikkens lov, som gir sammenhengen mellom varme, arbeid og indre energi Deretter skal vi se nærmere å noen termodynamiske rosesser og sette dem sammen til de sykliske rosessene som vi finner i alle varmekraftmaskiner, enten det er dammaskiner eller forbrenningsmotorer i skal også ta en titt å kjølemaskiner Under veis får vi kunnska om stoffenes "indre liv", og hva som utgjør stoffenes indre energi i skal sette o modeller for varmekaasitetene til stoffer, først og fremst for ideelle gasser, og se at våre modeller fører til resultater som stemmer imonerende bra med ekserimentelle resultater Under dette arbeidet blir det noen "løse tråder" Men vi skal nok klare å samle disse trådene til en helhet etter hvert il slutt skal vi se å termodynamikkens hovedsetning, som gir retningslinjer for hvilken vei rosesser kan gå Indre energi i ostulerer at stoffer må ha en indre energi knyttet til atomer og molekyler rbeid ved volumforandring i utleder en svært viktig formel ermodynamikkens lov Dette er "grunnloven" om energibevaring i termodynamiske rosesser 4 Noen vanlige termodynamiske rosesser 4 Isokor rosess 4 Isobar rosess 4 Isoterm rosess 44 diabatisk rosess Mer om ideelle gasser i ser nærmere å hvordan ideelle gasser er bygd o, og bruker våre antakelser til å sette o en viktig sammenheng mellom molekylenes kinetiske energi og temeratur Litt kinetisk gassteori i bruker rinsier fra mekanikken til å finne et uttrykk for trykket i en ideell gass Indre energi for en ideell gass Nå trekker vi inn tilstandslikningen for en ideell gass, og finner sammenhengen mellom kinetisk energi og temeratur 6 Isoterm rosess for en ideell gass i går litt i detalj for en viktig rosess 7 Molare varmekaasiteter for en ideell gass i setter o uttrykk for varmekaasiteter som er nyttige i raktisk bruk, og som også bekrefter at våre antakelser om gassers obygging og egenskaer er korrekte 7 Isokore og isobare rosesser er dannes grunnlaget 7 diabatkonstanten 7 Noen ekserimentelle resultater Stemmer teoriene våre? *74 Ekviartisjonsrinsiet i ser litt å andre stoffer enn ideelle gasser
ermodynamikk Side - 8 diabatisk rosess for en ideell gass Dette er vanlige rosesser, som krever nye likninger i tillegg til den vanlige tilstandslikningen 9 Sykliske rosesser Nå skal vi benytte våre kunnskaer å idealiserte rosesser for varmekraft- og kjølemaskiner iktig stoff! ermodynamikkens andre lov va er det so bestemmer hvilken vei en rosess kan gå? Reversible og irreversible rosesser Kan rosesser gå begge veier? ermodynamikkens lov Endelig er vi i stand til å sette o våre første formuleringer av denne viktige (men ulne) loven Reversible og irreversible sykliske rosesser i setter o teoretiske grenser for ytelsene til varmekraftmaskiner Otimal virkningsgrad arnot-syklusen En mileel i studiet av termodynamiske rosesser * Den termodynamiske temeraturskalaen Entroi En størrelse so bla kan brukes til å formulere termodynamikkens lov * illegg rykket i en ideell gass En forenklet framstilling av kinetisk gassteori ilstandslikningen for en ideell gass ved en adiabatisk rosess Otto-syklusen En forenklet framstilling av syklusen i en bensinmotor 4 Sammendrag Ogaver Småogaver i teksten landede ogaver Løsning å småogavene 4 Svar å blandede ogaver
ermodynamikk Side - Indre energi llerede før man begynte å forstå hvordan stoffer er bygd o av atomer og molekyler, fant man ut at stoffer måtte ha en indre energi i har allerede sett at gasser kan ofattes som små artikler som fyker omkring, og som derfor må ha en kinetisk energi Større gassmolekyler kan også ha energi knyttet til rotasjon og vibrasjon i har tidligere sett at når vi varmer o et legeme, og legemet ikke smelter eller fordamer, vil temeraturen i legemet øke Faste stoffer, sesielt i krystallform, kan ha energi knyttet til bindinger mellom atomer eller molekyler Smelting og fordaming medfører endring av molekylstrukturen Det er derfor naturlig å anta at alle stoffer har en indre energi som kun avhenger at den tilstanden som stoffet er i Med tilstand mener vi om stoffet er i fast form, væske- eller gassform, samt trykk og temeratur For en gass kan også volumet ha betydning i definerer ikke noe nullunkt for den indre energien Dette betyr at vi kun regner med endringer i indre energi i summerer o: Ethvert stoff har en indre energi U som kun avhenger av stoffets tilstand i regner kun med endringer U i indre energi når tilstanden endrer seg rbeid ved volumforandring En gass er innestengt i en sylinder med et stemel som kan gli uten friksjon olumet av gassen er, og trykket i og utenfor gassen er Så varmer vi o gassen, som utvider seg og skyver stemelet en kort strekning s Gassen må da gjøre et arbeid mot trykk-kreftene s Dersom tverrsnittsarealet av stemelet er, blir dette arbeidet W = F s = ( ) s = er har jeg benyttet at F = F = og at = s Dersom trykket ikke er konstant over hele strekningen, eller arealet varierer, kan vi dele o strekningen i små biter med lengde ds og anta at trykket og arealet holdes konstant innenfor en slik liten bit Det samlede arbeidet blir da summen av alle bidragene innenfor disse små bitene Dette finner vi ved integrasjon: W = F ds = ds = d i må integrere fra en start-tilstand der volumet er til en slutt-tilstand der volumet er Dette er et svært viktig resultat som vi rammer inn:
ermodynamikk Side - 4 Når en gass med trykk endrer volum fra til, så utfører gassen et arbeid å omgivelsene gitt ved W = d Eksemel : i har 7m av en ideell gass som varmes o fra 7 til 67 mens trykket er konstant å Pa vor stort arbeid utfører gassen å omgivelsene under denne ovarmingen? Løsning: i må først finne volumet etter ovarmingen: ( 7 + 67 ) K = = = 7 m = 8m ( ) 7 + 7 K Siden trykket er konstant, blir arbeidet 4 ( ) ( ) Pa 8 7 m J W = d = d = = = Selv om vi har formulert utledningen og setningen ved hjel av en gass, gjelder resonnementet og resultatet for alle systemer uansett fase, så lenge massen (antall molekyler) ikke endres For eksemel må det utføres et arbeid når vann fordamer, fordi damen otar mye større volum enn vannet D Figurene til venstre viser et system som går å to måter fra en tilstand der volumet er og trykket til en ny tilstand der volumet er og trykket Det arbeidet som systemet utfører å omgivelsene, er W = d, som er det skraverte arealet under grafene Men vi ser at dette arbeidet er forskjellig i de to rosessene til tross for at både start- og slutt-tilstanden er lik i begge Dette illustrerer at arbeidet avhenger ikke bare av start- og slutt-tilstandene, men avhenger også av hvordan tilstandene er underveis Eksemel : D En gass kan føres fra tilstand til tilstand å to måter, enten via eller via D Du vet at: = = m, = = 8 m 4 4 = = 8 Pa, = = Pa vor stort arbeid utfører gassen å omgivelsene a) når gassen føres fra til via b) når gassen føres fra til via D
