1 Jon Vislie; setember 29 Veiledning ogave 3 ka. 2 ECON 361/461 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk olitikk Vi betrakter en lukket økonomi der vi ser utelukkende å bruk av vannkraftrodusert energi som har alternative anvendelser. Det foreligger en gitt mengde energi til disosisjon, Z, som har alternative anvendelser; den kan dels brukes som elektrisitet til ovarming hos en (homogen) husholdningssektor, gitt ved e, og dels som innsatsfaktor i roduksjonen av en konsumvare; energibruken her er E. usholdningen har referanser over konsum av ferdigvaren,, og energi e, gitt ved nyttefunksjonen (, e). Nyttefunksjonen har ordinære egenskaer. Anta at sammenhengen mellom mengde rodusert av konsumvaren, x, og bruk av energi som innsatsfaktor x = f ( E ), med f ( E) >, f ( E) <. ( E) er gitt ved en vanlig roduktfunksjon a) Vis at samfunnsøkonomisk effektiv bruk av den gitte ressursen er bestemt av betingelsen e = f ( E), når e+ E = Z. (usk at x =.) Gi en verbal tolkning av denne betingelsen? Illustrer løsningen! Svar: Den realøkonomiske rammen for denne økonomien er gitt ved de tre sammenhengene: (1) Z = e+ E (tilgang lik anvendelse av energi) (2) x = f( E) (roduksjonssammenheng) (3) x = (tilgang lik bruk av ferdigvaren; lukket økonomi) Vi har fire variable; e, E, og x. Modellen har én frihetsgrad som kan utnyttes til å maksimere (,). Ved hjel av (1) (3), kan maksimeringsroblemet skrives som: Max { (,) e = ( f ( E), Z E): = u( E) E Z }, der u(e) er en komrimert skrivemåte for målfunksjonen. Vi antar indre løsning; dvs. at den otimale verdien å E er strengt ositiv, men mindre enn Z. Avveiningen består selvsagt i at jo større E er, jo større blir tilgangen å konsumvaren, men samtidig blir det mindre energi til ovarming; e. Ved å derivere u(e) de de mh. E, finner vi: u ( E) = (, e) f ( E) + (, e) de. Fra (1) har vi at de = 1; slik at 1.ordensbetingelsen kan skrives som f ( E) e =, dvs. som: = f ( E). Venstre side er MSB mellom energi og konsum, eller marginal betalingsvilje for energi i enheter av konsumvaren; d e de = som skal være lik marginalavkastningen av energi (som her kan tolkes som marginal transformasjonsbrøk mellom energi og ferdigvaren) brukt i roduksjonen av dx konsumvaren; f ( E) =. Tolkningen er rett fram: I otimum skal det antall de konsumenheter husholdningen i det minste må ha i komensasjon for å være villig til å avgi én enhet energi til roduksjonen av ferdigvaren, være lik det antall enheter av ferdigvaren som skaes ved ytterligere bruk av én enhet
2 energi i roduksjonen av ferdigvaren. Med avtakende MSB og avtakende marginalavkastning; f < ; kan otimumsløsningen illustreres i et badekardiagram: Enheter av ferdigvaren MBV f ( E) Enheter av ferdigvaren e Z E Fra ethvert unkt utenfor otimum, er det mulig å foreta en omfordeling av den gitte tilgangen av energi mellom alternative anvendelser slik at nytten kan økes. Ta et unkt til venstre for skjæringsunktet, der MBV > f. I et slikt unkt er det antall konsumenheter husholdningen er villig til å gi o eller betale for å få ytterligere én enhet energi til ovarming, større enn marginalavkastningen av energi i alternativ anvendelse; dvs. det som kan onås marginalt i roduksjon av konsumvaren. Siden vi i et slikt unkt har at det realøkonomiske bytteforholdet i roduksjonen er lavere enn hva husholdningen er villig til å gi o av konsumvaren, vil det være mulig å øke det samfunnsøkonomiske overskuddet ved en omfordeling, svarende til MSB f ( E) enheter av ferdigvaren. Når dette er ositivt, vil gevinsten av økt e overstige kostnaden av en lavere E. Energi har høyere marginalavkastning i ovarming enn brukt som roduksjonsfaktor. Om vi fra et slikt unkt nå skulle vurdere å øke E, ville marginalgevinsten f ( E) være mindre enn hva husholdningen vil måtte ha i komensasjon i form av ytterligere ved å være villig til å redusere e, uten at nyttenivået går ned. Fra et slikt synsunkt er alternativkostnaden, MBV, høyere enn marginalgevinsten, f ( E). Med andre ord: Så lenge vi ikke har ofylt likheten = f ( E), vil en omfordeling av den gitte energimengden være ønskelig. (vis MBV < f ( E), vil marginalgevinsten av økt energibruk i roduksjonen av ferdigvaren, overstige det antall konsumenheter husholdningen må ha for å være villig til å redusere energi brukt til ovarming.) b) vordan kan den samfunnsøkonomisk otimale løsningen realiseres som en markedslikevekt? (Det er to gruer av aktører: usholdningene maksimerer (,) e med inntekten, R, som gitt og til gitte riser; dvs. med budsjettbetingelsen + e = R, som viser inntektsanvendelsen. Bedriften maksimerer rofitten π = f ( E) E.) Forklar hvorfor vi i
