1 13. august 011
Forord Høgskolen i Molde gjennomfører forkurs i matematikk for studenter som har svakt grunnlag i dette faget, eller som ønsker å friske opp gamle kunnskaper. Formål: Målet med forkurset er å hjelpe studentene til kunne følge undervisningen i det obligatoriske kurset MAT100 Matematikk. Det viser seg at mange studenter har svake forkunnskaper i matematikk. Dette gjør det vanskelig å følge normal studieprogresjon i første studieår. Høgskolen forutsetter at studenter med svak bakgrunn i matematikk deltar ved forkurset i matematikk. Forkurset alene må imidlertid ikke oppfattes som et tilstrekkelig middel til å skaffe seg eventuelle manglende forkunnskaper, men heller som et supplement til nødvendig selvstudium. Molde, august 011. Per Kristian Rekdal Copyright c Høyskolen i Molde, 011.
Innhold 1 Grunnleggende emner 4 1.1 Tall og tallsystemer................................... 4 1. Algebraiske uttrykk................................... 6 1.3 Faktorisering...................................... 9 1.4 Brøkregning....................................... 11 1.4.1 Forkorte og utvide brøker........................... 11 1.4. Sum av brøker.................................. 1 1.4.3 Multiplikasjon og divisjon med brøker..................... 13 1.5 Potenser......................................... 15 1.6 Rotstørrelser....................................... 18 1.7 1. gradsligning med en ukjent............................. 1 1.8 1. gradsligning med to ukjente............................. 4 1.9. gradsligning med en ukjent............................. 8 1.10 Ulikheter......................................... 31 1.11 Polynomdivisjon.................................... 35 1.1 Absoluttverdi...................................... 39 Funksjoner 45.1 Parabel......................................... 45. Hyperbel......................................... 49.3 Parameterisering.................................... 53.4 Mer om funksjoner................................... 58.5 Derivasjon........................................ 60 3
Kapittel 1 Grunnleggende emner 1.1 Tall og tallsystemer Notasjon for tall: N = { 1,, 3, 4,... } (hele tall) (1.1) Z = {... 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4,... } (naturlige tall) (1.) Q = { a b a Z b N } (rasjonale tall) (1.3) R = mengden av reelle tall (alle tall på tall-linja) (1.4) Mengedesymbol, listeform: M = { 3, 6, 7, 9 } (endelig mengde) (1.5) Mengden kan være endelig eller uendelig. 4
Mengedesymbol, intervall: [a, b] = { x a x b } (alle reelle tall f.o.m. a t.o.m. b) (1.6) (lukket intervall) a, b = { x a<x<b } (ingen endepunkt er med) (1.7) (åpent intervall) a, b] = { x a < x b } (bare ene endepunktet er med) (1.8) (halvåpent intervall) [a, b = { x a x < b } (bare ene endepunktet er med) (1.9) (halvåpent intervall) 5