ermodynamikk Side - Løsning: a) På strekningen er volumet konstant Da utføres det ikke noe arbeid Det totale arbeidet er derfor arbeidet å strekningen Siden trykket er konstant å denne strekingen, blir W = J + W = d = ( ) ( ) 4 Pa 8 m m J = = a) På strekningen D er volumet konstant Da utføres det ikke noe arbeid Det totale arbeidet er derfor arbeidet å strekningen D Siden trykket er konstant å denne strekingen, blir W = W + J = d = ( ) D D ( ) = = 4 8 Pa 8 m m 4 J i skal gå videre med dette eksemlet i Eksemel ermodynamikkens lov Et system kan utveksle energi med et annet system eller med omgivelsene å to måter: Systemet kan avgi eller få tilført varme Denne energioverføringen skyldes temeraturforskjellen mellom de to systemene Systemet kan utføre mekanisk arbeid, eller et mekanisk arbeid kan bli utført å systemet En rosess som innebærer en slik energiutveksling skal vi kalle en termodynamisk rosess I mange termodynamiske rosesser vil begge tyene energioverføring være til stede For å holde rede å energien definerer vi: Q (eller Q ) bruker vi som symbol for energi som overføres i form av varme W bruker vi som symbol for energi som overføres i form av arbeid i definerer disse fortegnsreglene: Q er ositiv dersom vårt system tilføres energi i form av varme W er ositiv dersom vårt system utfører arbeid å omgivelsene Merk at fortegnsregelen for W ikke benyttes av alle lærebøker Internasjonal standard sier faktisk at W skal være ositiv dersom vårt system tilføres energi fra omgivelsene i form av arbeid, altså motsatt av vår fortegnsregel Men ingeniører er mest interessert i det arbeidet som et system kan utføre år regel følger derfor gamle tradisjoner innen teknisk varmelære i har netto sett at et system kan utveksle energi med omgivelsene i form av arbeid, og at denne energien er gitt ved W = d
ermodynamikk Side - 6 Det generelle energirinsiet sier at energi verken kan skaes eller forsvinne, bare omformes til andre energiformer Det er derfor rimelig å anta at når et system mottar energi i form av en varmemengde Q, kan denne energien dels gå med til å øke systemets indre energi med en størrelse U og dels gå med til å la systemet utføre et arbeid W Da får vi: ermodynamikkens første lov: Dersom et system mottar en varmemengde Q, er Q= U + W der U er økingen i systemets indre energi og W er det arbeidet som systemet utfører å omgivelsene i har allerede antatt at den indre energien kun avhenger av stoffets tilstand Men vi har også sett at det arbeidet som systemer utfører ikke bare avhenger av start- og slutt-tilstandene Da kan heller ikke den tilførte varmen gjøre det dersom termodynamikkens lov skal gjelde i må altså slå fast at: Når et system går fra en termodynamisk tilstand til en annen, er endringen av indre energi bare avhengig av start- og slutt-tilstanden, uavhengig av hvordan systemet går fra start- til slutt-tilstanden i sier at indre energi er en tilstandsvariabel ilført varme Q og utført arbeid W er ikke tilstandsvariabler Eksemel : D i skal gå videre med eksemel, der en gass ble ført fra tilstand til tilstand å to måter, via eller via D Dersom rosessen går via, tilføres systemet en varme Q = 8 J vor mye varme må systemet tilføres dersom det går via tilstand D når du benytter at: W = J, W D = 4 J Løsning: i vet at endringen i indre energi er uavhengig av hvilken rosess som brukes Da er U = Q W = Q W D D QD = Q W + WD = 8 J J + 4 J = J Eksemel : is at kg vann ( O) tilsvarer mol vann, og bruk dette til å finne hvor mye den indre energien i kg vann øker når vannet fordamer ved og atmosfæretrykk nta at vanndamen følger tilstandslikningen for en ideell gass 6 Sesifikk fordamingsvarme for vann er 6 J/kg tom-massen for er u, og for O er atommassen 6u
ermodynamikk Side - 7 Løsning: ann har kjemisk formel O Den molare massen til vann blir da M = + 6 = 8, slik at antall mol i ett kg vann er kg n = = 8 kg ed fordaming tilføres vannet en energi 6 6 Q= l m= 6 J/kg kg = 6 J olumet av kg vanndam er: nr 8J/K 7K = nr = = = 7m Pa olumet av det samme vannet i flytende form er m Under fordamingen utføres derfor et arbeid W = = Pa 7 m = 7 J ( ) Økingen i indre energi blir da 6 6 U = Q W = 6 J 7 J = 9 J Ogave: 4 Noen vanlige termodynamiske rosesser Noen termodynamiske rosesser er så vanlige at de har fått egne navn i skal nå se å noen slike, og skal samtidig se å noen viktige egenskaer ved disse rosessene 4 Isokor rosess En isokor rosess er en rosess der volumet er konstant v definisjonen å arbeid og termodynamikkens første lov følger da direkte: ed en isokor rosess er volumet konstant, slik at arbeidet W = Da er U = Q 4 Isobar rosess En isobar rosess er en rosess der trykket er konstant v definisjonen å arbeid følger da direkte:
ermodynamikk Side - 8 ed en isobar rosess er trykket konstant, slik at arbeidet W = d = ( ) = 4 Isoterm rosess En isoterm rosess er en rosess der temeraturen er konstant Generelt vil både W, eksemel vann ved Q og U være forskjellig fra null under en slik rosess Dersom for under konstant trykk, har vi en isoterm rosess der det tilføres varme samtidig som det utføres arbeid slik vi så i Eksemel fordames til gass (dam) ved 44 diabatisk rosess En adiabatisk rosess er en rosess der det ikke er varmeutveksling Da har vi at: ed en adiabatisk rosess er Q= U = W Prosesser som er tilnærmet adiabatiske er faktisk svært vanlige Prosesser som foregår så raskt at det ikke er tid til å overføre varme er jo tilnærmet adiabatiske er er et ar eksemler: Når stemelet resser sammen gassen i en sylinder i en bensin- eller dieselmotor tilføres gassen arbeid så raskt at det ikke er tid til varmeta ut av sylinderen Da er W negativ, slik at U blir ositiv og temeraturen i gassen øker mye Et kjøle- eller fryseanlegg fungerer ved at gass tillates å eksandere svært raskt Da utfører gassen et arbeid å omgivelsene W er ositiv, og U blir negativ slik at temeraturen i gassen synker
Mer om ideelle gasser Fysikk for ingeniører ermodynamikk Side - 9 Litt kinetisk gassteori i har allerede nevnt at en ideell gass kan ofattes som en samling artikler som beveger seg i en beholder Når en slik artikkel treffer veggen i beholderen, virker det støtkrefter mellom veggen og beholderen ortsett fra disse støtkreftene skal vi se bort fra alle andre krefter som virker å artiklene rykket i gassen (mer resist: trykket fra gassen å veggene i beholderen) kan da ofattes som en samlet virkning av alle støtkreftene fra artikler som støter mot veggene Med dette som utgangsunkt kan vi benytte lover og rinsier fra mekanikken for å beregne disse støtkreftene, og dermed også finne uttrykk for trykket En fullgod utledning blir temmelig kronglet, men i tillegget finner du en forenklet utledning, som ender o med at: i har N molekyler i en beholder med volum Dersom alle molekylene har samme masse m og samme fart v, er trykket i beholderen N = ( mv ) = N ( mv ) er innser vi at N er antall molekyler r volumenhet, eller molekyltettheten Uttrykket i arentesen kjenner vi igjen som den kinetiske energien W k til hver artikkel Den samlede kinetiske energien til alle de N artiklene blir da Ek = N Wk = N ( mv ) I raksis vil ikke alle artiklene ha samme fart Men vi kan vise at uttrykket for kinetisk energi likevel blir riktig dersom vi ofatter v som gjennomsnittet av kvadratet av farten til alle artiklene Da kan vi summere o resultatene slik: i har N artikler i en beholder med volum Den gjennomsnittlige kinetiske energien til en artikkel er W = mv slik at den totale kinetiske energien til alle artiklene i gassen er k Ek = N Wk Da er trykket i gassen gitt ved = E = NW k k Indre energi for en ideell gass De resultatene som vi kom fram til ovenfor, forutsetter at gassen består av svært små molekyler som alle har samme masse m i har også sett bort fra alle andre krefter enn støtkreftene mellom gassmolekylene og veggen i beholderen idere har vi sagt at den kinetiske energien kun skyldes translasjon i har sett bort fra rotasjon og vibrasjon Det er rimelig å tro at enatomige gasser under svært lavt trykk tilfredsstiller disse kravene Slike gasser har vi tidligere betraktet som ideelle gasser, og vi har vist at de følger
