Komplekse tall og trigonometri

Kapittel Komplekse tall og trigonometri Grunnen til at vi har dette kapittelet midt i temaet Differenslikninger er for å kunne løse andre ordens differenslikninger. Da vil vi trenge å løse andregradslikninger. Men kan vi ikke det, spør du? Vel, vi vet at en generell andregradslikning har løsningsformel ax + bx + c = 0 x = b ± b 4ac, (.) a men vi har ikke brukt denne formelen fullt ut. (Det i seg selv er også en god grunn til å innføre komplekse tall.) Når uttrykket b 4ac under rottegnet i (.) er negativt, har vi til nå sagt at andregradslikningen har ingen løsning. Det er fordi den ikke har noen løsninger blant de reelle tallene. Det fins imidlertid flere tall, og blant disse kan vi alltid finne løsninger på alle andregradslikninger. Disse tallene kalles komplekse tall (men ikke tenk på ordet kompleks som vanskelig!), og de vil vi trenge. I dette kapittelet skal vi innføre komplekse tall, og i den forbindelse får vi også bruk for trigonometri.. Komplekse tall Først en kort introduksjon: 6

Problemet vårt er altså at vi ikke kan trekke røtter av negative tall når vi jobber med reelle tall. Det fins imidlertid en løsning på dette problemet: Vi tenker oss at det fins et tall i, kalt den imaginære enheten, med egenskapen i =. (.) Eksistensen av et tall som opphøyd i andre potens gir et negativt tall vil gjøre at vi kan trekke røtter av negative tall: Hvis vi går ut ifra at vanlige regneregler gjelder fremdeles vil vi ha at (ib) = i b = ( )b = b for enhver b R. Så hvis b 0 vil det negative tallet b iallefall ha minst én kvadratrot, nemlig ib. Tall på formen ib tenker vi oss som imaginære tall. Komplekse tall blir da tall som kan skrives som summen av et reelt tall og et imaginært tall. Vi kan så regne med disse tallene på vanlig måte, bortsett fra at vi hele tiden må huske at i =. Formelt går vi frem slik: Definisjon. Et komplekst tall z er et tall som angis på formen z = a + ib der a, b R. Mengden av alle slike tall kalles de komplekse tallene og betegnes C. Eksempel. Tallet er et komplekst tall med a = z = + i og b =. Et komplekst tall a + ib skriver vi av og til på formen a + bi. Hvis a = 0 skriver vi 0 + ib = ib. Slike tall kalles som sagt imaginære dersom b 0. Hvis b = 0 skriver vi a + i0 = a. Det reelle tallet a blir dermed identifisert med det komplekse tallet a + i0. Spesielt har vi at 0 = 0 + i0. 7

Vi har et par navn til: Tallet a kalles gjerne realdelen til z = a + ib og skrives Re(z), mens tallet b kalles imaginærdelen til z og skrives Im(z). For eksempel er Re( + i) = og Im( + i) =. Ethvert reelt tall a er altså et komplekst tall siden a = a + 0i. Vi har dermed utvidet de reelle tallene og fått noen ekstra tall å regne med. Dette skal få stor betydning, men ikke for selve regningen. Vi skal regne akkurat som før, dvs. bruke regnereglene for reelle tall, bare vi husker at i =. Vi minner om reglene vi forholder oss til: Teorem. (Regneregler for R) La a, b og c være reelle tall. Da er følgende regler oppfylt: a + b = b + a (addisjon er kommutativ) a + (b + c) = (a + b) + c (addisjon er assosiativ) a + 0 = 0 (tallet 0 er nullelementet) a a = 0 (additiv invers) ab = ba (multiplikasjon er kommutativ) a(bc) = (ab)c (multiplikasjon er assosiativ) a = a (tallet er identitetselementet) a a = (multiplikativ invers, a 0) a(b + c) = ab + ac (multiplikasjon distribuerer over addisjon) Når vi regner med komplekse tall, bruker vi Teorem. og tenker på i som et symbol. Når vi kommer til en potens av i, bruker vi regelen i =. La oss se på de vanlige regneoperasjonene: 8