1. Algebraiske uttrykk Generelle regler for algebra: ( algebra = bokstavregning ) a + a = a (1.10) a + b = b + a (1.11) (a + b) = a b (1.1) (a b) = a + b (1.13) Husk: + foran parentes: foran parentes: ingen fortegnsending skifte alle fortegn i parentesen Ved regning med flerleddete uttrykk: 1) Samle sammen like ledd ved å summere koeffisientene ) Løs opp parenteser Eksempel: ( samle sammen like ledd ) ab 3a + b 5ab + 4b = 4ab 3a + 5b (1.14) Eksempel: ( løse opp parenteser og samle sammen like ledd ) (3ab + b) (ab + b + c) = 3ab + b ab b c = ab b c (1.15) 6
Parentesregler: a (b + c) = ab + ac (1.16) (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd (1.17) hvor lign.(1.17) har følgende spesialtilfeller: (a + b) = a + ab + b (1. kvadratsetning) (1.18) (a b) = a ab + b (. kvadratsetning) (1.19) (a + b)(a b) = a b (konjugatsetning) (1.0) hvor konjugatsetningen, dvs. lign.(1.0), forklares via (a + b)(a b) = a ab + ba b = a b (1.1) Husk, når man multipliserer ut parenteser: (+) (+) = + (+) ( ) = ( ) ( ) = + 7
Husk også: a = ( 1) a (1.) a b = a + ( b) (1.3) a b = b a (1.4) Eksempel: (xy + x)(4xy x) 4x (1 y) + x = 8x y x y + 4x y x 4x + 4x y + x = 8x y + 6x y 4x (1.5) Oppgaver : FoMa 1: 100, 101, 10 8
1.3 Faktorisering Definisjon: Faktorisering = decomponering av et objekt (f.eks. tall, uttrykk) til andre objekt, eller faktorer. Dette betyr at et objekt omskrives som et produkt av andre objekt. Eksempeler: ( enkeltstående uttrykk ) 54 = faktorisering av 54 { }} { 3 3 3 3 (1.6) ledd {}}{ 6x y = 6 xxy (1.7) Eksempeler: ( flerleddete uttrykk ) ab + ac ad = a(b + c d) (1.8) ( fellesfaktor a i flerleddete uttrykk ) a b 4ab = a a b a b = a b (a ) (1.9) Eksempeler: ( kvadratsetningene og konjugatsetning er faktorisering ) a + ab + b = (a + b)(a + b) = (a + b) (1. kvadratsetning) (1.30) a ab + b = (a b)(a b) = (a b) (. kvadratsetning) (1.31) a b = (a + b)(a b) (konjugatsetning) (1.3) 9
Eksempler: 4a 0ab + 5b = (a 5b) (1.33) 8x 4 y 4 = (x 4 y 4 1) = (4x 4 y 4 1) = (x y 1)(x y + 1) (1.34) Oppgaver : FoMa 1: 103 10
1.4 Brøkregning Husk: Man kan aldri dele på 0. 1.4.1 Forkorte og utvide brøker Forkorting av en brøk: a c b c a b = a b = a c b c (forkorting av en brøk) (1.35) (utvidelse av en brøk) (1.36) hvor den siste ligningen kan forstås via a b = a b 1 = a b c c = a c b c (1.37) siden 1 = c c. Husk: man kan aldri dele på null dvs. b, c 0. Eksempler: 10 6 faktoriser = 5 3 forkort = 5 3 (1.38) a ab 3a 3b faktoriser = a (a b) 3 (a b) forkort = a 3 (1.39) 11
1.4. Sum av brøker Sum av brøk med samme nevner: a b + c b = a + c b (1.40) Eksempeler: ( Ved sum av brøker, utvid hver brøk slik at man får fellesnevner ) 5 6 1 + 3 4 utvid = 5 6 6 1 6 + 3 3 fellesnevner = 3 4 10 1 6 1 + 9 1 (1.41) sum = 10 6 + 9 1 = 13 1 (1.4) 1 3ab a 6b + a 9b utvid = 6 6 3ab 3a a 3a 6b + a a a 9b sum = 6 3a + a 18ab = 6 a 18ab fellesnevner = 6 18ab 3a 18ab + a 18ab (1.43) (1.44) 1
