Utsatt eksamen : ECON130 Statstkk 1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamensdag: 15.0.015 Sensur kunngjøres senest: 0.07.015 Td for eksamen: kl. 09:00 1:00 Oppgavesettet er på 4 sder Tllatte hjelpemdler: Alle trykte og skrevne hjelpemdler er tllatt. I tllegg kan du ta med lommekalkulator som kke kan brukes tl å kommunsere med andre. Eksamen blr vurdert etter ECTS-skalaen. A-F, der A er beste karakter og E er dårlgste ståkarakter. F er kke bestått.
1 ECON130: EKSAMEN 015 VÅR - UTSATT PRØVE Oppgave 1 V har 4 spar-kort, hentet fra en vanlg kortstokk, med tallverder, 5,,7,8. To av dsse, og 8, er partall (dvs. er delelg med, og to, 5 og 7, er oddetall. A. V trekker to kort uten tlbakeleggng fra dsse fre slk at alle utvalg på to kort er lke sannsynlge. La A 1 være begvenheten at det første kortet trukket ut har et oddetall som verd, og A begvenheten at det andre kortet som blr trukket ut har et oddetall som verd. Fnn sannsynlghetene P( A1, P( A1 A og P( A Anta v vet at det andre kortet som ble trukket ut vste et oddetall (dvs. at A nntraff, men kke hva som skjedde første treknng (dvs. av det første kortet. Hva er sannsynlgheten for at det ble trukket et oddetall også første treknng? B. To skoleelever, Kar og Per, spller et spll de kaller «oddetall og partall» basert på de fre kortene beskrevet nnlednngen. Et spll består å trekke to kort uten tlbakeleggng fra de fre kortene. Dersom summen av de to uttrukne kortverdene er et oddetall, vnner Kar, og hvs summen er et partall, vnner Per. De to elevene tror nemlg det er samme sjanse for at summen blr et oddetall som at den blr et partall, slk at begge har samme sjanse for å vnne. De tar mdlertd fel. Vs at P(Kar vnner. 3 [Hnt. Det kan lønne seg å lage en tabell over aktuelle summer, x y, for alle kombnasjoner av x og y, der x er verden på det første kortet som trekkes ut og y verden på det andre. Du kan anta at alle kombnasjoner som er mulge, er lke sannsynlge. ] C. La ( et spll X være verden på det første kortet som trekkes ut og Y verden på det andre kortet som trekkes ut. 1 Vs at P( X 5 Y 1 Sett opp en tabell over smultanfordelngen for X og Y, bestemt ved f ( x, y P( X x Y y for alle kombnasjoner av x og y. Du kan, som før, anta at alle kombnasjoner som er mulge, er lke sannsynlge. Er X og Y stokastsk uavhengge? Begrunn svaret dtt.
D. Kar og Per spller spllet beskrevet punkt B 4 ganger. Det er klart at Kar vl ha en tendens tl å vnne oftere enn Per sden hun har større sannsynlghet for å vnne hvert spll. La U være antall ganger Kar vnner løpet av 4 spll. Beregn sannsynlgheten tlnærmet for at Kar vnner oftere enn Per løpet av 4 spll. Bruk heltallskorreksjon. [Hnt. Forklar at U er bnomsk fordelt. Beregn deretter PU ( 1 tlnærmet. ] La D være forskjellen mellom antall ganger de to vnner (dvs. D er antall ganger Kar vnner mnus antall ganger Per vnner løpet av 4 spll. Beregn forventnngen og varansen tl D. Begrunn at D er tlnærmet normalfordelt. I så fall, hvlken normalfordelng? Oppgave Det er en vanlg erfarng at man må stå kø foran kassen for å få betalt supermarkeder. I tabell 1 er det gtt ervasjoner fra forskjellge tlfeldge tlfeller man kom for å betale, målt lørdag ettermddag ved en bestemt kasse, der x angr antall personer som sto foran køen, og y tden ( mnutter man måtte vente tl man ble betjent for betalng (for tlfelle 1,,,. Tabell 1 Data Antall personer foran køen ( x Ventetd (* tl betjenng ved kassen (mnutter ( y 1 5.5 5 9.1 3 8 1.0 4 3.9 5 1.3 4 8. Sum 8 58.0 (* Desmaltallene betyr t-deler slk at, for eksempel, 5.5 mnutter betyr 5 mnutter og 30 sekunder.
3 A. Ventetden køen tl betjenng for betalng, Y, antas generelt å være en stokastsk varabel som er normalfordelt med forventnng, x, og varans, x, der x er antall personer foran køen når man kommer tl kassen for betalng. For enkelthets skyld antas denne oppgaven at antall personer køen, x, alltd er et gtt tall (dvs. kke-stokastsk. og er (ukjente parametre modellen. Forklar hvorfor denne modellen ser det samme som å s at ventetden pr. person køen, Y x er normalfordelt med forventnng og varans x (der altså x er kke-stokastsk. Den samlete tden en kunde tlbrnger ved kassen består av to deler, tden kø pluss betjenngstden ved selve kassen. Forklar kort hvorfor parameteren kan tolkes som gjennomsnttlg betjenngstd pr. kunde ved kassen (dvs. den gjennomsnttlge tden det tar å betjene en kunde. B. I tråd med modellen punkt A, antar v at ventetdene tabell 1 er ervasjoner av stokastske varable, Y1, Y,, Y, som antas å være uavhengge og normalfordelte slk at Y ~ N x, x, der x angr antall personer køen foran for tlfelle ( 1,,,. x -ene antas, som før, gtte tall (dvs. kke-stokastske. Det blr foreslått to estmatorer for : Y1 Y Y 1 Y ˆ og x x x x 1 1 Vs at både ˆ og er forventnngsrette estmatorer for. Beregn estmatene ˆ og. [Hnt. Tl hjelp under regnngen oppgs y x 1.97 ] Beregn varansene, var( ˆ og var(, uttrykt ved. Hvlket av de to estmatene mener du er mest troverdg? G en kort begrunnelse for svaret. [Hnt. Tl hjelp under regnngen oppgs 1 1 x 1.58 ] 1 C. Det kan vses (som du kke trenger å gjøre at W ˆ ˆ 1 x ~ t(5 fordelt 1 ( Y ˆ x fordelt med 5 frhetsgrader, der ˆ ˆ og ˆ. 5 x 1 (dvs. t- Bruk dette tl å fnne et 95% konfdensntervall for. Beregn konfdensntervallet ut fra data.
4 [Hnt. For å lette regnngen, oppgs den erverte verden, ˆ 0.878.] D. I dette og neste punkt skal v benytte modellen punkt B, men der v, for enkelthets skyld, antar at parameteren er kjent, 0.35. Forklar hvorfor estmatoren ˆ 0.35 er normalfordelt, med ˆ ~ N,. 8 Tdlgere har man regnet med en gjennomsnttlg betjenngstd på 1.9 mnutter pr. kunde ved kassen lørdag ettermddag. Tyder data på at gjennomsnttlg betjenngstd har økt (basert på sgnfkansnvå 5%? Med andre ord, gjennomfør en 5% test for H0: 1.9 mot H1: 1.9, og formuler en konklusjon. Beregn p-verden (basert på data tabell 1 for testen dn. E. Sett opp et uttrykk for styrkefunksjonen for testen dn punkt D. Beregn sannsynlgheten for å forkaste H 0 hvs den sanne verden av er.