ermodynamikk Side - tilstandslikningen for en ideell gass: = N k ed å sammenlikne dette med resultatet fra den kinetiske gassteorien: = Ek = NW k ser vi at N W = N k W = k k k i har altså klart å finne en sammenheng mellom temeraturen og den gjennomsnittlige kinetiske energien W for ett molekyl i gassen Nå skal vi sette o en dristig hyotese: k For en ideell, enatomig gass er det kun molekylenes kinetiske energi som utgjør gassens indre energi Dersom den hyotesen holder, kan vi skrive U = N W = N k = Nk = nr k ( ) i er mest interessert i endringer i indre energi Dersom vi har en avgrenset gassmengde slik at antall molekyler N (og antall mol n) er konstant, er det bare temeraturen som kan variere Da får vi: For en ideell, enatomig gass er endringen i indre energi gitt ved U = Nk = nr i har tidligere sagt at den indre energien kun avhenger av tilstanden Dersom våre antakelser er riktige, kan vi nå være enda mer resis for ideelle gasser: Den indre energien i en ideell gass avhenger kun av temeraturen i har egentlig bare sett å enatomige gasser, og har antatt at den kinetiske energien kun skyldes translasjon Men gassmolekyler som er bygd o av to eller flere atomer, kan i tillegg ha kinetisk energi fordi molekylene roterer eller å grunn av vibrasjoner i skal imidlertid anta at også slike energiformer kun avhenger av temeraturen Dessuten skal vi anta at når vi summerer o alle slike energiformer, får vi gassens indre energi Disse resultatene er egentlig ganske imonerende ed å benytte vår modell for en ideell gass, og anvende formler og rinsier fra mekanikken, har vi klart å finne en enkel sammenheng mellom gassens temeratur og den kinetiske energien til artiklene i gassen i har benyttet denne sammenhengen (samt hyoteser om den indre energien) til å finne et uttrykk for endring av den indre energien Men en viktig test gjenstår: Kan vi verifisere disse resultatene ekserimentelt? i skal se nærmere å dette sørsmålet i ka 7 Ogave:
ermodynamikk Side - 6 Isoterm rosess for en ideell gass En isoterm rosess for en ideell gass kan illustreres i et diagram som vist til venstre ed å benytte at nr = nr = får vi at arbeidet som utføres er Konstant nr d W = d = d = nr [ ] = nr ln = nr ( ln ) ln = nr ln Dessuten vet vi at for en ideell gass er den indre energien kun avhengig av temeraturen Når temeraturen ikke endres, er den indre energien konstant i summerer o: Når en ideell gass utvides isotermt fra et volum til gjelder: U = Q W nr ln = = Dette uttrykket kan omformes å mange måter i kan for eksemel erstatte nr med eller med i kan også benytte at nr = =, nr og benytte den varianten som gir enklest regninger Eksemel : D I figurene til venstre er tilstand gitt ved = Pa og = m, mens tilstand er gitt ved = Pa og = m nta at vi har en ideell gass, og beregn hvor stort arbeid gassen utfører å omgivelsene når: a) Gassen føres først fra til under konstant temeratur, og deretter fra til under konstant trykk b) Gassen føres først fra til D under konstant trykk, og deretter fra D til under konstant temeratur
ermodynamikk Side - Løsning: a) Finner først volumet i tilstand, og benytter at = = Pa mens temeraturen er konstant fra til : Pa = = = m = m Pa På strekningen fra til er ikke trykket konstant Men temeraturen er konstant Da kan vi finne trykket som funksjon av volumet ved å benytte tilstandslikningen for en ideell gass: 4 Pa m J = = = = N er har jeg benyttet at Pa m = m = N m = J m Nå kan vi finne arbeidet fra til : 4 J 4 4 W [ ] = d = d = J d = J ln 4 4 4 m = J ( ln ) ln = J ln J ln = m 4 6 J Det totale arbeidet blir da ( ) 4 6 J W = W + d = + 4 4 = 6 J + Pa ( ) m = J b) Finner først volumet i tilstand D, og benytter at D = = Pa mens temeraturen er konstant fra D til : D D Pa = D = = m = m D Pa På samme måte som før finner vi trykket fra D til som funksjon av volumet : 4 Pa m J = = = = Nå kan vi finne arbeidet fra D til : 4 J 4 4 m D J ln J ln D D D m W = d = d = = 4 J Det totale arbeidet blir da D ( ) W = d + W = + D D 4 J 4 4 = Pa ( ) m + J = 7 J Ogaver: 6, 6
ermodynamikk Side - 7 Molare varmekaasiteter for ideelle gasser 7 Isokore og isobare rosesser For faste stoffer og væsker var den sesifikke varmekaasiteten en nyttig størrelse For gasser, og sesielt for ideelle gasser, er den molare varmekaasiteten nyttigere i definerer den slik: Dersom en varmemengde Q tilføres n mol av et stoff, og temeraturøkningen er, så er stoffets molare varmekaasitet Q U + W c = = n n i husker at for en isokor rosess er volumet konstant slik figuren til vestre viser Da utføres det heller ikke noe arbeid slik at W = i bruker symbolet c for den molare varmekaasiteten ved konstant volum, og Q for tilført varme, og får Q U c = = n n i har allerede ostulert at den indre energien for en ideell gass kun avhenger av temeraturen Endringer av den indre energien avhenger da kun av start- og slutttemeraturen, uavhengig av om rosessen er isokor eller ikke Dermed har vi at: Endringen U i den indre energien i en ideell gass er alltid gitt ved U = Q = c n uavhengig av hvordan rosessen foregår i har tidligere kommet fram til at for en ideell, enatomig gass er endringen i indre energi U = Nk = nr i setter disse to uttrykkene for U lik hverandre, og får U = c n = nr c = R Figuren til venstre viser -diagrammet for en ideell gass som utvides mens trykket holdes konstant (isobar rosess) Da blir arbeidet ( ) W = d = d = = = nr nr = nr
ermodynamikk Side - 4 Når den isobare rosessen fører til at temeraturen endres med, er endringen i indre energi fremdeles gitt ved U = c n Da blir den molare varmekaasiteten når en ideell gass endrer volum mens trykket er konstant U + W c n + nr c = = = c + R, n n der c står for molar varmekaasitet når trykket er konstant For en ideell enatomig gass vet vi at c = R Da blir c = R+ R = R En rask osummering: For enhver ideell gass er c = c + R For ideelle, enatomige gasser er c = R, c = R Ogaver: 7, 7 7 diabatkonstanten i skal nå definere en størrelse som kalles adiabatkonstanten: c diabatkonstanten γ = c For en ideell, enatomig gass er c = R og c = R Da blir c R γ = c = R = i vet at for enhver ideell gass (som ikke trenger å være enatomig) er c = c + R Da blir c c + R R R R γ = = = + = γ c = c c c c γ idere blir γ R c = γ c = γ
ermodynamikk Side - For reelle gasser finner vi ekserimentelle verdier for γ i tabeller i ser at når vi kjenner γ, og antar at gassen kan ofattes som ideell, kan vi finne både c og c Da kan vi også beregne U og Q ved en isokor og en isobar rosess som vist nedenfor For den isokore rosessen (konstant volum = ) fra til er R U = Q = c n = n ( ) γ = = γ γ ( nr nr ) ( ) = ( ) γ For den isobare rosessen (konstant trykk = ) fra til er endringen i indre energi lik endringen i indre energi når vi går fra til fordi og har samme temeratur Da får vi: R U = c n = n ( ) = ( nr nr) γ γ = ( ) = ( ) γ γ idere er γ Q = c n = γc n = γ U = ( ) γ Eksemel 7: i skal nå anta at luft kan betraktes som en ideell gass med adiabatkonstant γ = 4 i har m luft innestengt i en beholder der temeraturen er 7 og trykket er Pa vor mye varme må tilføres for å varme o denne gassen til 9 a) når volumet holdes konstant? b) når trykket holdes konstant? Løsning: ruker indeks for å markere start-tilstanden a) Finner først det nye trykket : ( ) 7 + 9 K = = = Pa = 6 Pa ( ) 7 + 7 K ilført varme blir da Q ( ) ( ) = = 6 Pa m = J γ 4 b) Finner først det nye volumet : ( 7 + 9 ) K = = = m = 6m ( ) 7 + 7 K ilført varme blir da
