Løsninger til forkursstartoppgaver Prosent: Oppgave 1. Prisforskjell er 20. 20 100 Kylling er da =66 2 prosent dyrere. 30 3 Vi beregner hvor mange prosent 20 er av 30. Kylling er også 20 100 =40 prosent billigere. 50 Vi beregner hvor mange prosent 20 er av 50. Oppgave 2. Forskjell i lønn er 15000. Lønn i Finnmark er da 15000 100 =75 prosent mer. 20000 Vi beregner hvor mange prosent 15000 er av 20000. Lønn i Haparanda (med kjent vansklig skolesjef) er 15000 100 = 300 35000 7 =42 6 7 prosent mindre. Oppgave 3. 500 100 Lønn øket med 500, det er 17500 = 5 100 175 = 20 7 =2 6 7 prosent mer. Vi beregner hvor mange prosent 500 er av 17500. Oppgave 4. 150 Varen selges for 1.25 =120 dersom hvis vi øker 120 med 25 prosent må vi multiplisere med 1.25 Hvis vi regner prosent på innkjøpspris er fortjeneste 20 prosent. Normalt beregnes fortjeneste på salgspris likevel og da blir fortjeneste kun 20 100 120 = 100 6 =16 2 3 prosent. Oppgave 5. Hvis 300 øker med 10 prosent får vi nyt beløp 300 1.1 Hvis dette beløp deretter minker med 10 prosent får vi beløp 300 1.1 0.9=297 Hvis 300 minker med 10 prosent og deretter minker med 10 prosent får vi 300 0.9 1.1=297 igjen.
Beløp minker med 3 som er 1 prosent av 300. For 500 får vi på samme måte 500 1.1 0.9=500 0.9 1.1=495 og beløp har minket med 5 som gir 1 prosent mindre. Oppgave 6. Beløp øker først til 200 1.1 go deretter til 200 1.1 1.1=200 1.1 2 =242 Beløp øker med 42 hvilket er 21 prosent av 200. For 400 får vi 400 1.1 2 =484 hvilket også er 21 prosent mer. Hvis 200 øker tre ganger får vi er 33.1 prosent mer. 300 1.1 3 =399.3 hvilket For 400 får vi også 33.1 prosent mer: 400 1.1 3 =532.4 For å finne ut hvor mange ganger vi må øke 200 for å fordobble gir ønsket ulikhet 200 1.1 n 400 og vi ønsker å finne minimalt n som gir minimal antall ganger vi må øke. Forkorter vi ulikhet med 200 får vi ulikhet 1.1 n =2 Prøver vi ulike verdier finner vi at n=7 gir 1.94<2 og n=8 gir over 2. Vi må øke med minst 8 ganger. Potenser: Oppgave 1. a) a m n =a mn for m=4 og n=2 og a=x som gir x 8 Vi kan også tenke at x 4 2 =x 4 x 4 = x x x x x x x x =x 8 b) Igjen kan vi bruke a m n =a mn men for m=3 og n =5 som gir a 3 5 =a 3 5 =a 15 Vi kan også tenke at 2 a 3 5 =2 a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 =2 a a a a a a a a a a a a a a a =2 a 15 c) Vi kan bruke a m a n =a m n for m=5 og n=2 og a=n som gir n 5 2 =n 7 Vi kan også tenke at n 5 n 2 = n n n n n n n =n 7 d) Vi kan bruke a m a n =am n hvor m=5 og n=2 og a=n hvilket gir n 5 2 =n 3 Vi kan også tenke at n 5 n = n n n n n =n n n=n 3 2 n n