1.4.3 Multiplikasjon og divisjon med brøker Regler for multiplikasjon og divisjon med brøker: c a b a b c d a b : c d = c a b = a c b d = a d b c [1] (Tall multiplisert med brøk) (1.45) [] (Brøk multiplisert med brøk) (1.46) [3] (Brøk dividert med brøk) (1.47) hvor den siste ligningen, dvs. lign.(1.47), forklares via a b : c d = a b c d utvid = a d b c d d regel [1] = ad b c utvid = ad b b c b = a d b c (1.48) Nyttige huskeregler i forbindelse med utvidelse: det er lov å multiplisere og dele med samme tall ( utvidelse ) det er lov å multiplisere og dele med 1 = a a = b b = c c ( utvidelse ) Noen eksempler: x 4 regel [1] = x 4 faktoriser = forkort x = x (1.49) 3 5 7 regel [] = 5 3 7 faktoriser = forkort 10 1 (1.50) 1 5 : 4 15 = 1 5 4 15 utvid = 1 15 5 4 15 15 faktoriser = 1 3 5 5 4 = 3 4 (1.51) 13
Eksempel: ( 1 a + 1 + 1 ) ( : 1 a 1 ) a 1 a + 1 = = = = regel [3] = = ( ) a 1 (a + 1)(a 1) + a + 1 : (a + 1)(a 1) ( a 1 a 1 + a + 1 ) ( ) a + 1 (a 1) : a 1 a + 1 ( ) ( ) a 1 + (a + 1) a + 1 a + 1) : a 1 a + 1 a a 1 : a + 1 a a 1 a + 1 a (a 1)( a + 1) a + 1 ( a + 1 a + 1 a 1 ) (1.5) a + 1 (1.53) (1.54) (1.55) (1.56) (1.57) = a a 1 (1.58) Oppgaver : FoMa 1: 109 14
1.5 Potenser Definisjon: a n = a } a {{ a... a} = n faktorer (1.59) hvor n= eksponent, n N, a = grunntall og a R. Potensregler: a m a n = a m+n (1.60) a n = 1 a n (1.61) a m a n = a m a n = a m n (1.6) a 0 = 1 (1.63) (a m ) n = a mn (1.64) (a b) n = a n b n (1.65) ( ) n a = an, b 0 (1.66) b b n og i tillegg a 0 = 1 (1.67) a 1 = a (1.68) 15
Noen eksempler: 3 3 5 = 3 +5 = 3 7 (1.69) ( 3 ) 7 = 3 7 = 1 = 1 1 (1.70) ( ) 3 5 = 53 (1.71) 3 Standardform og normalform: 1 000 = 10 3 (1.7) 1 000 000 = 10 6 (en million) (1.73) 0, 001 = 10 3 (millimeter) (1.74) 0, 000 000 063 = 6, 3 10 8 (1.75) 45 000 000 000 } {{ } standardfrom = 4, 5 10 11 } {{ } normalform (1.76) Generelt med 10-potens: tall = a 10 n (1.77) hvor n Z and a [1, 10. 16
Oppgaver : FoMa : 0, 03, 04, 05, 06, 07 17
1.6 Rotstørrelser Definisjon av kvadratrot: ( a 0 ) PS: Man kan IKKE ta kvadratroten av et negativt tall 1. a = det positive tallet som, opphøyd i, er a (1.78) m.a.o. ( a) = a a = a 1/+1/ = a 1 = a. Eksempler: 9 = 3 = 3 (M.a.o. : 3 = 9) (1.79) 5 = (.36...) =.36... (M.a.o. : (.36...) = 5) (1.80) Regneregler: a = a = a 1 (1.81) ( a) = a (1.8) a b = a b, a, b 0 (1.83) a b = a b (1.84) Eksempler: 9 16 = 9 16 = 3 4 = 1 (1.85) 9 16 = 9 16 = 3 4 (1.86) 1 Komplekse tall er ikke et tema i dette kurset. 18
Generalisering: n a, a 0 (1.87) hvor n = roteksponent, n N, a = radikand og a R. Regneregler: n a = a 1 n (1.88) ( n a) n = a (1.89) a m n = (a 1 n ) m = ( n a) m (1.90) a m n = = 1 (a n) = 1 1 m ( n (1.91) a) m hvor lign.(1.89), forklares via ( n a) n = (a 1 n) n = a 1 n n = a 1 = a. Legg merke til at for n = i lign.(1.88) og (1.89), så reproduserer man lign.(1.81) og (1.8): a = a 1 (1.9) ( a) = a (1.93) 19
Eksempler: 3 utvid = 3 = 3 (1.94) 3 + utvid = ( 3 ) ( 3 + )( 3 ) = 3 3 = 6 (1.95) 1 3 utvid = + 3 ( 3)( + 3) = + 3 4 3 = + 3 (1.96) hvor konjugatsetning lign.(1.0) har blitt brukt i de to siste ligningene. Oppgaver : FoMa : 13, 14, 15, 16, 17 0
