Kompendium H MAT100 Matematikk. Del 1 av 2. Per Kristian Rekdal

Transkript

1 Kompendium H-2016 MAT100 Matematikk Del 1 av 2 Per Kristian Rekdal

2 Figur 1: Matematikk er viktig. 2

3 Innhold 1 Grunnleggende emner Tall og tallsystemer Algebraiske uttrykk Kvadratsetningene og konjugatsetningen Potenser Prefiks Cobb-Douglas produktfunksjon Kvadratrot Faktorisering Brøkregning Forkorte og utvide brøker Sum av brøker Multiplikasjon og divisjon med brøker Lovlige operasjoner To måter å føre ligninger på gradspolynom gradsligninger, ligningssystem gradspolynom Nullpunkter Faktorisering og nullpunkter gradspolynom Ulikheter Polynomdivisjon Oversikt: nullpunkter for 1., 2. og 3. gradsfunksjoner Absoluttverdi Regning med prosent Funksjoner Funksjoner Koordinatsystem Lineære funksjoner (rette linjer) Kvadratiske funksjoner (parabler) Kubiske funksjoner Rasjonale funksjoner Parametrisering

4 3 Derivasjon Derivasjon Derivasjonsregler Minimum enhetskostnad T EK min Maksimalt resultat T R max En økonomisk tolkning av den deriverte: grensekostnad Derivasjon av produkt- og brøkfunksjoner Kjerneregelen Lokale ekstremalpunkt derivasjonstesten og 2. deriverte Vendepunkter Globale ekstremalpunkt derivasjonstesten Elastistieter kategorier: Priselastisitet Eksponensial- og logaritmefunksjoner Eksponensialfunksjonen Tallet e, Eulers tall Dimensjonsanalyse Logaritmer Definisjon Regneregler Deriverte av ln x Følger og rekker Summetegnet Aritmetiske rekker Sum av en aritmetiske rekke Geometriske rekker Sum av en geometriske rekke Konvergente og divergente rekker: n Aritmetiske rekker: n Geometriske rekker: n Finansmatematikk Oversikt Aritmetisk rekke: Serielån Rente R serie n ved serielån Geometrisk rekke: Annuitetslån Renteformelen K n og nåverdi K Oppsparingsannuitet Sn ann Nåverdi K 0 av etterskuddsannuitet Nåverdi K 0 ved utbetaling til evig tid, dvs. n Terminbeløp K ved annuitetslån Rente Rn ann ved annuitetsån

5 6.4 Kontinuerlig rente K t Integraler Integrasjon = MOTSATTE av derivasjon Integrasjon = SUM av mange små areal Integrasjon = areal under en grafen Noen regneregler Anvendelser av bestemte integral innen økonomi Inntektsfordeling Funksjoner av flere variabler Funksjoner av to variable Grafisk fremstilling av funksjoner av to variable Grafisk fremstilling og nivåkurver Partielle deriverte Kjerneregelen (for en funksjon med to variable) Partiell derivasjon av 2. orden Maksimum og minimum Maksimum og minimum (for flater med rand) Maksimering/minimering under bibetingelser

6 6

7 Forord Dette er del I (av II) av kompendiet i kurset MAT100 Matematikk ved Høgskolen i Molde, Forelesningene vil i all hovedsak følge dette kompendiet. Støttelitteratur: Matematikk for økonomi og samfunnsfag, Høyskoleforlaget, 2010, 8. utg. Selv om pensum defineres ut fra: kompendiet forelesningene øvingene så anbefales det å ha læreboken i tillegg, som støttelitteratur. Læreboken behandler flere detaljer enn kompendiet. Læreboken kan også være nyttig som oppslagsverk senere i studiet og i arbeidslivet etter endt studium. Men man må ikke ha læreboken i dette kurset. Studentene ved Høgskolen i Molde som skal ha dette kurset er blant annet studenter innenfor følgende studieretninger: økonomi regnskap og revisjon økonomi og administrasjon logistikk logistikk og supply chain management petroleumslogistikk Både eksemplene i dette kompendiet og de tilhørende øvingsoppgavene preges av disse disiplinene. Det betyr at eksemplene i kompendiet og tematikken i øvingsoppgavene er i stor grad motivert ut fra disse studieretningene. Dette for å illustrere relevansen av matematikk i disse sammenhengene. 7

8 Til dette kompendiet hører det en formelsamling. Formlene i den formelsamlingen er stort sett de formlene som er markert med rød skrift og ramme rundt i dette kompendiet. Studentene oppfordres til å bruke formelsamlingen aktivt når øvingsoppgaver skal løses. Formelsamlingen sammen med godkjent kalkulator er tillatte hjelpemideler på eksamen. Alle forelesningene blir tatt opp på video. Det er er fire typer videoer i dette kurset: forelesningsvideoer (45 min.) kortvideoer (5-10 min.) løsningsvideoer informasjonsvideoer Alle disse videoene finnes på Høgskolen i Molde sin åpne kursportal: Alt kursmateriell (bortsett fra læreboken til Bjørnestad) finnes også på denne åpne portalen. Alt er gratis! Velkommen til MAT100! Molde, august Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde,

9 Kursinfo Emnekode: MAT100 Emnenavn: Matematikk Studiepoeng: 7.5 Undervisningssemester: Høst 2016 Forkunnskaper: Ingen. Elementær kjennskap til matematikk er en fordel. 1 Undervisningssted: Molde Språk: Norsk Språk øvinger/eksamen: Norsk Undervisningsform: 4 timer forelesning + 6 timer med regneøvinger per uke. 2 1 For studenter med manglende matematikkunnskaper eller som ønsker en repetisjon av deler av pensumet fra videregående skole, er det en stor fordel å være med på MAT001 Forkurs i matematikk som arrangeres aug Selv om det er frivillig oppmøte på øvingstimene så innleveringene av øvingene obligatorisk (se arbeidskrav ). Øvingene er så vanskelig at studentene oppfordres til å møte opp på alle øvingstimene. Foreleser og hjelpelærere vil være tilstede i øvingstimene for veiledning. På oppfordring kan også foreleser lage løsningsvideoer. Dette blir nærmere forklart etter kursoppstart. 9

10 Antall øvinger: Totalt vil det bli gitt ca. 6 øvinger, dvs. innleveringer hver 14. dag. Øvingstimer: Hver uke blir det arrangert 3 dobbeltøvingstimer med hjelpelærer. I disse øvingstimene skal studentene regne oppgaver for innlevering. Selv om det ikke er obligatorisk oppmøte på øvingstimene så oppfordres til å møte opp på alle øvingstimene. Foreleser og hjelpelærere vil være tilstede i øvingstimene for veiledning. På oppfordring kan også foreleser lage løsningsvideoer. 3 Arbeidskrav: Øvingsoppgaver levert innen gitte frister. For å kunne gå opp til eksamen må følgende arbeidskrav oppfylles: 4 av totalt 6 øvinger må være innleverte og godkjente Dersom en kandidat stryker har kandidaten mulighet til å ta påfølgende ny og utsatt eksamen, kontinuasjonseksamen. Da slipper man å utføre arbeidskravene på nytt. Men dersom kandidaten ikke tar denne kontinuasjonseksamenen og heller ønsker å ta neste ordinære eksamen, da må arbeidskravene utføres på nytt. 4 Timeplan: ( se timeplan for Molde-studenter og Kristiansund-studenter ) Forelesninger: (starter uke 34) Tirsdager: 12:15-14:00, rom A-108 Torsdager: 12:15-14:00, rom A-108 Øvingstimer: (starter uke 35) Tirsdager: 14:15-16:00, rom A-108 Torsdager: 14:15-16:00, rom A-108 Vurderingsform: 4 timer skriftlig slutteksamen (100 %). 3 Dette med løsningsvideoer blir nærmere forklart ved kursoppstart. 4 Altså: arbeidskravene overvintrer ikke. 10

11 Innhold: Se innholdsfortegnelse i dette kompendiet. Karaktertype: Bokstavkarakter Hjelpemidler eksamen: Godkjent kalkulator og formelsamling (se litteratur nedenfor). Kun originalversjonen av formelsamlingen utgitt av SiMolde Bok er lov å ha med på eksamen. 5 Det er lov å skrive egne notater i formelsamlingen som dere kan ta med på eksamen. Men: Ikke skriv av hele eksempler og hele oppgaver. Det vil ikke hjelpe dere på eksamen. Eksamensoppgavene blir ikke laget på en slik måte at det vil være til stor nytte. 6 Kalkulator: Dersom du har en kalkulator fra før så trenger du mest sannsynlig ikke å kjøpe en ny. Man behøver ikke en avansert kalkulator i dette kurset. Kun en enkel kalkulator er nok. Men man kan ikke bruke kalkulatoren på mobiltelefonen siden man ikke har lov å ha med mobilen på eksamen. Dersom du ikke har kalkulator fra før og skal kjøpe deg en så kan det være lurt å kjøpe en som de fleste andre i klassen har. Da kan dere hjelpe hverandre med spørsmål angående kalkulator. De fleste har en Casio, f.eks. en Casio FX-9750GII. Læringsutbytte: Ved fullført kurs skal studenten: kunne løse likninger av første og annen grad, lineære likninger med 2 ukjente kunne regne med ulikheter kunne løse enkle ligningssystemer kunne lage grafisk fremstilling av enkle funksjoner i en variabel kunne derivasjonsreglene og anvendelser av den deriverte kunne finne grensekostnad, grenseinntekt, grenseprofitt, kostnadsoptimum kunne regne med logaritmer og eksponensialfunksjoner og anvendelser av disse kunne benytte aritmetiske og geometriske rekker i finansmatematikk kunne metoder for å løse ulike optimeringsproblem, herunder Lagranges metode 5 Dette fordi det skal være lett å se at dere har med den riktige og lovlige formelsamlingen på eksamen. 6 Dersom dette blir praktisert i stor grad må vi revurdere denne ordningen i forhold til neste års studenter. 11

12 Litteratur: Bjørnestad, Harald m.fl.: Matematikk for økonomi og samfunnsfag, Høyskoleforlaget, Kristiansand, 2010 (8. utgave). Rekdal, Per Kristian: Kompendium i MAT100 Matematikk, SiMolde Bok, Molde, Rekdal, Per Kristian: Formelsamling i MAT100 Matematikk, SiMolde Bok, Molde, PS: Man kan ikke bruker tidligere versjoner av kompendiet, f.eks. man kan ikke bruke fjorårets versjon. Dette fordi kompendiet korrigeres, endres og forbedres hvert år. Da endres også sidetall og ligningsummer. Og vi må ha samme referanser, ligningsummer og sidetall når vi jobber oss gjennom dette kurset. 12

13 himoldex.no er en åpen kursplattform ved Høgskolen i Molde (himolde). Her finner man komplett kursmateriell for utvalgte kurs. Dermed er notater fra forelesninger, kompendium, øvingsoppgaver, løsningsforslag og annet materiell åpent tilgjengelig for alle. Intet brukernavn. Intet passord. Gratis! 1) Kursmateriell: Alt kursmateriell i MAT100 Matematikk finnes gratis i elektronisk form på denne åpen kursplattform: kompendium, 2016 øvingsoppgaver, 2016 løsninger, 2016 formelsamling, 2016 Både under kursets gang og for ettertiden: last ned alt kursmaterialet til din PC. Da har du det komplette kursmateriellet. Da kan dere bruke dette som oppslagsverk når dere støter på matematikkutfordringer i disipliner som f.eks.: økonomi regnskap og revisjon økonomi og administrasjon logistikk logistikk og supply chain management petroleumslogistikk 13

14 2) Video: I tillegg til dette gratis kursmateriellet finner man fire typer videoer: a) forelesningsvideoer b) kortvideoer c) løsningsvideoer d) informasjonsvideoer 3) Facebook: Emnet er egen Facebook-gruppe. Innholdet i denne gruppen er blant annet: øvinger / oppgaver fagrelaterte spørsmål praktisk informasjon enkle spørreundersøkelser promotering / publisering av videoer 14

15 Figur 2: Førsteside av himoldex.no. 15

16 Trykk her, og du kommer til den åpne delen av Fronter hvor alt MATERIELL for emnet ligger. Trykk her, og du får opp en liste over alle VIDEOER i emnet. Trykk her, for å komme til Facebook-gruppen i MAT100. Figur 3: Emnet MAT100 på himoldex.no. 16

17 Kompendium, øvinger, løsningsforslag, eksamen. Materiell fra tidligere år. Alle viktige beskjeder blir lagt ut både på Fronter og på Facebook-gruppen. Men på Facebook-gruppen er det mye mer som blir lagt ut, f.eks. Q&A osv. Figur 4: Emnet MAT100 på Fronter. 17

18 Ta bilde av regnestykket med mobil tlf og spør på Facebook-gruppen: Figur 5: Emnet MAT100 på Facebook. 18

19 Kapittel 1 Grunnleggende emner Figur 1.1: Grunnleggende emner i matematikk. 19

20 1.1 Tall og tallsystemer Notasjon for tall: N = { 1, 2, 3, 4,... } (naturlige tall) (1.1) Z = {... 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... } (hele tall) (1.2) Q = { a b a Z b N } (rasjonale tall) (1.3) R = mengden av reelle tall (alle tall på tall-linja) (1.4) Mengdesymbol, listeform: M = { 3, 6, 7, 9 } (endelig mengde) (1.5) M = { 3, 6, 7, 9,... } (uendelig mengde) (1.6) Mengden kan altså være endelig eller uendelig. 20

21 Mengdesymbol, intervall: [ a, b ] = { x a x b } (alle reelle tall f.o.m. a t.o.m. b) (1.7) (lukket intervall) a, b = { x a<x<b } (ingen endepunkt er med) (1.8) (åpent intervall) a, b ] = { x a<x b } (bare ene endepunktet er med) (1.9) (halvåpent intervall) [ a, b = { x a x<b } (bare ene endepunktet er med) (1.10) (halvåpent intervall) 21

22 1.2 Algebraiske uttrykk Generelle regler for algebra: ( algebra = regler for operasjonene og + ) a + a = 2a (1.11) a + b = b + a (1.12) (a + b) = a b (1.13) (a b) = a + b (1.14) Ved regning med flerleddede uttrykk: 1) Samle sammen like ledd ved å summere koeffisientene 2) Løs opp parenteser + foran parentes: foran parentes: ingen fortegnsendring skifte alle fortegn i parentesen Eksempel: ( samle sammen like ledd ) ab 3a + b 5ab + 4b = 4ab 3a + 5b (1.15) Eksempel: ( løse opp parenteser og samle sammen like ledd ) (3ab + b) (ab + 2b + c) = 3ab + b ab 2b c = 2ab b c (1.16) 22

23 Denne parentesregl kalles den distributive lov: a (b + c) = ab + ac (1.17) Fra denne distributive lov så følger at: (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd (1.18) Lign.(1.17) og (1.18) er en svært viktige regeler. Sistnevnte er så viktig at det er tre spesialtilfeller av denne ligningen som har egne navn. Disse skal vi se på i neste avsnitt. Greier du å vise hvorfor lign.(1.18) er riktig? 23

24 1.3 Kvadratsetningene og konjugatsetningen Lign.(1.18) har følgende spesialtilfeller: ( kvadratsetningene ) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (1. kvadratsetning) (1.19) (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (2. kvadratsetning) (1.20) (a + b)(a b) = a 2 b 2 (konjugatsetningen) (1.21) hvor konjugatsetningen, dvs. lign.(1.21), forklares via: (a + b)(a b) = a 2 ab + ba b 2 = a 2 b 2 (1.22) Figur 1.2: Kvadratsetningene og konjugatsetningen utskrevet ledd for ledd. 24

25 Husk, når man multipliserer 1 ut parenteser: (+) (+) = + (+) ( ) = ( ) (+) = ( ) ( ) = + Husk også: a = ( 1) a (1.23) a b = a + ( b) (1.24) a b = b a (1.25) Eksempel: ( løse opp parenteser og samle sammen like ledd ) (2xy + x)(4xy x) 4x 2 (1 y) + x 2 = 8x 2 y 2 2x 2 y + 4x 2 y x 2 4x 2 + 4x 2 y + x 2 = 8x 2 y 2 + 6x 2 y 4x 2 (1.26) 1 Det er IKKE slik at f.eks. 6 6 = +12. }{{} galt 25