3 denne likevekten får bestemt relativ ris og realinntekt R, der otjeningssiden forteller oss at R = Z + π. Svar: Med våre antakelser vil bedriften løse følgende roblem, til gitte riser: Max f ( E) E. Anta at f () > og at det finnes en endelig verdi å E, E { } kalt E, slik at f ( E) < for alle E > E, da vil løsningen å bedriftens roblem, med f <, være fullt ut gitt ved 1.ordensbetingelsen f ( E) = ; verdi av grenseroduktiviteten av energi lik faktorrisen; eller grensekostnaden lik roduktrisen; f ( E ) =. Fra denne utleder vi faktorettersørsel E( ), med E lavere jo høyere er, og som innsatt i roduktfunksjonen gir oss rodukttilbudet x( ), der x vil være lavere jo høyere er, eller motsatt, en stigende funksjon av. Sett nå disse inn i rofitten, og vi finner rofittfunksjonen eller den maksimerte verdien å rofitten til de gitte risene som π (, ): ( = x ) E( ). usholdningen, som eier både energiressursen og bedriften, vil til gitte riser og gitt inntekt R : = Z + π (, ), maksimere (,) gitt + e= R. Med de antakelser som er gjort, vil løsningen være kjennetegnet ved MSB : = = som sammen med budsjettbetingelsen gir oss to betingelser til å fastlegge R R ettersørselsfunksjonene for de to varene: (, ) og e(, ). (usk at kun relativ ris og realinntekt er av betydning for tilasningen.) Generell likevekt har vi nå når følgende betingelser er ofylt: (1) (, Z = e ) + E( ) Likevekt i energimarkedet (2) R x( ) = (, ) Likevekt i varemarkedet (3) R π (, ) = Z + Realinntekt i enheter av ferdigvaren Pga. Walras lov, har vi her kun to uavhengige likninger siden bak husholdningens ettersørselsfunksjoner ligger budsjettbetingelsen:
4 e R Z π (, ) Z x E + = = + = + som vi kan skrive som: [ x ] + Z e E =. Likevekt i ett marked, vil innebære likevekt i det andre. Dermed vil (1) (3) kun være to uavhengige likninger som kan bestemme maksimalt to variable; her relativ ris å energi (i enheter av ferdigvaren) og realinntekt (i enheter av ferdigvaren) 1. Legg også merke til at fordi rofittfunksjonen er homogen av grad én i risene, vil vi ha at π ( λ, λ) = λπ(, ) for λ >. Da følger det at vi kan skrive 1 1 π (, ) π (, ) = πλ (, λ). Sett λ =. Da har vi: π (1, ) =, hvilket λ innebærer at kun realrisen blir bestemt, sammen med realinntekten. ) Vi skal nå vurdere om kaasiteten i vannkraftsektoren bør utvides, når det i utgangsunktet har en roduksjonskaasitet gitt ved Z. La samlede vannreserver (både utbygde og ikkeutbygde vassdrag) være gitt ved A. La videre omfanget av de vassdragene som er utbygd til vannkraftroduksjon være, som vi måler i kubikkmeter, mens de resterende, de ikke utbygde vassdragene som har en miljø eller rekreasjonsverdi, er gitt ved V. I utgangsunktet er vassdrag (i kubikkmeter) bygd ut, med en leveringskaasitet i energienheter gitt som Z ( ): = Z. Vi skal anta at det ikke er mulig å bygge ned kaasiteten; inngreene er ugjenkallelige. Sørsmålet er: Er det samfunnsøkonomisk lønnsomt å bygge ut flere vassdrag? For å besvare dette sørsmålet, lar vi konsumentsiden ha en nyttefunksjon gitt som W = (,) e + M( V), der M(V) angir miljø eller rekreasjonsverdien av ikke utbygde vassdrag, målt i nytteenheter. Som tidligere har vi Z ( ) = E + e, med Z ( ) > og Z ( ) <. For et gitt antall utbygde vassdrag vil V og være konstante, slik at M ( V ) og Z ( ) = Z( ) = Z tar helt bestemte verdier. Videre utbygging av vassdrag vil kreve innsats av x varen; slik at samlet roduksjon av denne varen, som igjen er bestemt av hvor mye energi som settes inn i roduksjonsrosessen, kan anvendes dels til rivat konsum eller som vareinnsats til videre utbygging av vannkraftroduksjon. Vi har nå at = ( ) = + φ( ), der funksjonen x f E viser nødvendig innsats av x varen ved å bygge ut ( ) φ vassdrag. Vi antar at ( ) M V er strengt voksende og med strengt avtakende derivert, mens φ( ) er strengt voksende og med strengt voksende derivert, med φ () = og φ () >. Vis at betingelsen for at det vil være samfunnsøkonomisk lønnsomt å utvide kaasiteten i vannkraftroduksjonen, for =, er: φ e + Z Z () M ( V ) ( ) ( ) Gi en verbal begrunnelse for hva denne betingelsen sier. (Vær nøye med måleenheten!) Forsøk også å gi en illustrasjon i et badekardiagram.. Svar: Vårt roblem i dette tilfellet er å maksimere W = (,) e + M( V) gitt følgende bibetingelser: 1 Alternativt kunne vi ha latt realrisen å konsumvaren bli bestemt i enheter av energi.
