Generelle teoremer og definisjoner MA03 Flerdimensjonl nlyse - NTNU Lærebok: Vetor Clulus, 6 utgve v Jerrold E Mrsden og Anthony Tromb Jons Tjemslnd 8 pril 05 Geometrien til euklidske vektorrom Vektorer i to- og tre-dimensjonle rom Indreprodukt, lengde og vstnd der ρ 0, 0 θ π, 0 ϕ π z Ortogonl projeksjon: proj v = v (x, y, z) 3 Mtriser, determinnter og kryssprodukt ϕ ρ (ρ, θ, ϕ) Avstnden mellom et punkt og et pln: d(x 0, P ) = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + A + B + C = n (x x 0) n x θ y 4 Sylinder- og kulekoordinter Sylinderkoordintene (r, θ, z) til et punkt gitt i krtesiske koordinter (x, y, z) er gitt ved Figur : Representsjon v kulekoordinter 5 n-dimensjonle euklidske vektorrom x = r os θ, y = r sin θ, z = z z (x, y, z) (r, θ, z) θ r y x Figur : Representsjon v sylinderkoordinter Kulekoordintene (ρ, ϕ, θ) til et punkt gitt i krtesiske koordinter (x, y, z) er gitt ved x = ρ sin ϕ os θ, y = ρ sin ϕ sin θ, z = ρ os ϕ,
ifferensiering Geometrien til reelle funksjoner Nivåkurver og overflter: L f : U R n R og l R er nivåsettet til verdien definert til å være lle punktene x U slik t f(x) = ersom n = klles det nivåkurver, og dersom n = 3 klles det nivåoverflter Med symboler: {x U f(x) = } R n Med en seksjon v grfen f menes lle skjæringspunktene mellom grfen f og et pln P Altså P f(x) Grenser og kontinuitet Åpent og lukket sett: Et sett U R n klles et et åpent sett dersom det for ethvert punkt x 0 U finnes en r > 0 slik t r (x 0 ) U, der r (x 0 ) {x x x 0 < r} Med ndre ord vil et åpent sett ikke inneholde selve rnden ersom settet inneholder rnden klles det et lukket sett En blnding mellom disse vil bli klt et hlvåpent sett (jf åpne og lukkede mengder fr MA0) Grenser vh ε- og δ-bevis: L f : A R n R m og l x 0 være i A eller på rnden v A vil lim x x0 f(x) = b, hvis og bre hvis det for enhver ε > 0 finnes en δ > 0 som er slik t x A, x x 0 < δ = f(x) b < ε xyz EKSEMPEL : Vis t lim (x,y,z) (0,0,0) = 0 x +y +z Løsning: Må vise t det for enhver ε > 0 finnes en δ > 0 slik t x 0 = x + y + z < xyz δ x +y +z < ε Vi definerer hjelpestørrelsen h = x + y + z, og innser t h > 0, h x, h y og h z ersom vi velger δ = ε får vi dermed xyz x +y +z h 3 h = h δ = ε, som vr det vi skulle vise Kontinuitet vh ε- og δ-bevis: L f : A R n R m er f kontinuerlig i x 0 A hvis og bre hvis det for enhver ε > 0 finnes en δ > 0 slik t x A, x x 0 < δ = f(x) f(x 0 ) < ε EKSEMPEL : L f : A R n R m oppfylle f(x) f(y) K x y α x, y A, K, α > 0 Vis t f er kontinuerlig Løsning: Vi må vise t de gitte betingelsene medfører t det for enhver ε > 0 finnes en δ > 0, som er slik t x A, x y < δ f(x) f(y) < ε Vi ser lett t dersom vi velger δ = α ε/k får vi f(x) f(y) K x y α < Kδ α < ε, som vr det vi skulle vise 3 erivsjon Prtiell derivsjon: en prtiellderiverte v en funksjon f(x) : R n R med hensyn på x i ved x = (x,, x n ) er definert som f f(x + he i ) f(x) = lim, j h 0 h dersom grensen eksisterer eriverbrhet, n vrible, m funksjoner: En funksjon f(x) : R n R klles deriverbr i punktet