ermodynamikk Side - 6 4 Q = γ ( ) ( ) 6 m Pa 4 J γ = 4 = Eller enklere, der jeg benytter at jeg allerede har funnet Q : Q = c n = γc n = γ Q = 4 J = 4 J ( ) 7 Noen ekserimentelle resultater Nå er tiden inne til å sammenlikne våre beregninger med ekserimentelle data Da husker vi at vi har funnet: For enhver ideell gass er c 8J/ ( mol K ) = c + R c c = R = For en enatomig ideell gass er c = R= 8J/ mol K = 47 J/ mol K, ( ) ( ) ( ) ( ) = = 8J/ mol K = 78J/ mol K, γ = c R 67 c = R = c R er er noen ekserimentelle resultater: Gasstye Gass c J J J c ( mol K ) c ( mol K ) c c ( mol K ) γ = c Enatomig e 47 78 8 67 r 47 78 8 67 oatomig 4 874 8 4 N 76 97 8 4 O 8 97 8 4 O 8 96 8 4 Fleratomig O 846 694 848 SO 9 47 898 9 S 9 46 86 v denne tabellen ser vi at: For de to enatomige gassene i tabellen, helium og argon, stemmer de teoretiske resultatene nærmest åfallende bra med målingene For toatomige gasser ser det ut til at c R ( ) = 78 J/ mol K, ikke R som 7 teorien tilsier Dessuten er γ 4 =, ikke som vi hadde ventet Disse resultatene skal vi snart forklare
Sammenhengen c = c + R c c = R Fysikk for ingeniører ermodynamikk Side - 7 ser ut til å stemme imonerende bra Dette bekrefter at adiabatkonstanten c R γ = = + c c er en viktig størrelse Det er i grunnen betryggende at sammenhengen c = c + R er blitt bekreftet ekserimentelt Denne sammenhengen bygger jo å termodynamikkens lov Q= U + W kombinert med at U = Q = c n, og at W = = nr når trykket er konstant i har fått en meget sterk indikasjon å at alle disse sammenhengene stemmer også for reelle gasser som tilnærmet kan ofattes som ideelle *74 Ekviartisjonsrinsiet i skal nå forklare hvorfor ekserimentene tyder å at c = R 78 J/ ( mol K) for toatomige gasser Det viser seg nemlig at verdien av c for en toatomig gass avhenger av temeraturen Målinger av c for som funksjon av temeraturen gir grafen nedenfor 7 R R R c ( ) K Dette forløet forklarer vi slik: o- eller fleratomige molekyler kan ha rotasjonsenergi og vibrasjonsenergi i tillegg til den rene translasjonsenergien som ble benyttet i den kinetiske gassteorien for en ideell gass ed lave temeraturer består den kinetiske energien kun av translasjonsenergi slik teorien for ideelle gasser forutsetter ed temeraturer over ca K kan molekylene også få rotasjonsenergi Og ved svært høye temeraturer kan molekylene få vibrasjonsenergi i tillegg For å forklare de eksakte verdiene av c må vi benytte resultater som delvis bygger å kvantefysikk i tillegger da den translatoriske energien frihetsgrader, fordi molekylet kan bevege seg i et -dimensjonalt rom Rotasjonsenergien til et -atomig molekyl tillegges bare frihetsgrader, fordi det kun er rotasjon om de to aksene vinkelrett å molekylets egen akse som gir bidrag til rotasjonsenergien Rotasjon om molekylets egen akse gir neglisjerbar rotasjonsenergi ibrasjonsenergien tillegges også bare frihetsgrader Så kommer vi til oenget: Ekviartisjonsrinsiet:
ermodynamikk Side - 8 For et system med temeratur vil hver frihetsgrad bidra med k til systemets indre energi Dermed får vi at molekyler som både har translasjons- og rotasjonsenergi vil få en indre energi Ek = k, som gir N Ek N k nr c = = = = R n n n På tilsvarende måte får vi at 7 c = c + R = R+ R = R når vi også må ta hensyn til vibrasjonsenergi Da blir 7 γ = c R 7 4 c = R = = slik ekserimentene viser i kan benytte tilsvarende resonnement for et fast stoff med gitterstruktur Da tenker vi oss at hvert molekyl er bundet til nabomolekylene med elastiske krefter Et enatomig molekyl har tre frihetsgrader siden det kan bevege seg i tre dimensjoner, luss tre frihetsgrader å grunn av otensiell energi i bindingene til nabomolekylene Enatomige molekyler får derfor 6 frihetsgrader slik at den gjennomsnittlige energien r molekyl blir E = 6 k = k Da forventer vi at den molare varmekaasiteten til et enatomig fast stoff med krystallstruktur er Q N E N k nr c= = = = = R= 84 J/K = 49 J/K n n n n Dette resultatet kalles Dulong og Petits regel Den kan underbygges av noen ekserimentelle verdier i tabellen nedenfor Merk at stoffene merket med stjerne ikke er enatomige Fast stoff c ( J/K) luminium 46 Koer 48 Kvikksølv 77 Jern 6 ly 69 Sølv Is 78 Marmor 879
ermodynamikk Side - 9 8 diabatisk rosess for en ideell gass i husker at for en adiabatisk rosess er det ingen varmeutveksling med omgivelsene, slik at Q= U = W Figuren til venstre viser en adiabatisk rosess for en ideell gass Når gassen utvides fra til, gjør den et ositivt arbeid W Da må den indre energien i gassen avta med U = W Dermed går temeraturen i gassen ned slik at vi går til en isoterm med lavere temeratur som vist i figuren Dersom gassen resses sammen adiabatisk fra til, må den indre energien øke slik at temeraturen øker Grafen til en adiabatisk rosess kalles en adiabat For en ideell gass vil adiabaten alltid være brattere enn de isotermene den krysser I et tillegg har vi utledet en sammenheng mellom temeratur og volum under en adiabatisk rosess for en ideell gass: = γ γ er er γ gassens adiabatkonstant Denne sammenhengen kan kombineres med tilstandslikningen etter behov i kan for eksemel innføre trykket istedenfor temeraturen Det gjøres slik: = nr = nr Da blir γ γ γ γ γ γ = = = nr nr Eller vi kan lage en likning som inneholder temeratur og trykk Da kvitter vi oss med : = nr nr = Da blir γ γ γ γ nr nr = = γ γ γ nr γ nr = Denne siste likningen blir litt enere dersom vi ohøyer begge sider i Da får vi: γ γ γ γ γ nr γ nr = = γ γ γ
ermodynamikk Side - For en adiabatisk rosess er Q = Da er arbeidet W = U = nc Dette kan omformes å flere måter, for eksemel ved å benytte at n = R samt at R c = γ Da blir R W = nc = n c = c n n = = P γ R R γ i summerer o: ( ) ( ) ( ) Sammenhenger for ideell gass i en adiabatisk rosess: γ γ = γ γ = γ γ γ γ = W = U = n c = γ ( ) ( ) Eksemel 8: I et stemel i en dieselmotor komrimeres lufta til av sitt orinnelige volum Denne komresjonen ofattes som en adiabatisk rosess Luft kan ofattes som en ideell gass med γ = 4 a) vis det orinnelige trykket er Pa og den orinnelige temeraturen er 7, hva blir trykket og temeraturen etter komresjonen? b) vor mye arbeid utfører gassen hvis = m? Løsning: a) i vet at = Da får vi: γ γ γ γ γ = = ( ) = ( ) γ γ 4 ( ) ( ) = = = 7 + 7 K = 886K = 6 γ γ i kan beregne ved å benytte likningen = Det er imidlertid enklere å benytte tilstandslikningen: 886K = = = Pa = 447 Pa K b) Utført arbeid blir
