4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner, polynomer, matriser,... Vektorrom inneholder mange interessante underrom, som selv er vektorrom. 1 / 16

Vektorrom Definisjon. Et (reelt) vektorrom er en mengde V, der elementene kalles vektorer, som er utstyrt med to operasjoner: addisjon og multiplikasjon med skalar. Med en skalar menes her et reelt tall. Det kreves at følgende ti egenskaper (ofte kalt aksiomer) holder for alle u, v, w V og c, d R: 1. Addisjon av u og v betegnes med u + v og ligger i V. (dvs. V er lukket under addisjon). 2. u + v = v + u. 3. (u + v) + w = u + (v + w). 4. Det fins en nullvektor 0 i V som er slik at u + 0 = u. 5. For hver u V fins en vektor u V slik at u + ( u) = 0. NB: Fortsetter neste side! 2 / 16

Vektorrom (fortsettelse av definisjon) 6. Skalart multippel av u med c betegnes med c u og ligger i V (dvs. V er lukket under multiplikasjon med skalar). 7. c (u + v) = c u + c v. 8. (c + d) u = c u + d u. 9. c (d u) = (cd) u. 10. 1 u = u. Merk: Det er opplagt at R n med sine vanlige operasjoner er et (reelt) vektorrom. Notasjon. Egenskap 3 gir at vi ikke trenger å bruke paranteser når det gjelder summer med flere vektorer. Vi skriver f.eks. ( ((v1 ) ) v 1 + v 2 + v 3 + v 4 i stedet for + v 2 ) + v 3 + v4. 3 / 16

Noen eksempler på vektorrom. Signalrommet S som består av alle reelle følger av typen x = {x j } j= = (..., x 2, x 1, x 0, x 1, x 2,...) utstyrt med operasjonene x+y = (..., x 2 +y 2, x 1 +y 1, x 0 +y 0, x 1 +y 1, x 2 +y 2,...), c x = (..., c x 2, c x 1, c x 0, c x 1, c x 2,...) der x, y S og c R. Tilsvarende kan man betrakte følgerommet F som består av alle reelle følger av typen x = {x j } j=1 = (x 1, x 2, x 3,...), utstyrt med tilsvarende operasjoner. 4 / 16

Eksempler på vektorrom (fortsettelse) Funksjonsrommet F(D, R) som består av alle reelle funksjoner definert på en mengde D, utstyrt med operasjonene f + g og c f definert ved (f + g)(t) = f (t) + g(t), (c f )(t) = c f (t), for alle t D, der f, g F(D, R) og c R. Matriserommet M m n som består av alle m n (reelle) matriser er et vektorrom når den betraktes med sine vanlige operasjoner A + B og c A. Noen skriver R m n eller M m n (R) i stedet for M m n. Vi skriver ofte M n (eller M n (R)) i stedet for M n n. 5 / 16

Merk: Man kan også definere komplekse vektorrom, dvs. vektorrom der skalarene er komplekse tall i stedet for reelle tall. Kommer tilbake til dette i avsn. 5.5. La V være et vektorrom. Fra egenskapene 1 10 kan man utlede andre egenskaper. F.eks. gjelder: Nullvektoren 0 i V er entydig bestemt. Hvis u V, er u entydig bestemt. Videre gjelder (for u V og c R): 0 u = 0 c 0 = 0 c u = 0 c = 0 eller u = 0 u = ( 1) u 6 / 16

Underrom La V være et vektorrom. Visse delmengder av V er av spesiell interesse: Definisjon. En delmengde H av V kalles et underrom dersom: a) Nullvektoren 0 i V ligger i H, b) H er lukket under addisjon (dvs. u, v H u + v H), c) H er lukket under multiplikasjon med skalar (dvs. u H, c R c u H). Merk: H blir da selv et vektorrom når det utstyres med operasjonene som den arver fra V. 7 / 16

Noen eksempler på underrom. {0} og V er alltid underrom av V. En linje i R 2 (eller i R 3 ) som går gjennom origo er et underrom av R 2 (eller av R 3 ). Et plan i R 3 som går gjennom origo er et underrom av R 3. La P være mengden av alle reelle polynomer i en reell variabel. Så p P hvis og bare hvis p(t) = c 0 + c 1 t + c 2 t 2 + + c n t n for alle t R, der c 0, c 1,..., c n R og n er et naturlig tall eller 0. Da er P et underrom av funksjonsrommet F(R, R). La D n bestå av alle n n diagonale matriser. Da er D n et underrom av matriserommet M n. 8 / 16

Underrom utspent av en mengde La V være et vektorrom. Definisjon. La v 1,..., v p være vektorer i V og λ 1,..., λ p R. Vektoren p v = λ j v j = λ 1 v 1 + + λ p v p j=1 kalles en lineær kombinasjon av v 1,..., v p. Vi lar Span{v 1,..., v p } betegne mengden som består av alle lineære kombinasjoner av v 1,..., v p. Dette betyr at { } Span{v 1,..., v p } = λ 1 v 1 + + λ p v p λ 1,..., λ p R. 9 / 16