1.7 1. gradsligning med en ukjent En ligning på formen ax + b = 0 (1.97) kalles en 1. gradsligning. Her er a og b konstanter. Dette er ligninger med en ukjent variabelen x er i 1. potens, dvs. x = x 1 Eksempler: x 4 = 6 + x (1.98) 1 + 3 4 x = 1 3 (1.99) Operasjoner: ( for å løse 1. gradsligninger (og andre type ligninger) ) Addere med samme tall på begge sider x 4 = 6 + x x 4+4 = 6 + x+4 (1.100) Subtrahere med samme tall på begge sider x 4 = 6 + x x 4 6 = 6 + x 6 (1.101) Multiplisere ( 0) med samme tall på begge sider 1 + 3 4 x = 1 ( 3 4 1 3 + 3 ) 4 x = 4 3 1 3 (1.10) Dividere ( 0) med samme tall på begge sider 1 x 4 = 6 + x x 4 = 6 + x (1.103)
Eksempel: 3 (x + 7) = 1 (x + 1) x (1.104) 3 x 7 = 1 x + 1 x (Løs opp parentesene) (1.105) 1 x = 1 + 7 3 (Samle x-leddet på venstre (1.106) side og tallene på høyre) x = ( 1 ) 3 + 7 (Multipliser begge sider med ) (1.107) x = 1 3 + 7 (1.108) x = 1 4 + 14 (1.109) 3 x = 3 3 4 3 + 3 14 3 x = 3 4 + 3 14 3 (Finn fellesnevner på høyre side) (1.110) (Sum av brøker, se Eq. (1.40)) (1.111) x = 41 3 (1.11)
Eksempel: 1 3 + 1 5x 1 5x + 7 30x = 15 7 30x = 15 1 3 (1.113) (Samle x-leddene på venstre (1.114) side og tallene på høyre) 6 5x 6 + 7 30x 6 30x + 7 30x 6 + 7 30x 13 30x x 13 30 x ( 5) 13 30 = 15 5 3 5 = 15 5 15 = 5 15 = 3 3 5 (Fellesnevner på hver side) (1.115) (1.116) (1.117) (Faktorisering og forkorting) (1.118) = x( 1 ) (Multipliser med x) (1.119) 5 = ( 5)( 1 ) x (Multipliser med ( 5)) (1.10) 5 ( 5) 13 6 5 = x (1.11) 13 6 = x (1.1) Oppgaver : FoMa 3: 301, 30 3
1.8 1. gradsligning med to ukjente En ligning på formen ax + by = c (1.13) kalles en 1. gradsligning med to ukjente, eller en lineær ligning med ukjente. Her er a og b konstanter. Dette er ligninger med to ukjente variabelene x og y er i 1. potens, dvs. x = x 1 og y = y 1 Eksempler: x + y 1 = 0 y = x + 1 (1.14) x y = 4 y = 1 x (1.15) Generelt kan slike ligninger skrives: y = a x + b (1.16) som bare er en alternativ måte å skrive lign.(1.13) på. Dette er en rett linje a = stigningstall b = skjæring med y-aksen 4
Førstegradsligninger med to ukjente, dvs. en rett linje, skrives ofte slik: y = x + 1 kan skrives f(x) = x + 1 (1.17) y = 1 x kan skrives g(x) = 1 x (1.18) Figur 1.1: Plott av f(x) og g(x). Å løse ligningen f(x) = g(x) kan gjøres på to måter: i) Grafisk løsning: Av figuren ser vi at grafene skjærer hverandre når x =, y = 1 (1.19) 5
ii) Ved regning: f(x) = g(x) (1.130) x + 1 = 1 x (1.131) x 1 x = 1 (Samle x-leddene på venstre (1.13) side og tallene på høyre) x 1 x = 3 (Fellesnevner på hver side) (1.133) x + x 3x = 3 (1.134) = 3 (1.135) x = (1.136) Dette er den x-verdien hvor grafene f(x) og g(x) skjærer hverandre, (se Fig.(1.1)). Dermed finnes tilhørende y-verdi: y = f(x = ) (1.137) = g(x = ) (1.138) = 1 = 1 = 1 (1.139) dvs. samme løsning som den grafiske, som det skal være. 6
Oppgaver : FoMa 3: 304, 305, 306 7