e) Bruker vi a m a n =a m n med m=k og n=2 får vi n k 2 f) Bruker vi a m a n =am n med m=k og n=2 og a=n får vi n k 2 g) Bruker vi a m n =a mn med m=2, n=k og a=n får vi n 2k Oppgave 2. a) Bruker vi a m n =a mn med m=2 og n=3 får vi a 2 3 =a 6 Bruker vi deretter a m a n =a m n med m=1 og n=6 får vi a a 2 3 =a a 6 =a 1 a 6 =a 7 Vi kan også tenke at a a 2 3 =a a 2 a 2 a 2 =a a a a a a a =a 7 b) Bruker vi a m a n =a m n hvor m=4 og n=1 og a=x får vi x 4 x= x 4 x 1 = x 5 Bruker vi deretter a m n =a mn hvor m=5 og n=2 og a=x får vi x 5 2 = x 10 c) Bruker vi a m n =a mn hvor m=2 og n=10 får vi a 2 10 =a 20 Bruker vi deretter a m a n =am n hvor m=20 og n=15 får vi a 2 10 a 15 = a20 a 15 =a20 15 =a 5 d) Bruker vi a m n =a mn hvor m=3, n=4 og a=y får vi y 3 4 = y 3 4 = y 12 Bruker vi deretter a m a n =a m n hvor m=12, n=4 og a=y får vi y 3 4 y 4 = y 12 y 4 = y 12 4 = y 16 e) Bruker vi a m a n =a m n hvor m=3, n=5 og a=m får vi m 3 m 5 =m 3 5 =m 8 Bruker vi deretter a m n =a mn hvor m=8, n=3 og a=m får vi m 3 m 5 3 = m 8 3 =m 8 3 =m 24
f) Bruker vi a m a n =am n hvor m=7, n=2 og a=x får vi x 7 x 2 =x7 2 = x 5 Bruker vi deretter a m n =a mn hvor m=n=5 og a=x får vi 2 5 x7 = x 7 2 5 = x 5 5 =x 5 5 =x 25 x Oppgave 3. a) 10 a 3 3 = 10 a 3 10 a 3 10a 3 = 10 a 3 10 a 3 10 a 3 hvilket er lik 10 10 10 a 3 a 3 a 3 = 10 3 a 3 3 = 1000a 9 b) 6c 3 2 = 6c 3 6c 3 = 6 6 c 3 c 3 =36c 6 c) 3x 2x 3 =3x 2x 2x 2x=3 2 2 2 x x x x=24 x 4 d) a 2 b 2 ab 2 3 = a 2 2 b 2 a 3 b 2 3 =a 4 b 2 a 3 b 6 =a 4 3 b 2 6 =a 7 b 8 e) yz 2 2yz 3 0.5 z= y 2 z 2 2 3 y 3 z 3 1 2 z= 23 1 2 y2 z 2 y 3 z 3 z= 8 1 2 y2 3 z 2 3 1 =4y 5 z 6 Oppgave 4. a) 2ab 2 4ab = 22 a 2 b 2 3 4ab = 4 3 4 a2 1 b 2 3 =1 a 1 b 1 = a b dersom b 1 = 1 b b) 81b 6 c 3 c 3 c 3 3b 2 c 4 = 81b6 3 4 b 2 4 c 4 = 81b6 3 4 b 8 c = 81 4 81 b6 8 c 3 4 = 1 b 2 c 1 = 1 b 2 c c) 9 a 2 c 3 3 3 c 3 3 3a 3 c 2 3 = 9 a2 3 3 a 3 3 c 2 = 9 a6 c 9 3 27 a 9 c = 9 6 27 a6 9 c 9 6 = 1 3 a 3 c 3 = c3 3a 3 f) d) e) 24 x 4 y 3 2xy 3 = 24 x4 y 3 2 3 x 3 y 3 = 24 8 x4 3 y 3 3 =3x 2a 2 c 5 2 4a 2 c 2 = 22 a 2 2 c 5 2 3 4 3 a 2 3 c 2 = 4a4 c 10 3 4 3 a 6 c = 4 6 64 a4 6 c 10 6 = 1 16 a 2 c 4 = c4 16a 2 x 2 3 y 2 2 x 3 y 3 3 = x6 y 4 x 9 y 9 = 1 x 3 y 5
Oppgave 5. a) 0.25 40 4 42 = 1 40 4 4 42 = 140 4 40 442 = 1 4 40 442 = 442 40=442 40 =4 2 =16 4 b) 2 100 1 103= 2 2100 2 103 =2100 103 =2 3 = 1 2 3= 1 8 c) 3 50 4 4 49= 3 350 4 49 4 50 3 49= 3 4 3 50 4 4 49 3 = 3 50 4 3 49 4 = 3 50 49 = 4 3 4 eller tenk Oppgave 6. a) 3 10 5 8 =3 2 3 8 5 8 =3 2 3 5 8 =9 15 8 15 15 8 =15 9 b) 5 20 =5 10 5 10 5 10 11 10 = 5 11 10 =55 10 Oppgave 7. a) a 5 c 4 c b 2 c 5 = a5 c 4 b 2 c 5 c =a 5 b 2 c 4 c 5 =a 5 b 2 c 4 5 1 =a 5 b 2 c 0 =a 5 b 2 c b) 18 u 2 v 3 w 8 v 2 s = 18 v 3 v 2 w 8 s 6v 4 w 5 4 s 2 24 u2 v 4 w 5 s = 3 2 4 u2 v 3 2 4 w 8 5 s 1 = 3u2 w 3 v 3 s c) 5 4 a 3 3 2 a 2 3b 2 5b = 54 3 2 a 3 a 2 3 3 5 b 2 b 3 =53 3 a 3 2 b 2 3 =375 a 1 b = 375 ab d) a 2n 1 a 3n 1 =a2n 1 3n 1 =a 2n 1 3n 1 =a 2 n