Eksempel.4 Vi vil summere tallene + i og 5 6i. Vi får at ( + i) + (5 6i) = + 5 + i 6i = 7 i. Vi ser at vi får summen ved å summere realdelene og imaginærdelene: ( + i) + (5 6i) = 7 i, som er et nytt komplekst tall med realdel 7 og imaginærdel. Hvis vi vil multiplisere tallene gjør vi bruk av parentesregning: ( + i)(5 6i) = 0 i + 5i (i)(6i) = 0 + i 8i = 0 + i 8( ) (siden i = ) = 0 + i + 8 = 8 + i, et komplekst tall med realdel 8 og imaginærdel. La oss dividere tallene med hverandre. Hvordan får vi + i 5 6i på formen til et komplekst tall (a + ib)? Da må vi få et reelt tall i nevneren. Det gjør vi ved å bruke. kvadratsetning (også kalt konjugatsetningen) som sier at (r + s)(r s) = r s. I vårt tilfelle utvider vi brøken med faktoren 5 + 6i, slik at vi kan bruke konjugatsetningen på nevneren: ( + i)(5 + 6i) (5 6i)(5 + 6i) = ( + i)(5 + 6i) 5 (6i) VIKTIG: Siden i =, er nevneren 5 ( 6) = 5 + 6 = 6. Telleren kan vi regne ut ved å multiplisere ut som ovenfor, og vi får ( + i)(5 + 6i) = 8 + 7i (sjekk!), dvs. + i 5 6i = 8 + 7i 6 = 8 6 + 7 6 i, 9

et komplekst tall med realdel 8 6 og imaginærdel 7 6. Vi ser nå en god grunn til at vi må kunne regne med symboler: slik at vi kan regne med komplekse tall, slik at vi kan løse andregradslikninger, slik at vi kan løse differenslikninger... Generelt har vi følgende resultat om regneoperasjoner på C (du skal absolutt ikke pugge disse, men regne ut som i Eksempel.4 i hvert tilfelle): Teorem.5 La z = a + ib og w = c + id være komplekse tall. Da har vi z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) zw = (ac bd) + i(bc + ad) w z = ac+bd a +b + i ad bc a +b, dersom z 0 Bemerkning.6 Formelt er ikke dette et teorem, men faktisk selve definisjonen av regneoperasjonene for komplekse tall. Utifra disse kan man vise at Teorem. gjelder for komplekse tall også, dvs. vi kan erstatte a, b og c med komplekse tall og resultatene gjelder fortsatt. Vi legger merke til at hvis z = a + ib vil vi få z = a ib. Med trikset for dividering i Eksempel.4 kan vi også finne hva z z = a + ib = a ib (a + ib)(a ib) = a ib a + b = a a + b er når z 0: b i. (.) a + b Utregningen (.) leder oss rett over i en spesiell regneoperasjon for komplekse tall kalt konjugering (som også er grunnen til at. kvadratsetning kalles konjugatsetningen). Definisjon.7 Hvis z = a + ib er et komplekst tall, kalles a ib det konjugerte tallet til z. Vi betegner det med z, og sier at z og z er konjugerte (til hverandre). 40

Eksempel.8 Det konjugerte tallet til + i er + i = i. Bemerkning.9 Hvis a er et reelt tall, er a = a. Omvendt, hvis z = a + ib og z = z, er a + ib = a ib, dvs. b = b, så b = 0, og z er et reelt tall. Vi har at tallene som er lik sin egen konjugert er de reelle tallene. For reelle tall gir altså ikke konjugering noe nytt, men for komplekse tall er konjugering en nyttig operasjon, og den oppfører seg veldig pent. Vi kan for eksempel konjugere først og så bruke en av våre fire regneoperasjoner, eller bruke regneoperasjonene først og konjugere etterpå. Eksempel.0 Vi konjugerer produktet fra Eksempel.4: ( + i)(5 6i) = 8 + i = 8 i. La oss se at vi får samme svar ved å regne produktet av de konjugerte tallene: ( + i)(5 6i) = ( i)(5 + 6i) = 0 5i + i + 8 = 8 i. Vi har vist at ( + i)(5 6i) = ( + i)(5 6i). I en av oppgavene til dette kapittelet skal du få lov til å vise følgende resultat: Teorem. La z og w være komplekse tall. Da har vi z + w = z + w z w = z w zw = z w 4