1.9. gradsligning med en ukjent En ligning på formen ax + bx + c = 0 (1.140) kalles en. gradsligning med en ukjent. Her er a og b konstanter. Dette er ligninger med en ukjent variabelen x er i maksimalt. potens, dvs. x Eksempler: x 6x + 5 = 0 (1.141) x + 7x = 3 (1.14) Ved å omskrive lign.(1.140) ved hjelp av 1. kvadratsetning, så kan man vise (se lærebok) at løsningen for en. gradsligning er x 1 = b b 4ac a, x = b + b 4ac a (1.143) med andre ord: det er to løsninger til en. gradsligning med en ukjent. 8
Eksempel: La f(x) = x 6x + 5. Nullpunktene til f(x) finnes ved: f(x) = 0 (1.144) x 6x + 5 = 0 (1.145) Her er a = 1, b = 6 og c = 5. Ved å bruke lign.(1.143), så får vi: x 1 = ( 6) ( 6) 4 1 5 1 x 1 = 6 36 0, x = ( 6) + ( 6) 4 1 5 1, x = 6 + 36 0 (1.146) (1.147) x 1 = 6 16 x 1 = 6 4, x = 6 + 16, x = 6 + 4 (1.148) (1.149) x 1 = 1, x = 5 (1.150) Siden f(x) = 0 har løsninger, så kan vi faktorisere f(x): f(x) = x 6x + 5 = (x 1)(x 5) (1.151) 9
Figur 1.: Plott av f(x) = x 6x + 5. Oppgaver : FoMa 4: 401, 40, 403, 404, 405, 406 30
1.10 Ulikheter Ulikhetstegn: > større enn < mindre enn (1.15) og større enn eller lik mindre enn eller lik (1.153) Operasjoner: ( for å løse ulikheter ) Addere med samme tall på begge sider 5 > 3 5+ > 3+ (1.154) Subtrahere med samme tall på begge sider 5 > 3 5 > 3 (1.155) Multiplisere (> 0) med positivt tall på begge sider 5 > 3 5 > 3 (1.156) Dividere (> 0) med positivt tall på begge sider 5 > 3 5 > 3 (1.157) 31
Eksempel: 3x + > x + 3 (Samle x-leddene på venstre (1.158) side og tallene på høyre) 3x x > 3 (1.159) x > 1 (Divider med to på hver side) (1.160) x > 1 (1.161) For ulikheter har vi i tillegg følgende regler: Multiplisere (< 0) med negativt tall, SNU tegnet 5 > 3 ( ) 5 < ( ) 3 (1.16) Dividere (< 0) med negativt tall, SNU tegnet 5 > 3 5 ( ) < 3 ( ) (1.163) Eksempel: 4(x ) + 3(x + 4) > 5x (x 1) (Løs opp parentesene) (1.164) 4x + 8 + 3x + 1 > 5x x + 1 (Samle x-leddene på venstre (1.165) side og tallene på høyre) 5x > 19 (1.166) 5x 5 < 19 5 (Dividere med ( 5), SNU tegnet) (1.167) x < 19 5 (1.168) 3
For ulikheter, har vi også følgende regel: Aldri gange eller dele med uttrykk som inneholder den ukjente. Dette fordi vi ikke vet om den ukjente er 0 eller negativ. Eksempel: x 5 x 1 x 5 x 1 > 1 (Kan ikke multiplisere med (x 1) (1.169) siden fortegnet er ukjent) 1 > 0 (Samle alle ledd på samme side) (1.170) x 5 x 1 x 1 x 1 > 0 (Fellesnevner) (1.171) x 4 x 1 > 0 (1.17) Denne ulikheten løses med et fortegnsskjema/drøftingsskjema: Figur 1.3: Fortegnsskjema/drøftingsskjema for lign.(1.17). og løsningen er x < 1 eller x > 4 (1.173) 33
Oppgaver : FoMa 4: 409, 410, 41, 413 34
1.11 Polynomdivisjon Definisjon: Polynom = flerleddet uttrykk hvor de ulike leddene har ulik grad. Eksempeler: p(x) = x 3 5x + 3x (1.174) f(x) = 7x 3 + x 17 (1.175) Vanlig talldivisjon: 756 : 3 = 5 (1.176) 6 15 15 6 6 0 Kontroll: 5 3 = (00 + 50 + ) 3 = 600 + 150 + 6 = 756 (1.177) m.a.o. det stemmer, og 756 = 5 3 er faktorisert! 35