5 (1) A = + V (2) Z( ) = e+ E (3) f ( E) = + φ( ) De tre bibetingelsene er tre likninger mellom fem variable:, V, e, E og ; med andre ord vi har nå to frihetsgrader som elimineres gjennom to førsteordensbetingelser, via vanlig maksimering. Setter vi (1) (3) inn i velferdsfunksjonen, ser vi at denne kan skrives som: we (, ) = ( f( E) φ( ), Z ( ) E) + M( A ), som vi kan finne et fritt maksimum for. Det er tilstrekkelig å se å førsteordensbetingelsene, idet funksjonene er av en slik art at førsteordensbetingelsene vil gi et maksimum. Vi finner først at for gitt kaasitet skal den gitte tilgangen å energi fordeles slik vi har sett tidligere i ogaven; dvs. at følgende betingelse må gjelde: w d dx (4) = ( ) = ( ) = = = f E MSB f ( E) = ( ) = konst. E de de Dette skal gjelde for enhver utbygd kaasitet. (Pris å energi er slik at enhver kaasitet utnyttes fullt ut.) Sørsmålet om vi skal bygge ut mer enn eksisterende kaasitet, svarende til en utbygging lik nåværende,, avgjøres ved å undersøke om w ( ( )) Z e ( ) M = φ + ( V) er ositiv for =. Med andre ord, w om ( ) = >, da bør vi bygge ut noen vassdrag, og helt til et unkt der w =. Kravet til videre utbygging er derfor: vis ( φ ( )) + Z ( ) M ( V) evaluert for =, dvs. hvis () M ( V ) ( ) ( ) e φ +, da bør vi bygge ut! Denne betingelsen gir oss et Z Z investeringskriterium. Venstre side kjenner vi igjen som MBV som i en markedslikevekt er lik realrisen å energi i enheter av ferdigvaren. øyresiden kan vi ofatte som φ () langtidsgrensekostnaden ved utbygging (LGK). Første ledd, som er en Z ( ) marginal ressurskostnad, har måleenhet antall enheter av ferdigvaren er m 3 dividert med antall KWh er m 3 ; dvs. antall enheter av ferdigvaren er enhet nyutbygd energi (direkte marginal ressurskostnad), mens det andre leddet M ( A ) angir miljøkostnaden ved videre utbygging, utover Z ( ), og har måleenhet gitt som: Telleren er nytte er m 3, mens nevneren er gitt som roduktet av antall KWh er m 3 og nytte er enhet av ; dvs. hele brøken har måleenhet antall enheter av konsumvaren er enhet energi. Otimal kaasitet er kjennetegnet ved at marginal betalingsvilje (lik marginalavkastningen av
6 energi i alternativ anvendelse; jfr. (4)) skal være lik marginal ressurskostnad luss marginal miljøkostnad, der den siste forteller hvor mye husholdningen må ha i ekstra konsum til erstatning for tat rekreasjonsverdi gjennom et dårligere miljø (marginal miljøkostnad). Vi kan illustrere løsningen i et badekardiagram, med bredde lik Z = Z( ): vis den felles marginale betalingsviljen for energi, gitt ved likevektsrisen ved energitilbudet Z( ) = Z,, dvs. til en utbygging, overstiger LGK( = ), da bør vi bygge ut. Vi kan tegne inn LGK med start å høyre akse i badekardiagrammet. Enheter av ferdigvaren f ( E) LGK e Z( ) E Z ( ) Så lenge marginalavkastningen av energi i roduksjonen av ferdigvaren (lik husholdningens marginale betalingsvilje for energi i enheter av konsumvaren) overstiger summen av marginal ressurskostnad og marginal miljøkostnad, da bør vi bygge ut. vis ikke, bør vi la være! (Om det er lønnsomt å bygge ut, vil en høyere kaasitet og dermed høyere roduksjon bare kunne omsettes om realrisen å energi går ned derfor den fallende rislinjen fra nivået. tvides kaasiteten, vil bredden å badekaret øke jfr. drøftinger i tidligere ogave der vi behandlet virkningen av økt tilbud av arbeid.)