(z/w) = z/w, der w 0 Vi merker oss videre at z + z = a + ib + (a ib) = a = Re(z), som er et reelt tall, så z + z R. (.4) Tilsvarende er z z = a + ib (a ib) = ib = i Im(z), som er et imaginært tall. Vi merker oss også at (z) = z. La oss ta fatt på grunnen til at vi innførte komplekse tall, som er å kunne løse andregradslikninger. Siden vi nå har innført i slik at i =, kan vi ta kvadratroten av, og vi skriver = i. La y R, y > 0. Da er (i y) = i y = y < 0. Vi definerer derfor kvadratroten til y ved y = i y. Med denne notasjonen viser det seg at formelen (.) for løsningene til en andregradslikning alltid er riktig, også når b 4ac < 0. Eksempel. Vi vil løse likningen z z + = 0 4

og setter inn i formelen (.) z = ± 4 = ± 8. Siden 8 = i 8 = i får vi z = ± i = ± i, så løsningene til likningen vår er +i og i, dvs. komplekse løsninger som er konjugerte til hverandre. Bemerkning. Vi bruker ofte z som variabel istedenfor x for å minne oss på at vi tillater komplekse løsninger. På grunn av ±-tegnet i løsningsformelen (.), ser vi at når vi får komplekse løsninger i en andregradslikning (med reelle koeffisienter), vil vi alltid få konjugerte løsninger: Teorem.4 La r være en kompleks løsning av likningen az + bz + c = 0 (der a, b, c R). Da er r også en løsning. Vi kan dermed oppsummere: Teorem.5 Når vi løser en andregradslikning az + bz + c = 0 vil ett av tre tilfeller skje: ) To ulike reelle løsninger r og r. For eksempel likningen z + z = 0 med løsninger r = og r =. ) Én reell løsning r. I dette tilfellet er andregradsuttrykket az + bz + c et fullstendig kvadrat. For eksempel likningen z z + = 0 4

gir (z ) = 0 og løsning r =. ) To komplekse løsninger r og r (der r ikke er reell). For eksempel z z + = 0 med løsninger r = + i og r = i. Vi skal nå nærme oss en annen måte å angi et komplekst tall på, og da skal vi få hjelp av geometrien. Vi vet at et reelt tall a kan tolkes som et punkt på tallinjen: a R Hvis vi velger ut et punkt på tallinjen som vi lar representere tallet 0, kan vi angi et reelt tall på tallinjen ved å si hvor stor avstand tallet har til 0, og på hvilken side av 0 det ligger (fortegnet til tallet). Hvordan kan vi tolke et komplekst tall geometrisk? Siden et komplekst tall er på formen a + ib, har vi to reelle tall å forholde oss til. Det tilsier at vi må bevege oss opp fra tallinjen og ut i planet. Vi beholder tallinjen med tallet 0, og tegner en ny akse vinkelrett på tallinjen i punktet 0. Vi er vant til å kalle disse aksene x- og y-aksen. Vi skal nå kalle dem den reelle aksen R og den imaginære aksen ir, og vi lar tallet a + ib svare til punktet i planet med koordinater a på den reelle aksen og b på den imaginære aksen: ir ib a + ib 0 a R 44

Vi kan altså tolke et komplekst tall geometrisk som et punkt i planet. Eksempel.6 Den imaginære enheten i = 0 + i tilsvarer punktet (0, ): ir i i R Tallet + i tilsvarer punktet (, ): ir i i + i R Bemerkning.7 Vi husker fra Kompendium at et -tuppel også kan tolkes som et punkt i planet, og at et -tuppel kan tenkes på som en vektor i R. Vi kan derfor også tenke på et komplekst tall a + ib som vektoren (a, b). Istedenfor å angi koordinatene på den reelle og imaginære aksen kan vi angi et komplekst tall a + ib 0 i planet ved å angi dets avstand ρ (leses ro ) fra origo, og vinkelen θ (leses teta ) som vektoren (a, b) danner med den positive reelle aksen: 45