26 1.4 Potenser Definisjon: ( potens ) a n = a } a {{ a... a} = n faktorer (1.27) hvor n= eksponent, n N, a = grunntall og a R. Potensregler: a m a n = a m+n (1.28) a n = 1 a n, a 0 (1.29) a m a n = a m a n = a m n (1.30) (a m ) n = a mn (1.31) (a b) n = a n b n (1.32) ( ) n a = an, b 0 (1.33) b b n og i tillegg: a 0 = 1 (1.34) a 1 = a (1.35) 26

27 Eksempler: ( potens ) = = 3 7 (1.36) (2 3 ) 7 = = 2 21 = (1.37) ( ) 3 5 = 53 (1.38)

28 1.4.1 Prefiks Normalform: 2 (se også liste av SI prefiks) = 10 3 (1.39) = 10 6 (en million) (1.40) 0, 001 = 10 3 (milli) (1.41) 0, = 6, (1.42) = 4, }{{ 11 } normalform (1.43) Generelt med 10-potens: tall = a 10 n (1.44) hvor n Z og a 10, Også kalt standardform. 28

29 Husk: 1) Multipliksjon: a a = a 2 (1.45) 2) Addisjon: a + a = 2a (1.46) 3) Subtraksjon: a a = 2a (1.47) 29

30 1.4.2 Cobb-Douglas produktfunksjon I SØK200 Mikroøkonomi lærer man blant annet om Cobb-Douglas produktfunksjon. Det er funksjoner som beskriver sammenhengen mellom èn output og to (eller flere) input variabler 3. Definisjon: ( Cobb-Douglas produktfunksjon ) En Cobb-Douglas produktfunksjon er en funksjon på formen: Y = a K α L β (1.48) hvor Y = produksjon (1.49) K = kapital (1.50) L = arbeidskraft (1.51) a = konstant (1.52) α = konstant (potens) (1.53) β = konstant (potens) (1.54) Ofte brukes Cobb-Douglas funksjoner i forbindelse med nyttefunksjoner U(X 1, X 2 ) av to goder X 1 og X 2 4. Det betyr at nyttefunksjonen er på samme form som Cobb-Douglas produktfunksjonen i lign.(1.48). Noen eksempler på spesialtilfeller av Cobb-Douglas lign.(1.48): U(X 1, X 2 ) = X 1 X 2, (kalles enkel Cobb-Douglas ) (1.55) U(X 1, X 2 ) = 3.2 X X 3 2 (1.56) U(X 1, X 2 ) = 2 15 X2 1 X (1.57) 3 Funksjoner av flere variabeler skal vi lære mer om i kapittel (8). 4 U = utility, nytte. 30

31 1.5 Kvadratrot Definisjon: ( kvadratrot ) ( a 0 ) 5 a = det positive tallet som, opphøyd i 2, er a (1.58) m.a.o. ( a) 2 = a a = a 1/2+1/2 = a 1 = a. Eksempler: ( kvadratrot ) 9 = 32 = 3 (M.a.o. : 3 2 = 9) (1.59) 5 = ( )2 = (M.a.o. : ( ) 2 = 5) (1.60) 2 = går ikke, (komplekse tall ikke tema i dette kurset.) (1.61) Figur 1.3: Kvadratrot. 5 Man kan ikke ta kvadratroten av et negativt tall. (Komplekse tall er ikke et tema i dette kurset.) 31

32 Regneregler: ( a, b 0 ) a = 2 a = a 1 2 (1.62) a 2 = a (1.63) ( a) 2 = a (1.64) a b = a b (1.65) a b = a b, b 0 (1.66) 32

33 Huskeregl: Kvadratrot noe er bare en fancy måte å skrive noe 1/2 på: noe = (noe) 1/2 (1.67) Eksempler: 9 16 = 9 16 = 3 4 = 12 (1.68) 9 16 = 9 16 = 3 4 (1.69) 33

34 Generalisering av kvadratrot: n a, a 0 (1.70) hvor n = roteksponent, n N, a = radikand og a R. Regneregler: ( a 0 ) n a = a 1 n (1.71) ( n a) n = n a n = a (1.72) a m n = (a 1 n ) m = ( n a) m (1.73) a m n = = 1 (a 1 n ) = 1 m ( n (1.74) a) m hvor lign.(1.72), forklares via ( n a) n = (a 1 n ) n = a 1 n n = a 1 = a. Legg merke til at for n = 2 i lign.(1.71) og (1.72), så reproduserer man lign.(1.62) og (1.63): a = a 1 2 (1.75) ( a) 2 = a (1.76) 34

35 Eksempler: ( kvadratrøtter, utvide en brøk ) 3 2 utvid = 3 2 = (1.77) utvid = 2( 3 2) ( 3 + 2)( 3 2) = = 6 2 (1.78) utvid = (2 3)(2 + 3) = = (1.79) hvor konjugatsetningen, dvs. lign.(1.21), har blitt brukt i de to siste ligningene. 35

36 Eksempel: ( generalisert kvadratrot / potenser / BØK300 Bedriftsøkonomi 2 ) Kapitalen K 0 = NOK plasseres i år null. Hvilken rente r gir K 4 = etter 4 år? Senere i dette kurset, i kapittel (6), skal vi lære om renteformelen for rentes rente: K n = K 0 (1 + r) n (1.80) I denne oppgaven skal vi bare ta denne formelen for gitt, og regne på den via de regnereglene som vi har lært om så langt. Figur 1.4: Ole setter penger i banken. 36

37 Løsning: Med renten r etter 4 år skal man få K 4 = : K 4 = K 0 vekstfaktor {}}{ (1 + r) 4 1 (1.81) K 0 K 4 K 0 = (1 + r) 4 opphøy alt i 1 4 potens (1.82) ( K4 K 0 ) 1 4 = ((1 + r) 4 ) 1 4 (1.83) ( K4 K 0 ) 1 4 K 0 ( ) 1 K4 4 = (1 + r) (1.84) = (1 + r) 1 (1.85) 1 + r = ( K4 K 0 ) 1 4 (1.86) r = ( ) 1 K4 K 0 ( NOK 1 = NOK ) = (1.87) Dersom renten er r = 5.74 % så øker kapitalen fra NOK til NOK i løpet av 4 år. 37

38 1.6 Faktorisering Definisjon: ( faktorisering ) Faktorisering = dekomponering av algebraiske uttrykk (f.eks. tall uttrykk) til et produkt av faktorer. Eksempel: ( enkeltstående uttrykk ) 54 = faktorisering av 54 {}}{ (1.88) ledd {}}{ 6x 2 y = faktorisert form {}}{ 6 x x y (1.89) Eksempel: ( flerleddede uttrykk ) ab + ac ad = faktorisert form {}}{ a(b + c d) (1.90) ( felles faktor a i flerleddede uttrykk ) 2a 2 b 4ab = 2 a a b 2 2 a b = faktorisert form {}}{ 2 a b (a 2) (1.91) 38

39 Eksempel: ( kvadratsetningene og konjugatsetningen er faktorisering ) a 2 + 2ab + b 2 = (a + b)(a + b) = a 2 2ab + b 2 = (a b)(a b) = faktorisert form {}}{ (a + b) 2 (1. kvadratsetning) (1.92) faktorisert form {}}{ (a b) 2 (2. kvadratsetning) (1.93) a 2 b 2 = faktorisert form {}}{ (a + b)(a b) (konjugatsetningen) (1.94) Eksempel: 4a 2 20ab + 25b 2 = faktorisert form {}}{ (2a 5b) 2 (1.95) 8x 4 y 4 2 = 2 (4x 4 y 4 1) = faktorisert form {}}{ 2 (2x 2 y 2 1)(2x 2 y 2 + 1) (1.96) 39

40 1.7 Brøkregning Husk: Man kan aldri dividere med Forkorte og utvide brøker Forkorting av en brøk: ( brøkregning ) a c b c a b = a b = a c b c (forkorting av en brøk) (1.97) (utvidelse av en brøk) (1.98) hvor den siste ligningen kan forstås via a b = a b 1 = a b c c = a c b c (1.99) siden 1 = c c. Husk: man kan aldri dividere med null, dvs. b, c 0. Eksempel: 10 6 faktoriser = forkort = 5 3 (1.100) a 2 ab 3a 3b faktoriser = a (a b) 3 (a b) forkort = a 3 (1.101) 40

41 1.7.2 Sum av brøker Sum av brøk med samme nevner: a b + c b = a + c b (1.102) Eksempel: ( Ved sum av brøker, utvid hver brøk slik at man får fellesnevner ) fellesnevner = = 15 7 (1.103) fellesnevner = = 6 3 = 2 (1.104) Dersom brøkene ikke har fellesnevner så må man finne den først: utvid = fellesnevner = (1.105) sum = = (1.106) 1 3ab a 6b + a 9b utvid = 6 6 3ab 3a a 3a 6b + 2a a 2a 9b fellesnevner = 6 18ab 3a2 18ab + 2a2 18ab (1.107) sum = 6 3a2 + 2a 2 18ab = 6 a2 18ab (1.108) 41

42 1.7.3 Multiplikasjon og divisjon med brøker Regler for multiplikasjon og divisjon med brøker: c a b a b c d a b : c d = c a b = a c b d = a d b c [1] (Tall multiplisert med brøk) (1.109) [2] (Brøk multiplisert med brøk) (1.110) [3] (Brøk dividert med brøk) (1.111) hvor den siste ligningen, dvs. lign.(1.111), forklares via a b : c d = a b c d utvid = a d b c d d regel [1] = ad b c utvid = ad b b c b = a d b c (1.112) 42

43 Huskeregel: brøk = teller nevner = teller 7 nevner 7 = teller (x + 3) nevner (x + 3) = teller (a 2) nevner (a 2) (1.113) Regelen er altså: Det er lov å multiplisere og dividere med samme tall i en brøk. Huskeregelenovenfor kan formuleres på en annen måte: Tallet 1 kan man multiplisere og dividere med som man vil, uten at det endrer på det opprinnelige uttrykket. 1 = 7 7 = x + 3 x + 3 = a 2 a 2 (1.114) 43

44 Eksempel: 2 x 4 regel [1] = 2x 4 faktoriser = forkort 2x 2 2 = x 2 (1.115) regel [2] = faktoriser = (1.116) 1 5 : 4 15 = = utvid = 1= faktoriser = = 3 4 (1.117) Eksempel: ( 1 a ) ( : 1 a 1 ) a 1 a + 1 = ( a 1 (a+1)(a 1) + a+1 (a+1)(a 1) ( a+1 a 1 a+1 a+1 ) ) (1.118) = a 1 + a+1 (a+1)(a 1) a+1 (a 1) a+1 (1.119) = 2a (a+1)(a 1) (1.120) 2 a+1 = a a 1 (1.121) 44

45 Eksempel: = = 7 3 (1.122) = = 5 2 (1.123) 45

46 1.8 Lovlige operasjoner Følgende operasjoner lov i matematikk når man løser en generell ligning: VS = venstre side, HS = høyre side Addere med samme tall på begge sider VS = HS VS + 4 = HS + 4 (1.124) Subtrahere med samme tall på begge sider VS = HS VS 6 = HS 6 (1.125) Multiplisere ( 0) med samme tall på begge sider VS = HS 4 3 VS = 4 HS (1.126) 3 Dividere ( 0) med samme tall på begge sider VS = HS VS = HS 2 2 (1.127) Huskeregel: Dersom man gjøre noe på den ene siden av ligningen så må man også gjøre det samme på den andre siden. 46

47 1.9 To måter å føre ligninger på Føringsmessig er det to måter å føre ligninger på: 1) Føringsmåte 1: VS = HS (1.128) VS = HS (1.129) VS = HS (1.130) VS = HS (1.131) VS = HS (1.132) 2) Føringsmåte 2: VS = HS (1.133) = HS (1.134) = HS (1.135) = HS (1.136) 47

48 gradspolynom Definisjon: ( 1. gradspolynom ) 6 En funksjon på formen: f(x) = ax + b (1.137) kalles en 1. gradspolynom eller en lineær funksjon. Her er a og b konstanter. GEOMETRISK sett er lign.(1.137) er: en rett linje a = stigningstall b = skjæring med y-aksen Lign.(1.137) er en ligning med: variabelen x er i 1. potens, dvs. x = x 1 Figur 1.5: Funksjonen f(x) = 2 3 x Her snikinnføres begrepet funksjon, y = f(x). Dette med funksjoner skal vi se mer på i kapittel (2.1). 48

49 Eksempel: ( 1. gradsligning ) 1. gradsligning med èn ukjent: x 4 = 6 + 2x (1.138) 1. gradsligning med to ukjente: 2y = 1 3 x (1.139) 49

50 Eksempel: ( algebra / SØK100 Makroøkonomi / ISLM-modell ) I SØK100 Makroøkonomi (se også makroøkonomi) lærer man om en viktig ligning som heter generalbudsjettligningen. Generalbudsjettligningen er en forenklet fremstilling av økonomien til et land. Ligningen beskriver makroøkonomien til et land når den er i likevekt: 7 R = C + I + G + X (1.140) hvor R = inntekt, (nasjonalprodukt) (R= revenue ) (1.141) C = konsumentfunksjon (C= consumation ) (1.142) I = investering (I= investment ) (1.143) G = offentlige utgifter (G= goverment ) (1.144) X = netto eksport (X= export ) (1.145) Figur 1.6: SØK100 Makroøkonomi. 7 De av dere som skal ha faget SØK100 Makroøkonomi får lære mer om denne ligningen senere. 50

51 La oss se på følgende ISLM-modell: C = C 0 + c(r T ) (1.146) X = X 0 br (1.147) hvor C 0 = konstant, (inntektsuavhengig konsum) (1.148) c = marginal konsumrate (1.149) T = skattenivå (1.150) X 0 = konstant, (inntektsuavhengig eksport) (1.151) b = investors marginale rentefølsomhet (1.152) Finn et eksplisitt uttrykk for inntekten R. }{{} dvs. finn R alene 51

52 Løsning: Setter inn ligningene i generalbudsjettligningen: R = C + I + G + X (1.153) = C 0 + c(r T ) + I + G + X 0 br (1.154) Flytt alle R-ledd over på venstre side: R cr + br = C 0 ct + I + G + X 0 (1.155) R(1 c + b) = C 0 ct + I + G + X c + b (1.156) R = (C 0 + X 0 ) ct + I + G 1 c + b (1.157) hvor vi ikke kan dividere på 0, dvs. 1 c + b 0. 52

53 Dersom vi definerer inntektsmultiplikatoren m: 8 m def. 1 1 c + b (1.158) så kan lign.(1.157) skrives: R = (C 0 + X 0 ) ct + I + G 1 c + b (1.159) = ( ) 1 1 c + b (C 0 + X 0 ) ct + I + G (1.160) = m ( ) (C 0 + X 0 ) ct + I + G (1.161) 8 Inntektsmultiplikatoren sier hvor mye inntekten (nasjonalproduktet) R endrer seg når autonom aggregert etterspørsel (samlet etterspørsel etter varer og tjenester) endrer seg med èn enhet (èn krone). Dette lærer man mer om i faget SØK100 Makroøkonomi. 53

54 Eksempel: ( to 1. gradsligninger med to ukjente ) Førstegradsligninger med to ukjente x og y, dvs. en rett linje, skrives ofte slik: y = x + 1 kan skrives f(x) = x + 1 (1.162) y = 1 2 x 2 kan skrives g(x) = 1 2 x 2 (1.163) Løs ligningen f(x) = g(x). ( dvs. finn skjæringspunktet mellom grafene f(x) og g(x) ) 54

