Fultet fo teologi, ust og desig Teologise fg Esme i: Diset mtemti Målfom: Bomål Dto: 6 3 Tid: 5 time / l 9-4 Atll side (il foside): 9 Atll oppgve: Tilltte hjelpemidle: Hådholdt lulto som ie ommuisee tådløst Med: Kdidte må selv otollee t oppgvesettet e fullstedig Ved evetuelle ulhete i oppgveteste sl du edegjøe fo de foutsetige du legge til gu fo løsige Besvelse sl mees med didtumme, ie v Bu lå elle sot ulepe på iføigset Fglig veilede: Ulf Uttesud Uteidet v (fglæe): Ulf Uttesud Kotollet v (e v disse): Ae læe Seso Istituttlede/ Pogmoodito Istituttledes/ Pogmooditos udesift: Emeode: DAPE3 ITPE3 FO9A FO9I
Alle de oppgvee telle lit I oppgve med udepute vil evede og me omfttede udepute ue telle me e lette og ele udepute Det e ie sli t lette oppgve omme føst og vselige til slutt Bu defo ie fo mye tid på e oppgve du ie få til Pøv istede e y oppgve Alle sv sl egues! Det fo esempel sje ved t du t med mellomegige elle gi de fome fo gumetsjo Ku et sv ute oe eguelse e omlt vediløst Oppgve ) L p og q væe logise utsg Sett opp e shetsveditell fo det smmestte utsget ( p q) p ) L S stå fo s og U fo us E logis opeto e defiet ved t S S = S, S U = U, U S = U og U U = S Lg et smmestt utsg ved hjelp v p, q og e elle flee v opetoee,,, sli t utsget li evivlet med p q (Os: opetoe stå fo eslusiv elle) c) L p, q og væe logise utsg Avgjø om de to smmestte utsgee ( p q) og p ( q ) e evivlete elle ie Oppgve Vi lle et «od» på te ostve som u ieholde ostvee, elle c, fo et c-od Fes e c, og cc lle c-od L U væe megde v lle c-odee, A megde v de c-odee som h e føst, B megde v de som h e på midte og C megde v de som h e til slutt ) Teg et Ve-digm fo U og de te megdee A, B og C ) Fi tllet elemete i U, A, B,C, A B, B C, AC og A B C c) Hvo mge c-od e det hvo ie igå? d) Hvo mge c-od e det hvo igå mist é gg? e) Hvo mge c-od e det hvo igå øytig é gg?
Oppgve 3 L tllmtisee A og B væe gitt ved: 3 A, B ) Hv e dimesjoee til A og B? ) Fi mtisepodutet AB Hvile dimesjo få det? c) Fi mtisepodutet BA Hvile dimesjo få det? Oppgve 4 ) Sett opp desimltllet 46 på iæ og på hesdesiml fom ) Tllet 77778 e gitt på otl fom Fi det på desiml og på hesdesiml fom c) Fi pimtllsftoiseige til! (dvs fultet) Hvo mge -e vil det li est hvis! sives på hesdesiml fom? d) Fi summe 7 8 3 ved hjelp v fomele fo summe v e geometis ee Oppgve 5 I dee oppgve sl det ues et fst itfomt på 8 ite, to-omplemet og fotegsit fo epesetsjo v heltll på iæfom Fo esempel sl tllet epesetees som ) Hvo mge fosjellige heltll epesetees på dee fome? Hv e det støste tllet? Oppgi det åde på desimlfom og på iæfom ) Et heltll på dee fome e egtivt hvis og e hvis de føste ite e Hvo mge egtive heltll epesetees på dee fome? Hv e det miste (dvs det støst egtive)? Oppgi det åde på desimlfom og på iæfom c) Hvo mge fosjellige heltll epesetet på dee fome h lie mge - ite som -ite? Hvo mge v dem e egtive? d) Hvo mge positive heltll (tll støe e ) epesetet på dee fome h flee -ite e -ite? 3
Oppgve 6 9 ) Hv e vedie til iomiloeffisiete? 3 ) På hvo mge måte odet KULTURUKE stoes om? c) Hvo mge pemutsjoe e det v heltllee f til 5? d) Hvo mge pemutsjoe e det v heltllee f til 5 de 5 stå i midte? Oppgve 7 Gitt diffeesligige 4,, 3, 8 ) Fi og 3 4 ) Fi e fomel fo Sje t fomele di stemme ved å sette i = og 3 D sl du få de smme esulttee som i put ) c) Fi 8 ved fo esempel å sette i i fomele du ft i put ) elle ved å fotsette som i put ), dvs ved å ege ut 4, 5, osv til du omme til 8 Oppgve 8 L A = {,,3,,8,9,3} og B = {,,,3,,7,8} Defié fusjoe f : A B ved t fo hvet heltll Asl f () væe podutet v føste og de siffe i Det ety fo esempel t f ( ) og f ( 5) 5 ) Fi A og B, dvs fi tllet elemete i de to megdee ) Siv opp de tllee f megde B som e pimtll c) Fi vedimegde til f? d) E f e-til-e? e) E f på? 4