ir ib ρ a + ib 0 θ a R Legg merke til at vi gjør bruk av greske bokstaver, se Tillegg E. Før vi går videre trenger vi å si litt om vinkler. For å regne med vinkler trenger vi også en hensiktsmessig måte å måle vinkler på.. Vinkler og radianer En vinkel er en form som dannes av et punkt og to stråler (kalt vinkelbein) fra punktet. Vi plasserer ofte en vinkel i et koordinatsystem ved å la punktet være origo og det ene vinkelbeinet være den positive x-aksen. Det andre vinkelbeinet er da også en stråle ut fra origo, og vi måler vinkler mot klokka: 0 θ Vi kan altså tenke på en vinkel som en sirkelbue, der vi går langs buen mot klokka (ψ leses psi ): 46

ψ Tradisjonelt sier vi at vinkelen som dannes når vi har gått en full sirkel måler 60. Dette har vi fra sumerne som levde ca. 000 f. Kr. Blant annet oppfant de hjulet og de brukte et 60-tallssystem. Når man skal regne med vinkler er det imidlertid et annet vinkelmål som viser seg å være mer hensiktsmessig enn grader med benevningen. Dette vinkelmålet kalles radianer og er uten benevning. (Radianer er ikke pensum i MX, så samtidig som vi innfører dette begrepet, kommer også noen resultater som dere har sett for grader.) Vinkelmålet radianer bygger på følgende observasjon: En vinkel dannes av en sirkelbue med buelengde β (leses beta ) og tilhørende radius ρ. For én og samme vinkel kan man ha (uendelig mange) sirkelbuer av ulik størrelse. Her har vi tegnet to sirkelbuer: β B ρ R Uansett hvilken av disse sirkelbuene vi bruker, er forholdet mellom buelengden og den tilhørende radiusen det samme! Dvs. at β ρ = B R 47

i tegningen ovenfor. Dette forholdet kalles radian og gir oss vinkelmålet vi ønsker oss. Vi måler altså en vinkel ved å ta en av sirkelbuene som vinkelen danner, og se på forholdet mellom buelengden og radiusen til sirkelbuen. Siden det ikke spiller noen rolle hvor stor sirkelbue vi bruker, dropper vi ordet sirkelbue, og bruker bare ordene buelengde og radius : radian = buelengde radius Eksempel.8 Vinkelen der forholdet mellom buelengden og radiusen er lik har vinkelmål (radian). For denne vinkelen er altså buelengden lik radiusen. Eksempel.9 Vinkelen 4.5 (radian) gir oss vinkelen der buelengde radius = 4.5, dvs. buelengden er 4.5 ganger så lang som radiusen. Det vil ca. gi oss følgende vinkel (vi merker av 4.5 radiuser langs sirkelbuen): r r r r r 0.5r Fra nå dropper vi også ordet radian, og snakker bare om et tall (uten benevning) som mål på en vinkel. Vi vet at en full sirkel med radius ρ gir buelengde β = πρ (omkretsen), så en hel sirkel gir oss vinkelen β ρ = πρ ρ = π. 48

Målt i grader er den samme vinkelen lik 60, så vi får følgende sammenheng mellom vinkelmålene grader og radianer: 60 = π. (.5) Bemerkning.0 Vi har nå tatt i bruk tallet π.46 i vinkelmålingen. Akkurat som radian er et forhold, er også tallet π et forhold: Uansett hvor stor en sirkel er, er forholdet mellom omkretsen og diameteren alltid det samme tallet. Dette forholdet har blitt hetende π: π = omkrets diameter. Vi kan nå bruke (.5) for å regne oss fra grader til radianer og omvendt. Eksempel. For å finne hva vinkelen lik radian (i Eksempel.8) er målt i grader, får vi regningen = π π = 60 π 57.. Generelt kan vi regne oss fra radianer til grader ved formelen (θ R) og fra grader til radianer ved (ψ R) θ = ( θ 60 π ) ψ = ψ π 60, men det er lettere å bruke sammenhengen (.5) hvis man ikke liker å huske mange formler. Eksempel. For å finne hva vinkelen 7 er målt i radianer, får vi regningen 7 = 7 60 60 = 7 π 60.. 49