55 Løsning: i) Grafisk løsning: f(x) y-akse b=-2 = skjæring med y-aksen. a=1/2 = stigningstall y=-1 x=2 g(x) = x/2-2 x-akse b=1 = skjæring med y-aksen. a=-1 = stigningstall g(x) f(x) = - x + 1 Figur 1.7: Plott av f(x) og g(x). Av figuren ser vi at grafene skjærer hverandre når: x = 2, y = 1 (1.164) 55

56 ii) Ved regning: f(x) = g(x) (1.165) x + 1 = 1 2 x 2 (1.166) x 1 x 2 = 1 2 (Samle x-leddene på venstre (1.167) side og tallene på høyre) 2x 2 1 x = 3 (Fellesnevner på hver side) (1.168) 2 2x + x 2 3x 2 = 3 (1.169) = 3 (1.170) x = 2 (1.171) Dette er den x-verdien hvor grafene f(x) og g(x) skjærer hverandre, (se Fig.(1.7)). Dermed finnes tilhørende y-verdi: y = f(x = 2) (1.172) = g(x = 2) (1.173) = = 1 2 = 1 (1.174) dvs. samme løsning som den grafiske, som det skal være. 56

57 Eksempel: ( nullpunkt for lineære funksjoner ) La oss igjen se på den lineære funksjonen g(x) fra forrige eksempel. Finn nullpunktet til g(x) ved regning. g(x) = 1 2 x 2 (1.175) y-akse b=-2 = skjæring med y-aksen. a=1/2 = stigningstall g(x) = x/2-2 x-akse Nullpunkt: x = 4 Figur 1.8: Nullpunktet for g(x) er x = 4. Løsning: Nullpunktet til g(x) er bestemt ved: g(x) = 0 (1.176) 57

58 Dermed: 1 2 x 2 = 0 (1.177) 1 2 x = 2 2 (1.178) x = 2 2 (1.179) x = 4 (1.180) Nullpunktet til g(x) er x = 4. Hvor mange nullpunkt kan en lineær funksjon maksimalt ha? Kan en lineær funksjon ha ingen nullpunkter? 58

59 Eksempel: ( nullpunkt for lineære funksjoner ) Finn et generelt uttrykk for nullpunktene til den lineære funksjonen: f(x) = ax + b (1.181) Løsning: Nullpunktet til f(x) er bestemt ved: Dermed: f(x) = 0 (1.182) ax + b = 0 (1.183) ax = b 1 a ax = b 1 c 1 a (1.184) (1.185) x = b a (1.186) Det generelle uttrykket for nullpunktet til f(x) er x = b/a. 59

60 gradsligninger, ligningssystem Eksempel: ( lineært ligningssystem ) Følgende lineære ligingssystem har tre ligninger med tre ukjente x, y og z : 5x + 2y + 2z = 27 (1.187) 11x + 8y + 2z = 57 (1.188) 3x + 1y 2z = 16 (1.189) Her er det like mange ligninger som ukjente. Da kan finnes det en entydig løsning. 9 Denne løsningen er: x = 4 (1.192) y = 1 (1.193) z = 2.5 (1.194) 9 Dersom ligningene er uavhengige, dvs. den ene er ikke et multiplum av den andre. Eksempel: Ligningene er ikke uavhengige. Ser du hvorfor? x + y = 1 (1.190) 2x + 2y = 2 (1.191) 60

61 Setning: ( løsningsmengde ) Tre mulig situasjoner for løsningsmengden for et linært ligningssystem: 10 1) Èn entydig løsning: Like mange uavhengige ligninger som ukjente. (kvadratisk system) 2) Uendelig mange løsninger: Færre uavhengige ligninger enn ukjente. (underbestemt system) 3) Ingen løsninger: Flere uavhengige ligninger enn ukjente. (overbestemt system) 10 To kommentarer: 1) At ligningene er lineært uavhengige betyr at ingen av ligningene kan bli utledet algebraisk a fra den andre. 2) Når ligningen er uavhengige så inneholder hver ligningen ny informasjon av variablene. a Å fjerne noen av ligingene betyr at man øker størrelsen på løsingdmengden. 61

62 La oss illustrere disse tre alternativene for et ligningsystem med to ukjente: 11 ax + by = A cx + dy = B ax + by = A ax + by = A cx + dy = B ex + fy = C y løsning y løsning y x 0 y 0 x x x Én entydig løsning To ligninger, to ukjente ( Kvadratisk ) Uendelig mange løsn. En ligning, to ukjente ( Underbestemt ) Ingen løsninger Tre ligninger, to ukjente ( Overbestemt ) Figur 1.9: Lineært ligningsystem med to ukjente x og y. 11 Vi antar at ligningene i dette eksemplet er uavhengige. 62

63 Hva skjer når ligningene ikke er lineært uavhengige?: Dersom ligingene ikke ligningene lineært uavhengige så blir situasjonen som vis i figur Derfor illustrerer ikke figuren en mulig løsning. ax + by = A cx + dy = B ex + fy = C y Hvorfor er ikke dette en mulig løsning? x x Svar: Ligningene er ikke lineært uavh. De er koplet. Ingen løsninger Tre ligninger, to ukjente ( Overbestemt ) Figur 1.10: Ikke løsning. 63

64 Eksempel: ( lineært ligningssystem ) Løs ligningssystemet: x + y = 5 (1.195a) 3x + 2y = 10 (1.195b) PS: Dette er et ligningssystem med to uavhengige ligninger med to ukjente x og y. Da finnes det èn entydig løsning, se side 60. Løsning: 1) Metode 1: ( innsettingsmetoden ) Et ligningssystem løses ofte med innsettingsmetoden 12. Lign.(1.195a) gir: Denne ligningen innsatt i lign.(1.195b): x = y + 5 (1.196) 3 ( y + 5) + 2y = 10 (1.197) 3y y = 10 (1.198) 3y + 2y = (1.199) y = 5 (1.200) y = 5 (1.201) Setter dette svaret inn i lign.(1.196): x = y + 5 = = 0 (1.202) 12 I denne metoden brukes den ene ligningen til å uttrykke en variabel ved hjelp av den andre. 64

65 2) Metode 2: ( addisjonsmetoden ) Addisjonsmetoden går ut på å justere koeffisientene til x og y slik at at den ene faller bort når vi adderer ligningene. Multipliser lign.(1.196) med 2: x + y = 5 ( 2) (1.203) 2x 2y = 10 (1.204) Så legger vi sammen (1.204) og (1.195b): 3x + 2y + ( 2x 2y) = 10 + ( 10) (1.205) 3x + 2y 2x 2y = (1.206) x = 0 (1.207) Til slutt setter vi dette svaret inn i lign.(1.195a) y = 5 x = 5 0 = 5 (1.208) som gir samme svar som innsettingsmetoden, slik som det skal. 65

66 gradspolynom Definisjon: ( 2. gradspolynom ) En funksjon på formen: f(x) = ax 2 + bx + c (1.209) kalles en 2. gradspolynom eller en kvadratisk funksjon. Her er a, b og c er konstanter. Lign.(1.209) er ligninger med: ( ukjent = variabel ) variabelen x er i maksimalt 2. potens, dvs. x 2 Eksempel: f(x) = x 2 6x + 5 (1.210) g(x) = 2x 2 + 7x 23 (1.211) h(x) = 2.3x (1.212) 66

67 Nullpunkter Eksempel: La f(x) = x 2 6x + 5. Nullpunktene til f(x) finnes ved: f(x) = 0 (1.213) x 2 6x + 5 = 0 (1.214) Her kan vi bruke ABC-formelen i lign.(1.222). For vårt tilfelle i lign.(1.214) er a = 1, b = 6 og c = 5. Dermed: x 1 = ( 6) ( 6) x 1 = x 1 = x 1 = 6 4 2, x 2 = ( 6) + ( 6) , x 2 = , x 2 = , x 2 = (1.215) (1.216) (1.217) (1.218) x 1 = 1, x 2 = 5 (1.219) Siden f(x) = 0 har løsninger, så kan vi faktorisere f(x): f(x) = x 2 6x + 5 = faktotrisert form {}}{ (x 1)(x 5) (1.220) 67

68 y=f(x) Nullpunkter f(x) = x 2 6x + 5 x Figur 1.11: Plott av f(x) = x 2 6x

69 Setning: ( ABC-formelen ) 13 En 2. gradsligningen f(x) = ax 2 + bx + c sine nullpunkter bestemt ved f(x) = 0 (1.221) dvs. ax 2 + bx + c = 0, har løsningen: ( løsningene kalles også røtter ) x 1 = b b 2 4ac 2a, x 2 = b + b 2 4ac 2a (1.222) Da kan 2. gradsligningen faktor FAKTORISERES slik: a(x x 1 )(x x 2 ) = 0 (1.223) 0 løsninger X 1,2 = 2 løsninger 1 løsning Figur 1.12: Mulige løsninger for en 2. gradsligning. 13 Denne læresetningen viser sammenheng mellom nullpunkter og faktorisering. 69

70 Løsningsmengde: Tre mulige situasjoner for løsningsmengden for ABC-formelen: ( se figur(1.12) ) 14 ABC-formelen b 2 4ac > 0 b 2 4ac = 0 2 løsninger 1 løsning b 2 4ac < 0 ingen løsning Figur 1.13: Løsningsmengde for ABC-formelen. PS: ABC-formlen dreier seg kun om 2. gradsligninger. Intet annet. 14 Man kan utlede (dvs. bevise) ABC-formelen ved å omskrive ax 2 + bx + c = 0 til et fullstendig kvadrat og bruke 1. kvadratsetning. Detaljene går vi ikke gjennom i dette kompendiet, men utledningen finner du her. 70

71 Faktorisering og nullpunkter Hva er sammenhengen mellom faktorisering og nullpunkter? Svar: Fra eksemplet på side 67 fant vi at: f(x) Eq.(1.220) = x 2 6x + 5 = faktotrisert form {}}{ (x 1)(x 5) (1.224) Dersom vi har funksjonen f(x) på faktorisert form så ser vi umiddelbart hva som er nullpunktene, uten å gjøre noen regning: ( stirremetoden ) x 1 = 1, x 2 = 5 (1.225) Konklusjon: (gjelder generelt) Dersom et uttrykk er faktorisert så har vi umiddelbart også nullpunktene til uttryket! 71

72 gradspolynom Definisjon: ( 3. gradspolynom ) En funksjon på formen: f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (1.226) kalles en 3. gradsfunksjon. Her er a, b, c og d konstanter. Lign.(1.226) er ligninger med: ( ukjent = variabel ) variabelen x er i maksimalt 3. potens, dvs. x 3 Nullpunkter for 3. gradsligning: For en 2. gradsligningen så lærte vi i avsnitt 1.12 at det finnes eksplisitte formler for løsningen av nullpunktene, se lign.(1.222). For en 3. gradsligning finnes tilsvarende formel. Men den er så kompliserte at den ikke er en del av dette kurset. Man kan likevel løse nullpunktene til noen 3. gradsligninger ved å bruke en faktoriseringsmetode via polynomdivisjon. Polynomdivisjon skal vi lære i avsnitt

73 Eksempel: ( 3. gradsfunksjon ) f(x) = x x2 2x + 7 (1.227) a) Plott funksjonen. b) Indiker på grafen: i) Nullpunkt. ii) iii) iv) Når f(x) ligger over og under x-aksen. Topp- og bunnpunkt. Vendepunkt v) Konstant ledd. Løsning: a) Plott: ( se neste side ) b) i) Nullpunkt: f(x) = 0 : Skjæring med x-aksen (1.228) ii) Over/under x-aksen: f(x) > 0 grafen ligger over x-aksen. (1.229) f(x) < 0 grafen ligger under x-aksen. (1.230) 73

74 y Konstant ledd = 7 Toppunkt ( f (x) = 0 ) ( tangenten er horisontal ) Vendepunkt ( f (x) = 0 ) x Nullpunkt ( f(x) = 0 ) Bunnpunkt ( f (x) = 0 ) ( tangenten er horisontal ) Figur 1.14: Plott av f(x) = x x2 2x + 7. iii) Topp- og bunnpunkt: ( senere skal vi lære mer om den deriverte f (x) ) f (x) = 0 og f (x) går fra + til Toppunkt (1.231) f (x) = 0 og f (x) går fra til + Bunnpunkt (1.232) iv) Vendepunkt: ( senere skal vi lære mer om den dobbelt deriverte f (x) ) f (x) = 0 Vendepunkt (1.233) iv) Konstant ledd: f(0) = 7 skjæring med y-aksen. (1.234) 74

75 1.14 Ulikheter Ulikhetstegn: > større enn < mindre enn (1.235) og større enn eller lik mindre enn eller lik (1.236) Eksempel: 2x + 5 > 7 (1.237) 3 < 5 (1.238) 3 > 5 (1.239) Figur 1.15: Ulikheter. 75

76 Operasjoner: ( for å løse ulikheter ) Addere med samme tall på begge sider 5 > > 3+2 (1.240) Subtrahere med samme tall på begge sider 5 > > 3 2 (1.241) Multiplisere med positivt tall (> 0) på begge sider 5 > > 2 3 (1.242) Dividere med positivt tall (> 0) på begge sider 5 > > 3 2 (1.243) Eksempel: 3x + 2 > x + 3 (Samle x-leddene på venstre (1.244) side og tallene på høyre) 3x x > 3 2 (1.245) 2x > 1 (Divider med 2 på hver side) (1.246) x > 1 2 (1.247) 76

77 For ulikheter har vi i tillegg følgende regler: Multiplisere med negativt tall (< 0), SNU tegnet 5 > 3 ( 2) 5 < ( 2) 3 (1.248) Dividere med negativt tall (< 0), SNU tegnet 5 > 3 5 ( 2) < 3 ( 2) (1.249) Eksempel: 4(x 2) + 3(x + 4) > 5x (x 1) (Løs opp parentesene) (1.250) 4x x + 12 > 5x x + 1 (Samle x-leddene på venstre (1.251) side og tallene på høyre) 5x > 19 (1.252) 5x 5 < 19 5 (Dividere med ( 5), SNU tegnet) (1.253) x < 19 5 (1.254) 77

78 For ulikheter, har vi også følgende regel: Aldri multiplisere eller dividere med uttrykk (1.255) som inneholder den ukjente. Dette fordi vi ikke vet om den ukjente er 0 eller negativ. Men: Det er lov å legge til et negativt tall på begge sider av ulikheten! (1.256) 78

79 Eksempel: ( løser først en ligning, og deretter (på neste side) tilsvarende ulikhet ) 2x 5 x 1 = 1 (x 1) (1.257) 2x 5 = 1 (x 1) (1.258) 2x x > (1.259) x = 4 (1.260) Altså: en slik førstegradsligning med en ukjent har èn løsning. 79

80 Eksempel: 2x 5 x 1 2x 5 x 1 2x 5 x 1 x 1 x 1 > 1 (Kan ikke multiplisere med x 1 (1.261) siden fortegnet er ukjent) 1 > 0 (Samle alle ledd på samme side) (1.262) > 0 (Fellesnevner) (1.263) x 4 x 1 > 0 (1.264) Denne ulikheten løses med et fortegnsskjema/(drøftingsskjema): 15 Aldri dele med 0. x - 4 x - 1 (x 4) / (x-1) 1 x < 1 x > 4 4 x Nullpunkt Figur 1.16: Fortegnsskjema for lign.(1.264). og løsningen er x < 1 eller x > 4 (1.265) Altså: det er uendelig mange løsninger av ulikheten, mens tilsvarende ligning hadde kun èn løsning, se lign.(1.260). 15 Vi kan drøfte fortegnet til et brøken i lign.(1.261) ved å faktorisere den, drøfte fortegnet for hver av faktorene, og bruke fortegnsreglene ovenfor på side

81 Fortegnsskjema Vi kan drøfte fortegnet til et uttrykk ved å faktorisere det, drøfte fortegnet for hver av faktorene slik som eksempelet på forrige side, og bruke fortegnsreglene fra side 25, dvs.: (+) (+) = + (+) ( ) = ( ) (+) = ( ) ( ) = + faktor x - 4 x - 1 > 0 x - 4 x x faktor (x 4) / (x-1) x < 1 x > 4 Figur 1.17: Fortegnsskjema.. Hadde fortegnsskjemaet blitt det samme dersom vi hadde sett på (x 4)(x 1) > 0 istedet for > 0? I så fall, hvorfor? brøken x 4 x 1 81

