Fsit obligtorisk oppgve Oppgve (9 poeg) Deriver følgede fuksjoer med hes på lle rgumeter ) f ( ) 7 f '( ) 8 6 svr: b) Svr: g ( ) ( ) ( ) g ( ) ( ) ( ) c) h( ) f ( )( ) Svr: h( ) f '( )( ) f ( ) d) Svr: e) F(, ) g( ) h(, ) F ' (, ) z z g'( ) h(, ) g( ) h' (, ) h(, ) F ' (, ) Fi og år z k( t, s) (t s) t s der s og t. z z (t s) 6 s 6(t s) t s s z z s z t (t s) 6s 6(t s) t s t z z s z t 6(t s) t s t g( ) h' (, ) h(, ) Oppgve ( peog) Løs mksimerigsproblemet m, l l med bibetigelse m. Her er m gitt og l l er defiert for positive verdier v og. (Logritmefuksjoe behdles på forelesig 9. mrs. For de som vil strte med oppgve før det: merk t om f ( ) l så er f '( ).) ) Løs problemet ved hjelp v isettig.
m l l( m ) FOB : m m m/6 m m / b) Sjekk dreordesbetigelsee for løsige du ft i ) 8 ( m ) c) Løs problemet ved hjelp v Lgrges metode L l l ( m) L' L' ltså dermed m, m / 6 Oppgve ( poeg) Betrkt fuksjoe defiert i området > og > f (, ) l( ), ) Fi stsjoærpuktet til fuksjoe l( ) l l FOB : ; gir, b) Vis t fuksjoe tilfredsstiller tilstrekkelige betigelser for t vi skl kue kokludere med t stsjoærpuktet er et mksimum. f '' ; f '' ; '' f Oppgve (6 poeg) L f (, ) være e fuksjo v to vrible. ) Fi et uttrkk for stigigstllet til ivåkurve f (, ) f ' f ' f ' '( ) gir '( ) f ' c
L gu ( ) være e deriverbr fuksjo der g'( u) for lle u. L fuksjoe h være gitt ved h(, ) g( f (, )) b) Vis t for e gitt verdi v hr ivåkurve h(, ) g( c) smme stigigstll som stigigstllet vi ft i ) g ' f ' g ' f ' '( ) g ' f ' f ' '( ) g ' f ' f ' L å (, ) og ( ', ') være to pukter i plet slik t f (, ) f ( ', ') c) Hv k du si om forteget til h(, ) h( ', ') L u f ( ', ') og u f (, ) d vet vi t u u Nå er h(, ) g( u ), h( ', ') g( u ) Side g er e stregt voksede fuksjo er g( u ) g( u ) ltså er h(, ) h( ', ') Oppgve 5. bedrift hr e produktfuksjo F( ) ( A), der gir produsert kvtum, er e vribel fktorists, med og A som positive kostter. i. Utled gjeomsitts- og greseproduktivitete og vis t vi hr F ( ) for A. A ( A) Svr: Rett frm fr defiisjoe: Gjeomsittsproduktivitet, mes greseproduktivitet fier vi ved derivsjo v F ( ) med hes på ; dvs. ( A) F( ) ( A) A A gjeomsittsproduktivitete lik ull.. For A, er ii. Vis hvord gjeomsittsproduktivitete selv vrierer med for A. Svr: For Vi ser d på A er ( A), og vi skl se hvord dee å vrierer med. som hr ( ) d A ( A) d A A
følgede forløp: Om, vil gjeomsittsproduktivitete være voksede for lle A. Om derimot, vil de oppå et mksimum der de deriverte er lik ull; dvs. for A. iii. Vis t vi k skrive F( ) ( ) ( A ). Svr: Derivsjo v F ( ) med hes på gir oss direkte, så lege A, t: F A ( ) ( )( ) ( ) ( ) A. iv. At t hver ehet v produksjosfktore bedrifte better må de betle e gitt pris w kroer. Utled kostdsfuksjoe fr produktfuksjoe, og utled gjeomsitts- og gresekostd. Betr det oe for forløpet til disse fuksjoee om er større eller midre e é? Svr: Kostdsfuksjoe fier vi å som det lveste