Vi legger videre merke til at vi drar med oss 60-tallssystemet inn i radianenes verden også. Mange vinkler er ekstra pene målt i radianer, i den forstand at vi kan angi dem som brøkdeler av π. Eksempel. Vi har blant annet og 0 = 60 = π = π 6, 60 = 60 6 90 = 60 4 = π 6 = π, = π 4 = π. Fra disse finner vi flere pene vinkler, for eksempel 45 = 90 = π/ = π 4. I oppgavene skal du finne enda flere pene vinkler. Vi minner også om at vi kan finne vinkler i alle omløp. Vinkler i første omløp vil si vinkler mellom 0 og π. Positive omløp får vi ved å legge til positive heltallsmultipler av π, negative omløp får vi ved å trekke fra positive heltallsmultipler av π. På denne måten får vi at ethvert tall på tallinjen R vil gi oss en vinkel. Første omløp regnes som intervallet [0, π) (intervallet inkluderer 0, men ikke π). For å regne ut hvilken vinkel vi har i første omløp, må vi altså trekke fra/legge til positive heltallsmultipler av π til vi har en vinkel mellom 0 og π: Eksempel.4 Vi har 50π 6 = π 6 + 500π 6 = π 6 + 8π 6 + 49π 6 = 9π 6 + 8π = π + 8π, så vinkelen 50π er lik vinkelen π 6 omløp). i første omløp (der vi har trukket fra 4 50

. Trigonometri Fra MX husker vi at en vinkel θ tilsvarer et punkt P på enhetssirkelen (sirkelen med sentrum i origo og radius lik ) y P = (x, y) 0 θ x og vi definerer cosinus- og sinus-verdiene til en vinkel θ ved cos θ = x sin θ = y for alle θ R (siden vi nå regner θ i radianer). Det vil si at cos θ følger x-koordinaten til punktet P og sin θ følger y-koordinaten til punktet P (i alle kvadranter og omløp). Siden punktet P ligger på enhetssirkelen følger det at cos θ og sin θ, θ R. Eksempel.5 Ved å tegne ser vi at θ = 0 tilsvarer punktet P = (, 0) θ = π tilsvarer punket P = (0, ) θ = π tilsvarer punktet P = (, 0) θ = π tilsvarer punktet P = (0, ) 5

(tegn!). Dermed får vi følgende tabell π π θ 0 π cos θ 0 0 sin θ 0 0 Dere regnet mye med cosinus og sinus i MX, men brukte nok ofte kalkulator? Det er endel eksakte verdier (for eksempel og ) som dukker opp (spesielt) når vi regner med cosinus og sinus. Dette er fordi oppgavene vi regner gjerne ser på endel (pene) vinkler som har eksakte verdier for cosinus og sinus. Dermed vil det være lurt å kjenne igjen disse eksakte verdiene, og ikke minst å vite hvordan vi finner dem: Vi kommer veldig langt med cosinus- og sinus-verdiene til vinklenen π, π 6 4 og π. Til dette bruker vi følgende to trekanter: Trekant π 4 π 4 Trekant π 6 π Trekant er den rettvinklede likebeinede trekanten med hypotenus lik og Trekant er den halvt likesidede trekanten med hypotenus lik (sjekk vinkler og lengden til sidene!) Vi putter Trekant inn i enhetssirkelen: 5

000 0000 π 0000 0 4 P = (, ) og får cos π 4 = sin π 4 = Vi kan nå bruke symmetri og følgende fortegnsskjema for planet y. kvadrant x 0, y 0. kvadrant x, y 0. kvadrant 4. kvadrant x x, y 0 x 0, y 0 5

og finne cosinus- og sinus-verdiene til π (. kvadrant), 5π 4 4 (4. kvadrant): 7π 4 (. kvadrant) og (, ) = (cos π 4, sin π 4 ) (, ) = (cos 5π 4, sin 5π 4 ) 00 00 π 00 4 00 00 0 00 00 0 00 (, ) = (cos π 4, sin π 4 ) (, ) = (cos 7π, sin 7π) 4 4 Tilsvarende kan dere gjøre med Trekant og sjekke at vi har (gjør det!) θ π 6 5π 6 7π 6 π 6 π π 4π 5π cos θ sin θ (Det kan altså være lurt å merke seg at 0.866 og 0.707.) Vinkelen θ er den negative vinkelen til θ. Med vinkelen θ mener vi vinkelen som er like stor som θ, men som måles med klokka fra den positive x-aksen: 54

