7.5 Potensfunksjoner Funksjonen f gitt ved f () = 3 er et eksempel på en potensfunksjon. For alle potensfunksjoner er funksjonsuttrykket på formen f () = a k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er g() = 4 Fra kapittel 5 husker vi at g() = 4 = 1. Dermed kan vi skrive Eksponenten i en potensfunksjon kan også være et desimaltall slik som her: h() = 1,5 Hvis eksponenten k er en brøk eller et desimaltall, er potensfunksjonen f () = a k bare definert for positive verdier av. Vi tegner nå grafene til funksjonene f () = 3, g() = 4 og h() = 1,5 i et koordinatsystem for 0. 5 y g f h 0 15 10 5 1 3 4 5 Vi ser at funksjonsverdiene til f og h er null når = 0 og øker når øker. Funksjonsverdien til g nærmer seg null når øker. Hvis k er et positivt tall, har f ( )= k et nullpunkt når = 0. Funksjonen vokser når øker. Hvis k er et negativt tall, avtar f ( )= k mot null når øker. 46 Sinus 1T > Funksjoner og modeller Sinus 1T book.indb 46 014-03-17 11:47:41
EKSEMPEL Hvor lang tid en planet bruker på en runde rundt sola, er avhengig av avstanden mellom sola og planeten. Hvis vi bruker avstanden mellom jorda og sola som målenhet, er omløpstida målt i år gitt ved, T ( ) = 15, der er avstanden mellom sola og planeten. a) Avstanden fra sola til Mars er 1,5 ganger avstanden fra sola til jorda. Finn omløpstida for Mars. b) Tegn digitalt grafen til T. c) Jupiter bruker 11,9 år på en runde rundt sola. Finn avstanden mellom sola og Jupiter grafisk, ved hjelp av CAS og ved hjelp av en lommeregner. Jorda Løsning: a) Omløpstida til Mars er 15, T (, 15) = 15, = 188, Omløpstida er 1,88 år., b) I GeoGebra skriver vi inn funksjonsuttrykket T ( ) = 15. Det gir denne grafen: 47 Sinus 1T book.indb 47 014-03-17 11:47:4
c) Grafisk: Nå skriver vi y = 11,9 og bruker Skjæring mellom to objekt. Det gir koordinatene til skjæringspunktet som vist på forrige side. CAS: I GeoGebra CAS skriver inn likningen og trykker på dette resultatet:. Det gir Lommeregner: 15, = 11, 9 15, = 11, 9 = 5, 1 Avstanden fra sola til Jupiter er 5,1 ganger så stor som avstanden fra sola til jorda.? OPPGAVE 7.50 Bruk GeoGebra og lag en glider for k. Det gjør du ved å skrive for eksempel k = 0 og deretter klikke på den lille sirkelen foran k i algebrafeltet. Tegn så grafen til funksjonen f () = k og se hva som skjer når k varierer. OPPGAVE 7.51 Stein I. Hage plantet ei solsikke. Hver dag målte han hvor høy den var, og han fant ut at høyden h() i centimeter dager etter at den spirte, var gitt ved funksjonen h() = 0,01,7, [0, 30] a) Hvor høy var solsikka 5 dager etter at den spirte? b) Tegn grafen til h. c) Finn ut når solsikka var 50 cm høy både grafisk, ved hjelp av CAS og ved hjelp av en lommeregner. 48 Sinus 1T > Funksjoner og modeller Sinus 1T book.indb 48 014-03-17 11:47:4
Funksjonen f ( )= kaller vi en rotfunksjon. Fra kapittel 5 vet vi at a = a. Dermed kan vi skrive denne rotfunksjonen som en potensfunksjon. 1 f ( ) = = = 05, Funksjonen f ( )= har denne grafen: 1 5 4 3 1 y 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 f Funksjonen er bare definert for 0, og definisjonsmengden er dermed D f = 0,. Alle y 0 er mulige funksjonsverdier for f. Dermed er verdimengden V f = 0,. Funksjonen har nullpunktet = 0 og er voksende i hele definisjonsmengden. EKSEMPEL En funksjon f er gitt ved f ( )= + 4 a) Tegn grafen til f digitalt. b) Finn ekstremalpunktet. c) Finn verdimengden. Løsning: a) I GeoGebra skriver vi inn funksjonsuttrykket slik: Rottegnet får vi fram ved å taste Alt og r. Nå får vi grafen på neste side. 49 Sinus 1T book.indb 49 014-03-17 11:47:45
b) Grafen har et bunnpunkt mellom = 5 og = 5. Vi skriver derfor Grafen viser da: Funksjonen har bunnpunktet (0, ). c) Alle y er mulige funksjonsverdier for f. Dermed er verdimengden V f =,. Kvadratrotfunksjoner er definert når uttrykket under rottegnet er større enn eller lik 0. Dermed kan vi finne definisjonsmengden ved å løse en ulikhet. EKSEMPEL En funksjon f er gitt ved f ( )= 4 a) Finn definisjonsmengden til f. b) Tegn grafen til f digitalt. c) Finn ekstremalpunktet. d) Finn verdimengden til f. Løsning: a) Definisjonsmengden er løsningen av ulikheten 4 0 Denne ulikheten kan vi løse uten hjelpemidler slik vi lærte i kapittel 4.9. Her løser vi ulikheten i CAS. 50 Sinus 1T > Funksjoner og modeller Sinus 1T book.indb 50 014-03-17 11:47:46
Definisjonsmengden er D f [ ] =, b) Funksjonen har denne grafen: c) Ekstremalpunktet fant vi ved å skrive Ekstremalpunkt [ f,, ]. Funksjonen har toppunktet (0, ). d) Alle y mellom 0 og er mulige funksjonsverdier for f. V f = [ 0, ].? OPPGAVE 7.5 En funksjon f er gitt ved f ( )= 3 1+. a) Finn definisjonsmengden til f. b) Tegn grafen til f digitalt. c) Finn verdimengden til f. OPPGAVE 7.53 En funksjon f er gitt ved f ( )= 4 + 5. a) Tegn grafen til f digitalt. b) Finn ekstremalpunktet. c) Finn verdimengden. OPPGAVE 7.54 En funksjon f er gitt ved f ( )= 4 a) Finn definisjonsmengden til f. b) Tegn grafen til f digitalt. c) Finn ekstremalpunktet. d) Finn verdimengden til f.. 51 Sinus 1T book.indb 51 014-03-17 11:47:47
FASIT