x 0 dersom lle prtiellderiverte v f eksisterer i x 0 og dersom f(x) f(x 0 ) f(x 0 )(x x 0 ) lim = 0, x x 0 x x 0 der f(x 0 ) klles den deriverte v f i x 0 og er m n mtrise med mtriseelementene f i / j evluert i x 0 f f f n f f f f(x 0 ) = n f m f m f m n erviverbrhet og kontinuitet: L f : R n R være deriverbr i x 0, d er f kontinuerlig i x 0 L f : R n R Ant t lle prtiellderiverte v f eksisterer og er kontinuerlig rundt et punkt x er f deriverbr i x 4 Introduksjon til stier og kurver 5 Egenskper til den deriverte en deriverte f(x) hr de smme egenskpene som den deriverte kjent fr endimensjonl klkulus Kjerneregelen: L U R n og V R m være to åpne sett, og l g : U R n R m og f : V R m R p vil g f være definert Ant t g er deriverbr i x 0 og f er deriverbr i g(x 0 ) vil (f g)(x 0 ) = f(g(x 0 ))g(x 0 )
6 Grdienter og retningsderiverte Grdient: Tr mn for seg f : R n R, klles f(x) grdienten til f Mn skriver d ofte f(x) = f = grdf = ( f,, f ) n Retningsderivert: en retningsderiverte v en funksjon f : R 3 R i x lngs v er gitt ved d f(x + tv) dt, t=0 dersom denne eksisterer Vnligvis velges v til en enhetsvektor I dette tilfellet beveger vi oss med d enhetsfrt og referer til dt f(x + tv) t=0 som retningsderiverte v f i retning v ersom f : R 3 R er deriverbr, så eksisterer lle retningsderiverte en retningsderiverte i x i retning v = (v, v, v 3 ) er gitt ved f(x) v = f(x) v + f(x) v + f(x) v 3 Retning til rskest økning: Ant f(x) 0 peker f(x) i den retningen der f øker rskest Grdienten står normlt på nivåoverflter: L f : R 3 R være en C funksjon og l (x 0, y 0, z 0 ) ligge på nivåoverflt S = {(x, y, z) f(x, y, x) = }, der R vil f(x 0, y 0, z 0 ) være norml på S Altså dersom v er tngentvektoren ved t = 0 til en sti (t) S med (t) = (x 0, y 0, z 0 ), så er f(x 0, y 0, z 0 ) v = 0 Tngentpln til en nivåoverflte: L S = {(x, y, z) f(x, y, x) = }, der R Tngentplnet til S ved (x 0, y 0, z 0 ) til S er gitt ved likningen f(x 0, y 0, z 0 ) (x x 0, y y 0, z z 0 ) = 0, dersom f(x 0, y 0, z 0 ) 0 3
3 Høyere-ordens deriverte: mksimum og minimum 3 Itersjon v prtiellderiverte Likegyldighet v rekkefølgen på prtiellderiverte: L f(x,, x n ) : R n R være en C p - funksjon vil f i j = f j i, for lle i =,,, n og j =,,, n 3 Tylors teorem Tylors teorem i èn dimensjon: der f(x 0 + h) = R k (x 0, h) = k=0 x0 +h x 0 f (k) (x 0 ) h k + R k (x 0, h), k! (x 0 + h τ) k f (k+) (τ)dτ k! ersom det finnes et tll M slik t f (k+) (τ) M, vil R k (x 0, h) h k+ M k! Tylors teorem i MA0: Ant t f og dens n + første deriverte er kontinuerlige på intervllet [, x] er f(x) = T n f(x) + R n f(x), der T n f(x) = k=0 f (k) () (x ) k k! er det n-te Tylorpolynomet til f om punktet, og R n f(x) = n! x f (n+) (t)(x t) n dt er restleddet til det n-te tylorpolynomet Videre kn mn lett vise t dersom f (n+) (t) M t [, x], så R n f(x) M (n + )! x n+ Lgrnges restleddsformel sier t det finnes et tll (, x) slik t R n f(x) = f (n+) () (n + )! (x )n+ Første-ordens flervrible tylorpolynom: L f : U R n R være deriverbr i x 0 U