Oppgve 9 L A {,, c, d } og R elsjoe på A gitt ved R = {(, ),(, d ),(, d ),( c, ),( d, c) } ) Teg gfe G R til R ) Sett opp mtise M R til R c) E R eflesiv? E R symmetis? E R tisymmetis? E R tsitiv? d) Fi det logise (oolse) mtisepodutet M R M R e) Sett opp lle p v elemete f A som e sli t det i gfe G R gå e vei med legde 3 f det føste elemetet til det de Sett i hvet tilfelle opp hvile elemete som igå i veie Fo esempel sl pet (, ) væe med side det gå e vei med legde 3 f til Det e veie, d, c, Oppgve Gitt følgede gf: ) Sett opp gde til hvet put i gfe ) Fies det e luet Eule-vei i gfe? Hvis j, sett opp e sli vei c) At t e t i gfe e fjeet Vil det d fies e luet Eule-vei? Hv med e åpe Eule-vei? d) Du sl å fjee to te i gfe sli t de fotstt e smmehegede ) E det mulig å fjee to te sli t gfe få e luet Eule-vei? ) E det mulig å fjee to te sli t gfe få e åpe Eule-vei? 3) E det mulig å fjee to te sli t gfe hvee få e luet elle e åpe Eule-vei? 5
Defiisjoe og fomle Logise opetoe: (ie), (og), (elle), (eslusiv elle), (implisjo) Noe evivlese f utsgslogi: p ( q ) ( p q) ( p ) p ( q ) ( p q) ( p ) ( p q) p q ( p q) p q p q p q p q q p xp( x) xp( x) xp( x) xp( x) Noe megdeidetitete: A ( B C) ( A B) ( AC) A ( B C) ( A B) ( AC) A B A B A B A B Kdilitet tllet elemete i e uio: A B A B A B A B C A B C A B AC B C A B C Fusjoe: I fusjoe f : A B ety A defiisjosmegde og B vediomåde E fusjo f : A B e e-til-e hvis, A og, medføe t f ( ) f ( ) E fusjo f : A B e på hvis ( B) ( A) sli t f ( ) Mtise L A væe e m -mtise De tspoete til A eteges med mtise vi få å dee og oloee i A yttes om T A og e de m - Heltllsdivisjo (divisjoslgoitme), div og mod: L væe et heltll og d et positivt heltll D fies etydige heltll q og med d sli t dq Opesjoee div og mod defiees ved t div d q og mod d 6
7 Moduloegig: L m væe et positivt heltll To heltll og lles oguete modulo m hvis m gå opp i og det eteges med ) (mod m Summe v ee: Geometis ee:, Aitmetis ee: L væe føste ledd, siste ledd og d diffeese mellom to og to ledd Atll ledd e gitt ved d og summe e li ) ( Biomiloeffisiete:! ) ( ) ( )!!(!,,,,, Biomilteoemet: ) ( Atll fosjellige utvlg på stye f e smlig på stye: Odet ute tileleggig: ) ( ) ( Uodet ute tileleggig: Odet med tileleggig: Uodet med tileleggig: Det geeelle «pigeohole»-pisippet: Hvis N ojete sl plssees i ose, må mist é os ieholde mist N ojete
Diffeesligige: De geeelle lieæe homogee diffeesligige v ode med ostte oeffisiete e på fome c c de c og c e ostte Ligiges teistise polyom e gitt ved: c c Hvis det teistise polyomet h to fosjellige eelle løsige og, li geeell løsig li de og e vilålige ostte Hvis sttetigelsee og e gitt, fie e og ved å løse et ligigssystem Hvis det teistise polyomet h u é løsig, li geeell løsig li de og e vilålige ostte Hvis sttetigelsee og e gitt, fie e og ved å løse et ligigssystem Relsjoe: E elsjo R på e megde A e e delmegde v podutmegde A A L R væe e elsjo på e megde A R e eflesiv hvis (, ) R fo lle A R e symmetis hvis (, ) R, så e (, ) R R e tisymmetis hvis og (, ) R, så e (, ) R R e tsitiv hvis (, ) R og (, c) R, så e (, c) R E ptisjo E smlig delmegde A, A, A 3,, A v e megde A utgjø e ptisjo v A hvis A A A A 3 A og A A Ø fo lle i j i j 8
Evivleselsjoe E elsjo R på e megde A e e evivleselsjo hvis de e eflesiv, symmetis og tsitiv Evivleslsse Hvis R e e evivleselsjo på e megde A og A, så e evivleslsse [] til defiet ved [ ] { A (, ) R} Elle med od: [] e li megde v de A som e eltet til Evivleslssee til e elsjo utgjø e ptisjo v A Delvis- elle ptiell odig E elsjo R e e delvis odig hvis de e eflesiv, tisymmetis og tsitiv Gfteoi: Gde til et put L væe et put (eg: vetex) i e uettet gf Gde gd () til e tllet te yttet til putet Gd-t-setige: L G væe e uettet gf med edelig mge te D vil summe v gdee til putee i G væe doelt så sto som tllet te Eules setig: E smmehegede uettet gf med mist to pute h e luet Eule-vei (e Eule-syel) hvis og e hvis lle putee i gfe h ptllsgd E smmehegede uettet gf h e åpe (ie-luet) Eule-vei hvis og e hvis øytig to pute i gfe h oddetllsgd 9