Teorem 1. La v 1,..., v p V. Da er H := Span{v 1,..., v p } et underrom av V. Vi sier da at H er underrommet utspent av v 1,..., v p. Vi sier også at {v 1,..., v p } utspenner H. Eksempel. La n være et naturlig tall eller 0. Definer P n P ved { } P n = p P polynomet p er av grad høyst n. Da er P n = Span { p 0, p 1,..., p n } der p 0, p 1,..., p n P er definert ved p 0 (t) = 1, p 1 (t) = t,..., p n (t) = t n, for t R. Så P n er et underrom av P. 10 / 16

4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner Definisjon. Nullrommet til en m n matrise A er definert ved Nul A = { x R n : Ax = 0 }. Dette er de vektorene som avbildes på nullvektoren 0 under den lineære avbildningen x A x. Definisjon. Kolonnerommet til en m n matrise A er delmengden av R m definert ved der A = [ a 1 a 2 a n ]. Col A = Span{a 1, a 2,..., a n }. Merk at Col A = {A x : x R n }. Dette betyr at Col A er rekkevidden (= bildet) til avbildningen x A x. Teorem 2 og 3. Nul A er et underom av R n, mens Col A er et underrom av R m. 11 / 16

Lineære avbildninger Definisjon. La V og W være to vektorrom. En funksjon T : V W kalles en lineær avbildning (eller en lineær transformasjon) dersom den bevarer linearitet, dvs. at T (u + v) = T (u) + T (v) (u, v V ) T (c u) = c T (u) (u V, c R). Eksempel. Standardeksemplet er når V = R n, W = R m, A er en m n matrise og T A : V W er gitt ved T A (x) = A x for x R n. Definisjon. For en lineær avbildning T : V W definerer vi Kjernen (eller nullrommet) til T er underrommet av V gitt ved: KerT = {v V : T (v) = 0} Rekkevidden (eller bildet) til T er underrommet av W gitt ved: RanT = {T (v) : v V } 12 / 16

Eksempel. La V være vektorrommet som består av alle deriverbare funksjoner fra R inn i R. For f V, sett D(f ) = f. Da er D en lineær avbildning fra V inn i W := F(R, R). Videre er Ker D = {f V : f = 0} underrommet av V som består av alle konstantfunksjonene. Eksempel. La V være vektorrommet som består av alle to ganger deriverbare funksjoner fra R inn i R. For f V, sett T (f ) = f + af + bf der a, b er (reelle) konstanter. Da er T en lineær avbildning fra V inn i W := F(R, R). Kjernen til T er løsningene av den homogene lineære annenordens differensiallikningen y + ay + by = 0 13 / 16

4.3 Lineært uavhengige mengder, basiser La V være et vektorrom. Definisjon. Betrakt vektorer v 1, v 2,..., v p i V. Vi sier at v 1, v 2,..., v p er lineært uavhengige dersom vektorlikningen ( ) λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + + λ p v p = 0 der λ 1, λ 2,..., λ p er skalarer, bare har løsningen λ 1 = λ 2 = = λ p = 0. Dersom ( ) holder når minst en av λ j -ene ikke er null, sier vi at v 1, v 2,..., v p er lineært avhengige og at ( ) er en lineær avhengighetsrelasjon mellom v j -ene Hvis A er en m n matrise med kolonnevektorer a 1, a 2,..., a n, er disse vektorene lineært uavhengige hvis og bare hvis Nul A = {0}. 14 / 16

Teorem 4. Anta p 2. Da er v 1, v 2,..., v p lineært uavhengige hvis og bare hvis ingen av v j -ene kan skrives som en lineær kombinasjon av de øvrige. Definisjon. La H være et underrom av et vektorrom V. En endelig mengde B = {b 1, b 2,..., b p } av vektorer i H kalles en basis for H dersom b 1, b 2,..., b p er lineært uavhengige, og H = Span{b 1, b 2,..., b p }. Eksempel. Vektorene e 1, e 2,..., e n som er kolonnene i identitetsmatrisen I n gir en basis for R n. Den kalles standardbasisen for R n. Eksempel. Polynomene 1, t, t 2,..., t n er en basis for vektorrommet P n av polynomer av grad høyst n. 15 / 16

Definisjon. La H være et underrom av V. En endelig delmengde S sies å utspenne H dersom Span S = H. Ved å fjerne overflødige vektorer fra en slik mengde S vil vi til slutt ende opp med en basis for H : Teorem 5. Anta at S utspenner H og H {0}. Hvis en av vektorene i S er en lineær kombinasjon av de øvrige vektorene i S, vil disse øvrige vektorene i S fremdeles utspenne H. En delmengde av S vil derfor alltid være en basis for H. Teorem 6. La A = [ a 1 a n ] være en matrise og la R være den reduserte trappeformen til A (m.a.o., R = rref (A)). Kolonnene i A som svarer til pivotkolonnene i R danner en basis for Col A = Span{a 1,..., a n }. Merk: Når Nul A er {0}, kan vi finne en basis for Nul A ved å løse systemet R x = 0 og skrive ut x som en lineær kombinasjon av vektorene som fremkommer ved å skille ut de frie variablene; disse vektorene er lineært uavhengige, så de danner en basis for Nul A. 16 / 16