W = γ ( ) Fysikk for ingeniører ermodynamikk Side - 6 ( ( ) ) = Pa m 448 Pa m = 494J 4 Gassen mottar altså en energi i form av arbeid å 494 J Ogave: 8 9 Sykliske rosesser i starter med en naturlig definisjon: En rosess som begynner og slutter i samme tilstand, kaller vi en kretsrosess eller en syklisk rosess i vet at den indre energien for et system kun avhenger av tilstanden Når et system gjennomløer en kretsrosess, er derfor den indre energien den samme ved slutten av rosessen som ved starten Da har vi: For enhver kretsrosess er U = Q W = Q= W Denne likningen kan ofattes må to måter: Dersom både Q og W er ositive, betyr det at systemet mottar varme fra omgivelsene, og utfører et arbeid å omgivelsene Et system som gjennomløer en slik syklisk rosess kaller vi en varmekraftmaskin Dersom både Q og W er negative, betyr det at systemet mottar energi i form av arbeid fra omgivelsene, og avgir varme til omgivelsene Et system som gjennomløer en slik syklisk rosess kaller vi en kjølemaskin Du ser -diagram for en varmekraftmaskin og en kjølemaskin nedenfor armekraftmaskinen til venstre gjennomløer syklusen D (med urviseren) Under denne syklusen utfører den et arbeid som er gitt ved arealet under grafen, og mottar et arbeid som D er gitt ved arealet under grafen D Netto arbeid er da ositivt, og er gitt ved arealet mellom grafene (vertikal skravering)
ermodynamikk Side - D Kjølemaskinen til venstre gjennomløer syklusen D (mot urviseren) Under denne syklusen utfører den et arbeid som er gitt ved arealet under grafen D, og mottar et arbeid som er gitt ved arealet under grafen Netto arbeid er da negativt, og størrelsen av dette arbeidet er gitt ved arealet mellom grafene (horisontal skravering) Det er nå vanlig å si at den varmen som systemet mottar kommer fra et varmt reservoar i bruker symbolet Q for denne varmen Den varmen som systemet avgir går til et kaldt reservoar i bruker symbolet Q for denne varmen irkemåten til varmekraftmaskiner og kjølemaskiner kan framstilles skjematisk slik: armt reservoar armt reservoar Q Q W armekraftmaskin Kjølemaskin W Q Q Kaldt reservoar Kaldt reservoar Dersom vi lar både Q og Q være ositive størrelser, og benytter fortegn for å angi retningen for varmestrømmen, får vi at Q = W Q Q = W For en varmekraftmaskin betyr dette at arbeidet som systemet utfører er differansen mellom den varme-energien som systemet tilføres fra det varme reservoaret og den varme-energien som avgis til det kalde reservoaret Fra et maskinteknisk synsunkt er det vanskelig å bruke denne avgitte varmen til noe nyttig Det er derfor naturlig å definere virkningsgraden for en varmekraftmaskin som forholdet mellom netto arbeid og tilført varme: For en varmekraftmaskin er virkningsgraden W Q Q Q ν = = = Q Q Q Eksemel 9: En ideell, enatomig gass med molar varmekaasitet c = R og adiabatkonstant γ = gjennomgår følgende syklus: Fra en start-tilstand a med temeratur, volum og trykk varmes gassen o under konstant volum til en tilstand b der trykket er dobbelt så stort som i a
ermodynamikk Side - Deretter utvides gassen adiabatisk til en tilstand c der temeraturen igjen er blitt il slutt bringes gassen isotermt tilbake til start-tilstanden a a) egn inn syklusen i et --diagram, og finn temeraturene i tilstandene b og c uttrykt ved, volumene i tilstandene b og c uttrykt ved, og trykkene i tilstandene b og c uttrykt ved b) Regn ut det arbeidet som utføres og den varmen som tilføres under hver av rosessene a b, b c og c a Svarene skal uttrykkes ved roduktet c) Forklar at dette kan være syklusen til en varmekraftmaskin, og finn virkningsgraden til denne varmekraftmaskinen Løsning: b c b a c c a) et at = =, b a og at = = Siden b c er en adiabat, blir b a v tilstandslikningen blir da b b = b = = = et videre at = = γ γ γ b γ γ c c b b c b γ = = = = c γ γ γ ( ) = = = = = c ilstandslikningen gir til slutt a a c c c a = c = a = = 4 a c a c b) a b: Siden volumet er konstant, er arbeidet W = Da blir ( ) ( ) ( ) ab ab b a b a ab b c b b Q = U = c n = c n n = R n n = R n = a b c: Under en adiabatisk tilstandsforandring er Q = rbeidet er W = ( ) = ( ) = ( ) = bc γ b b c c bc 4 c a: Under en isoterm tilstandsforandring er = Da blir U ca
Fysikk for ingeniører ermodynamikk Side - 4 a Qca = Wca = nrln = ln ln ln c = = = ln ( ) c) i ser av -diagrammet at det arbeidet som gassen utfører i rosess b c er større enn det arbeidet som mottas i rosess c a Netto arbeid er altså ositivt, slik at vi kan ha en varmekraftmaskin Gassen mottar en varmemengde Q =, og utfører et netto arbeid bc ca ab ( ln ) ( ln ) W = W + W = + = irkningsgraden blir W ( ) ln ν = = = ln Q En kjølemaskin kan i rinsiet ofattes som en varmekraftmaskin som kjøres baklengs Den tilføres energi i form av arbeid, og tilføres også varme-energi fra et kaldt reservoar Summen av disse energibidragene avgis til et varmt reservoar Siden hensikten med en kjølemaskin er å fjerne varme-energi, er det naturlig å definere virkningsgraden for en kjølemaskin som forholdet mellom varme som fjernes fra det kalde reservoaret og det tilførte arbeidet: For en kjølemaskin er virkningsgraden Q ν = W Kjølemaskiner benytter som regel faseoverganger mellom væske og dam, og syklusene er derfor noe mer komlisert i skal ikke komme inn å slike her Det er utviklet en lang rekke rosesser både for varmekraftmaskiner og for kjølemaskiner I neste kaitel skal vi se å arnot-syklusen, som er en slags "ideal-syklus" I et tillegg kan du se å en forenklet versjon av Otto-syklusen, som er den syklusen som en bensinmotor gjennomløer ermodynamikkens andre lov Reversible og irreversible rosesser La oss innlede med noen dagligdagse observasjoner: Dersom du heller varmt vann i en kald beholder, vil etter hvert vannet kjøles ned mens beholderen varmes o inntil vann og beholder får samme temeratur Men det er ikke mulig å gå motsatt vei Du kan ikke starte med at vann og beholder har samme temeratur, hvoretter vannet av seg selv tar varme fra beholderen slik at vannet får høyere temeratur mens beholderen avkjøles En slik motsatt rosess vil ikke være i strid med termodynamikkens første lov eller med noen andre lover vi har sett å hittil
ermodynamikk Side - Dersom du bremser o en bil, vil bilens kinetiske energi gå over til varme i bremsetromler, bildekk og veidekke Men du kan ikke tilføre varme til bremsetromler og bildekk, og få overført denne energien til kinetisk energi slik at bilen begynner å bevege seg eller ikke i dette eksemlet vil en slik motsatt rosess være i strid med noen av de lovene vi har sett å hittil i har altså behov for en ny lov som sier noe om i hvilken retning slike termodynamiske rosesser kan gå Men før vi formulerer en slik lov, trenger vi et ar viktige definisjoner En reversibel rosess mellom en tilstand og en annen tilstand er en rosess som kan gå begge veier Prosesser som ikke er reversible, kalles irreversible De to rosessene vi innledet med, er åenbart irreversible vis vi undersøker andre rosesser, vil vi etter hvert måtte innse at: lle naturlige rosesser er irreversible Reversible rosesser må altså ofattes som en slags idealiserte rosesser som ikke forekommer naturlig Likevel studerer vi reversible rosesser Dette skyldes ikke bare en intellektuell nysgjerrighet for å finne ut hvilke rosesser som ikke lar seg gjennomføre i raksis selv om de ikke reresenterer noe brudd med de naturlovene vi har sett å hittil Det viser seg nemlig at studiet av reversible og irreversible rosesser er viktig for å fastlegge egenskaer ved varmekraftmaskiner og kjølemaskiner Før vi går i gang for alvor, kan vi røve å lage oss et ar nesten reversible rosesser: i har is med temeratur å Denne isen bringer vi i kontakt med et varmereservoar som har en temeratur litt over Da kan vi langsomt tilføre varme fra dette varmereservoaret til isen, og isen vil langsomt smelte slik at vi får vann ved ele tiden må vi ha likevekt mellom is og vann slik at begge fasene har samme temeratur Denne rosessen kan vi tenke oss reversert i starter med vann å som vi bringer i kontakt med et varmereservoar som har temeratur litt under Da vil varme langsomt avgis fra vannet til varmereservoaret slik at mer og mer av vannet langsomt fryser til is ed å ta tiden til hjel, kan dette tenkes onådd selv om det er så ekstremt små temeraturforskjeller mellom vårt system (vann/is) og varmereservoaret at rosessene må kunne ofattes som reversible Det er viktig å merke seg at i slike tenkte reversible rosesser må det være termisk likevekt mellom alle delene av systemet, og det må også være termisk likevekt med omgivelsene
