3 Oversikt over Mtemtikk Induksjon Grenser og kontinuitet Skjæringssetningen Eksistens v ekstrempunkt Elementære funksjoner Derivsjon Sekntsetningen Integrsjon Differensilligninger Kurver i plnet Rekker Sekntsetningen for en z mellom og b. Derivsjon f (z) = f(b) f() b Monotonitet vs fortegnet på den deriverte Omvendte funksjoner Eksistens Derivsjon 4 Algebriske funksjoner Elementære funksjoner Potenser, polynomer, røtter, rsjonle funksjoner Eksponensil- og logritmefunksjoner exp x = y ln y = x; x =exp(x ln ) Trigonometriske og omvendte trigonometriske funksjoner sin, cos, tn, rcsin, rccos, rctn Hyperbolske og omvendte hyperbolske funksjoner sinh x = ex e x, cosh x = ex + e x, tnh x = sinh x cosh x = ex e x e x + e, x og småkompliserte formler for rcsinh, rccosh og rctnh. Kurvedrøfting Stigende / voksende Konkvitet / konveksitet Derivsjon nvendelser Vendepunkter Optimlisering: Å finne minimum og mksimum Sjekk kritiske punkter (der f = 0 eller f ikke eksisterer) og endepunkter for definisjonsintervllet. Implisitt derivsjon for eksempel x 4 + y 4 == dy dx = x3 y 3 Relterte rter for eksempel x 4 + y 4 == dy dt = x3 y dx 3 dt
5 7 Derivsjon flere nvendelser Integrsjon (forts) L Hôpitls regel 0 0,, 0,,, 0 0, 0 : Fordeførsteto: f(x) lim x g(x) = lim f (x) x g (x) Men ikke glem å sjekke betingelsene (0/0 eller / )! Newtons metode for åløsef(x) =0 x n+ = x n f(x n) f (x n ) Integrsjonsmetoder Delvis integrsjon udv = uv vdu (produktregelen i revers) Substitusjon Sett inn u = g(x), du = g (x) dx formelt i integrlet. Delbrøkoppsplting (x )(x +) 3 (x +) = A x + B x + + C (x +) + D (x +) +Ex + F 3 x + Spesielle triks Mnge, se spesielt E&P vsnitt 9.4 for trigonometriske integrler. Tbelloppslg kombinert med metodene over 6 8 Integrsjon Integrsjon (forts) Riemnnsummer Antiderivert Fundmentlsetningen: f(x) dx = lim P 0 i= n f(x i ) x i Uekte eller uegentlige integrl f(x) dx = lim f(x) dx, b og tilsvrende om f(x) ± i et endepunkt. d dx x f(t) dt = f(x), F (x) dx = F (b) F ()
9 Integrsjon (forts) Integrsjon (forts) Anvendelser Buelengde ds = (dx) +(dy) Arel da = ydx Volum: Cvlieris prinsipp dv = A(x) dx Arbeid og mnge ndre fysiske nvendelser dw = Fdx Akkumulert formue og mnge ndre økonomiske størrelser Feilestimter i numerisk integrsjon Trpesregelen Midtpunktregelen Simpsons metode ET n K (b ) 3 n EM n K (b ) 3 4 n ES n K 4(b ) 5 80 n 4 Her er K k en øvre skrnke for f (k) over [, b]: Se for øvrig Rottmnn! f (k) (x) K k for lle x [, b]. 0 Numerisk integrsjon Trpesregelen Integrsjon (forts) f(x) dx b ( f(x0 )+f(x )+f(x )+ +f(x n )+f(x n ) ) n Midtpunktregelen Simpsons metode f(x) dx b n n ( xi + x ) i f i= f(x) dx b ( f(x0 )+4f(x )+f(x )+ +f(x n )+f(x n ) ) 3n (vektene er, 4,, 4,, 4,...,4,, 4,, og n måværeetliketll) Seprble: Generell løsning: Differensilligninger g(y) dy dx = f(x) g(y) dy = f(x) dx Entydig løsning for initilverdiproblemet (gitt y(x 0 )=y 0 ): y y 0 g(η) dη = x x 0 f(ξ) dξ (Neid, vi hr ikke forelest denne formelen, og det forventes ikke t dere skl kunne den.) I prksis er det som regel greiere å finne integrsjonskonstnten fr den generelle løsningen ved å sette inn for initilbetingelsen.