Eksempel: ( polynomdivisjon ) p(x) : (x ) (1.178) (x 3 5x + 3x ) : (x ) = x x + 1 (x 3 4x ) x + 3x ( x + x) x (x ) 0 Kontroll: (x x + 1) (x ) = x 3 x + x 4x + x = x 3 5x + 3x (1.179) m.a.o. det stemmer, og polynomet p(x) kan skrives på den faktoriserte formen p(x) = x 3 5x + 3x = (x x + 1)(x ) } {{ } faktorisert form (1.180) (Faktoren x x + 1 kan ikke faktoriseres). Ut fra denne ligningen ser vi umiddelbart at p() = 0 p(x) : (x ) går opp x = er løsning til p(x) = 0 (1.181) x = er nullpunkt for p(x). 36
Eksempel: ( faktorisering av polynom ) g(x) = x 3 3x x + 3 (1.18) Finnes ingen generell formel som løser 3. gradsligninger. Bruker derfor prøve- og feilemetoden for å finne nullpunktene: x = g() = 3 3 + 3 = 3 0 intet nullpunkt (1.183) x = 1 g(1) = 1 3 3 1 1 + 3 = 0 x 1 faktor (1.184) x = 1 g( 1) = ( 1) 3 3 ( 1) ( 1) + 3 = 0 x + 1 faktor (1.185) x = 3 g(3) = 3 3 3 3 3 + 3 = 0 x 1 faktor (1.186) og da vet vi at g(x) kan faktoriseres g(x) = x 3 3x x + 3 = (x 1)(x + 1)(x 3) } {{ } faktorisert form (1.187) 37
Eksempel: ( polynomdivisjon med rest ) f(x) : (x ) (1.188) (x 3 5x + ) : (x ) = x 3x 6 10 x (x 3 x ) 3x ( 3x + 6x) 6x + ( 6x + 1) 10 rest Alt i alt: (x 3 5x + ) : (x ) = x 3x 6 10 x (1.189) Her ser vi at divisjonen ikke går opp. Vi har en rest 10 x. Husk at divisjon kan skrives på følgende måter: f(x) : (x ) f(x) x (1.190) Oppgaver : FoMa 5: 501 38
1.1 Absoluttverdi Absoluttverdi: 3 = 3 (1.191) 3 = 3 (1.19) dvs. en absoluttverdi er alltid positiv (eller 0). Generelt: a = a, når a 0 a, når a < 0 (1.193) Eksempler: 3 = 3 (1.194) ( 3) = 3 (1.195) Dette gjelder også mer generelt: x = x (1.196) uansett om x er positiv eller negativ. 39
Eksempel: Siden f(x) = x 3 = 0 for x = 3, så må vi skille mellom når x 3 og x < 3 : f(x) = x 3 = x 3, når x 3 (x 3), når x < 3 (1.197) Figur 1.4: Plott av f(x) = x 3. 40
Eksempel: La oss se på g(x) = x 4 + x + 1 (1.198) og la oss løse ligningen g(x) = 0 (1.199) Vi må da først se på leddet (x 4) = (x )(x + ): Figur 1.5: Fortegnsskjema/drøftingsskjema for x 4. Dvs. vi må splitte x 4 i 3 intervall: x 4 = x 4, når x (x 4), når < x < (1.00) x 4, når x Legg merke til at intervallene x og x gir samme uttrykk, se lign.(1.00). 41
i) x og x : g(x) = 0 (1.01) x 4 + x + 1 = 0 (1.0) x + x 3 = 0 (1.03) x = ± 4 1 ( 3) 1 = ± 4 (1.04) x = 1 x = 3 (1.05) ii) < x < : g(x) = 0 (1.06) (x 4) + x + 1 = 0 (1.07) x + x 5 = 0 (1.08) x = ± 4 ( 1) 5 ( 1) = ± 4 = ± 6 (1.09) x = 1 + 6 x = 1 6 (1.10) Alt i alt: L = { 1 6, 3 } (1.11) 4
Eksempel: La oss se på h(x) = x + 4 6 (1.1) og la oss løse ligningen h(x) 0 (1.13) Vi må da først se på leddet x + 4. Her er det lett å se at vi må splitte intervallet i x og x <, så vi trenger ikke noe fortegnsskjema. Vi kan skrive: x + 4 = x + 4, når x (x + 4), når x < (1.14) i) x : h(x) 0 (1.15) x + 4 6 0 (1.16) x 6 4 (1.17) x 1 OK (1.18) 43