ermodynamikk Side - 6 Et eksemel til: I mekanikken har vi sett at kinetisk energi kan omformes til otensiell energi eller omvendt I rinsiet er dette reversible rosesser Men i raksis vil det alltid forekomme friksjon, som fører til at rosessene ikke er helt reversible Friksjonsarbeidet innebærer at mekanisk energi omformes til varme, som deretter avgis til omgivelsene Dersom vi kan innrette oss slik at det ikke avgis noe friksjonsvarme, kan et slikt system utføre reversible rosesser Fra et termodynamisk synsunkt innebærer dette at rosessene er adiabatiske Dette eksemlet illustrerer at adiabatiske rosesser under visse betingelser kan ofattes som reversible ermodynamikkens lov i har altså slått fast at alle virkelige rosesser er irreversible, dvs at de kun kan gå en vei Da trenger vi en lov som sier oss hvilken vei slike rosesser kan gå En slik lov ble gradvis utviklet i første halvdel av 8-tallet i forbindelse med studiet av varmekraftmaskiner Loven kalles termodynamikkens lov, og foreligger i flere ekvivalente formuleringer er er de to vanligste: ermodynamikkens lov: Ingen rosess er mulig der det eneste resultatet er at varme avgis fra et varmereservoar og omsettes helt til arbeid (Kelvins formulering) Ingen rosess er mulig der det eneste resultatet er at varme avgis fra ett reservoar og absorberes av et annet reservoar med høyere temeratur (lausius formulering) Denne loven kan ikke utledes matematisk Det er en emirisk lov, dvs at den baserer seg å en mengde ekserimenter som alle støtter loven Det fins ingen eksemler å at loven ikke holder Kelvins formulering sier at det er umulig å konstruere en % effektiv varmekraftmaskin Det er ikke mulig å omforme all energien som tas fra det varme reservoaret til arbeid Noe av energien som tas fra det varme reservoaret må gå tat til det kalde reservoaret lausius formulering sier at dersom vi skal avgi varme fra ett reservoar til et annet som har høyere temeratur, må vi tilføre arbeid Dette vet vi av erfaring: Skal kjøleskaet fungere, må det tilføres energi Selv om disse to formuleringene er svært forskjellige, kan vi vise at de er ekvivalente Dersom Kelvins formulering var usann (det eksisterer en % effektiv varmekraftmaskin), kan denne brukes til å lage en kjølemaskin som er % effektiv slik figuren nedenfor viser
ermodynamikk Side - 7 armt reservoar armt reservoar Q Q W % effektiv varmekraftmaskin Kjølemaskin Ekvivalent med Q Q Kaldt reservoar Kaldt reservoar Og dersom lausius formulering var usann (det eksisterer en % effektiv kjølemaskin), kan denne brukes til å lage en varmekraftmaskin som er % effektiv slik figuren nedenfor viser armt reservoar armt reservoar Q % effektiv kjølemaskin arme- Kraftmaskin W Ekvivalent med W Q Kaldt reservoar Kaldt reservoar Reversible og irreversible sykliske rosesser Otimal virkningsgrad Da vi studerte sykliske termodynamiske rosesser, tenkte vi ikke å om de var reversible eller irreversible Men vi har jo netto sett at alle virkelige rosesser er irreversible Da må også alle virkelige sykliske rosesser (som jo er satt sammen av enklere rosesser) også være irreversible La oss tenke oss at vi har konstruert en maskin som følger en fullstendig reversibel syklus En slik maskin må kunne kjøres som varmekraftmaskin eller som kjølemaskin etter behov Da innser vi at: Det er umulig å konstruere en varmekraftmaskin som har større virkningsgrad enn en reversibel varmekraftmaskin som virker mellom de samme to temeraturene lle reversible varmekraftmaskiner som virker mellom de samme to temeraturene har samme virkningsgrad i skal bruke figuren nedenfor til å begrunne disse åstandene
ermodynamikk Side - 8 armt reservoar armt reservoar Ekvivalent med Suer-effektiv varmekraftmaskin W Reversibel maskin kjørt som kjølemaskin W Kaldt reservoar Kaldt reservoar nta at det eksisterer en suer-effektiv varmekraftmaskin som har større virkningsgrad enn en reversibel varmekraftmaskin, dvs at den tar mer varme fra det varme reservoaret og utfører mer arbeid enn den reversible varmekraftmaskinen uten å avgi mer varme til det kalde reservoaret Da kunne vi latt vår reversible varmekraftmaskin fungere som kjølemaskin, og latt vår suer-effektive maskinen drive denne i vil da sitte igjen med et overskudds-arbeid som ikke er nødvendig for å drive kjølemaskinen Nettovirkningen er altså at vi har fått en innretning som overfører varme fra det varme reservoaret til arbeid uten at noe varme går til det kalde reservoaret, i strid med Kelvins formulering av termodynamikkens lov Et helt tilsvarende resonnement kan brukes til å begrunne at alle reversible maskiner har samme virkningsgrad Dersom en slik reversibel maskin har større eller mindre virkningsgrad enn en annen, kan vi kole dem sammen og kjøre den ene som kjølemaskin og den andre som varmekraftmaskin, og kan dermed få et nettoresultat som er i strid med enten Kelvins eller lausius formulering av termodynamikkens lov arnot-syklusen Nå er det å tide å lage en reversibel syklus som kan brukes som varmekraftmaskin eller som kjølemaskin etter behov Den franske ingeniøren Sadi arnot foreslo en slik syklus allerede i 84, men det var først rundt midten av 8-tallet at man virkelig innså hvor viktig den var i teoretiske arbeider D Q Q i starter med en gass i tilstand, der temeraturen er Der bringes systemet i kontakt med et varmt reservoar som også har temeraturen Så utvides gassen isotermt til tilstand ved at systemet hele tiden holdes i kontakt med varmereservoaret mens det mottar en varmemengde Q Prosessen foregår så langsomt at det hele tiden er termisk likevekt Da er rosessen reversibel Fra gjennomløer systemet en adiabatisk utvidelse til tilstand der temeraturen er Også denne rosessen kan gjøres reversibel