e) b x 3 b 2x 1 b 3 x b b x 3 2x 1 bx 4 = = 5x 2 3 x 5x 2 b b 4x 1 =bx 4 4x 1 =b 3 3x f) x n y y n 2 x y 2 x 3 1 = x n y n 2 y n x n 2 y 2 x 3 = xn n 2 y n 2 n y 2 x 3 = x 2 y 2 y 2 x 3 = x 2 3 y 2 2 =x 1 y 0 = x Oppgave 8. a) 1 2 3 3 2 3 3 = 1 8 3 2 27 =3 8 2 27=24 54=78 b) 1 4 2 3 8 1 3 3 = 1 2 3 8 1 27 =2 3 8 27=8 8 27= 8 26= 208 Rekkefølger: Oppgave 1. a) 7 8 9=7 72=79 multiplikajson først b) 3 4 5 6=12 30=42 multiplikasjonene først 3 5 4 2 3 3 c) = 3 5 4 8 3 2 6 13 2 6 13 = 15 32 3 12 13 = 50 =2 dersom det ikke fins faktorer 25 i teller og nevner å forkorte med må teller og nevner regnes ut først, potens i teller må regnes først d) 2 3 3 1 3 6 9 = 2 27 1 6 9 =2 27 1 6 9=54 54=108 potense regnes først e) 10 2 4 5 10 =10 2 20 =10 2 2 =10 4=6 brøket først 10 f) 20 10 20 5 =30 15 =2 teller og nevner regnes først før forkorting Parenteser: Oppgave 2. Sum 1000 50x x2 300 x4 x2 1100 40x 200000 200 x4 200000 blir 1 1000 1100 50 40 x 200 1 300 1 x2 200000 1 200000 x4 og
3 2100 90x 600 2 600 x2 2 200000 x4 =2100 90x 5 600 x2 1 100000 x4 Oppgave 8. Inntekt er x 200 0.01 x 0.0000001 x 2 =200x 0.01 x 2 0.0000001x 3 Profitt er inntekt minus kostnad 200x 0.01x 2 0.0000001x 3 500 40x 0.02x 2 hvilket blir 200x 0.01x 2 0.0000001x 3 500 40x 0.02x 2 = 500 160x 0.03 x 2 0.0000001 x 3 Oppgave 9. Inntekt er x 100 0.01x 0.001y y 50 0.002x 0.02y hvilket blir 100x 0.01x 2 0.001xy 50y 0.002xy 0.02y 2 =100x 50y 0.01x 2 0.003 xy 0.02y 2 For profitt trekker vi fra kostnadene 100x 50y 0.01x 2 0.003 xy 0.02y 2 100 10x 0.01x 2 100 20y 0.01y 2 og får 100x 50y 0.01x 2 0.003 xy 0.02y 2 100 10x 0.01x 2 100 20y 0.01y 2 deretter trekker sammen og får 200 90x 30y 0.02x 2 0.003xy 0.03y 2 Oppgave 10. a) 5 a 2 2ab b 2 =5a 2 5 2ab 5b 2 =5a 2 10ab 5b 2 b) 2b 2 b ab 4a 2 =2b 2 b 2b 2 ab 2b 2 4a 2 =2b 3 2b 2 ab 8a 2 b 2 =2b 3 2ab 3 8a 2 b 2 c) 3c 3 4d 3cd c 2 = 3c 3 4d 3c 3 3cd 3c 3 c 2 = 12c 3 d 9c 4 d 3c 5
d) 4st 2 3s 2 t s 2t 1 = 4st 2 3s 2 t 4st 2 s 4st 2 2t 4st 2 1 gir 12 s s 2 t 2 t 4st 2 s 8s t 2 t 4st 2 = 12s 3 t 3 4s 2 t 2 8st 3 4st 2 Oppgave 12. 2m 1 2m 5 =2m 2m 2m 5 1 2m 1 5=4m 2 10m 2m 5=4m 2 12m 5 y 4 3y 4 = y 3y y 4 4 3y 4 4 =3y 2 4y 12y 16=3y 2 16y 16 m 2 3n m 2 n =m 2 m 2 m 2 n 3n m 2 3n n =m 4 m 2 n 3nm 2 3n 2 =m 4 2nm 2 3n 2 3y 2v 3y 2v 3y 2v = 3y 2v 3y 3y 3y 2v 2v 3y 2v 2v hvilket er lik 3y 2v 9y 2 6yv 6vy 4v 2 = 3y 2v 9y 2 4v 2 hvilket er lik 3y 9y 2 3y 4v 2 2v 9y 2 2v 4v 2 =27y 3 12yv 2 18vy 2 8v 3 2t v s t 2 v s =2t t 2t 2v 2t s v t v 2v v s s t s 2v s s hvilket er lik 2 t 2 4t v 2 t s vt 2 v 2 vs st 2 s v s 2 =2 t 2 3 tv ts 3 sv 2 v 2 s 2 Oppgave 13. Vi multipliserer to ganger med 1 0.01p hvilket gir K 1 0.01p 1 0.01p =K 1 1 1 0.01p 0.01p 1 0.01p 0.01p hvilket er K 1 0.01p 0.01p 0.0001p 2 =K 1 0.02p 0.0001p 2 = K 1 0.01 2p 0.01p 2 Vi har faktorisert 0.02p 0.0001p 2 gjennom å dele på 0.01 til 0.01 2p 0.01p 2 Vi kan teste at vi kan komme tilbake gjennom å multiplisere parentes igjen med 0.01. Beløp har øket 2p 0.01p 2 prosent