ii) x < : h(x) 0 (1.19) (x + 4) 6 0 (1.0) x 4 6 0 (1.1) x 10 (1.) x 10, SNU tegnet (1.3) x 5 (1.4) Alt i alt: L =, 5] [1, (1.5) Oppgaver : FoMa 5: 503, 504 44
Kapittel Funksjoner.1 Parabel En ligning på formen f(x) = ax + bx + c (.1) kalles en parabel. Her er a, b og c konstanter. Dette er ligninger med en ukjent generelt er variabelen x er i. og 1 potens, dvs. x = x og x = x 1 Eksempler på parabler: f(x) = x x (.) g(x) = x (.3) h(x) = 3x + 8 (.4) i(x) = 1 x + 8x (.5) 45
Eksempel: ( parabel ) f(x) = x 4x (.6) g(x) = x + 6 (.7) grafene er parabeler symmetri gjennomtopp/ bunnpunktet (se figur) f(x) er hul opp pga. +x g(x) er hul ned pga. x Figur.1: Plott av parabelene f(x) = x 4x og g(x) = x + 6. 46
i) Nullpunkt: Nullpunktene bestemt av f(x) = 0 og f(x) = 0 kan finnes ved grafisk løsning: f(x) = 0 : x = 0 og x = 4 (.8) g(x) = 0 : x =.45 og x =.45 (.9) eller ved regning ( løsning av. gradsligning ) f(x) = 0 : x = ( 4) ± ( 4) 4 1 0 1 = 4 ± 4 x = 0 og x = 4 (.10) g(x) = 0 : x = 0 ± 0 4 ( 1) 6 ( 1) = 6 x = 6 og x = 6 (.11) hvor 6.45. ii) Skjæringspunkt f(x) = g(x): Skjæringspunktene f(x) = g(x) kan finnes ved grafisk løsning: f(x) = g(x) : x = 1 og y = 5, x = 3 og y = 3 (.1) 47
eller ved regning ( løsning av. gradsligning ) f(x) = g(x) (.13) x 4x = x + 6 (.14) x 4x 6 = 0 (.15) x = ( 4) ± ( 4) 4 ( 6) = 4 ± 8 4 x = 1 og x = 3 (.16) med tilhørende y-verdier f( 1) = g( 1) = ( 1) + 6 = 5 (.17) f(3) = g(3) = 3 + 6 = 3 (.18) Alt i alt: x = 1 og y = 5, x = 3 og y = 3 (.19) Oppgaver : FoMa 6: 601, 60 48
. Hyperbel En ligning på formen f(x) = ax + b cx + d (.0) kalles en hyperbel. Her er a, b, c og d konstanter. Dette er ligninger med en ukjent variabelen x kan være både i teller og nevner vertikal asymptote: cx + d = 0 x = d c horisontal asymptote: lim x ax+b cx+d y = a c Eksempler på hyperbler: f(x) = 4 x (.1) g(x) = 3 x + 1 (.) h(x) = x + x + 3 i(x) = x + 1 x (.3) (.4) Eksempel: ( hyperbel ) f(x) = 3x 1 x + 6 (.5) La oss plotte hyperbelen f(x). La oss også løse f(x) = g(x) grafisk, hvor g(x) er den lineære funksjonen g(x) = x 3. 49
Figur.: Plott av parabelen f(x) = 3x 1 x+6. Den lineære funksjonen g(x) = x 3 er også plottet. i) Nullpunkt: Nullpunktet bestemt av f(x) = 0 kan finnes ved grafisk løsning: f(x) = 0 : x = 0.33 (.6) g(x) = 0 : x = 1.5 (.7) eller ved regning f(x) = 0 : 3x 1 = 0 x = 1 3 (.8) g(x) = 0 : x 3 = 0 x = 3 (.9) 50
ii) Skjæringspunkt f(x) = g(x): Skjæringspunktene f(x) = g(x) kan finnes ved grafisk løsning: f(x) = g(x) : x = og y = 3.5, x = og y = 0.5 (.30) eller ved regning ( løsning av. gradsligning ) f(x) = g(x) (.31) 3x 1 x + 6 = x 3 3x 1 x + 6 = x x + 6 x + 6 3 x + 3 x + 3 3x 1 x(x + 6) + 3(x + 3) x + 6 3x 1 x 6x + 3x + 9 x + 6 (.3) (Fellesnevner) (.33) = 0 (Samle uttrykkene på venstre side) (.34) = 0 (.35) x + 8 = 0 (.36) x = 4 (.37) x = x = (.38) med tilhørende y-verdier f( ) = g( ) = 3 = 3 = 4 + 3 f() = g() = 3 = 3 = 4 3 = 1 = 7 (.39) (.40) Alt i alt: x = og y = 7, x = og y = 1 (.41) 51