82 Eksempel: ( algebra / SØK100 Makroøkonomi / ISLM-modellen ) La oss igjen se på ISLM modellen på side 50. Koeffisientene b og c i ligningene C = C 0 + c(r T ) (C= consumption ) (1.266) X = X 0 br (X= export ) (1.267) kan ikke ha hvilke verdier som helst. I tillegg til å ligge mellom 0 og 1, dvs. 0 < b < 1 (1.268) 0 < c < 1 (1.269) så må de oppfylle: 16 b < c (1.270) Vis da at inntektsmultiplikatoren m fra lign.(1.158), dvs. m def. 1 1 c + b (1.271) er større enn 1, dvs. vis at: m > 1 (1.272) 16 Grunnen til at ulikheten i lign.(1.270) gjelder, lærer man mer om i SØK100 Makroøkonomi. Helt kort kan det nevnes at det har noe å gjøre med at folk har en tendens til å kjøpe varer og tjenester i sitt eget land. 82

83 Løsning: Ta utgangspunkt i betingelsen i lign.(1.270): og utfør lovlige operasjoner på den: b < c (1.273) b < c Trekk fra c på begge sider. (1.274) c + b < = 0 {}}{ c + c (1.275) c + b < 0 Legg til 1 på begge sider. (1.276) = 1 m {}}{ 1 c + b < (1.277) 1 m < 1 (1.278) Siden både c og b ligger mellom 0 og 1 så innser vi at 1 c + b > 0, dvs. inntektsmultiplikatoren m er positiv: m > 0. Dermed kan vi multiplisere med m på begge sier av lign.(1.278): 17 med andre ord: 1 m < 1 m (1.279) 1 < m (1.280) m > 1, q.e.d. (1.281) 17 Det er helt avgjørende at vi vet at m > 0, dvs. positiv. Da behøver man ikke å snu ulikheten ved multiplikasjon, jfr. lign.(1.255). 83

84 1.15 Polynomdivisjon Definisjon: ( polynom ) Polynom = flerleddet algebraisk uttrykk hvor de ulike leddene har ulik grad Eksempel: p(x) = 2x 6 + 3x + 1, (6. gradsfunksjon) (1.282) f(x) = 2x 3 5x 2 + 3x 2, (3. gradsfunksjon) (1.283) g(x) = 7x 2 + x 17, (2. gradsfunksjon) (1.284) h(x) = x + 5, (1. gradsfunksjon) (1.285) Vanlig talldivisjon: 756 : 3 = 252 (1.286) Kontroll: = ( ) 3 = = 756 (1.287) m.a.o. det stemmer, og 756 = er faktorisert! 84

85 Eksempel: ( polynomdivisjon ) p(x) : (x 2) (1.288) (2x 3 5x 2 + 3x 2) : (x 2) = 2x 2 x + 1 (2x 3 4x 2 ) x 2 + 3x ( x 2 + 2x) x 2 (x 2) 0 Kontroll: (2x 2 x + 1) (x 2) = 2x 3 x 2 + x 4x 2 + 2x 2 = 2x 3 5x 2 + 3x 2 (1.289) m.a.o. det stemmer, og polynomet p(x) kan skrives på den faktoriserte formen: p(x) = 2x 3 5x 2 + 3x 2 = (2x 2 x + 1)(x 2) }{{} faktorisert form (1.290) (Faktoren 2x 2 x + 1 kan ikke faktoriseres). Ut fra denne ligningen ser vi umiddelbart at: p(2) = 0 p(x) : (x 2) GÅR OPP x = 2 er løsning til p(x) = 0 (1.291) dvs. x = 2 er nullpunkt for p(x). 85

86 Eksempel: ( faktorisering av 3. gradsfunksjon ) g(x) = x 3 3x 2 x + 3 (1.292) På side 72 ble det nevnt at: Det finnes eksplisitte formler for løsningen av nullpunktene, for en 3. gradsligning. Men den er så komplisert at det ikke er en del av dette kurset. Man kan likevel løse nullpunktene til noen 3. gradsligninger ved å bruke en faktoriseringsmetode via prøve- og feilemetoden: x = 2 g(2) = = 3 0 intet nullpunkt (1.293) x = 1 g(1) = = 0 x 1 faktor (1.294) x = 1 g( 1) = ( 1) 3 3 ( 1) 2 ( 1) + 3 = 0 x + 1 faktor (1.295) x = 3 g(3) = = 0 x 3 faktor (1.296) og da vet vi at g(x) kan faktoriseres g(x) = x 3 3x 2 x + 3 = (x 1)(x + 1)(x 3) }{{} faktorisert form (1.297) 86

87 Fra eksempelet på forrige side så kan vi generalisere: Setning: ( 3. gradsfunksjon, nullpunkt og faktorisering ) Dersom en 3. gradsfunksjon: P (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (1.298) har 3 forskjellige nullpunkter x 1, x 2 og x 3, dvs. P (x i ) = 0 for i=1,2,3, så kan P (x) skrives: P (x) = a (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 ) }{{} faktorisert form (1.299) dersom a Setningen på forrige side kan formuleres på en alternativ måte: Setning: ( 3. gradsfunksjon, nullpunkt og divisjon ) Polynomfunksjonen P (x) er delelig med x a hvis og bare hvis P (a) = 0. (1.300) altså hvis og bare hvis a er et nullpunkt til polynomfunksjonen P (x). 18 Hvordan tror du en tilsvarende setning er for et 17. gradspolynomfunksjon? 87

88 Eksempel: ( polynomdivisjon av 3. gradspolynom med rest ) f(x) : (x 2) (1.301) (x 3 5x 2 + 2) : (x 2) = x 2 3x 6 10 x 2 (x 3 2x 2 ) 3x 2 ( 3x 2 + 6x) 6x + 2 ( 6x + 12) 10 rest Alt i alt: (x 3 5x 2 + 2) : (x 2) = x 2 3x 6 10 x 2 (1.302) Her ser vi at divisjonen ikke går opp. Vi har en rest 10 x 2. Husk at divisjon kan skrives på følgende måter: f(x) : (x 2) f(x) x 2 (1.303) 88

89 1.16 Oversikt: nullpunkter for 1., 2. og 3. gradsfunksjoner 1., 2. og 3. gradsligninger med èn ukjent er gitt ved: 1. gradsfunksjon: f(x) = ax + b (1.304) 2. gradsfunksjon: g(x) = ax 2 + bx + c (1.305) 3. gradsfunksjon: h(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (1.306) hvor a, b, c og d er konstanter. Størrelsen x er variabelen. Hvordan tror du en 4. gradsfunksjon med èn ukjent er? 89

90 Å finne nullpunktene til en funksjon f(x) betyr å finne den/de som gir verdiene av x (1.307) f(x) = 0 (1.308) Her gir vi en oversikt over hvordan man finner nullpunktene til 1., 2. og 3. gradsligninger med èn ukjent: 1. gradslign.: ax + b = 0 max 1. stk nullpunkt x = b a (se lign.(1.186)) 2. gradslign.: ax 2 + bx + c = 0 max 2. stk nullpunkt x 1,2 = b ± b 2 4ac (se lign.(1.222)) 2a 3. gradslign.: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 max 3. stk nullpunkt komplisert formel / prøve- og feilemetoden / polynomdivisjon 90

91 1.17 Absoluttverdi Absoluttverdi: 3 = 3 (1.309) 3 = 3 (1.310) dvs. en absoluttverdi er alltid positiv (eller 0). Generelt: a = a, når a 0 a, når a < 0 (1.311) Eksempler: 3 2 = 3 (1.312) ( 3) 2 = 3 (1.313) Dette gjelder også mer generelt: x2 = x (1.314) uansett om x er positiv eller negativ. 91

92 Eksempel: Siden f(x) = 2x 3 = 0 for x = 3 2, så må vi skille mellom når x 3 2 og x < 3 2 : f(x) = 2x 3 = 2x 3, når x 3 2 (2x 3), når x < 3 2 (1.315) y=f(x) f(x) = 2x - 3 x x = 3/2 ( nullpunkt for f(x) ) Figur 1.18: Plott av f(x) = 2x 3. 92

93 Eksempel: La oss se på: g(x) = x x + 1 (1.316) og la oss løse ligningen : g(x) = 0 (1.317) Løsning: Vi må da først se på leddet (x 2 4) = (x 2)(x + 2): -2 2 Nullpunkt x x + 2 x - 2 (x+2)(x-2) = x 2-4 Figur 1.19: Fortegnsskjema for x 2 4. Dvs. vi må splitte x 2 4 i 3 intervall: x 2 4 = x 2 4, når x 2 (x 2 4), når 2 < x < 2 (1.318) x 2 4, når x 2 Legg merke til at intervallene x 2 og x 2 gir samme uttrykk, se lign.(1.318). 93

94 i) x 2 og x 2: g(x) = 0 (1.319) x x + 1 = 0 (1.320) x 2 + 2x 3 = 0 (1.321) x = 2 ± ( 3) 2 1 = 2 ± 4 2 (1.322) x = 1 x = 3 (1.323) ii) 2 < x < 2: g(x) = 0 (1.324) (x 2 4) + 2x + 1 = 0 (1.325) x 2 + 2x + 5 = 0 (1.326) x = 2 ± ( 1) 5 2 ( 1) = 2 ± 24 2 = 2 ± (1.327) x = x = 1 6 (1.328) Alt i alt: L = { 1 6, 3 } (1.329) 94

95 1.18 Regning med prosent Definisjon: ( prosent ) Forholdet mellom a og b kan uttrykkes i prosent, dvs. av hundre : 19 a 100 % (1.330) b Eksempel: 25 % = = = 1 4 = 0.25 (1.331) % = = = % 25 % = = = 1 16 = 20 (1.332) = (1.333) 19 Hva er promille? 95

96 Eksempel: Anta at du har kapitalen K = NOK i banken. Renten er r = 5 % = = Hva er den totale kapitalen etter èn rentetermin? 20 Figur 1.20: Kapital. Løsning: Kapitalen K 1 er den kapitalen du setter i banken + rentene du får: K 1 = K + rente (1.334) Det er av kapitalen K man får rente av. Dermed er renten: rente = K r (1.335) 20 En rentetermin er ikke alltid, men veldig ofte, ett år. 96

97 Dette innsatt i lign.(1.334): K 1 = K + K r (1.336) K 1 = K ( 1 + r ) (1.337) Til slutt setter vi inn tall: K 1 = K ( 1 + r ) = ( ) NOK = NOK (1.338) som altså er total kapital etter èn rentetermin. 97

98 Eksempel: Brunvoll AS er en leverandør av thrustersystemer for manøvrering av skip. Anta at Bruvoll ønsker å kjøpe en ekstra server til sin allerede store serverpark. Serveren de har bestemt seg for å kjøpe koster K = NOK. MVA er altså inkludert i prisen K = NOK. Hvor mye betaler du i merverdiavgift MVA? Anta at MVA er på p = 25 % = = Figur 1.21: Serverpark. Løsning: La x = prisen på serveren uten MVA (1.339) Siden MVA er inkludert i K = NOK så er: K = x + MVA (1.340) 98

99 Det er beløpet x vi betaler merverdiavgift av, dvs. MVA = x p. Dette innsatt i lign.(1.340) gir: K = x + x p (1.341) K = ( 1 + p ) x (1.342) hvor vi kan løse ut x, dvs. prisen på serveren uten MVA: x = K 1 + p = p NOK = NOK (1.343) MVA blir da, ved å bruke lign.(1.340): MVA = K x = ( ) NOK = NOK (1.344) 99

100 Setning: ( %-vis endring ) Når et tall endres fra a til b så er den %-vise endringen iforhold til a: %-vis endring = b a a 100 % (1.345) Figur 1.22: %-vis endring. 100

101 Eksempel: ( %-vis endring / SØK100 Makroøkonomi ) I SØK100 Makroøkonomi lærer man om konsumprisindeksen KP I. 21 Anta at KP I 10 = 150 i år 10 og KP I 11 = 165 året etter. Hvor mye er den %-vise endringen? Figur 1.23: Konsumprisindeks. Løsning: %-vis endring fra KP I 10 = 150 og KP I 11 = 165: %-vis endring = KP I 11 KP I 10 KP I % = = 10 % (1.347) 21 Konsumprisindeksen KP I er et mål for prisnivået til konsumgoder og viser prisutviklingen på varer og tjenester som private husholdninger etterspør. Den %-vise endringen i KP I brukes ofte som et generelt mål for inflasjon i en økonomi. I SØK100 Makrokonomi lærer man at KP I med basisår 0 er gitt ved: KP I t = [ ( ) P1,t α 1 P 1,0 ( ) ] P2,t + α (1.346) P 2,0 hvor α i = verdivekten til gode i og P i,t = prisen til gode i i år t. Basisåret er sammenligningsgrunnlaget. 101

102 Vi kan sammenfatte %-regning slik: Setning: ( %-vis endring ) Endringen i % regnes alltid ut fra det opprinnelige grunnlaget G: %-vis endring = E 100 % (1.348) G hvor E = endringen. 102

103 Kapittel 2 Funksjoner y x company revenue Figur 2.1: Funksjoner. 103

104 2.1 Funksjoner Definisjon: ( funksjon ) 1 funksjon f = entydig assosiasjon fra en størrelse x til en annen f hvor x ofte kalles den uavhengige variabelen eller bare argumentet, og y = f(x) kalles ofte funksjonsverdien. Definisjon: ( definisjonsmengde og verdimengde ) definisjonsmengde = alle mulige tillatte verdier av x (2.1) verdimengde = alle mulige funksjonsverdier til y = f(x) tilhørende alle (2.2) tillatte verdier av x f(x) x Definisjonsmengde y Verdimengde Figur 2.2: Funksjon y = f(x). 1 Isteden for èn og bare èn verdi kunne vi like gjerne sagt entydig. 104

105 Input x ( argument ) Funksjon f Output f(x) ( funksjonsverdi ) Figur 2.3: Visualisering av en funksjon f(x). 105

106 2.2 Koordinatsystem Et koordinatsystem i planet består av to akser (koordinatakser), x- aksen og y-aksen. x-aksen er horisontal (vannrett) og y-aksen er vertikal (loddrett). Punktet der aksene krysser kalles for origo. Koordinatsystemet gir oss muligheten til å presentere punkter i planet i form av to tallverdier (x, y). y = f(x) ( funksjonsverdi ) ( 2. kvadrant ) ( 1. kvadrant ) x ( 3. kvadrant ) ( 4. kvadrant ) ( argument, variabel ) Figur 2.4: Koordinatsystem. 106

107 2.3 Lineære funksjoner (rette linjer) I avsnitt 1.10 lærte vi om 1. gradsligninger, dvs. lineære funksjoner. Definisjon: ( lineær funksjon ) En lineær funksjon har formen: y = f(x) = ax + b (2.3) Dette er en RETT LINJE. Her er a og b konstanter. I avsnitt (se side 69) lærte vi hvordan man kan finne løse nullpunktene f(x) = 0 til slike lineære funksjoner. Nå skal vi plotte og studere dem mer. Eksempel: ( lineære funksjoner ) f(x) = 2x + 4 (2.4) g(x) = x + 0 (2.5) h(x) = 2x 4 (2.6) i(x) = 0 x 5 (2.7) 107

108 Figur 2.5: Eksempler på lineære funksjoner. 108

109 Eksempel: ( lineære funksjoner ) a) Plott funksjonen f(x) = 2x 1 (2.8) b) Finn stigningstallet a. c) Skjærer linjen y-aksen? Dersom den gjør det, for hvilken verdi gjør den det? Løsning: a) Når man skal plotte funksjoner, lag en verditabell: x f(x) Figur 2.6: Verditabell for f(x) = 2x 1. y 2 =3 y 1 =1 x 1 =1 x 2 =2 Figur 2.7: Plott av f(x) = 2x