θ θ Tegn inn enhetssirkelen og overbevis deg om at cos( θ) = cos θ (.6) sin( θ) = sin θ (.7) Det fins mange flere trigonometriske sammenhenger, men vi har nå foreløpig det vi trenger..4 Polarform Vi skal nå bruke trigonometri til å gi en annen måte å presentere komplekse tall på. Et komplekst tall a + ib kan tolkes som punktet (a, b) i planet, og dette punktet kan igjen tolkes som vektoren (a, b). Vi kan nå angi det komplekse tallet a + ib ved å angi avstanden ρ fra origo, og vinkelen θ vektoren danner med den positive reelle aksen. ir ib ρ a + ib 0 θ a R 55

Definisjon.6 Avstanden ρ kalles modulusen, mens vinkelen θ kalles argumentet til det komplekse tallet a + ib. Vi har ρ > 0 og θ [0, π). Ved hjelp av Pythagoras setning finner vi modulusen til et komplekst tall a + ib: ρ = a + b, så ρ = a + b. (.8) For å finne argumentet θ til a + ib, bruker vi Seksjon.. Vi må bare huske at vi nå ikke er i en enhetssirkel, men på en sirkel med radius ρ, ρ > 0. Vi får dermed cos θ = a ρ (.9) sin θ = b ρ, (.0) dvs. argumentet θ er vinkelen i første omløp med cosinusverdi a ρ b (punktet ( a, b ) ligger på enhetssirkelen). ρ ρ ρ og sinusverdi Eksempel.7 For endel tall kan vi finne modulus og argument uten å regne, for eksempel er modulusen til tallet i lik, mens argumentet til i er π (se tegning i Eksempel.6). Andre tall trenger regning. Noen tall gir pene regninger, for eksempel tallet z = i gir ρ = + ( ) = 6 = 6 og (tegn og sjekk!) cos θ = = 6 sin θ = = 6 } θ = 5π. Eksempel.8 Tallet z = + i (tegning i Eksempel.6) har modulus ρ = ( ) + = 7 9 + 4 = 9 = 7 56

og argument gitt ved og cos θ = 7 sin θ = 7 så argumentet er (kalkulator) θ.4. = 7 = 6 7, Fra (.9) og (.0) ser vi at a = ρ cos θ og b = ρ sin θ. Vi har følgende definisjon: Definisjon.9 Når vi angir et komplekst tall z ved hjelp av modulusen ρ og argumentet θ som z = ρ cos θ + iρ sin θ sier vi at z er skrevet på polarform. Når z er skrevet på formen a + ib sier vi at z er på kartesisk form. Eksempel.0 I Eksempel.7 fant vi modulus og argument til tallet z = i. Skrevet på polarform er tallet dermed z = 6 cos( 5π ) + i6 sin(5π ). Eksempel. Vi vil skrive z = 4 4i på polarform. Da finner vi modulusen ρ = 4 + ( 4) = = 4 og argumentet cos θ = 4 4 sin θ = 4 4 = = } θ = 7π 4 57

så polarformen til z er z = 4 cos( 7π 4 ) + i4 sin( 7π 4 ). Vi husker at det konjugerte tallet til a + ib er a ib. Hva skjer geometrisk når vi konjugerer? Det konjugerte tallet til a + ib kan tolkes som punktet (a, b), så konjugering vil tilsvare speiling om den reelle aksen: z = a + ib θ θ z = a ib Videre er modulusen til z lik modulusen til z (siden a + b = a + ( b) ) og hvis argumentet til z er θ, er argumentet til z lik θ. Eksempel. Argumentet til tallet z = i (Eksempel.7) er 5π. Dermed blir argumentet til z = + i lik 5π, og siden argumentet skal ligge i første omløp får vi 5π + π = π. (tegn og sjekk speiling!). Vi får dermed z = 6 cos( π ) + i6 sin(π ). Vi tar også med en tredje måte å skrive komplekse tall på. Denne skrivemåten vil blant annet gjøre endel formler enklere å regne med. Vi definerer først hva vi mener med uttrykket e a+ib 58

