MAT1030 Diskrt matmatikk Forlsning 28:, ksmplr Dag Normann Matmatisk Institutt, Univrsittt i Oslo 5. mai 2008 I dag skal vi s på n rkk ksmploppgavr, og gjnnomgå løsningn på tavla. All ksmpln r oppgavr som vill kunn bli gitt til ksamn, ntn aln, llr som n dl av n størr oppgav. Eksmpln r hntt fra kapitln om grafr og trær, og fra dt stofft i tilknytning til diss kapitln som ikk r bhandlt i lærboka. Slvfølglig vil ikk ksamn kunn dkk all aspktr vd grafr og trær. MAT1030 Diskrt matmatikk 5. mai 2008 2 a) Vi har gitt forslag til hva gradn til nodn i n graf r. Dt r bar to av forslagn som kan ralisrs av n graf. Finn ut hvilk forslag som ikk kan ralisrs, og forklar hvorfor ikk. 1 To nodr md grad 1, to nodr md grad 2 og n nod md grad 3. 2 To nodr md grad 1, to nodr md grad 2 og to nodr md grad 3. 3 En nod md grad 3 og to nodr md grad 4. 4 To nodr md grad 2, to nodr md grad 3 og n nod md grad 4. b) Finn ksmplr på sammnhngnd grafr som har nodr og gradr som bskrvt i d to tilflln dt r mulig. c) En av grafn vil ha n Eulrsti. Finn n Eulrsti i dn grafn som har dt, og forklar hvorfor dn andr grafn ikk har non Eulrsti. a) Hvis G r n graf md fm nodr, hva r dt minst antall kantr G kan ha og likvl vær sammnhngnd. b) Finn to sammnhngnd grafr md minimalt antall nodr som ikk r isomorf. Forklar hvorfor d ikk r isomorf. c) Finns dt to sammnhngnd grafr md fm nodr og minimalt md kantr som ikk r isomorf, slik at bgg har n Eulrsti? Bgrunn svart. MAT1030 Diskrt matmatikk 5. mai 2008 3 MAT1030 Diskrt matmatikk 5. mai 2008 4
a) Vis hvordan følgnd graf kan rprsntrs som n matris: d a c b b) Bstm gradn til hvr av nodn og avgjør om grafn har n Eulrsti llr n Eulrkrts. Bgrunn svart ditt. a) Forklar forskjlln på n krts og n sykl. Er all krtsr syklr? Er all syklr krtsr? b) Finn all syklr i grafn undr, og finn n krts som ikk r n sykl. d c a b MAT1030 Diskrt matmatikk 5. mai 2008 5 MAT1030 Diskrt matmatikk 5. mai 2008 6 a) Finn komplmntt til grafn d c a b a) Finns dt t tr md ni nodr slik at fir av diss nodn har grad 4? Bgrunn svart. b) Finn to trær som ikk r isomorf slik at bgg har ni nodr hvorav to har grad 4. b) Er komplmntt sammnhngnd? MAT1030 Diskrt matmatikk 5. mai 2008 7 MAT1030 Diskrt matmatikk 5. mai 2008 8
a) Finn t utspnnnd tr i følgnd graf: 4 3 1 2 b) Finn t annt utspnnnd tr som ikk r isomorft md dt først. c) Kan dt finns utspnnnd trær som ikk r isomort md non av d to andr? Vi skal knytt to oppgavr til følgnd vktd graf: 5 6 1 9 5 10 6 3 12 1 2 3 4 7 2 8 4 11 7 8 MAT1030 Diskrt matmatikk 5. mai 2008 9 MAT1030 Diskrt matmatikk 5. mai 2008 10 a) Vd å bruk Prims algoritm, finn dt minimal utspnnnd trt i dn vktd grafn på forrig sid. Forklar hvor du bgynnr, og i hvilkn rkkfølg du lggr kantr til trt. b) Finn avstandn mllom nod 7 og nod 6 i grafn. c) Bruk Dijkstras algoritm til å finn trt som gir d kortst vin fra all nodr til nod 6 Forklar i hvilkn rkkfølg du vil lgg kantr til trt. Anta at vi utvidr dn vktd grafn fra sid 10 md n kant fra nod 5 til nod 6 md vkt 7,5 og n kant fra nod 7 til nod 8 md vkt 5,5. a) Vil n llr bgg av diss kantn inngå i dt minimal utspnnnd trt i dn ny grafn? b) Har vi gjort dt nklr, vanskligr llr lik nklt å finn n Eulrsti? c) Hva r dn maksimal vktn av n sti som ikk bnyttr samm kant to gangr i d to tilflln? MAT1030 Diskrt matmatikk 5. mai 2008 11 MAT1030 Diskrt matmatikk 5. mai 2008 12
a) Tgn syntakstrt til følgnd utsagnslogisk uttrykk: ((( p q) r) (p r)) ( q r) b) Skriv dtt uttrykkt md polsk notasjon. c) Vis hvordan du kan bruk trrkursjon til å omform syntakstrt til t uttrykk A på svak normalform til syntakstrt til dn svak normalformn til A. Vi arbidr md språkt for nkl trmr ovr J som bstår av konstantn 1, 0 og 1 og hvor vi brukr funksjonn og +. a) Ett av d tr ordn undr r n trm hvor vi har brukt polsk notasjon. Finn ut hvilkn trm dt r og skriv dn md vanlig infiks notasjon: 1 + 0 1 + 111 2 + 0 1 + 1110 3 + 0 1 + 1110 1 b) Tgn forsøk på syntakstrær for d tr ordn, og foklar hvordan forsøkn avslørr hvilk ord som ikk r aksptabl. MAT1030 Diskrt matmatikk 5. mai 2008 13 MAT1030 Diskrt matmatikk 5. mai 2008 14 Vi arbidr md trmr hvor vi brukr konstantn 0 og 1 og funksjonn + og. Et syntakstr har formn Undrsøk om følgnd to trmr t 1 = (x (0 + y)) ((1 + 1) z) og t 2 = ((y + 0) (0 + 1)) ((y + y) (0 + 0)) a) Hvor mang forskjllig trmr kan dtt vær syntakstrt til? b) Stt mrklappr på trt slik at dtt blir t kt syntakstr og finn dn tilsvarnd trmn på infiks og omvndt polsk form. c) Vis hvordan hvr nod kan markrs av n bit-skvns (n 0 1 - skvns. lar sg unifisr, dt vil si, om vi kan finn trmr for x, y og z slik at t 1 og t 2 blir lik. MAT1030 Diskrt matmatikk 5. mai 2008 15 MAT1030 Diskrt matmatikk 5. mai 2008 16
Kan vi finn utsagnslogisk uttrykk A, B og C slik at følgnd utsagn blir lik? (p q) (A r) (p r) (A q) ((p q) ( p C) (p C) B) MAT1030 Diskrt matmatikk 5. mai 2008 17