110 Kommentar angående plotting av en rett linje: For en rett linje er det tilstrekkelig med bare to funkjonsverdier når den skal plottes. Da er den rette, lineære linjen entydig bestemt. Men av sikkerhetsmessige grunner er det lurt å ha flere verdier som f.eks. i tabellen i figur (2.6). b) For en rett linje er det tilstrekkelig med bare to funkjonsverdier når den skal plottes. Stigningstallet a : a = y 2 y 1 x 2 x 1 (2.9) = = 2 1 = 2 (2.10) At stigningstallet er a = 2 kan man innse direkte, uten regning, via f(x) = 2x 1. c) Fra figur (2.7) ser vi at linjen skjærer y-aksen for y = 1. Også dette kan vi innse direkte ut fra ligningen, via f(x) = 2x 1, dvs. y =

111 Det er to måter en lineær funksjon kan bestemmes på: 1. stigningstallet a er kjent og ett punkt (x 1, y 1 ) 2. to punkt (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ) 111

112 1) Setning: ( ett-punktsformelen for lineære funksjoner ) Dersom stigningstallet a og ett punkt (x 1, y 1 ) på en rett linje er kjent så er den lineære funksjonen gitt ved: f(x) = a (x x 1 ) + y 1 (2.11) Denne formelen kalles ett-punktsformelen. 2) Setning: ( to-punktsformelen for lineære funksjoner ) Dersom to punkt (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ) er kjent på en rett linje, så er den lineære funksjonen gitt ved: f(x) = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) + y 1 (2.12) Denne formelen kalles to-punktsformelen. Stigningstallet er da y 2 y 1 x 2 x

113 Eksempel: ( lineære funksjoner / SØK100 Makroøkonomi / ISLM modellen ) I SØK100 Makroøkonomi lærer man om IS-kurven. IS-kurven representerer alle kombinasjoner av renten r og nasjonalproduktet R som gir likevekt i produktmarkedet. Anta at en slik IS-kurve er gitt ved: r IS = R G (IS-kurve) (2.13) hvor G = offentlige utgifter (G= government ). En LM-kurve representerer alle kombinasjoner av renten r og nasjonalproduktet R som gir likevekt i pengemarkedet. I eksemplet fra øving 1 fant vi at en slik LM-kurve var gitt: r LM = R 1 5 (LM-kurve) (2.14) a) Plott r IS sfa. 2 R, dvs. r IS = r IS (R) når G = 600. b) Løs analytisk, dvs. ved regning: Ved hvilken verdi for nasjonalproduktet R krysser disse linjene IS- og LM-kurven hverandre? c) Hva betyr det, ut fra et økonomisk ståsted, at LM-kurven og IS-kurven er like? 2 sfa. = som funksjon av 113

114 Løsning: a) Når man skal plotte funksjoner, lag en verditabell: G=600: R r IS IS-kurve R r LM LM-kurve Figur 2.8: Verditabell for r IS (R) (G = 600) og r LM (R). r(r) R R = 1467 Figur 2.9: Plott av IS-kurvene og LM-kurven. 114

115 b) IS- og LM-kurven hverandre når: G = 600 r IS = r LM (2.15) R = R 1 5 (2.16) Samler R ene på venstre side: R R = R R = R = (2.17) (2.18) (2.19) R 1467 (2.20) Renten r IS i produktmarkedet er sammenfallende med renten r LM i pengemarkedet når nasjonalproduktet er R c) Når linjene skjærer hverandre, dvs. er like, så betyr det at det er likevekt mellom produktmarkedet og pengemarkedet. Med andre ord: økonomien er i makroøkonomisk likevekt. 115

116 Eksempel: ( lineære funksjoner / BØK710 Operasjonsanalytiske emner / LP 3 problem ) I BØK710 Operasjonsanalytiske emner lærer man om optimalisering og lineær programmering (LP). La oss se på bedriften Møretank A/S sitt LP problem. De produserer to typer varmtvannsberedere, type 1 and type 2. Da er det hensiktsmessig å definere beslutningsvariablene: X 1 = antall varmtvannsberedere av type 1 (2.21) X 2 = antall varmtvannsberedere av type 2 (2.22) Møretank A/S har kun 200 pumper, 1566 arbeidstimer og 2880 dm rør tilgjengelig. Disse restriksjonene kan man angi som lineære kombinasjoner av beslutningsvariablene: restriksjoner : 1 X X (pumper) 9 X X (arbeidstimer) 12 X X (rør) X 1 0 X 2 0 (2.23) hvor de to siste ulikhetene stammer fra det faktum at X 1 og X 2 må være positive siden det dreier seg om mengde produsert. Figur 2.10: Møretank AS lokalisert i Vestnes kommune, Møre og Romsdal. 3 LP = linær programmering 116

117 Anta at inntekten I I(X 1, X 2 ) til bedriften er gitt ved: I(X 1, X 2 ) = 350 X X 2 (2.24) Denne inntekten skal maksimeres under restriksjonene beskrevet av lign.(2.23). a) Gjør om ulikhetene til likheter og løs restriksjonene X 2 sfa. 4 X 1. b) Plott alle restriksjonene i en og samme figur. Bruk X 2 på y-aksen og X 1 på x-aksen. c) Skraver det området i figuren som tilferdsstiller alle restriksjonene. d) Dette er et LP optimaliseringsproblem som kan løses grafisk: i) Indiker på grafen hvor alle hjørneløsninger. ii) Les av alle hjørneløsninger og regn ut tilhørende inntekt I. iii) Hvilken kombinasjon av X 1 og X 2 gir maksimal inntekt I? 4 sfa. = som funksjon av 117

118 Løsning: a) Gjør om ulikhetene til likheter: 1 X X 2 = 200 (2.25) 9 X X 2 = 1566 (2.26) 12 X X 2 = 2880 (2.27) Flytter over X 1 på andre siden: X 2 = 200 X 1 (2.28) 6 X 2 = X 1 1 (2.29) X 2 = X 1 (2.30) 16 Løser ut X 2 alene: X 2 = 200 X 1 (2.31) X 2 = X 1 (2.32) X 2 = X 1 (2.33) 118

119 b) Plotter alle restriksjonene i en og samme figur: X 2 X 1 Figur 2.11: Plott av de lineære lign.(2.31)-(2.33). c) Området i figuren som oppfyller alle restriksjonene: X 2 Område som oppfyller alle restriksjonene X 1 Figur 2.12: Området som oppfyller alle ulikhetene lign.(2.23). 119

120 d) i) Indikerer alle hjørneløsninger : X 2 Med notasjon (X 1,X 2 ): (0,180) (80,120) (122,78) (0,0) (174,0) X 1 Figur 2.13: Totalt er det 5 hjørner, dvs. 5 hjørneløsninger. ii) Inntekten I I(X 1, X 2 ) ved hjørnepunktene: I(0, 0) = = 0 (2.34) I(0, 180) = = (2.35) I(80, 120) = = (2.36) I(122, 78) = = (2.37) I(174, 0) = = (2.38) iii) Maksimal inntekt I når X 1 = 122 og X 2 = 78: I(122, 78) =

121 Eksempel: ( lineære funksjoner / BØK300 Bedriftsøkonomi 2 / KVM-modellen ) I BØK300 Bedriftsøkonomi 2 lærer man om kapitalverdimodellen (KVM) eller Capital Asset Pricing Modell (CAPM). KVM modellen sier at forventet avkastning til et investeringsobjekt E(β j ) er summen av en risikofri rente r f og markedets risikopremie E(r m ) r f som varierer med objektets markedsrisiko β j : E(β j ) }{{} = r f + [E(r m ) r f ] β }{{} j (2.39) forv. avkastning risikopremie hvor E(β j ) = forventet avkastning eller avkastningskrav til et objekt j (2.40) r f = risikofri rente (2.41) β j = den systematiske risikoen for investeringsobjektet j relativt til markedsporteføljen sin systematiske risiko, dvs. følsomheten av forventet overskudd (2.42) E(r m ) = forventet avkastning til markedsporteføljen (2.43) E(r m ) r f = risikopremie for markedsporteføljen (2.44) Anta at: r f = 4 % og E(r m ) = 5 %. Figur 2.14: Bedriftsøkonomi. 121

122 a) Hva slags type ligningn er lign.(2.39)? b) Plott E(β j ) sfa. følsomheten β j for intervallet 0 β j 2. c) Marker på figuren: Den risikofrie rente r f d) Regn ut markedets risikopremie E(r m ) r f via stigningstallet. e) i) Løs grafisk: Hva er forventet avkastning E(β j ) når β j = 1? ii) Løs analytisk: 5 Hva er forventet avkastning E(β j ) når β j = 1? 5 Analytsik, dvs. regn ut. 122

123 Løsning: a) Siden lign.(2.39) er på formen: ( β j tilsvarer variabelen x ) så innser vi at ligningen er lineær. 6 f(x) = ax + b, (2.45) b) Setter inn tallene og finner E(β j ): E(β j ) = r f + [E(r m ) r f ]β j (2.49) = [ ]β j (2.50) = β j. (2.51) Siden dette er en rett linje så er det nok med bare to punkt i verditabellen. Men av sikkerhetsmessige grunner er det lurt å ha flere verdier, f.eks. tre: β j E(β j ) Figur 2.15: Verditabell for E(β j ) = r f + [E(r m ) r f ]β j. Nå kan vi plotte funksjonen E(β j ) sfa. β j i intervallet 0 β j 2: 6 I vårt tilfelle er: a = E[r m ] r f (2.46) b = r f (2.47) x = β j (2.48) 123

124 E(β j =1) = E(β j ) r f = 0.04 (risikofri rente ) Δx Δy β j =1.5 β j Figur 2.16: Plott av E(β j ) = r f + [E(r m ) r f ] β j. c) Den risikofrie rente r f og markedets risikopremie E(r m ) r f er markert på figuren med blått. d) Markedets risikopremie E(r m ) r f stigningstallet: 7 E(r m ) r f = stigningstall = y x = = 0.01 (2.52) Alternativt kan man også finne stigningstallet via en annen trekant enn den som market i figur 2.16: E(r m ) r f = stigningstall = y x = = 0.01 (2.53) 7 Man kan se via lign.(2.51) at stigingstallet er Men i denne oppgaven er det meningen at vi skal regne oss frem til dette svaret, for å illustrere det faktum at man kan regne seg frem til samme svar via figur

125 e) i) Løser grafisk: (dvs. bare ved å lese av på figuren ) Forventet avkastning når β = 1: E(1) = 0.05 = 5 %. ii) Løser analytisk: Risikopremie når β = 1 er: E(1) = r f + [E(r m ) r f ] β j (2.54) = = 0.05 = 5 %, (2.55) altså samme svar som ved grafiske løsningen/(avlesningen), slik som det må være. 125

126 2.4 Kvadratiske funksjoner (parabler) Definisjon: ( 2. gradsligning, parabel ) En kvadratisk funksjon har formen: f(x) = ax 2 + bx + c (2.56) Her er a, b og c konstanter. I avsnitt 1.12 på side 66 diskuterte vi hvordan man kan finne nullpunktene f(x) = 0 til slike kvadratiske funksjoner. Nå skal vi plotte og studere dem mer. Figur 2.17: Kvadratiske funksjoner. 126

127 Eksempel: ( kvadratiske funksjoner ) f(x) = (x + 4) (2.57) g(x) = x 2 (2.58) h(x) = x 2 (2.59) i(x) = (x 3) 2 2 (2.60) 127

128 Egenskaper: ( kvadratiske funksjoner ) Kvadratiske funksjoner f(x) = ax 2 + bx + c (2.61) har følgende egenskaper: a > 0 grafen er -formet, smiley face. a < 0 grafen er -formet, sad face. Dersom b 2 4ac 0 så har f(x) to nullpunkt(er), dvs. f(x) skjærer x-aksen f(x) = 0, se figur (1.12): x 1 = b b 2 4ac 2a, x 2 = b + b 2 4ac 2a (2.62) Dersom b 2 4ac < 0, så er det ingen nullpunkter. Vi har samtidig at: a > 0 : a < 0 : grafen ligger i sin helhet over x-aksen grafen ligger i sin helhet under x-aksen 128

129 Eksempel: ( kvadratiske funksjoner / parabler ) Gitt de kvadratiske funksjonene: f(x) = x 2 4x (2.63) g(x) = x (2.64) a) Plott funksjonene. b) Finn nullpunktene til både f(x) og g(x). ( både grafisk og ved regning ) c) Finn skjæringspunkte(ne) til grafene. ( både grafisk og ved regning ) Løsning: a) Plott: 8 Skjæringspunkt y f(x) = x 2 4x (2.45,0) (-2.45,0) (4,0) x g(x) = -x (0,0) Skjæringspunkt x=2 ( symmetrilinje for f(x) ) Figur 2.18: Plott av parabelene f(x) = x 2 4x og g(x) = x Når man plotter bør man sette opp en verditall. 129

130 Kommenterer: symmetri gjennom topp/bunnpunktet (se figur) f(x) er hul opp pga. +x 2, dvs. a = 1 > 0 g(x) er hul ned pga. x 2, dvs. a = 1 < 0 b) Nullpunkt: Nullpunktene er bestemt av f(x) = 0. Disse kan finnes ved grafisk løsning: f(x) = 0 : x = 0 og x = 4 (2.65) g(x) = 0 : x = 2.45 og x = 2.45 (2.66) eller ved regning, dvs. analytisk, ( løsning av 2. gradsligning ) f(x) = 0 : x = ( 4) ± ( 4) = 4 ± 4 2 x = 0 og x = 4 (2.67) g(x) = 0 : x = 0 ± ( 1) 6 2 ( 1) = x = 6 og x = 6 (2.68) hvor

131 c) Skjæringspunkt f(x) = g(x): Skjæringspunktene f(x) = g(x) kan finnes ved grafisk løsning: f(x) = g(x) : x = 1 og y = 5, x = 3 og y = 3 (2.69) eller ved regning ( løsning av 2. gradsligning ) f(x) = g(x) (2.70) x 2 4x = x (2.71) 2x 2 4x 6 = 0 (2.72) x = ( 4) ± ( 4) ( 6) 2 2 = 4 ± 8 4 x = 1 og x = 3 (2.73) med tilhørende y-verdier f( 1) = g( 1) = ( 1) = 5 (2.74) f(3) = g(3) = = 3 (2.75) Alt i alt: x = 1 og y = 5, x = 3 og y = 3 (2.76) 131

132 Eksempel: ( kvadratiske funksjoner / BØK100 Bedriftsøkonomi ) Du jobber som økonomisjef ved Expert på Molde Storsenter. I forbindelse med lansering og salg av iphone 7 våren 2016 ønsker du å finne hva slags pris som er optimal for å maksimere fortjenesten. Siden du har hatt faget BØK100 Bedriftsøkonomi så vet du at totalt resultat T R er gitt ved: hvor total inntekt er T R(x) = T I(x) T K(x) (2.77) T I(x) = p x (2.78) og T K(x) = total kostnad, p = pris og x= etterspørsel (mengde). Ut fra kjennskapen til markedet kan man modellere sammenhengen mellom pris og etterspørsel. Anta at denne er: Total kostnad T K(x) er kan også modelleres. Anta at denne er: p(x) = x (2.79) T K(x) = 0.75x x (2.80) a) Plott den totale kostnaden T K(x) i intervallet 0 x 500. b) Hvor mange telefoner selges når det totale resultatet T R(x) maksimeres? Løs oppgaven grafisk. c) Hva slags pris bør Expert sette på iphone 7 for å maksimere T R(x)? Løs oppgaven ved regning. d) Hvor stort blir dette optimale resultatet? Løs oppgaven grafisk. Figur 2.19: Expert skal lansere iphone 7 våren

133 Løsning: a) Når man skal plotte funksjoner, lag en verditabell: x TK(x) x TK(x) Figur 2.20: Verditabell for T K(x). TK(x) x Figur 2.21: Total kostnad T K(x). 133