der e er grunntallet i den naturlige logaritmen (e.78), a, b R og i er den imaginære enheten. Når vi får inn eksponentialer har vi potensregler å følge, og de viser seg å holde for komplekse tall også, dvs. vi får: e a+ib = e a e ib. Tallet e a er et reelt tall, men hva skal vi gjøre med e ib, der eksponenten er et imaginært tall? Definisjon. Vi definerer e ib = cos b + i sin b for b R. Tallet e ib er altså det komplekse tallet med realdel cos b og imaginærdel sin b. Vi skal ikke gå nærmere inn på forklaringen rundt Definisjon., men den viser seg å være nok en fornuftig definisjon. Det kan da vises at (e ib ) n = e inb når n N. Dette betyr at (cos θ + i sin θ) n = cos(nθ) + i sin(nθ), (.) som kalles de Moivres formel. Hva sier formel (.)? Tallet cos θ + i sin θ er punktet P = (cos θ, sin θ) på enhetssirkelen (siden ρ = ) som tilsvarer vinkelen θ. Når vi multipliserer dette tallet med seg selv n ganger (venstresiden i (.)), sier formelen at vi får et punkt, som vi kaller P n, på enhetssirkelen (ρ er fortsatt lik ) der P n = (cos(nθ), sin(nθ)). Punktet P n tilsvarer vinkelen nθ, altså n ganger vinkelen θ. Formel (.) forteller oss dermed hvordan vi skal multiplisere punkter på enhetssirkelen med seg selv! 59

Eksempel.4 For n = og θ = π gir (.) at 4 (cos π 4 + i sin π 4 ) = cos( π 4 ) + i sin(π 4 ). Det gir tegningen P π 4 P π 4 P der tallet cos π 4 + i sin π 4 gir punktet P, og (cos π 4 + i sin π 4 ) gir punktet P, som gir vinkelen π 4 + π 4 + π 4 = π 4. Eksempel.5 For n = 4 og θ = π 6 gir (.) at (cos π 6 + i sin π 6 )4 = cos( π ) + i sin(π ). Tegn figur! La oss se nøyere hvorfor Definisjon. gir formelen (.): Fra Definisjon. (med θ for b) har vi (cos θ + i sin θ) n = (e iθ ) n. (.) Videre gir potensregler at (e iθ ) n = e i(nθ) (.) og vi bruker Definisjon. med nθ for b som gir e i(nθ) = cos(nθ) + i sin(nθ). (.4) 60

Vi setter så sammen (.), (.) og (.4) og får formelen (.) (cos θ + i sin θ) n = cos(nθ) + i sin(nθ), som var det vi ville frem til. Vi tar nå utgangspunkt i polarformen, og får en tredje måte å skrive komplekse tall på: ρ cos θ + iρ sin θ = ρ(cos θ + i sin θ) = ρe iθ Definisjon.6 Når vi angir et komplekst tall z ved hjelp av modulusen ρ og argumentet θ som z = ρe iθ sier vi at z er skrevet på eksponentialform, også kalt kompakt polarform. Eksempel.7 Tallet z = i fra Eksempel.7 skrevet på eksponentialform er z = 6e i 5π, mens z = + i er z = 6e i π på eksponentialform. Da har vi foreløpig det vi trenger om komplekse tall til å fortsette og løse differenslikninger..5 Nå skal du kunne definisjonen av tallet i, et imaginært tall, et komplekst tall og konjugerte tall addere, subtrahere, multiplisere, dividere og konjugere komplekse tall 6

løse alle andregradslikninger az + bz + c = 0 der a, b, c R definisjonen av π, radian, cosinus og sinus regne med vinkler i radianer og finne eksakte verdier for cosinus og sinus til 0, π, π, π og π og tilsvarende vinkler i alle kvadranter og omløp 6 4 tolke et komplekst tall geometrisk og angi det på kartesisk form, polarform og eksponentialform forklare hva de Moivres formel sier starte en diskusjon om hvorfor kompleske tall er nyttige (du vil få flere hardtslående argumenter utover i kurset) 6