R - K.8,.9, 4., 4., 4... Løsningsskissser I I et lotteri er det i alt lodd. Det er gevinst på av loddene. Lise kjøper lodd. ) Hva er sannsynligheten for at hun ikke vinner? ) Hva er sannsynligheten for at hun har kjøpt ett vinnerlodd? ) Hva er sannsynligheten for at hun har kjøpt to vinnerlodd? 4) Hva er sannsynligheten for at hun får gevinst på minst ett av loddene? X : Antall gevinstlodd av fem kjøpte Uten tilbakelegging, avhengighet: Hypergeometrisk fordeling: P X x x 4 x Lommeregner: Y ( ncr X)(4 ncr (-X))/( ncr ) P X P X P X 4.77 (Y()) 4 4. (Y()) 4.67 (Y()) P X P X.77.4 I et annet større lotteri, med tusenvis av lodd, er sannsynligheten for å kjøpe et gevinstlodd.. Lise kjøper som vanlig lodd. ) Hva er sannsynligheten for at hun ikke vinner? ) Hva er sannsynligheten for at hun har kjøpt ett vinnerlodd? ) Hva er sannsynligheten for at hun har kjøpt to vinnerlodd? 4) Hva er sannsynligheten for at hun får gevinst på minst ett av loddene? Uavhengighet: Binomisk fordeling: P X x Lommeregner: Y binompdf(,.,x) P X..9.9 (Y()) P X..9 4.8 (Y()) x. x.9 x P X..9.79 (Y()) P X P X.9.4 II Vi trekker kort fra en kortstokk ( kort), uten tilbakelegging. Hva er sannsynligheten for at vi har trukket: Ulven.. av r ls.tex
Bare spar-kort? Ingen spar-kort? c) Tre ruter-kort og to kort av andre farver? d) Tre ruter-kort og to kløver-kort? Tenk binomisk/hypergeometrisk: To tilfeller; spar eller ikke og telling av antall spar X : Antall spar av de kortene man trekker Med uten tilbakelegging, avhengighet: Altså hypergeometrisk: P X x x x Bare spar-kort: P X Ingen spar-kort: P X 4. 9 4.49. c) Tre ruter og to ikke ruter: P X.8 (Som spar og andre, så vi bruker samme formel med X : Antall ruter av de kortene man trekker.) d) Her må man dele opp i tre grupper istedenfor to: Ruter, kløver og resten, altså, og 6 Får da en utvidelse av hypergeometrisk til såkalt multinomisk fordeling: Tre ruter, to kløver, ingen andre: 6.88 III Bestem grenseverdiene hvis de eksisterer: x lim x lim x x 8x 9 x x c) Hvorfor er det ikke riktig å skrive: lim d) Kan vi skrive dette resultatet på noen annen måte? e) Hva er sammenhengen mellom kontinuitet og deriverbarhet? f) Lag en skisse med et eksempel på at en kontinuerlig funksjon ikke trenger å være deriverbar i hele definisjonsmengden. g) Hva er asymptotene til funksjonen f x x Både teller og nevner går mot, altså et ubestemt uttrykk, så vi må faktorisere: lim x x 8x 9 lim x x x 9 lim x x 9 lim x x 9 Ulven.. av r ls.tex
Skriver om: lim x x x x lim x x x x x (Først divisjon med x oppe og nede, deretter ser vi at x, x og x går mot null og bare blir igjen når x blir svært stor.) c) og d) er ikke et endelig tall, og heller ikke unikt, så er derfor ingen grenseverdi, så vi skriver da isteden: x (Kan også skrive: lim formuleringen.) Eksisterer ikke, men dette sier mindre enn den alternative e) Hvis en funksjon er deriverbar, er den også kontinuerlig, men ikke omvendt. f) Tegn en kurve som henger sammen, men som har et knekk-punkt! g) f x x x 4 (Polynomdivisjon.) x f x : Vertikal asymptote: x x f x x : Skrå asymptote: y x IV Deriver funksjonene: f x x x f x x x c) f x x Husk at: f x x x, slik at f x x Kjerneregel: f x u,u x x f x u x x x x x Produktregel: f x x x x x x x x x x x 7x x x x (Multipliserer andre ledd med x oppe og nede.) c) Brøkregel: f x x x x x x x x Ulven.. av r ls.tex
IV I Figur har vi en graf av andregradsfunksjonen f x. Figur Finn stigningstallet til tangenten T til grafen f x gjennom tangeringspunktet P ut fra grafen. Hva er veksthastigheten til f x når x og x? c) Finn funksjonsuttrykket til f x ut fra grafen. d) Finn stigningstallet til tangenten når x ved regning. e) Finn ligningen for tangenten til f x i punktet,. Leser av stigningstall fra graf mellom punktene, og 4, 7 på T: S T 7 4 4 x når grafen har et bunnpunkt, avlest:, ): Veksthastighet: f x ligger symmetrisk om parabelens midtakse, så stigningstallet her må være motsatt av resultatet i : f 4 (Kan også tegne inn en tangent så nøyaktig som mulig og lese av som i. ) c) Må være på formen a x x x x der x og x er nullpunkter. Leser av nullpunkter: x og x ): f x a x x ax x Ulven.. 4 av r ls.tex
Da grafen går gjennom P, avlest som,, har vi: a a Funksjonsuttrykk: f x x x x x d) f x x f 4 e) Ett-punkts-formelen: y 4 x y 4 x y 4x Ulven.. av r ls.tex