ermodynamikk Side - 9 I tilstand bringes systemet i kontakt med et varmereservoar som også har temeraturen Så resses gassen sammen isotermt til en tilstand D mens den avgir en varmemengde Q ilstand D er valgt slik at en adiabatisk sammenressing av gassen fra D bringer systemet tilbake til egge disse to siste rosessene kan gjøres reversible å samme måte som rosessene og Siden alle delrosessene er reversible, er hele syklusen også reversibel La oss se nærmere å hvordan vi må velge tilstand D dersom arbeidssubstansen er en ideell gass Siden både og D er adiabatiske, har vi at γ γ = og γ γ = D Deler disse sammenhengene å hverandre, og får γ γ γ γ γ γ = = γ γ γ γ = = D D D D Nå skal vi beregne virkningsgraden til en slik arnotmaskin der arbeidssubstansen er en ideell gass i husker at virkningsgraden til en varmekraftmaskin er Q ν = Q der både Q og Q ble regnet som ositive Siden rosessen Q = W = nr ln Prosessen D er også isoterm, slik at D Q = W = nr ln = nr ln ln = nr ln ln er isoterm rosess, er ( ) ( ) D D D = nr ln D Merk at vi må bruke absoluttverditegn fordi absoluttverditegnet ved å benytte at > D il slutt benytter vi at =, og får at virkningsgraden blir D nr ln ( ) D nr ln ( ) Q ν = = = = Q Q skal være ositiv i kvitter oss med i har tidligere funnet at alle reversible varmekraftmaskiner har samme virkningsgrad, og at ingen varmekraftmaskiner basert å reelle, irreversible rosesser kan ha høyere virkningsgrad Siden arnot-maskinen er reversibel, har vi altså funnet at:
ermodynamikk Side - irkningsgraden til en reversibel varmekraftmaskin er Q ν = = =, Q som også er øvre grense for virkningsgraden til reelle varmekraftmaskiner som arbeider mellom de samme temeraturene Før vi går videre, skal vi ta med oss et resultat som skal vise seg å bli viktig v ramma ovenfor får vi Q Q Q Q = = = Q Q Eksemel : En arnotmaskin absorberer Q = J varme fra et reservoar med temeraturen = K, gjør noe arbeid, og avgir noe varme til et kaldt reservoar med temeraturen = K vor mye varme avgir maskinen, hvor mye arbeid gjør den, og hva er virkningsgraden til maskinen? Løsning: enytter at Q K = Q = Q = J = 4J Q K ltså avgir maskinen 4J til det kalde reservoaret Siden arnotmaskinen er syklisk, vet vi at U = Fra termodynamikkens første lov får vi da at W = Q= Q + Q = J 4J = 6J irkningsgraden til maskinen er Q 4 J ν = = = = % Q J Eksemel : nta at mol av en ideell toatomig gass med adiabatkonstant γ = 4 gjennomfører en arnot-syklus med temeraturene 7 og 7 Starttrykket i rosessen er = Pa, og i løet av den isoterme utvidelsen ved den høyeste temeraturen dobles volumet a) Finn trykket og volumet ved tilstandene,, og D i -diagrammet for arnotsyklusen b) Finn Q, W og U for delrosessene,, D og D c) estem virkningsgraden både ved hjel av resultatene i b) og ved å bruke at Q ν = = Q
ermodynamikk Side - Løsning: i kjenner temeraturene = = = 7 = K D = = = 7 = K a) ilstand : Fra likningen for en ideell gass får vi nr 84 J/K K 8 = = = m Pa 4 ilstand : olumet dobles i den isoterme utvidelsen Da blir: 4 4 = = 8 m = 66 m Siden = =, gir likningen for en ideell gass at = = Pa Pa = = = = ilstand : For den adiabatiske utvidelsen vet vi at γ K ( ) ( ) = = = K 66 m = 96 m γ γ 4 4 4 Likningen for en ideell gass gir oss nå at nr 84J/K K = = = 4 87 Pa 96 m ilstand D: For den adiabatiske sammenressingen D γ K ( ) ( ) 4 vet vi at D = D = = K 8 m = 98 m γ γ 4 4 Siden D = gir likningen for en ideell gass at 4 87 Pa 96 m D D = D = = = 4 67 Pa 98 m b) Den molare varmekaasiteten ved konstant volum er R 8J/ ( mol K) c = = = 8 J/ ( mol K) γ 4 Prosess D : Siden utvidelsen er isoterm, blir = slik at ( ) U Q = W = nr ln = 84 J/K K ln = 76J Prosess : For den adiabatiske utvidelsen er Q = Dermed er ( ) ( ) W = U = nc = 8 J/K K K = 8J Prosess D: Siden sammenressingen D er isoterm, blir D = slik at 4 D 98 m ( ) ( 4 ) D 96 m U Q = W = nr ln = 84J/K K ln = 46J
ermodynamikk Side - Prosess D : For den adiabatiske sammenressingen D er Q = Dermed er ( ) ( ) WD = UD = nc = 8 J/K K K = 8J i kan samle alle resultatene i følgende tabell: Prosess Q W U 76J 76J 8J 8J D 46J 46J D 8J 8J otalt J J c) Fra tabellen over ser vi at for hele rosessen er W = J og Q = = 76J Da blir virkningsgraden W J ν = = = 4 = 4% Q 76J Som kontroll ser vi at K ν = = = 4 = 4% K eller Q 46J ν = = = 4 = 4% Q 76J Q arnot-syklusen ovenfor brukte en ideell gass som arbeidssubstans Men det er fullt mulig å lage arnot-sykluser for andre arbeidssubstanser i kan endog lage arnot-sykluser som inneholder faseoverganger arnot-syklusen er derfor mye mer generell enn analysene hittil gir uttrykk for * Den termodynamiske temeraturskalaen Da vi analyserte arnot-syklusen, fant vi at virkningsgraden var Q Q ν = = = Q Q Den engelske fysikeren William homson, som ble adlet under navnet Lord Kelvin, foreslo at man skulle definere temeraturskalaen slik at forholdet mellom mottatt og avgitt varme for en arnot-syklus skal være lik forholdet mellom temeraturene i de to varmereservoarene Dermed brukes sammenhengen Q = Q til å definere temeraturskalaen I tillegg defineres temeraturen i vannets trielunkt til å være 76 K Disse to definisjonene gir da en temeraturskala som er helt uavhengig av et bestemt stoff, og som bare bygger å termodynamikkens lov og arnot-syklusen
ermodynamikk Side - Entroi Q La oss starte med et lite eksemel nta at to legemer og er i termisk kontakt inne i en termisk isolert beholder, og at en varmemengde Q strømmer fra til I raksis forutsetter dette at >, og rosessen er derfor irreversibel Men vi kan tenke oss at denne temeraturforskjellen er svært liten, slik at vi tilnærmet kan sette = Da vil rosessen være reversibel Nå slår vi til med en viktig definisjon: Dersom et legeme mottar en varmemengde Q ved en reversibel rosess mens temeraturen er konstant lik, er legemets endring av entroi gitt ved Q S = La oss gå tilbake til vårt lille eksemel i antar at Q er så liten at temeraturene i legemene ikke endres Siden avgir varme, vil få redusert sin entroi med en størrelse Q S = Legeme mottar den samme varmemengden, og får økt sin entroi med Q S = Dersom vi kan betrakte rosessen som reversibel, dvs at =, blir den samlede endring i entroi Q Q Srev = S + S = + = Men for den reelle, irreversible rosessen der >, blir den samlede endringen i entroi Q Q Sirrev = S + S = + > Q Q fordi > når < Dette lille eksemlet illustrerer to viktige setninger: Når vi tar hensyn til alle delsystemer som deltar i en rosess, kan entroien aldri avta ed enhver reversibel rosess er entroien bevart Disse setningene kan ikke bevises De er ostulater som er understøttet av en lang rekke ekserimenter og teoretiske undersøkelser Man har aldri funnet noe eksemel å at disse setningene ikke stemmer De utgjør en alternativ formulering av termodynamikkens lov
ermodynamikk Side - 4 Legg merke til at setningene forutsetter at vi tar hensyn til alle delsystemer som inngår i en rosess Eksemel : kg is ved smeltes til vann med temeraturen vor mye har entroien i isen endret seg? Smeltevarmen til is er L = 4 J kg f Løsning: Den tilførte varmemengden er Q= m L f = kg 4 J/kg = 4 J Siden temeraturen i is/vann-blandingen hele tiden er konstant, kan vi ofatte rosessen som reversibel Dermed er endringen i isens entroi Q 4 J S = = = J K 7K I eksemlet over skal vi merke oss at omgivelsene har avgitt den samme varmemengden som isen har mottatt Dermed har omgivelsenes entroi avtatt Dersom rosessen er reversibel slik at omgivelsene også har temeraturen, har omgivelsenes entroi avtatt like mye som isens entroi har økt Men i raksis er omgivelsenes temeratur høyere enn Da har omgivelsenes entroi avtatt mindre enn isens entroi har økt, og den totale entroien har dermed økt Den omerksomme leser har kanskje lagt merke til at vi hittil kun har definert entroiendringer for reversible rosesser Når vi skal beregne entroiendringer for irreversible rosesser, støtter vi oss å setningen nedenfor: Entroien til et system avhenger kun av systemets tilstand Også dette er egentlig et ostulat som er understøttet av en mengde undersøkelser Men det hjeler oss til å beregne entroiendringen ved irreversible rosesser i erstatter rett og slett en irreversibel rosess med (uendelig mange) reversible rosesser som bringer systemet fra start-tilstanden til slutt-tilstanden ed hver slik reversibel rosess antar vi at temeraturen er konstant ed å summere (i raksis integrere) alle bidragene, får vi: Entroiendring i en irreversibel rosess er gitt ved dq S = der vi integrer en serie reversible rosesser fra start-tilstanden til slutt-tilstanden Eksemel : kg vann ved varmes til eregn endringen i vannets entroi