fktorutlegget vi k produsere e gitt megde v ferdigvre til. For gitt produktmegde ( A), k vi d fie de miste fktoristse som gjør det mulig å produsere kkurt dee megde. Vi løser d ut for, ved t A ( ) A ( ), med tilhørede lveste fktorutlegg w( A ), som gjelder for lle. Dermed hr vi kostdsfuksjoe C( ; w) wa w. Gresekostde er C wa w, med dc d w og gjeomsittskostd som d C wa w ( ) d. Vi legger merke til t hvis, er kostde lieær i produsert kvtum; dvs. C( ; w) wa w, med kostt gresekostd, dc d w og skede gjeomsittskostd wa w w. Om, er gjeomsittskostde også skede i produsert kvtum (som må bet t gresekostde er lvere e gjeomsittskostde). Om derimot, vil gjeomsittskostde h et d C -forløp med et miimum for det kvtum der. fier d d
(selv om dette ikke er spurt etter) t gjeomsittskostde oppår et miimum for A. Oppgve 6. bedrift hr e gjeomsittskostdsfuksjo c() b g, der b, og g lle er positive kostter. i) For hvilke produktmegde oppår dee gjeomsittskostde sitt miimum? dc() Svr: Om vi fier et kvtum slik t og hvis d d c (), d miimerer d dc dette kvtum gjeomsittskostde. Vi fier d t: b d. Side vi hr dc d for lle, vil b være det ktum som miimerer gjeomsittskostde. Vi hr d t for lle, er c skede, mes for lle, er de stigede. ii) K du på bkgru v det du hr utledet og gjeomsittskostdsfuksjoe selv, tde oe om hvord gresekostde forløper? Svr: Når gjeomsittskostde sker (stiger), må gresekostde være lvere (høere) e gjeomsittskostde, og skjærer gjeom gjeomsittskostde der dee år sitt miimum. Oppgve 7. bedrift produserer e vre i megde ved hjelp v rbeidskrft ( ) og eergi ( ). Produktfuksjoe er f(, ). Bedrifte miimerer kostdee for gitt produktmegde, til gitte priser på de to produksjosfktoree. L lø per ehet rbeidskrft være w og pris per ehet eergi er q. i) At t produktfuksjoe er gitt som f(, ) A, med A som e positiv kostt. Utled greseproduktiviteter, produktkselersjoer, greseelstisiteter og sklelstisitet, smt de mrgile tekiske substitusjosbrøk. Hvilke egeskper hr dee substitusjosbrøke? Svr: Greseproduktiviteter A f A A og
ii) A f A A direkte: 7 f A A A 6 6 6 6 5 5 f A A og 6 6 6 f f A A 6 6 6 Greseelstisitetee: f og. Dermed følger kselersjoee f. Fordi sklelstisitete er lik summe v greseelstisitetee, hr vi ; dvs. produktfuksjoe er pri pssu eller homoge v grd é. De mrgile substitusjoebrøk er MTSB d f d f som er positiv for positive istsfktorer og stregt vtkede i ; dvs. isokvtee krummer mot origo. Still opp bedriftes kostdsmiimerigsproblem ved hjelp v Lgrges metode og utled de betigede fktoretterspørselsfuksjoee ( ; w, q ) og ( ; w, q ). Illustrer løsige, for gitte priser, i e figur. (Du k t idre løsig.) Svr: Problemet er å å velge og som miimerer smlet fktorutlegg w for et gitt produksjoskrv f(, ) problemet k skrives som: L w q f(, ). Lgrgefuksjoe tilordet dette. idre kostdmiimerede fktorkombisjo må oppflle førsteordesbetigelsee: L (, ) L w f og q f (, ), som til smme gir w