er f(x 0 + h) = f(x 0 ) + der R (x 0, h) = = i,j= i,j= 0 i= for en ij (x 0, x 0 + h) h i f(x 0 ) i ( t) f(x 0 + th) i j f( ij ) h i h j, i j + R (x 0, h), h i h j dt Andre-ordens flervrible tylorpolynom: L f : U R n R være C 3 i x 0 U er f(x 0 + h) = f(x 0 ) + der R (x 0, h) = = + i,j,k= i,j,k= i= i,j= 0 h i f(x 0 ) i h i h j f(x 0 ) i j ( t) for en ijk (x 0, x 0 + h) 3 f( ijk ) h i h j h k, 3! i j k + R (x 0, h), 3 f(x 0 + th) h i h j h k dt i j k 33 Ekstremlpunkter til reelle funksjoner Test for loklt ekstremlpunkt: f : U R n R kn kun h lokle (og globle) ekstremlverdier i et punkt dersom er ett v følgende: kritisk/stsjonært punkt; f() = 0 singulært punkt, f() ikke definert 3 rndpunkt til definisjonsmengden U Hessin mtrise: Ant t lle nnenordens prtiellderiverte til en funksjon f : U R n R er Kursorisk 4
definert i et punkt x 0 U vil Hessin mtris til f ved x 0 være den kvdrtiske funksjonen definert ved Hf(x 0 )(h) = i,j= f(x 0 ) i j h i h j f = [h,, h n ] f n f n h f h n n n z 08 06 04 0 0 0 x 0 y Annenderiverttest for lokle ekstremlpunkt for n-vrible: ersom f : U R n R er en C -funksjon, x 0 U er et kritisk punkt, og Hf(x 0 )(h) 0 h R n og Hf(x 0 )(h) = 0 hvis og bre hvis h = 0 (positivt definitt), er x 0 et loklt minimum På smme vis vil x 0 være et loklt mksimum dersom Hf(x 0 )(h) 0 h R n (negtivt definitt) y 5 05 0 05 5 Annenderiverttesten for -vrible: L f(x, y) være en C -funksjon på et åpent sett U R Et punkt (x 0, y 0 ) er et (strengt) loklt minimum til f dersom de tre betingelsene holder f(x 0,y 0 ) = f(x 0,y 0 ) = 0 f(x 0,y 0 ) > 0 ( ) ( ( ) 3 = f f ) f > 0 ved (x0, y 0 ) ersom vi heller hr < 0 i, så hr vi et loklt mksimum ersom < 0 hr vi et sdelpunkt = 0 gir ingen konklusjon 5 5 05 0 05 5 5 x Figur 3: Geometrisk tydning v ekstremlpunkter (svrt) og begrensede ekstremlpunkter (rød) I følge lgrngemultipliktoren vil begrensede ekstremlpunkter befinne seg der vgrensningen S (grønn) tngerer en nivåkurve til f, noe figuren bekrefter 35 Implisitt funksjonsteorem 34 Begrenset ekstremlpunkter og lgrngemultipliktorer Metoden med lgrngemultipliktorer: Ant t f : U R n R og g : U R n R er gitte C -funksjoner L x 0 U og g(x 0 ) =, og l S = {x g(x) =, x R} ersom f S (f begrenset til S) hr et loklt mksimum eller minimum på S ved x 0, så finnes det et tll λ R slik t Implisitt funksjonsteorem: Ant t en funksjon F : R n+ R hr kontinuerlige prtiellderiverte Skriv punkter i R n+ ved (x, z), der x R n og z R, og nt t F (x 0, z 0 ) = 0 og F (x 0, z 0 ) z 0 f(x 0 ) = λ g(x 0 ) kursorisk 5
: finnes det et omegn U om x 0 og et omegn V om z slik t det finnes en unik funksjon z = g(x) definert for x U og z V som tilfredstiller F (x, g(x)) = 0 ersom x U og z V tilfredstiller F (x, z) = 0, så er z = g(x) Videre vil de prtiellderiverte til z = g(x) være gitt ved g = F/ i, i =,,, n i F/ z Resten v delkpittelet sier seg selv dersom vi husker tilbke til MA0 6