Oppgaver : FoMa 6: 605, 606, 607 5
.3 Parameterisering Definisjon: parameterisering = det at en ligning eller uttrykk har en bokstav som betraktes som en konstant eller en kjent størrelse Eksempler på parameterisering: ( a = parameter ) f(x) = x + ax 3 (.4) ax 5 = 3(x 7) (.43) g(x) = x + ax x + 1 x (.44) Eksempel: ( 1. gradsligning med parameter a ) 3a ax 4ax = 5x a (.45) 5x ax 4ax = a 3a (Samle x-uttrykkene på venstre side) (.46) 5(1 a)x = 5a (Divider med 5(1 a) på begge sider) (.47) x = a 1 a, a 1 (.48) Alt i alt: x = a 1 a, a R {1} (en løsning), når a = 1 (ingen løsning) (.49) 53
Eksempel: (. gradsligning med parameter a ) x x + a = 0 (.50) x = ( ) ± ( ) 4 1 a 1 = ± 4(1 a) = 1 ± 1 a (.51) Vi må skille mellom a = 1, a < 1 og a > 1: x = 1, når a = 1 (kun en løsning) 1 ± 1 a, når a < 1 (to løsninger) (.5), når a > 1 (ingen løsning) Figur.3: Plott av parabelen f(x) = x x + a for a = 1, a = 1 and a = 3. 54
Eksempel: (. gradsligning med parameter a ) x + x = x + a (.53) Løser denne algebraisk: ( dvs. ved regning ) x + x = x + a (Multipliser med x ) (.54) x + = ( x + a)(x ) (.55) x + = x + x + ax a (.56) x x ax + a + x + = 0 (Samle uttrykkene på venstre side) (.57) x (a + 1)x + (a + 1) = 0 (.58) Dette er en. gradsligning: x = [ (1 + a)] ± [ (a + 1)] 4 1 (a + 1) 1 (.59) = (a + 1) ± (a + 1) 8(a + 1) = (a + 1) ± (a + 1)(a 7) (.60) Figur.4: Fortegnsskjema/drøftingsskjema for (a + 1)(a 7). 55
Vi må skulle mellom følgende tilfeller: (a+1)± (a+1)(a 7), når a < 1 a > 7 (to løsninger) x = 0, når a = 1 (kun en løsning) 4, når a = 7 (kun en løsning) (.61), når 1 < a < 7 (ingen løsning) La oss plotte f(x) = x+ + x a. Løsningen av lign.(.53) tilsvarer f(x) = 0: x Figur.5: Plott av funksjonen f(x) = x+ + x a for a =, a = 7 and a = 8. x 56
Oppgaver : FoMa 7: 701, 703, 704 57
.4 Mer om funksjoner La oss se på funksjonen f(x) = x 3 3 x x + 7 (.6) (Dette er en 3. gradsligning med en ukjent). Figur.6: Plott av f(x) = x 3 3 x x + 7. i) Nullpunkt: f(x) = 0 : Skjæring med x-aksen (.63) 58
ii) Over/under x-aksen: f(x) > 0 grafen ligger over x-aksen. (.64) f(x) < 0 grafen ligger under x-aksen. (.65) iii) Topp/bunnpunkt: f (x) = 0 og f (x) går fra + til Toppunkt (.66) f (x) = 0 og f (x) går fra til + Bunnpunkt (.67) iv) Vendepunkt: f (x) = 0 Vendepunkt (.68) v) Konstantledd: f(x = 0) = 7 skjæring med y-aksen. (.69) vi) Asymptoter: I tillegg kan man undersøke om aspymptoter eksisterer: vertikal asymptote(r) horisontal asymptote(r) 59
.5 Derivasjon Definisjon: deriverte = stigningstallet til en funksjon Definisjon: ( teknisk ) f (x) = lim x 0 f(x + x) f(x) (x + x) x = lim x 0 f(x + x) f(x) x (.70) Figur.7: Deriverte av f(x). Derivasjonsregler: f(x) = ax n f (x) = n ax n 1, n R (.71) f(x) = u v f (x) = u v + uv (.7) f(x) = u v f (x) = uv uv v (.73) 60
Takk Takk til Magne Geir Skrede, lektor ved Molde videregående skole, for god hjelp og diskusjoner under utarbeidelsen av dette kompendiet. 61