ermodynamikk Side - Løsning: I raksis er dette en irreversibel rosess Men vi kan tenke oss at rosessen gjøres i infinitesimale trinn der vi tilfører varmen dq og temeraturen øker med d vert av disse trinnene er reversible, og ved å gjennomføre uendelig mange slike trinn vil vi ha varmet o vannet til den ønskede temeraturen For hvert trinn er den tilførte varmen dq = c m d Den totale entroiendringen for vannet blir da = 7K 7K 7K dq c m d d 7K S = = c m c m [ ln] 7K = = = 7K 7K 7K 7K = c m ( ( ) ( )) = = 7K ln 7K ln 7K 49 J/kg kg ln J K Nå skal se å et litt mer komlisert eksemel: Eksemel : nta at kg vann ved settes i termisk kontakt med kg vann ved vor mye har entroien i dette systemet endret seg fra det blir termisk kontakt til det er termisk likevekt? Løsning: Siden det er like mye vann som avkjøles og som varmes o, blir temeraturen i blandingsvannet = K ilsvarende resonnement som i eksemlet ovenfor gir at entroiendringen til det varme vannet er K K dq d K Svarmt = = mc = kg 49 J/kg ln = 6J K 7K 7K 7K Entroiendringen i det kalde vannet er likeledes K K dq d K Skaldt = = mc = kg 49J/K ln = 7J K 7K 7K 7K Den totale entroiendringen i systemet er dermed Stotal = Svarmt + Skaldt = 6J K + 7J K = J K i ser at entroien i systemet har økt, noe vi måtte vente siden rosessen er irreversibel Entroi er en ullen, men svært viktig størrelse innen termodynamikken som vi burde behandlet grundigere Men vi skal nøye oss med noen sredte betraktninger La oss se å entroiendringen ved en arnot-syklus ed de to adiabatiske delrosessene er Q =, slik at også S = ed de to isoterme delrosessene er entroiendringene Q Q S = og S = Men for en arnot-rosess er Q Q = slik at entroiendringen for den gassen som gjennomløer en arnot-syklus er
Q Q S = S + S = = Fysikk for ingeniører ermodynamikk Side - 6 i ser (som ventet) at entroien er bevart ved en slik reversibel syklus Denne observasjonen var faktisk noe av grunnlaget for at man gradvis ble klar over at er en nyttig størrelse i har tidligere formulert termodynamikkens lov å formen Q= U + W Men her er det bare U som er tilstandsvariabel åde Q og W avhenger av hvordan rosessen foregår Det kan da være hensiktsmessig å skrive loven å differensialform: du = dq + dw og deretter innføre dq ds = dq = ds og dw = d Da får vi du = ds + d, slik at loven er formulert bare ved tilstandsvariabler Men hva er egentlig entroi? Man kan forklare entroi som et mål for uorden Dette kan begrunnes dersom vi virkelig tar konsekvensen av at en gass består av molekyler i tilfeldig bevegelse Da kan vi bruke statistiske metoder, og vise at en øking av entroien henger sammen med at molekylbevegelsene blir mer uordnet i har tidligere sagt at den indre energien til et legeme kan knyttes til molekylenes kinetiske energi, og til otensiell energi som skyldes krefter mellom molekylene Slike molekylbevegelser er tilfeldige og uordnet Når legemet som helhet beveger seg, har det en kinetisk og otensiell energi knyttet til en samordnet bevegelse til alle molekylene Når et legeme som glir langs ei flate stoer o å grunn av friksjon, går kinetisk energi over til varme Dette svarer til at energi knyttet til ordnet bevegelse av hele legemet går over til tilfeldige bevegelse i legemets og flatas molekyler Denne energien som er knyttet til uordnet bevegelse kan vi ikke uten videre føre fullstendig tilbake til ordnet bevegelse i sier at entroien har økt En ubehagelig konsekvens av termodynamikkens lov er at universets totale entroi øker Dette betyr at stadig mer av energien i universet går over til varme slik at energien i universet blir stadig vanskeligere å utnytte Q * illegg rykket i en ideell gass idligere har vi satt o sammenhengen mellom trykk og volum i en gass, og molekylenes kinetiske energi Nå skal vi lage en forenklet utledning av denne sammenhengen i har N molekyler i en beholder som har volum i skal nå anta at alle disse molekylene har samme fart v, og at de beveger seg enten langs x-aksen, y-aksen eller z-aksen, N langs
ermodynamikk Side - 7 hver akse alvarten av de som beveger seg langs en akse vil bevege seg i ositiv retning og den andre halvarten går i negativ retning En av veggene i beholderen står vinkelrett å en slik akse ntall molekyler som har retning mot denne veggen vil da alltid være N = N 6 I løet av et kort tidsintervall t vil alle artikler som har retning mot veggen, og er nærmere veggen enn s = v t kollidere med veggen Dersom veggen har areal, vil disse artiklene befinne seg innenfor et volum = s = v t ( ) ntall artikler som kolliderer med veggen i dette tidsintervallet, blir da v t 6 N = 6 N i antar at støtet mot veggen er fullstendig elastisk slik at artikkelen etter støtet går i motsatt retning med samme fart som før ver av disse artiklene får en endring av bevegelsesmengde gitt ved mv m( v) = mv Men den samlede endringen av bevegelsesmengde for alle artiklene må være lik kraftstøtet F t fra gassen mot veggen Dersom vi kaller gjennomsnittskraften fra gassen mot veggen for F, får vi: v t F t = 6 N mv F = N mv idrag ntall artikler som støter mot veggen fra hver artikkel il slutt skal vi benytte definisjonen av trykk: F N N = = mv = ( mv ) Den siste arentesen kjenner vi igjen som den kinetiske energien W k til hver artikkel Den samlede kinetiske energien til alle de N artiklene blir da Ek = N Wk = N ( mv ) Da kan vi summere o resultatene slik: i har N artikler i en beholder med volum Den gjennomsnittlige kinetiske energien til en artikkel er W = mv slik at den totale kinetiske energien til alle artiklene i gassen er k Ek = N Wk Da er trykket i gassen gitt ved N = W k E k E k NW k = = =
ermodynamikk Side - 8 ilstandslikning for en ideell gass ved en adiabatisk rosess i skal nå utlede noen sammenhenger som gjelder for en ideell gass under en adiabatisk rosess i tar utgangsunkt i en svært liten volumøking d Under en slik svært liten volumøking kan vi anta at trykket tilnærmet er konstant, slik at arbeidet under denne volumøkingen er nr dw = d = d der vi har benyttet at nr = nr = Samtidig vil temeraturen endres med d, slik at den indre energien endres med R du = n c d = n d γ For en adiabatisk rosess er da du = dw n R d = nr d d = ( γ ) d γ i løser denne differensiallikningen ved å integrere fra en start-tilstand (, ) til en slutttilstand (, ) i får d d = ( ) [ ln] ( )[ ln] γ = γ ln ln = γ ln ln = γ ln ln ( )( ) ( )( ) ln = ln = ln Da blir γ γ γ = = = γ γ ( γ ) γ Otto-syklusen Ottosyklusen er en idealisert modell av de termodynamiske rosessene som foregår i en sylinder i en 4-takts bensinmotor Sylinder, stemel og ventiler er vist nedenfor: