Eksamen i M-0 Geometri 7 mai 00 Oppgave Gitt en firkant med hjørner :(,0), :(7,), :(,) og :(,) enne firkanten er motivet i en symmetrisk figur a) Tegn figuren, når den skal være symmetrisk om origo og ha symmetrigruppe Z b) Tegn figuren, når den skal ha symmetrigruppe c) Konstruer figuren, når den skal være symmetrisk om origo og ha symmetrigruppe Z 6 d) Gitt symbolet Skriv ned symmetrigruppen for symbolet, og oppgi koordinatene til et polygon som genererer symbolet ved denne symmetrigruppen a) b) c) d) et genererende polygonet i oppgave d) har hjørnene (0,0), (6,0), (6,), (,), E(,) Eksamen i M-0 7 mai 00 Side
Oppgave Et legeme er framkommet ved at en rett firkantet pyramide er satt oppå et rett firkantet prisme, slik at pyramidens grunnflate akkurat dekker prismets toppflate a) Tegn et perspektivbilde av legemet ved hjelp av følgende opplysninger, jfr svararket Projeksjonsplanet er loddrett Horisonten er vannrett e perspektiviske bildene av to av de loddrette kantene på prismet er gitt som linjestykkene og et laveste punktet på en tredje loddrett kant er gitt som punktet E Pyramidens topp er rett over midtpunktet i grunnflata Velg selv toppunktet i pyramiden b) Tegn en dør på den ene veggen som er sentrert i horisontal retning redde og høyde skal være halvdelen av veggens bredde og høyde c) Tegn et vindu på den andre veggen som er sentrert både horisontalt og vertikalt, og som er halvdelen så høyt og breit som veggen E Eksamen i M-0 7 mai 00 Side
Oppgave Et linjestykke a er gitt a I et trapes er og de parallelle sidene, og a, a, 60 o iagonalen deler diagonalen i forholdet : a) Konstruer trapeset I resten av oppgaven skal svarene uttrykkes eksakt ved hjelp av a, ikke ved tilnærmingsverdier b) eregn avstanden fra hjørnet til sida c) eregn lengden av diagonalen d) Finn lengden av e) Finne lengden av diagonalen f) Kall diagonalenes skjæringspunkt for E Finn lengdene av E og E g) Finn til slutt E og lengden av a) Se figuren til høyre b) Vi nedfeller normalen fra på med fotpunkt F Pythagoras setning på F gir F a a a c) Pythagoras setning på F gir F + F a + a 7 a, a 7 d) E E, fordi E a må og E a e) v d) følger at er likebeint, og 0 og dermed 0 Sinussetningen på gir da sin sin0 a a a sin sin0 sin sin ( ) Eksamen i M-0 7 mai 00 Side (lternativt: kan settes sammen av to rettvinklede trekanter med vinkler 0,60,90, og da må a a a ) E E a E E E f) Siden E : E, er, eller, og herav a a a a E a a E, E a E F,
( E) sin ( E) sin g) Sinussetningen på E gir E, herav a sin( E) sin( E) sin0 E a 7 7, ( ) E rcsin 7 7 sin( E) 7 cos E osinussetningen på E gir da gir ( E) cos, 7 8 E + E E E cos E a 7 + a a 7 a 9 7 6 og a + a a et betyr at Oppgave a) Tegn en trekant der 90 o Konstruer innsirkelen til trekanten, og kall sentrum i denne for I Nedfell normalene fra I på hver av de tre sidene Kall fotpunktene for normalene for hhv (på ), (på ) og (på ) b) Vis at I Vi skal se på følgende isometrier: S, S, S er speilinger om linjene hhv I, I og I S, S, S er speilinger om sidene, og i trekanten R, R, R er rotasjoner hhv om, om og om ruk positiv omløpsretning på alle rotasjonene c) Hvordan kan rotasjonen R kan skrives som et produkt av to speilinger, der S er den ene av dem? d) Se på symmetrien SS ( S anvendes først) Har denne symmetrien fikspunkt, og i så fall hvilket? Hva slags symmetri er det? Uttrykk symmetrien på en enkel måte e) Uttrykk SR som en enkel isometri f) Vis at RR SS Uttrykk også denne isometrien på en enkel måte g) La T være isomorfien RRR Vis at er et fikspunkt for T Hvordan virker T? a) Se figuren til høyre b) I I' + I ' 90 + 90 ( ) 80 + 80 80 80 80 90 c) R er rotasjon om, og denne kan settes sammen av to speilinger om akser gjennom " " ' ' I ' Eksamen i M-0 7 mai 00 Side
som danner vinkelen / med hverandre Vi kan sette R SS SS d) I er fikspunkt for både S og S og dermed for sammensetningen S S S S er dermed en direkte isometri med I som fikspunkt, og er dermed en rotasjon om I Ifølge oppgave b) er vinkelen fra S s speilakse til S s speilakse, så rotasjonene S S har rotasjonsvinkel 70 eller ekvivalent 90 i negativ retning S S er rotasjon 90 om I e) R er produktet av to speilinger om akser som danner vinkelen med hverandre, altså R SS SS a er SR SSS S SR er speiling om f) På samme måte som R SS SS er R SS SS a må RR S S S S S S R 90 I g) I ' I' gir R' ', I' I' gir R ' ' og ' I I ' gir R' ' lt i alt er RRR' RR ' R' ', dvs er et fikspunkt for RRR, som dermed er en direkte isometri med fiskpunkt, altså en rotasjon Videre er det klart at avbildes på ved R, videre på et punkt på ved R Rotasjonsvinkelen er derfor 80 RRR er derfor rotasjon 80 om Eksamen i M-0 7 mai 00 Side