4 Vektor-funksjoner 4 Akselersjon og Newtons lov Vnlige derivsjonsregler gjelder for vektor-funksjoner 4 Buelengde Buelengde: Lengden til en sti (t) for t 0 t t, er t L() = (t) dt Infinitesimle endringer ( i buelengden: ) ds = dxi + dyi + dzk = dx dt i + dy dt j + dz dt k dt, ds = dx + dy + dz = 43 Vektorfelt t 0 ( dx dt + dy dt + dz dt ) dt Flytlinje: ersom F er et vektorfelt, vil en flytlinje til F være en sti (t) slik t (t) = F((t)) Ofte kreves vnskelige differensillikninger for å finne flytlinje til et vektorfelt, eller vie vers Curl: Curl til et vektorfelt F = (F, F, F 3 ) er definert som i j k F = F = z F F F 3 Identiteter i vektornlysen: (f + gh) = f + h g + g h div (F + G) = div F + div G 3 div (ff) = fdiv F f 4 div (F G) = G url F F url G 5 div url F = 0 6 url (F + G) = url F + url G 7 url (ff) = furl F + f F 8 url f = 0 9 div ( f g) = 0 0 div (f g g f = f g g f) 08 06 04 0 0 0 0 04 06 08 Figur 4: Vektorfelt med inntegnet flytlinje 44 ivergens og url ivergens: ivergensen til et vektorfelt F = (F, F, F 3 ) er definert som div F = F = F + F + F 3 z 7
5 obbelt- og trippelintegrl 5 Introduksjon 5 obbeltintegrler over et rektngel Bundet funksjon: En funksjon f(x) er bundet dersom det finnes et tll M slik t f(x) M x R n obbelintegrl: obbeltintegrl er definert som lim n n j,k=0 f( jk ) x y = R fdxdy, dersom grensen eksisterer, der R = [, b] [, d], som vi deler inn i mindre prtisjoner R jk = [x j, x j + x] [y k, y k + y], og med fritt vlgt jk R jk Vi sier d t f er integrerbr over R Fubinis teorem: L f : R R være en bundet reel funksjon over rektngelet R, og nt t settet v punkter der f er diskontinuerlig ligger på unionen v et endelig ntll grfer v kontinuerlige funksjoner er f integrerbr over R vil b d f(x, y)dydx = dersom disse eksisterer d b f(x, y)dxdy, 53 obbeltintegrler over mer generelle regioner Integrl over en elementær region: L være en elementær region i plnet, og l R være et rektngel slik t R defineres integrlet over som f(x, y)da = f (x, y)da, der f (x, y) = R { f(x, y), hvis (x, y) 0, hvis (x, y) / (x, y) R Itererte integrler: ersom er en y-enkel region vil f(x, y)da = b ϕ (x) ϕ (x) ersom er en x-enkel region vil f(x, y)da = b ψ (x) ψ (x) f(x, y)dydx f(x, y)dydx 54 Bytting v integrsjonsrekkefølge Bytting v integrsjonsrekkefølge: Teoremet over forteller t dersom en region er enkel, så vil b ψ (x) f(x, y)da = f(x, y)dydx = ψ (x) b ϕ (x) ϕ (x) f(x, y)dydx Elementære regioner: En region klles x-enkel dersom det finnes to kontinuerlige funksjoner ψ : [, d] R og ψ : [, d] R slik t = {(x, y y [, d], ψ (y) x ψ (y)}, der ψ ψ y [, d] På smme vis klles en region y-enkel dersom det finnes to kontinuerlige funksjoner ϕ : [, b] R og ϕ : [, b] R slik t = {(x, y x [, b], ϕ (x) y ϕ (x)}, der ψ ψ y [, d] En region som bå de er x- enkel og y-enkel klles enkel En smlebetegnelse for lle disse er en elementær region Middelverditeoremet for dobbeltintegrl: L C være en elementær region og f(x, y) : R Ant t det finnes to tll m og M slik t det for lle (x, y) C er slik t m f(x, y) M vil ma() f(x, y)da MA(), der A() er relet til ersom f er kontinuerlig vil det finnet et punkt (x 0, y 0 ) slik t f(x, y)da = f(x 0, y 0 )A() 8