3 5 Kurver i plnet Rekker Polrkoordinter x = r cos θ r = x + y y = r sin θ tn θ = y/x Den siste ligningen er bre nesten nok til å gi riktig θ dumåsjekke hvilken kvdrnt (x, y) befinner seg i, og eventuelt justere θ ved å legge til eller trekke fr π. Prmetrisering x = f(t), y = g(t), t I Gltt kurve: f og g eksisterer og er kontinuerlige, og er ldri null smtidig. Følger og konvergens Regneregler Lineritet k = lim k= n k n k= ( k + b k )= k + b k, c k = c k= k= k= k= k= Skifte v summsjonsvribel, for eksempel n b n = 0 b + b + b 3 = n b n+ k 4 6 Kurver i plnet (forts) Integrlformler Buelengde ds = (dx) +(dy) Arelformler Arel mellom en kurve og origo: r dθ Arel v rotsjonsflte Volum v rotsjonslegeme Skivemetoden (Cvlieris prinsipp igjen) Sylinderskllmetoden De ovenstående utledes stort sett v tilsvrende formler for kurver gitt i vnlige x, y-koordinter, ved å sette inn dx = x dt og dy = y dt. Men pss på fortegnet, og t ikke noe rel dekkes mer enn en gng (eller overhode ikke) her ligger mnge frer på lur! Spesielle rekker Geometrisk rekke p-rekke, konvergent presis når p>: x n = x n p Hrmonisk rekke (p = ), divergent n =
7 9 Konvergenstester n-teleddstesten Om n konvergerer så må n 0 Alternerende rekke Om n n 0 for lle n og n 0såkonvergerer ( ) n n. Viktig poeng for rekker med positive ledd: Om n > 0 for lle n såerenten n konvergent eller n =. Integrltesten Om n = f(n), f(x) > 0 for lle x og f er vtgende såer n < f(x) dx < Smmenligningstesten Om 0 n b n og b n <, er n < Absolutt og betinget konvergens Betrkt en rekke n. Rekken er bsolutt konvergent om n <. En bsolutt konvergent rekke er konvergent. Den er betinget konvergent om den er konvergent men ikke bsolutt konvergent. Konvergenstester (forts) Grensesmmenligningstesten Om n > 0ogb n > 0og n 0 < lim <, n b n såer n og b n enten begge konvergente eller begge divergente. Forholdstesten Om n > 0 for lle n og n+ L = lim n n eksisterer, gjelder: Om L<er n konvergent, oml>er n divergent, oml =knltskje. Rottesten Som forholdstesten, med L = lim n /n n 8 Integrltesten, (grense-)smmenligningstesten, forholdstesten og rottesten virker i utgngspunktet på rekker med positive ledd. T bsoluttverdien v leddene, så tester de bsolutt konvergens for generelle rekker. For eksempel: n+ L = lim n n knbrukestilåteste for bsolutt konvergens. Restleddestimter: For lternerende rekker er restleddet mellom 0 og neste ledd i rekk, forutstt t lle betingelsene for konvergens v lternerende rekker holder. Dersom integrltesten kommer til nvendelse blir R n n f(x) dx. 0
3 Tylors formel Potensrekker (forts) n f (k) () f(x) = (x ) k + f (n+) (z) (x )n+ k! (n +)! k=0 }{{} R n (x) hvor z er mellom og x. R n (x) klles restleddet. Hvis R n (x) 0når n, konvergerer Tylorrekken: f(x) = f (n) () (x ) n n! Tylorrekken for = 0 klles Mclurinrekken. Noen berømte Mclurinrekker: exp x = x n n!, cos x = ( ) n x n, sin x = (n)! ( ) n x n+ (n +)! Potensrekker kn deriveres og integreres leddvis: f(x) = n x n = x 0 f (x) = f(t) dt = n n x n Konvergensrdien er uendret ved disse opersjonene. n n + xn+ Dette kn brukes til å finne summen v ukjente rekker, for eksempel x n x n! n = t n x t n x dt = 0 n! 0 t n! dt = e t dt 0 t (Vi klrer riktignok ikke regne ut det siste integrlet, men dette gir likevel litt innsikt.) 4 Potensrekker Potensrekker (forts) n (x c) n Det meste v tiden holder vi oss til tilfellet c =0: n x n En slik rekke hr en konvergensrdius R: Rekken konvergerer bsolutt for x <R, Rekken divergerer for x >R, Alt kn skje for x = ±R. R kngodtvære0eller. Bestemmes som regel enklest ved hjelp v forholdstesten. Andre regneregler for potensrekker Lineriteten rves fr generelle rekker: c n x n = c n x n, ( n + b n )x n = n x n + n x n. Multipliksjonsregelen sitter litt dypere: ( ) ( ) ( n n x n n x n = k b n k )x n. Til slutt: Denne oversikten er selvfølgelig lt for kort til åvære fullstendig. Spesielt svnes knskje teknikker for å stille opp et problem mtemtisk ut fr en språklig beskrivelse (såklte uoppstilte problemer), men slikt krever erfring, og er vnskelig å oppsummere. k=0