134 b) Først må vi finne et eksplisitt uttrykk for totalt resultat T R(x): T R(x) = T I(x) T K(x) (2.81) = p x T K(x) (2.82) = ( x) x (0.75x x ) (2.83) = 1900x 0.4x x 2 150x (2.84) = 1.15x x (2.85) Når man skal plotte funksjoner, lag en verditabell: x TR(x) x TR(x) Figur 2.22: Verditabell for T R(x). 134

135 TR TR(x) x x 760 Figur 2.23: Totalt resultat T R(x). Av figuren ser vi at totalt resultat maksimeres når det selges x 760 stk. telefoner. 9 c) Maksimert resultat T R oppnås når telefonen prises til: p(760) = ( ) NOK = NOK (2.86) d) Av figuren ser vi at det maksimale totale resultatet T R er: 10 T R(769) NOK (2.87) 9 Senere skal vi også løse denne oppgaven ved regning, dvs. algebraisk. Da finner man x = Det eksakte svaret er Dette kommer vi tilbake til. 135

136 2.5 Kubiske funksjoner Definisjon: ( kubisk funksjon ) En kubisk funksjon har formen: f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (2.88) Her er a, b, c og d konstanter. Dette er ligninger med: variabelen x maksimalt av 3. potens, dvs. x 3 I avsnitt 1.13 på side 72 diskuterte vi hvordan man kan finne nullpunktene f(x) = 0 til slike kubiske funksjoner. Nå skal vi plotte og studere dem mer. 136

137 Eksempel: ( kubiske funksjoner / BØK100 Bedriftsøkonomi ) a) Plott den kubiske kostnadsfunksjonen K(x): ( x = antall enheter av en vare ) 11 K(x) = 0.02x 3 3x x , 0 < x 175 (2.89) b) Ut fra den plottede funksjonen, har kostnadsfunksjonen noen nullpunkter? Er svaret rimlig ut fra et økonomisk ståsted? Figur 2.24: Bedriftsøkonomi. 11 Legg merke til at K(x) har en begrenset definisjonsmengde, 0 < x

138 Løsning: a) Når man skal plotte funksjoner, lag en verditabell: x K(x) x K(x) Figur 2.25: Verditabell for K(x) = 0.02x 3 3x x K(x) x Figur 2.26: Kostnadsfunksjon K(x). b) Nei, ut fra figuren ser vi at K(x) ikke har noen nullpunkter. Det er rimelig at en kostnadsfunksjon ikke har nullpunkter. ( Ofte har man oppstartskostnader eller faste kostnader. ). 138

139 2.6 Rasjonale funksjoner Definisjon: ( rasjonale funksjon ) En ligning på formen f(x) = P (x) Q(x) (2.90) hvor P (x) og Q(x) er polynomer, kalles en rasjonal funksjon. Dette er ligninger med: en ukjent x en brøk mellom to polynomer av generell grad n 139

140 Eksempel: ( kvadratiske funksjoner / BØK100 Bedriftsøkonomi ) La oss returnere til eksemplet som beskrevet på side 132. I dette eksemplet ble kostnadsfunksjonen modellert ved lign.(2.80), dvs.: T K(x) = 0.75x x (2.91) Denne kvadratiske kostnadsfunksjonen er plottet i figur (2.21). De tilhørende totale gjennomsnittlige enhetskostnadene T EK(x) er definert ved: T EK(x) = T K(x) x (2.92) Med T K(x) som i lign.(2.91) så blir denne: T EK(x) = 0.75x x x (2.93) a) Plott T EK(x) i intervallet 0 x 500. b) Hvor mange telefoner må selges for å minimere den totale gjennomsnittlige enhetskostnaden T EK(x)? Løs oppgaven grafisk. c) Hva er den tilhørende enhetskostnaden, dvs. den minste verdien for T EK(x)? Løs oppgaven grafisk. 140

141 Løsning: a) Når man skal plotte funksjoner, lag en verditabell: x TEK(x) ulovlig x TEK(x) Figur 2.27: Verditabell for T EK(x) = 0.75x2 +150x x. TEK(x) TEK 655 NB: Kurven starter på 500: x x 335 Figur 2.28: Total gjennomsnittlig enhetskostnad T EK(x). 141

142 b) Ut fra figuren ser vi at den x som gir minst T EK(x) er: 12 x 335. c) Ut fra figuren ser vi at den minste T EK(x) er: T EK(355) Her har vi funnet minimum av T EK(x) ved grafisk løsning. Senere i dette kurset og i BØK100 Bedriftsøkonomi presenteres to andre måter å finne T EK min på: (Greier du å vise hvorfor disse to måtene å finne minimum på er ekvivalente?) 1. Den deriverte av T EK(x) er null: 2. Den deriverte av T K(x) er lik TEK: d T EK(x) dx = 0 d T K(x) dx = T EK(x) 142

143 Eksempel: ( nyttemaksimering / SØK200 Mikroøkonomi ) Du har fått sommerjobb hos Molde Taxisentral ANS. Du skal jobbe ei langhelg, fredag, lørdag og søndag, dvs. tre dager. Føringene du har fått fra din arbeidsgiver for denne arbeidshelgen er at de samlede konsumutgifter må være begrenset, maksimum m NOK. Konsumutgiftene skal dekke bensin- og matutgifter. La: p x = pris på bensin, NOK/liter (gode nr. 1) (2.94) p y = pris på pølsemeny, NOK (gode nr. 2) (2.95) Budsjettligningen (ulikheten) for arbeidshelgen blir dermed: p x X + p y Y m (2.96) hvor m = samlet konsumutgift og X = antall liter bensin (gode nr. 1) (2.97) Y = antall pølsemenyer (gode nr. 2) (2.98) Anta at nytten ved forbruk at bensin X (gode 1) og mat/drikke Y (gode 2) er bestemt av nyttefunksjonen: 13 U(X, Y ) = 2X 2 Y (2.99) Figur 2.29: Taxi og Narvesen. 13 Valget av notasjonen U er fordi utility =nytte. 143

144 a) Gjør om ulikheten til likhet i budsjettligningen (2.96) og vis at Y sfa. X er gitt ved: for gitt m. Y = m p y p x p y X (2.100) b) i) For hvilken verdi skjærer linjen i lign.(2.100) y-aksen? ii) iii) For hvilken verdi skjærer linjen i lign.(2.100) x-aksen? Lign.(2.100) er en lineær kurve. Hva er stigningstallet? c) For en gitt, bestemt nytte U 0 = U(X, Y ), vis at Y sfa. X i nyttefunksjonen (2.99) er gitt ved: Y = U 0 2X 2 (2.101) Denne ligningen kalles indifferanseligningen. 14 Anta at prisen på bensin er p x = 10 NOK/liter og at pølsemenyen på Narvesen koster p y = 40 NOK. Restriksjonen du får fra vakthavende ved Molde Taxisentral er m = 1200 NOK for den aktuelle helgen. d) For tallene som oppgitt: i) For hvilken verdi skjærer linjen i lign.(2.100) y-aksen? ii) iii) For hvilken verdi skjærer linjen i lign.(2.100) x-aksen? Hva er stigningstallet? 14 I SØK200 Mikroøkonomi lærer man at en indifferansekurve består av alle godekombinasjoner som gir samme, bestemte nytte U 0 for konsumenten. 144

145 e) Plott lign.(2.100) og (2.101) i èn og samme figur for tilfellene: i) U 0 = ii) U 0 = iii) U 0 = f) Hva er den optimale kombinasjonen av bensin og pølse som gir størst nytte? Dvs. hvilken kombinasjon av X og Y gir størst nytte innenfor budsjettet? Løs problemet grafisk Dette problemet kalles nyttemaksimeringsproblemet i SØK200 Mikroøkonomi. Senere i dette matematikkurset skal vi lære å løse dette problemet analytisk ved hjelp av noe som heter Lagrangemultiplikatorer. 145

146 Løsning: a) Gjør om ulikheten til likhet i budsjettligningen (2.96) og løser Y mhp. X: p x X + p y Y = m (2.102) p y Y = m p x X 1 (2.103) p y Y = m p y p x p y X, q.e.d. (2.104) b) i) Linjen i lign.(2.100) skjærer y-aksen når X = 0: Y = m p = 0 {}}{ x X (2.105) p y p y Y = m p x p x p y 0 (2.106) Y = m p y (2.107) ii) Linjen i lign.(2.100) skjærer x-aksen når Y = 0: = 0 {}}{ Y = m p y p x X p y (2.108) 0 = m p y p x X p y p y (2.109) 0 = m p x X (2.110) p x X = m (2.111) p x

147 X = m p x (2.112) iii) Stigningstallet til den lineære lign.(2.100) Y = m p y p x p y X (2.113) er koeffisienten foran X-variabelen, dvs.: stigningstall = p x p y (2.114) c) Løser Y sfa. X i nyttefunksjonen (2.99) for gitt nytte U(X, Y ) = U 0 : = U 0 {}}{ U(X, Y ) = 2X 2 Y (2.115) U 0 = 2X 2 Y 1 (2.116) 2X 2 Y = U 0 2X 2, q.e.d. (2.117) d) i) Skjærer y-aksen ved: ( Y er et dimensjonsløst tall ) Y = m = 1200 NOK p y 40 NOK = 30 (2.118) 147

148 ii) Skjærer x-aksen: ( X er et dimensjonsløst tall ) X = m p x = 1200 NOK 10 NOK = 120 (2.119) iii) Stigningstallet: ( stigningstallet er et dimensjonsløst tall ) stigningstall = p x p y 10 NOK = 40 NOK = 0.25 (2.120) e) Plotting av lign.(2.100) og (2.101): U 0 = U 0 = U 0 = Budsjettlinje: Figur 2.30: Optimal tilpassing er når indifferansekurven tangerer budsjettlinjen. 148

149 Dette er et eksempel på at optimal tilpassing av en budsjettligning kan finnes ved at: indifferansekurven tangerer budsjettlinjen fordi nyttefunksjonen vokser med økende U 0. f) Av figur (2.30) ser vi at: X = 80 (2.121) Y = 10 (2.122) er tangeringspunktet mellom indifferansekurven og budsjettlinjen. Med nyttefunksjonen U(X, Y ) = 2X 2 Y så er det størst nytte ved å konsumere: X = 80 liter bensin og Y = 10 pølsemenyer 149

150 2.7 Parametrisering Definisjon: ( parametrisering ) parametrisering = det at en ligning eller et uttrykk har en bokstav som betraktes som en konstant (2.123) 150

151 Eksempel: ( a = parameter ) f(x) = 2x + ax 3 (2.124) ax 2 5 = 3(x 7) (2.125) g(x) = x 2 + ax 2x x (2.126) Eksempel: ( 1. gradsligning med parameter a ) 16 3a ax 4ax = 5x 2a (2.127) 5x ax 4ax = 2a 3a (Samle x-uttrykkene på venstre side) (2.128) 5(1 a)x = 5a (Divider med 5(1 a) på begge sider) (2.129) x = a 1 a, a 1 (2.130) Alt i alt: x = a 1 a, a R{1} (èn løsning) ingen løsning, når a = 1 (ingen løsning) (2.131) 16 Oppgaven dreier seg om å finne x sfa. a. 151

152 Eksempel: ( 2. gradsligning med parameter a ) Finner nullpunktene til f(x) = x 2 2x + a sfa. a: x 2 2x + a = 0 (2.132) x = ( 2) ± ( 2) a 2 1 = 2 ± 4(1 a) 2 = 1 ± 1 a (2.133) Vi må skille mellom a = 1, a < 1 og a > 1: x = 1, når a = 1 (kun èn løsning) 1 ± 1 a, når a < 1 (to løsninger) (2.134) ingen løsning, når a > 1 (ingen løsning) y ingen løsninger ( a = 3 ) a=3 a=1 1 løsning ( a=1 ) x a=-1 2 løsninger ( a=-1 ) Figur 2.31: Plott av parabelen f(x) = x 2 2x + a for a = 1, a = 1 and a =

153 Kapittel 3 Derivasjon Figur 3.1: Deriverte. 153

154 3.1 Derivasjon Tolkning: ( deriverte, med ord ) f (a) = den deriverte til funksjonen y = f(x) i punktet x = a (3.1) = stigningstallet til tangenten til grafen i punktet x = a (3.2) y f(x) tangent ( a, f(a) ) x Figur 3.2: Den deriverte i punktet x = a, dvs. stigningstallet til tangenten i punktet x = a. 154

155 Definisjon: ( deriverte, teknisk og med ord ) f (x) = lim x 0 f(x) x = lim x 0 f(x + x) f(x) x (3.3) = stigningstallet for tangenten i x (3.4) = stigningen i punktet ( x, f(x) ) på grafen (3.5) f(x) x Figur 3.3: Gjennomsnittlig endring. Kommenterer: den deriverte = en grenseverdi den deriverte = stigningstallet til tangenten Dersom grenseverdien eksisterer i et punkt x = a så sies funksjonen å være deriverbar i punktet. Tolkning: et mål for hvor raskt funksjonen endrer seg i punktet et mål for bratthet Ofte brukes notasjonen: f (x) = d f(x). } dx {{} Leibniz 155

156 3.2 Derivasjonsregler Generelle derivasjonsregler: 1 f(x) = ax n f (x) = n ax n 1, n R (3.6) og f(x) = k f (x) = 0 (3.7) f(x) = g(x) + h(x) f (x) = g (x) + h (x) (3.8) f(x) = g(x) h(x) f (x) = g (x) h (x) (3.9) f(x) = k g(x) f (x) = k g (x) (3.10) Spesielle derivasjonsregler: f(x) = x f (x) = 1 (3.11) f(x) = 1 x f (x) = 1 x 2, når x 0 (3.12) f(x) = x f (x) = 1 2 x (3.13) 1 Derivasjonsreglene presentert her kan utledes ved å bruke definisjonen av derivasjon i lign.(3.3). Det er litt teknisk krevende. Derfor nøyer vi oss med å kun presentere resultatene. 156

157 Eksempel: ( deriverte / BØK100 Bedriftsøkonomi ) La oss atter en gang se på eksempelet fra side 132. I dette eksempelet var den totale kostnaden modellert ved følgende funksjon: T K(x) = 0.75x x (3.14) Hva er den deriverte av T K mhp. x? 2 Løsning: Deriverer T K(x) mhp. x: T K (x) = d T K(x) dx = ( ) d 0.75x x dx (3.15) = x x = 1.5x (3.16) 2 mhp. = med hensyn på. Det er alltid en variabel man deriverer med hensyn på ifm. derivasjon. I dette tilfellet med hensyn på variabelen x. 157

158 Eksempel: ( deriverte / BØK100 Bedriftsøkonomi ) Med total kostnad T K som i forrige eksempel så er total enhetskostnad T EK: T EK(x) = T K(x) x = 0.75x x x = 0.75x = x 1 {}}{ x (3.17) Hva er den deriverte av T EK(x) mhp. x, dvs. hva er d T EK(x) dx? Løsning: Deriverer T EK(x) mhp. x: T EK (x) = d T EK(x) dx ( ) d = 0.75x x 1 dx ) = x ( 1)x 1 1 (3.18) (3.19) = x 2 (3.20) siden x 1 1 = x 0 =

159 3.2.1 Minimum enhetskostnad T EK min Eksempelet på total enhetskostnad kostnad T EK(x) på forrige side og på side er: T EK(x) = 0.75x x (3.21) Denne funksjonen ble plottet på side 141 og minimum enhetskostnad T EK min ble funnet grafisk: TEK(x) TEK 655 NB: Kurven starter på 500: x x 335 Figur 3.4: Total enhetskostnad T EK(x) i lign.(3.21). 159

160 Eksempel: ( stigningstall / T EK min / BØK100 Bedriftsøkonomi ) a) Ved å se på grafen i figur 3.4, hva er stigningstallet i bunnpunktet? b) Hvilken verdi har d T EK(x) dx da? c) For hvilken verdi av x er d T EK(x) dx = 0? d) Hva er T EK(x) for den verdien av x som du fikk i oppgave c? e) Stemmer det analytiske resultatet med det grafiske? Figur 3.5: Kostnad. 160