55 Trippelintegrler Trippelintegrl blir definert på smme vis som dobbeltintegrl Smme regler for iterering gjelder Vi skriver f(x, y, z)dv = W b ϕ (x) γ (x,y) = ϕ (x) γ (x,y) f(x, y, z)dzdydx 9
6 Vribelbytte og nvendelser v integrsjon 6 Geometrien i vbildninger fr R til R Avbildninger fr lineære trnsformsjoner: En lineær vbildning T A : R R (jf MA0-), trnsformerer prllellogrm til prllellogrm og hjørner til hjørner Videre vil T ( ) prllellogrm prllellogrm Injektiv (En-til-en): En vbildning T er injektiv (en-til-en) på dersom T (u, v) = T (u, v ) u = u, v = v, for (u, v ) Surjektiv (på): En vbildning T er surjektiv (på) på dersom det for ethvert punkt (x, y) finnes minst ett punkt (u, v) i definisjonsområdet til T slik t T (u, v) = (x, y) Noen vribelbytter Polrkoordinter (x,y) (u,v) = r Sylinderkoordinter (x,y,z) (r,θ,z) = r Kulekoordinter (x,y,z) (ρ,θ,ϕ) = ρ sin ϕ 6 Anvendelser Gjennomsnittsverdier: Gjennomsnittsverdien til funksjoner med en, to og tre dimensjoner er definert som henholdsvis b [f] gj = f(x)dx, b f(x, y)da [f] gj = A() og W (x, y, z)dv [f] gj = V (W ) Jobin determinnt: L T : R R være en C -trnsformsjon gitt ved x = x(u, v) og y = y(u, v) Jobin deteminnten til T er definert som (x, y) (u, v) u u v v I tre dimensjoner under de smme betingelsene og T : R 3 R 3, vil Jobin deteminnten være (x, y, z) (u, v, w) u u z u v v z v w w z w Mssesenteret til to-dimensjonle plter: Koordintene til mssesenteret R m = ( x, ỹ) til et objekt med msse-per-flte-fordeling µ er gitt ved xµ(x, y)da x = M tot og ỹ = yµ(x, y)da M tot 63 Uegentlige integrler Vribelbytte: L og være elementære regioner i plnet og l T : være en C trnsformsjon Ant t T er en-til-en på Ant videre t = T ( ) vil det for enhver integrerbr funksjon f : R R gjelde t f(x, y)dxdy = f(x(u, v), y(u, v)) (x, y) (u, v) dudv et smme vil gjelde i tre dimensjoner under tilsvrende betingelser Ikke pensum 0
7 Integrler over stier og overflter 7 Bneintegrl Bneintegrl: Bneintegrl, eller integrlet til f(x, y, z) lngs stien, er definert når : I = [, b] R 3 er C og når den prmetriserte funksjonen f(x(t), y(t), z(t)) er kontinuerlig på I Bneintegrlet defineres d ved likningen fds = b f((t)) (t) dt Enkle kurve: En enkel kurve C er per definisjon en stykkvis C vbildning : I R 3 som er en-til-en på et intervll I = [, b] Til en enkel kurve er det ofte ssosiert en retning, slik t C nses som rettet mellom to endepunkter (feks fr () til (b)) En enkel kurve C smmen med retningen klles ofte en orientert enkel kurve C klles en enkel lukket kurve dersom den er en-til-en og C på intervllet (mellom endepunktene) I = [, b), og dersom den smtidig oppfyller betingelsen () = (b) 7 Linjeintegrl Linjeintegrl: L F være et vektorfelt i R 3 som er (stykkvis) kontinuerlig på en C -sti : [, b] R 3 Linjeintegrlet til F lngs er d definert ved F ds = b F((t)) (t)dt Reprmetrisering: L h : I I være en C reel funksjon som er en-til-en mellom I = [, b] og I = [, b ] L videre : I R 3 være