q. De første likhete smme med et vilkårlig f (, ) f (, ) produksjoskrv, gir å to betigelser til å fstlegge de to edogee (ukjete) vrible ( ), som fuksjoer v de eksogee prisee og det eksoget gitte produksjoskrvet. Dermed hr vi de betigede fktoretterspørselsfuksjoee, q skrevet som ( ; w, q ) og ( ; w, q ). Her spiller ku prisforholdet i. Løsige for et helt bestemt produksjoskrv (gitt isokvt) fremkommer som tgerig v e isokostlije og de gitte isokvte, som i figuree.9 og. i bok. Med de gitte
produktfuksjoe hr vi d t tgerigsbetigelse k skrives som w w q MTSB. Bruker vi å dee smmehege smme q q w med det gitte produksjoskrvet, fier vi: q q w A A A ( ; w, q) og w w A q q q w q dermed følger ( ; w, q) w w A q A w iii) Utled kostdsfuksjoe og bestem grese og gjeomsittskostd. Svr: Kostdsfuksjoe er d det smlede miimerte fktorutlegget for ehver vilkårlig gitt ; slik t kostdsfuksjoe blir C( ; w, q) w( ; w, q) q( ; w, q). Bruker vi å de betigede fktoretterspørselsfuksjoee fr foregåede pukt, får vi: q w C( ; w, q) w q ( ) q w ( ) w q A w A q A, 5,, 5, 5, 5, w q, 5,, 5, ( ) ( ) w q w q : K w q A A A C 5 Gjeomsittskostde følger d direkte som Kw, q, som er uvhegig v produset kvtum, og lik gresekostde C C. K iv) Bruk egeskper ved dee kostdsfuksjoe til å belse hvord ( ; w, q ) vrierer med fktorprisee. Svr: Vi fier t,,,, C q q q q K( ) ( ) ( ) ( ; w, q) som ikke er w w A w A w w A oe et e Shephrds lemm.,, C q 7, q Me d følger det t (, ) w w w w A A
, C,, 5, q q ( w ). Når lø øker, vil betiget q wq A w A bruk v rbeidskrft gå ed, mes e økig i de dre fktorprise fører til økt bruk v rbeidskrft. Oppgve 8. bedrift hr e kostdsfuksjo ved produksjo v e vre i megde gitt som c() b, med og b som positive kostter. De selger det ferdige produktet til e gitt pris p kroer per ehet. i) Hv er de lveste produktprise som er forelig med positiv produksjo år målet er å mksimere profitte? Svr: Profitte er p c() p b, der vi hr t gresekostde er c() b, og gjeomsittskostd c( ) b c( ), hvilket forteller t gjeomsittskostde er stigede. Derfor hvis p b, d vil det løe seg å produsere. Med dre ord, side () p b, er b de kritiske prise. For lle p (Side b, vil det løe seg å produsere et positivt kvtum. () p b for tilstrekkelig stor produksjo, vil det være et edelig mksimum.) ii) Hvis produktprise er tilstrekkelig hø, hvor me vil bedrifte d øske å produsere? Svr: At t p b. Med de egeskpee til profitte vi hr gitt i foregåede pukt, vil det fies e edelig posirtiv verdi på *, slik t lle. Profittmksimum er dermed etdig bestemt v * ( ) ( ) * førsteordesbetigelse ( ), side () 6 for lle. (Førstederivert-teste viser t det er ok å se på for * * ( ) p ( ) b.) * p b Fr dee fier vi det profittmksimerede kvtum om p b. iii) Hvord påvirkes bedriftes tilbud fr foregåede pukt om produktprise øker?
Svr: Så lege p b er bedriftes tilbd kjeeteget ved med tilbudsderivert gitt som ( p) ( p b) for p b. ( p) ( p b),