161 Løsning: a) Ut fra grafen: stigningstallet i bunnpunktet = 0. ( Tangenten er horisontalt i et bunnpunkt eller toppunkt. ) b) Når stigningstallet = 0 så er: d T EK(x) dx = 0 (3.22) c) Løser d T EK(x) dx = 0: ( stigningstallet i bunnpunktet = 0 ) d T EK(x) dx = 0 (3.23) = 0 (3.24) x = x 2 (3.25) x 2 x = (3.26) 0.75 x = (3.27) x = (3.28) 0.75 x = (3.29) 161

162 d) T EK(x) når x = : T EK(336.65) = = (3.30) e) Dersom vi sammenligner med figur (3.4), så ser vi at den grafiske løsningen og den analytiske løsningen stemmer, slik som det skal. 162

163 Minimum enhetskostnad T EK min Dette eksempelet illustrerer det man lærer i BØK100 Bedriftsøkonomi : Minimum enhetskostnad, dvs. minimum av T EK(x), er bestemt ved: 3 (T EK (x) = d T EK(x) dx ) minimum enhetskostnad T EK min stigningstallet = 0 dvs. d T EK dx = 0 (3.31) NB: For å forsikre oss om at vi har et minimum (og ikke et maksimum) så må 2. derivasjonstesten utføres. Dette kommer vi se nærmere på senere, se kapittel (3.7). TEK(x) stigningstall = TEK (x) < 0 (negativt) stigningstall = TEK (x) = 0 TEK 655 NB: Kurven starter på 500: stigningstall = TEK (x) > 0 (positivt) x x 335 Figur 3.6: Stigningstall, dvs. T EK (x), for tre forskjellige punkt på kurven T EK(x). 3 I BØK100 Bedriftsøkonomi presenteres to måter å finne T EK min på: (Greier du å vise hvorfor disse to måtene å finne minimum på er ekvivalente? 1. Den deriverte av T EK(x) er null: 2. Den deriverte av T K(x) er lik TEK: d T EK(x) dx = 0 d T K(x) dx = T EK(x) I tillegg kan man finne kostnadsminimum grafisk, slik som f.eks. figur 2.28 på side

164 3.2.2 Maksimalt resultat T R max Det totale resultatet T R(x) = T I(x) T K(x) studerte vi på side 134, lign.(2.85): T R(x) = T I(x) T K(x) (3.32) = p x T K(x) (3.33) = ( x) x (0.75x x ) (3.34) = 1900x 0.4x x 2 150x (3.35) = 1.15x x (3.36) Når man plotter det totale resultatet T R(x) sfa. x får man: ( se side 135, figur (2.23) ) TR TR(x) x x 760 Figur 3.7: Totalt resultat T R(x) fra lign.(3.36). 164

165 Eksempel: ( vinningsoptimum / BØK100 Bedriftsøkonomi ) a) Ved å se på grafen i figur (3.7), hva er stigningstallet i toppunktet? b) Hvilken verdi har d T R(x) dx da? c) For hvilken verdi for x er d T R(x) dx = 0? d) Hva er T R(x) for den verdien av x som du fikk i oppgave c)? e) Stemmer det analytiske resultatet med det grafiske? Figur 3.8: Økonomisk vekst. 165

166 Løsning: a) Ut fra grafen: stigningstallet i toppunktet = 0. ( Tangenten er horisintalt i et bunnpunkt eller toppunkt. ) b) Når stigningstallet = 0 så er: d T R(x) dx = 0 (3.37) c) Løser d T R(x) dx = 0: ( stigningstallet i toppunktet = 0 ) d T R(x) dx ( ) d 1.15x x dx = 0 (3.38) = 0 (3.39) ( 1.15) 2x = 0 (3.40) 2.30x = 0 (3.41) 2.30x = (3.42) ( 2.30) x = ( 1750) (3.43) ( 2.30) x = (3.44) 166

167 d) T R(x) når x = : T R(760.87) = 1.15 (760.87) = (3.45) e) Dersom vi sammenligner med figur (3.7), så ser vi at den grafiske løsningen og den analytiske løsningen stemmer, slik som det skal. 167

168 Maksimalt totalt resultat T R max Dette eksempelet illustrerer det man lærer i BØK100 Bedriftsøkonomi : Maksimalt resultat (vinningsoptimum), dvs. maksimum av T R, er bestemt ved: d T R(x) ( dx ) d T I(x) T K(x) dx d T I(x) d T K(x) dx dx d T I(x) } dx {{} grenseinntekt = 0 (3.46) = 0 (3.47) = 0 (3.48) = d T K(x) dx }{{} grensekostnad (3.49) d T R(x) maksimalt totalt res. T R max stigningstallet = 0 dvs. dx grenseinntekt = grensekostnad = 0 (3.50) dvs. d T I(x) dx = d T K(x) dx (3.51) TR stigningstall = TR (x) > 0 (positivt) TR(x) stigningstall = TR (x) = 0 stigningstall = TR (x) < 0 (negativt) x x 760 Figur 3.9: Stigningstall, dvs. T R (x), for tre forskjellige punkt på kurven T R(x). 168

169 NB: For å forsikre oss om at vi har et maksimum (og ikke et minimum) så må 2. derivasjonstesten utføres. Dette kommer vi se nærmere på senere, se kapittel (3.7). Kommentarer: En bedrift tilpasser seg optimalt ved å velge en pris og produksjonsmengde slik at: d T I(x) dx = d T K(x) dx (3.52) dvs. grenseinntekt = grensekostnad (3.53) I eksemplet på forrige side: T EK min x = (3.54) Altså: T R max x = (3.55) minimum enhetkostnad er ikke sammenfallende med maksimum totalt resultat (3.56) Det betyr at den billigste måten å produsere på ikke er den optimale mhp. profitt! 169

170 Eksempel: ( deriverte / BØK100 Bedriftsøkonomi ) I fotnotene på side 141 og 163 sies det at i emnet BØK100 Bedriftsøkonomi presenteres to måter å finne T EK min på, nemlig via betingelsen eller d T EK(x) dx d T K(x) dx Vis at disse betingelsene er ekvivalente, dvs. er ett og samme utsagn. = 0 (3.57) = T EK(x) (3.58) Løsning: Sammenhengen mellom total enhetskostnad T EK(x) og total kostand T K(x) er: 4 La oss derivere denne ligningen: T EK(x) def. = T K(x) x (3.59) d T EK(x) dx = = ( ) d T K(x) dx x (3.60) d ( ) T K(x) x 1 (3.61) dx = d T K(x) dx x 1 = d T K(x) x 1 dx = x 1 ( d T K(x) dx + T K(x) d ( ) x 1 (3.62) dx T K(x) d dx x 2 (3.63) ) T K(x) x 1 (3.64) 4 See f.eks. lign.(3.17). 170

171 Men siden T K(x) x 1 = T K(x)/x = T EK(x) så kan lign.(3.64 skrives d T EK(x) dx = 1 x ( d T K(x) dx ) T EK(x) (3.65) For endelig x ser vi da at betingelsen d T EK(x) dx = 0 (3.66) er helt ekvivalent med (det samme som) d T K(x) dx = T EK(x) (3.67) 171

172 3.2.3 En økonomisk tolkning av den deriverte: grensekostnad Definisjon: ( grensekostnad ) La K(x) være en kostnadsfunksjonen som funkjson av variabelen x 5. Da er grensekostnaden er da definert ved: 6 grensekostnad = d K(x) dx (3.68) Grensekostnaden har en viktig økonomisk tolkning. Via definisjonen i lign.(3.3): K (x) = lim x 0 f(x + x) f(x) x I stedet for å la 0 så kan vi se på en liten verdi. Anta at = 1 er en liten verdi. Da er: (3.69) d K(x) dx = lim x 0 f(x + x) f(x) x K(x + 1) K(x) 1 = K(x + 1) K(x) (3.70) Med andre ord: dersom h er tilstrekkelig liten i forhold til x, dvs. h x, så er: grensekostnad = ekstrakostnaden ved å produsere en ekstra enhet (3.71) Tilsvarende tolkninger av den deriverte fins mange andre steder i økonomi. 7 5 F.eks. i forbindelse med produksjon av en vare kan K(x) stå for total kostand når vi produserer x antall enheter av varen. 6 Grensekostnaden kalles også marginalkostnaden. 7 Grenseproduktivitet, grensenytte, etc. 172

173 Eksempel: ( derivasjon / SCM200 Innføring i Supply Chain Management / EOQ modellen ) I faget SCM200 Innføring i Supply Chain Management lærer man blant annet om lagerstyring. Man lærer at det koster penger å ha varer på lager. Den totale kostnaden T C(Q) per år forbundet med investerings- og bestillingskostnader er: T C(Q) = D C + Q 2 H + D }{{} Q S }{{} lagerkost. ordrekost. (3.72) hvor 8 D = etterspørsel per år ( demand ) (3.73) C = enhetspris (3.74) Q = ordrestørrelse ( quantity ) (3.75) H = i C = lagerholdkostnader per enhet per år (3.76) i = lagerrente (3.77) S = kostnad per ordre (3.78) Leddene i lign.(3.72) har en direkte økonomisk tolkning: D C = kostnad forbundet med etterspørsel per år (3.79) Q H 2 = lagerkostnader (3.80) D S Q = ordrekostnader (3.81) Legg merke til at lagerkostnaden Q H øker med økende ordrestrørrelse Q, mens ordrekostnaden 2 S minker med økende ordrestrørrelse Q. D Q 8 Her er: Q = variabel og de andre størrelsene er parametre. 173

174 Anta at du er innkjøpsansvarlig hos Oshaug Metall A/S i Molde. I den sammenheng skal du gjøre innkjøp av metall som råvare til de støpte emnene for propellkomponenter som Oshaug Metall framstiller. En typisk pris for den metalltypen som Oshaug bruker er 29 NOK/kg. Anta videre at Oshaug trenger 730 kg/år. Lagerrenten for Oshaug Metall er 15 % og kostnaden per ordre er 450 NOK: D = 730 kg/år (3.82) C = 29 NOK/kg (3.83) i = 15 % (3.84) S = 450 NOK (3.85) a) Plott den totale kostnaden T C(Q) fra lign.(3.72) for intervallet 100 Q b) i) Hvor mange kg metall bør Oshaug Metall A/S bestille for å minimere den totale kostnaden T C(Q) per år? Løs oppgaven grafisk. ii) Hva er den tilhørende totale lagerkostnaden per år for Oshaug Metall A/S? Løs oppgaven grafisk. Figur 3.10: Oshaug Metall A/S. 174

175 c) Plott IC(Q) = Q 2 H ( lagerkostnaden ) (3.86) og OC(Q) = D S (ordrekostnaden) (3.87) Q i èn og samme figur. d) For hvilken verdi av Q skjærer grafene fra oppgave b hverandre? ( Løs grafisk. ) e) Er løsningene fra oppgave b og d de samme? f) Vis at det antall kg metall som Oshaug Metall må bestille for å minimere den totale årlige kostnaden T C min = T C(EOQ), inntreffer når: Q 2 H = D Q S (3.88) g) Hva betyr lign.(3.88) i økonomisk sammenheng? Har kostnaden DC noen betydning for dette optimum? Begrunn svaret. h) Vis at lign.(3.88) er den samme som den velkjente EOQ -formelen i lagerstyring: EOQ = 2DS ic (3.89) i) Løs oppgave b) ved regning. Svarene skal selvfølgelig stemme overens. Gjør de det? 175

176 Løsning: a) Når man skal plotte en funksjon, lag en verditabell: Q TC(Q) Figur 3.11: Verditabell for T C(Q). TC(Q) TC Q Q 390 Figur 3.12: Total kostnad T C(Q) per år. 176

177 b) i) Fra figuren ser vi at den minste kostnaden T C per år oppnås ved bestilling av: Q 390 kg metall. ii) Fra figuren ser vi at den minste kostnaden T C per år er: T C(390) NOK. c) Plotter lagerkostnaden IC(Q) og ordrekostnaden OC(Q) i èn og samme figur: ( lagerkostnad ) ( ordrekostnad ) Q 390 Q Figur 3.13: Plott av lagerkostnad IC(Q) = Q 2 H og ordrekostnad OC(Q) = D Q S. d) Skjæringspunktet i figuren er: Q 390 e) Ja, grafene fra oppgave b og d gir samme svar (!). 177

178 f) Mimimum av total kostnad T C(Q) inntreffer når stigningstallet = 0: stigningstallet til T C(Q) = 0 (3.90) d dq d T C(Q) dq ( DC + Q2 H + DQ ) S d dq ( DC + Q 2 H + D Q 1 S ) = 0 (3.91) = 0 (3.92) = 0 (3.93) ( NB: Siden d DC dq = 0 så påvirker ikke DC minimum av T C(Q) ) (3.94) H 2 + D ( 1)Q 1 1 S = 0 (3.95) H 2 D Q S 2 = 0 (3.96) H 2 = D Q S 2 Q (3.97) Q 2 H = D S, q.e.d. (3.98) Q g) Lagerkostnaden er QH/2 og ordrekostnaden er DS/Q. Lign.(3.98) betyr da at totalkostnaden er minst når lagerkostnaden og ordekostnaden er like. Siden d DC dq = 0 (3.99) så påvikrer ikke kostnaden DC minimum i lign.(3.98). 178

179 h) Ut fra lign.(3.98) kan vi løse ut Q alene: Q 2 H = D Q S Q (3.100) Q 2 2 H = D S 2 H (3.101) Q 2 = 2D S H (3.102) EOQ = 2 DS ic, q.e.d. (3.103) hvor sammenhengen H = ic er benyttet og hvor notasjonen EOQ er introdusert for optimal Q. i) i) Den minste kostnaden T C min per år oppnås ved bestilling av: EOQ = 2D S ic = = (3.104) ii) EOQ innsatt i lign.(3.72): T C(EOQ) = D C + EOQ ic + 2 = D EOQ S (3.105) ( ) NOK (3.106) = NOK (3.107) Ja, den grafiske løsningen og den analytiske løsningen gir tilnærmet samme svar, slik som det skal. 179

180 En oppsummering av hvordan vi i prinsipp kom frem til den velkjente EOQ -formelen i lagerstyring er: Minimum av total kostnad TC(Q) inntreffer når stigningstallet = 0 dvs. Figur 3.14: Prinsippskisse for hvordan man kommer frem til EOQ -formelen. 180

181 3.3 Derivasjon av produkt- og brøkfunksjoner Generelle derivasjonsregler: ( produkt- og brøkfunksjoner ) f(x) = u v f (x) = u v + uv (3.108) f(x) = u v f (x) = u v uv v 2 (3.109) Dette kan også skrives på følgende ekvivalente form: f(x) = g(x) h(x) f (x) = g (x)h(x) + g(x)h (x) (3.110) f(x) = g(x) h(x) f (x) = g (x)h(x) g(x)h (x) [h(x)] 2 (3.111) = Figur 3.15: Regneregelen i lign.(3.108) kan huskes via indianerfjærhuskeregelen. 181

182 Eksempel: ( derivasjon av et produkt ) Gitt funksjonen: f(x) = (4x 3)(3x + 2) (3.112) a) Deriver f(x) via produktregelen. b) Deriver f(x) ved først å multiplisere ut parentesene. Løsning: a) Deriver f(x) via produktregelen: f (x) = d f(x) dx (3.113) = u v {}}{{}}{ (4x 3) (3x + 2) (3.114) = (uv) = u v + uv (3.115) = (4x 3) (3x + 2) + (4x 3)(3x + 2) (3.116) = 4(3x + 2) + (4x 3)3 (3.117) = 12x x 9 (3.118) = 24x 1 (3.119) 182

183 b) Multiplisere ut parentesene: f(x) = (4x 3)(3x + 2) (3.120) = 4x 3x + 4x 2 3 3x 3 2 (3.121) = 12x 2 + 8x 9x 6 (3.122) = 12x 2 x 6 (3.123) Nå kan man derivere via regneregelen i lign.(3.6): f (x) = d f(x) dx = d dx ( 12x 2 x 6 ) (3.124) (3.125) = 12 2x (3.126) = 24x 1 (3.127) altså samme svar som i oppgave a, lign.(3.119). 183