en stykkvis C -sti klles komposisjonen p = h : I R 3 en reprmetrisering v C F ds = F ds; 73 Prmetriserte overflter C fds = fds En prmetrisering v en overflte er en funksjon Φ : R R 3 Overflten som korresponderer til funksjonen Φ er dens vbildning S = Φ() Mn kn skrive Φ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) Videre er det lurt å innføre T u Φ u og T v Φ v Tngentplnet til en overflte: ersom en prmetrisert overflte Φ : R R 3 er gltt i Φ(u 0, v 0 ), vil tngentplnet til overflten i dette punktet være gitt ved (x x 0, y y 0, z z 0 ) (T u T v ) = 0 74 Arelet til en overflte En reprmetrisering kn være retningsreverserende eller retningsbevrende (Alle typer) integrl over to stier som er reprmetriseringer v hverndre, er ekvivlente med henholdsvis motstt eller smme fortegn Arelet til prmetrisert overflte: A(S) = T u T v dudv Linjeintegrl over grdient vektorfelt: Ant t f : R 3 R er C og t : [, b] R 3 er stykkvis C vil f ds = f((b)) f(()) 75 Integrler v sklrfunksjoner over overflter Integrlet til en sklrfunksjon over en overflte: f(x, y, z)ds = f(φ(u, v)) T u T v dudv S
76 Overflteintegrl til vektorfelt Overflteintegrl til vektorfelt: F ds = F (T u T v )dudv Φ Mn kn definere en utside (positiv side) og en innside (negtiv side) til en overflte Uvhengighet til overflteintegrler på prmetriseringer: L S være en retningsbevrende [retningsreverserende] overflte og Φ og Φ være to gltte prmetriseringer v S vil F ds = [ ] F ds Φ Φ F ds = F nds S S 77 Anvendelser til differensilgeometri, fysikk og former for liv Ikke pensum
8 Integrlteoremene til vektornlysen 8 Greens teorem C + - med klokk Greens teorem: L være en enkel region og l C være rnden til Ant P : R og Q : R er C vil P dx + Qdy = C + ( Q P ) dxdy Konservtive felt: L F være et C vektorfelt definert på R 3, knskje utenom et endelig ntll punkter F klles d et konservtivt vektorfelt dersom de ekvivlente utsgnene er oppfylt: For enhver lukket enkel kurve C vil F ds = 0 C For to enkle kurver C og C med smme endepunkter vil C F ds = C F ds 3 et finnes en funksjon f slik t F = f 8 Stokes teorem for grfer Stokes teorem: L S være en C -funksjon z = f(x, y) med retning, der (x, y) og en enkel region, og l F være et C vektorfelt på S ersom vi lr S være rndkurven til S med retning slik som spesifisert i figuren under, vil url F ds = ( F) ds = F ds S S Stokes teorem gjelder også for en-til-en prmetriserte kurver Φ : R S z n S 4 F = 0 ersom F er et C vektorfelt på hele R 3 med div F = 0, så eksisterer det et C vektor felt G slik t F = url G 84 Guss teorem Guss divergensteorem: L W være en symmetrisk elementær region i rommet L W være rnden til W med en spesifisert retning (innside/utside) L F være et gltt vektorfelt definert på W vil ( F)dV = F ds ( W W (div F)dV = W W (F n)ds ) S S 85 ifferensilformer y x Figur 5: Retningen på S: ersom du går rundt rnden, skl overflten ligge på din venstre hånd Hodet peker i smme retning som normlvektoren ette gir smme svr som høyrehåndsregelen 83 Konservtive felt Ikke pensum 3