184 Eksempel: ( derivasjon / BØK100 Bedriftsøkonomi ) La oss igjen se på den totale enhetskostnad fra side 156, lign.(3.17): T EK(x) = T K x = 0.75x x x }{{} form 1 = x {}}{ = 0.75x }{{ x } form 2 (3.128) På side 156 deriverte vi denne ligningen ved å bruke form 2. Det gav oss svaret i lign.(3.20). Bruk nå form 1 deriverte av T EK(x) mhp. x, dvs. finn d T EK(x) dx. Løsning: Deriverer T EK(x) mhp. x: T EK (x) = d T EK(x) dx = = ( d 0.75x 2 ) + 150x dx x ( ) d u dx v (3.129) = u v uv v 2 (3.130) = [0.75x x ] x [0.75x x ]x x 2 (3.131) = [0.75 2x ]x [0.75x x ] 1 x 2 (3.132) = 1.5x x 0.75x 2 150x (3.133) x 2 = 0.75x x 2 (3.134) = x 2 (3.135) altså samme svar som lign.(3.17) på side 156, selvfølgelig. 184

185 3.4 Kjerneregelen Setning: ( kjerneregelen ) Dersom y = g(u) er en funksjon av u, der u = h(x) er en funksjon av x, da er y = f(x) en sammensatt funksjon av x med derivert: f (x) = g (u) u (3.136) En alternativ måte å skrive denne ligningen på er: d f(x) dx = d g(u) du du dx (3.137) 185

186 Eksempel: ( kjerneregelen ) Gitt funksjonen: f(x) = (x 2 + 2) 10 (3.138) Deriver f(x), dvs. finn f (x). Løsning: Deriver f(x) ved hjelp av kjerneregelen: f (x) = d f(x) dx = ( = u d {}}{ ) ( x 2 + 2) 10 dx }{{} = g(u) = d g(u) du du dx (3.139) (3.140) (3.141) = g (u) u (3.142) = [ u 10 ] [ x ] (3.143) = 10 u x (3.144) = 10 (x 2 + 2) 9 2x (3.145) = 20x(x 2 + 2) 9 (3.146) 186

187 3.5 Lokale ekstremalpunkt Eksempel: ( derivasjon / lokale ekstremalpunkt / 3. gradsligning ) La oss se på eksemplet fra side 73 en gang til. Da så vi på 3. gradsligningen: f(x) = x x2 2x + 7 (3.147) a) Regn ut f (x). b) Tegn fortegnsskjema for f (x). c) Tegn grafen f(x) og marker på figuren når f (x) > 0, f (x) < 0 og f (x) = 0. d) Marker på figuren ekstremalpunktene. Er de lokale eller globale? Løsning: a) Første deriverte: f (x) = ( d x 3 3 ) dx 2 x2 2x + 7 = 3x x2 1 2 = 3x 2 3x 2 (3.148) b), c) og d) Første deriverte f (x) er en 2. gradsligning som kan faktoriseres: f (x) = 3x 2 3x 2 = 3(x 2 x 2 ) = 3 (x ) (x 1.46) (3.149) 3 siden nullpunktene kan finnes ved å bruke lign.(1.222): x 1,2 = 1/2 33/6, hvor vi gjør tilnærmelsene: x 1 = 0.46 og x 2 = Etter denne faktoriseringen kan man lage fortegnsskjema og markere på figuren når f (x) > 0, f (x) < 0 og f (x) = 0: 187

188 Lokalt maksimum f(x) Lokalt minimum f (x) = 0 <=> stigningstallet = 0 x x x x f (x) f (x) > 0 f (x) < 0 f (x) > 0 positiv negativ positiv Figur 3.16: Funksjonen f(x) = x x2 2x + 7 og tilhørende fortegnsskjema for f (x). NB: Lokale ekstremalpunkter finnes der hvor stigningstallet = 0, dvs. hvor f (x) =

189 derivasjonstesten Når man har funnet et kritisk punkt x = c, dvs. et punkt hvor f (c) = 0, hvordan kan man avgjøre om det er et minimum eller maksimum? Svar: man kan bruke 1. eller 2. derivasjonstesten. 9 Setning: ( 1. derivasjonstesten, lokale ekstremalpunkter ) Anta at f(x) er kontinuerlig, dvs. sammenhengende. De lokale ekstremalpunktene til f(x) er de punktene hvor f (x) skifter fortegn: f (x) skifter fra + til lokalt maksimum (3.150) f (x) skifter fra til + lokalt minimum (3.151) 9 Senere, på side 199, skal vi lære om 2. derivasjonstesten. 189

190 og 2. deriverte Tolkning: ( 2. deriverte, med ord ) 10 f (a) = den 2. deriverte til funksjonen y = f(x) i punktet x = a (3.152) = stigningstallet til den 1. deriverte f (x) i punktet x = a (3.153) Definisjon: ( 2. deriverte, teknisk ) f (x) = lim x 0 f(x) x = lim x 0 f (x + x) f (x) x (3.154) 10 Den 2. deriverte sier noe om utviklingen til den 1. deriverte. 190

191 3.8 Vendepunkter Eksempel: ( derivasjon / vendepunkter / 3. gradsfunksjon ) La oss se på eksemplet fra side 73 en gang til. Da så vi på 3. gradsfunksjon: f(x) = x x2 2x + 7 (3.155) a) Regn ut f (x). b) Tegn fortegnsskjema for f (x). c) Marker på figuren når f (x) > 0, f (x) < 0 og f (x) = 0. Løsning: a) Andre deriverte: f (x) = d f (x) dx Eq.(3.148) = ( ) d 3x 2 3x 2 dx (3.156) = 3 2 x (3.157) = 6x 3 (3.158) b) og c) Andre deriverte f (x) er en 1. gradsligning som kan faktoriseres: ( f (x) = 6x 3 = 6 x 1 ) 2 (3.159) og nullpunktet til f (x) er: x 0 = 1/2. 191

192 iii) Etter denne faktoriseringen kan man lage fortegnsskjema og marker på figuren når f (x) > 0, f (x) < 0 og f (x) = 0. f(x) vendepunkt f (x) = 0 <=> stigningstallet til f (x) = 0 x x=1/2 x x 1/2 f (x) f (x) < 0 f (x) > 0 negativ positiv f er konkav f er konveks Figur 3.17: Funksjonen f(x) = x x2 2x + 7 og tilhørende fortegnsskjema for f (x). NB: Vendepunkter finnes der hvor stigningstallet til f (x) er lik 0, dvs. hvor f (x) =

193 Setning: ( vendepunkt ) Dersom f (a) = 0 og skifter fortegn i x = a (3.160) så er x = a et vendepunkt. Et vendepunkt er karakterisert ved at f (x) skifter fortegn i dette punktet. 193

194 Definisjon: ( konveks ) Funksjonen f(x) kalles konveks (på et intervall) dersom korden mellom to vilkårlige punkter på grafen alltid ligger på eller over grafen til f(x). Definisjon: ( konkav ) Funksjonen f(x) kalles konkav (på et intervall) dersom korden mellom to vilkårlige punkter på grafen alltid ligger på eller under grafen til f(x). f(x) f(x) x x konveks funksjon konkav funksjon Figur 3.18: En konveks og en konkav funksjon. Dersom en funksjon f(x) skifter fra å være konveks til å bli konkav, eller fra å være konkav til å bli konveks, i et punkt c så kalles c et vendepunkt for f(x). 194

195 3.9 Globale ekstremalpunkt Eksempel: ( globale ekstremalpunkt / 3. gradsligning ) La oss atter en gang studere 3. gradsligningen: f(x) = x x2 2x + 7, 2 x 3 (3.161) men denne gangen for den begrensede definisjonsmengden D f = [ 2, 3], dvs. 2 x 3. a) Tegn grafen f(x). b) Finn alle minimums- og maksimumspunkter og verdier, globale så vel som lokale, analytisk. 11 Løsning: a) Se figur neste side. b) Fra lign.(3.149) fant vi at x 1 = 1/2 33/6 ( 0.46) og x 2 = 1/2 + 33/6 ( 1.46) er lokale maksimum og minimum punkt, henholdsvis. De tilhørende funksjonsverdiene er: f(x 1 ) = f(x 2 ) = ( ) 3 ( ) 2 ( ) (3.162) 6 ( ) 3 ( ) 2 ( ) (3.163) 6 11 Analytisk, dvs. ved regning. 195

196 f(x) Globalt maksimum Lokalt maksimum Globalt minimum f (x) = 6(x-1/2) x=1/2 Lokalt minimum x x f (x) < 0 f (x) > 0 negativ positiv Figur 3.19: Funksjonen f(x) = x x2 2x + 7 med definisjonsmengde D f = [ 2, 3]. Lokalt maksimum: (x, y) = ( 0.46, 7.51 ) Lokalt minimum: (x, y) = ( 1.46, 4.00 ) 196

197 NB! {}}{ Til slutt må vi sjekke randpunktene/endepunktene x = 2 og x = 3: f( 2) = ( 2) ( 2)2 2( 3) + 7 = 3 (3.164) f(3) = = 29 2 = 14.5 (3.165) De globale maksimum og minimum punktene er de punktene som har størst og minst funksjonsverdi i hele dens definisjonsmengde. Dermed ser vi at: Globalt maksimum: (x, y) = ( 3, 14.5 ) Globalt minimum: (x, y) = ( 2, 3 ) Kommentar: Når definisjonsmengden til f(x) ikke er begrenset, dvs. D f =,, så har f(x) ingen globale ekstremalpunkter (3.166) 197

198 Setning: ( ekstremalverdisetningen ) Dersom en funksjon f er kontinuerlig, dvs. sammenhengende, og definert i et lukket og begrenset intervall: vil f oppnå både [ a, b ] (3.167) globalt max og globalt min (3.168) 198

199 derivasjonstesten Fra lign. (3.149) så vi at den deriverte av f(x) = x 3 3x 2 /2 2x + 7 har to nullpunkt: ( f (x) = 3x 2 3x 2 = 3 x 2 x 2 ) faktorisering = 3(x )(x 1.46) (3.169) 3 nullpunktene finnes ved å bruke lign.(1.222): x 1 = x 2 = (3.170) 1.46 (3.171) Dersom vi ikke tegner grafen til f(x) i en figur, hvordan kan vi da vite hvilke av av disse punktene som tilsvarer maksimum, og hvilket som tilsvarer minimum? Fra figur (3.19) ser vi at: f (x 1 ) < 0, dvs. f (x 1 ) er negativ, så er x 1 er maksimumspunkt f (x 2 ) > 0, dvs. f (x 2 ) er positiv, så er x 2 er minimumspunkt Dette gjelder faktisk generelt: ved å se på den 2. deriverte kan vi avgjøre om et optimum tilsvarer et maksimum eller et minimum. 199

200 Setning: ( 2. derivasjonstesten ) Anta at c er et kritisk punkt hvor f (c) = 0 (3.172) så gjelder f (c) < 0 x = c er et lokalt maksimum (3.173) f (c) = 0 testen gir oss ingen relevant informasjon (3.174) f (c) > 0 x = c er et lokalt minimum (3.175) PS: Merk at 2. derivasjonstesten ikke gir oss noe nytt i forhold til 1. derivasjonstesten. Man kan derfor velge selv hvilket av de to kriteriene man vil bruke. 200

201 3.11 Elastistieter Eksempel: ( gjennomsnitts elastisitet / BØK100 Bedriftsøkonomi, SØK200 Mikroøkonomi ) Belysningsprodusenten Glamox i Molde produserer lamper for blant annet lagerbygninger og industrihaller. Ett år kostet en bestemt industrilampe: p 0 = 1350 NOK (3.176) Dette året solgte de: x 0 = 3500 (3.177) lamper. Året etter satte Glamox opp prisen til: p 1 = 1690 NOK (3.178) Dette året solgte de bare: lamper. x 1 = 2300 (3.179) a) Hva er den relative endringen i etterspørsel? b) Hva er den relative endringen i pris? c) Hva er forholdet mellom disse relative endringene, dvs. hva er: rel. endring i etterspørsel rel. endring i pris? (3.180) d) Hva er lign.(3.180) et mål på? Tolk størrelsen i en økonomisk sammenheng. 201

202 Løsning: a) I setningen på side 95 lærete vi at den %-vise endringen når et tall endres fra a til b er gitt ved lign.(1.345): %-vis endring = b a a 100 % (3.181) Den relative endringen er gitt ved samme ligningen, men hvor faktoren 100 % fjernes. Den relative endringen i etterspørsel blir dermed: rel. endring i etterspørsel = x 1 x 0 x 0 = (3.182) Kommentar: Svaret er negativt fordi det er en nedgang i etterspørsel. b) Den relative endringen i pris er: rel. endring i pris = p 1 p 0 p 0 = (3.183) Kommentar: Svaret er positivt fordi prisen øker fra det ene året til neste. c) Forholdet mellom disse relative endringene er: rel. endring i etterspørsel rel. endring i pris = = x 1 x 0 x 0 p 1 p 0 p 0 = x x 0 = x p p p0 (3.184) x p (3.185) kalles den gjennomsnitts elastisiteten av etterspørsel x med hensyn på prisen p. 202

203 d) Størrelsen: rel. endring i etterspørsel rel. endring i pris = x p p0 x 0 (3.186) er et mål på følsom etterspørselen er på prisendringer 12 For Glamox så betyr dette at dersom prisen p øker med 1 % så vil etterspørselen minke med 1.36 %. 12 Til info: Dette er også den samme tolkningen som brukes i BØK100 Bedriftsøkonomi. 203

204 Definisjon: ( gjennomsnitts elastisiteten, relativ ) 13 Gjennomsnitts elastisiteten av etterspørsel x med hensyn på y i intervallet [y, y + y]: rel. endring i etterspørsel x rel. endring i y = x x y y = x y y x (3.187) hvor x = endringen i x ( etterspørsel ) (3.188) y = endringen i y ( f.eks. pris, inntekt, osv. ) (3.189) Alternativt kan vi inkludere faktoren 100 % i lign.(3.187) slik at man får et uttrykk for den %-vise endringen istedet for den relative: Definisjon: ( gjennomsnitts elastisiteten, %-vis ) Gjennomsnitts elastisiteten av etterspørsel x med hensyn på y i intervallet [y, y + y]: %-vis endring i etterspørsel x %-vis endring i y = x 100 % x x = 100 % y y x y y (3.190) hvor x = endringen i x ( etterspørsel ) (3.191) y = endringen i y ( f.eks. pris, inntekt, osv. ) (3.192) 13 Merk at den relative endringen er dimensjonsløs, dvs. uten enhetsløs. 204

205 Nå kan vi generalisere gjennomsnitts elastisiteten for tilfellet når etterspørselen x er en deriverbar funksjon av y (f.eks. pris, inntekt, osv.): x = x(y) (3.193) I grensen når endringen til y (f.eks. prisen) er uendelig liten slik at y dy og tilsvarende for etterspørselen x dx. I denne grensen blir lign.(3.187) følgende: Definisjon: ( momentan elastisiteten ) Momentan elastisiteten av etterspørselen x med hensyn på y ( f.eks. pris, inntekt, osv. ): E y (x) = d x(y) dy y x(y) (3.194) hvor d x(y) dy = den deriverte av etterspørselen x mhp. y ( f.eks. pris, inntekt osv. ) (3.195) 205

206 Eksempel: ( derivasjon / priselastisitet / BØK100 Bedriftsøkonomi ) Flybussen A/S har leid inn studenter ved Høgskolen i Molde og funnet ut at sammenheng mellom etterspørsel av flybussbilletter og pris p er: x(p) = c p 1.3 (3.196) hvor c = en konstant. Anta at c = 35 NOK 1.3. a) Finn priselasitsiteten E p (x). b) Tolk resultatet i oppgave a). c) Hvor mye vil etterspørselen av bussreiser endre seg med dersom prisen øker med 2.5 %? d) Spiller konstanten c = 35 NOK noen rolle i denne oppgaven? Figur 3.20: Flybussen i Molde. 206