Formelsamling H MAT100 Matematikk. Per Kristian Rekdal

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Formelsamling H MAT100 Matematikk. Per Kristian Rekdal"

Transkript

1 Formelsamling H-2016 MAT100 Matematikk Per Kristian Rekdal

2 2

3 Forord Dette er formelsamlingen i emnet MAT100 Matematikk ved Høgskolen i Molde, Formelsamlingen er ment å brukes når man løser innleveringsoppgavene i dette emnet, dvs. når øvingene 1-6 løses. I tillegg er formelsamlingen et tillatt og nødvendig hjelpemiddel på eksamen. Hjelpemidler eksamen: Godkjent kalkulator og formelsamling: Kun originalversjonen av formelsamlingen 2016 utgitt av SiMolde Bok er lov å ha med på eksamen (Dette fordi det skal være lett å se at dere har med den riktige og lovlige formelsamlingen på eksamen). 2 Det er lov å skrive egne notater i formelsamlingen som dere kan ta med på eksamen. Men: Ikke skriv av hele eksempler og hele oppgaver. Det vil ikke hjelpe dere på eksamen. Eksamensoppgavene blir ikke laget på en slik måte at det vil være til stor nytte. Molde, oktober Per Kristian Rekdal Copyright c Høyskolen i Molde, Man kan IKKE bruke tidligere versjoner av formelsamlingen. Dette fordi pensum har endret seg litt. I tillegg har noen formler blitt tatt ut av formelsamlingen. Og noen nye formler lagt til. Korreksjoner har også blitt gjort. Og sidetall og ligningsnummer har endret seg. 2 Man kan ikke skrive ut formelsamlingen selv og ta med på eksamen. 3

4 4

5 Innhold 1 Grunnleggende emner Tall og tallsystemer Algebraiske uttrykk Kvadratsetningene og konjugatsetningen Potenser Prefiks Kvadratrot Brøkregning To måter å føre ligninger på gradsligning gradsligninger, ligningssystem gradspolynom gradspolynom Oversikt: nullpunkter for 1., 2. og 3. gradsfunksjoner Absoluttverdi Regning med prosent Funksjoner Funksjoner Lineære funksjoner (rette linjer) Kvadratiske funksjoner (parabler) Kubiske funksjoner Rasjonale funksjoner Hyperbel Derivasjon Derivasjon Derivasjonsregler En økonomisk tolkning av den deriverte: grensekostnad Derivasjon av produkt- og brøkfunksjoner Kjerneregelen Lokale ekstremalpunkt og 2. derivasjonstesten og 2. deriverte Vendepunkter Globale ekstremalpunkt Elastistieter

6 kategorier: Priselastisitet Eksponensial- og logaritmefunksjoner Eksponensialfunksjonen Tallet e, Eulers tall Logaritmer Regneregler Deriverte av ln x Følger og rekker Summetegnet Aritmetiske rekker Sum av en aritmetiske rekke Geometriske rekker Sum av en geometriske rekke Konvergente og divergente rekker: n Aritmetiske rekker: n Geometriske rekker: n Finansmatematikk Oversikt Aritmetisk rekke: Serielån Rente R serie n ved serielån Geometrisk rekke: Annuitetslån Renteformelen K n og nåverdi K Oppsparingsannuitet Sn ann Nåverdi K 0 av etterskuddsannuitet Nåverdi K 0 ved utbetaling til evig tid, dvs. n Terminbeløp K ved annuitetslån Rente Rn ann ved annuitetsån Kontinuerlig rente K t Integraler Integrasjon = MOTSATTE av derivasjon Integrasjon = SUM av mange små areal Integrasjon = areal under en grafen Noen regneregler Funksjoner av flere variabler Funksjoner av to variable Grafisk fremstilling av funksjoner av to variable Grafisk fremstilling og nivåkurver Partielle deriverte Kjerneregelen (for en funksjon med to variable) Partiell derivasjon av 2. orden Maksimum og minimum Maksimum og minimum (for flater med rand) Maksimering/minimering under bibetingelser

7 7

8 8

9 Kapittel 1 Grunnleggende emner Figur 1.1: Grunnleggende emner i matematikk. 9

10 1.1 Tall og tallsystemer Notasjon for tall: N = { 1, 2, 3, 4,... } (naturlige tall) (1.1) Z = {... 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... } (hele tall) (1.2) Q = { a b a Z b N } (rasjonale tall) (1.3) R = mengden av reelle tall (alle tall på tall-linja) (1.4) Mengdesymbol, listeform: M = { 3, 6, 7, 9 } (endelig mengde) (1.5) M = { 3, 6, 7, 9,... } (uendelig mengde) (1.6) Mengden kan altså være endelig eller uendelig. 10

11 Mengdesymbol, intervall: [ a, b ] = { x a x b } (alle reelle tall f.o.m. a t.o.m. b) (1.7) (lukket intervall) a, b = { x a<x<b } (ingen endepunkt er med) (1.8) (åpent intervall) a, b ] = { x a<x b } (bare ene endepunktet er med) (1.9) (halvåpent intervall) [ a, b = { x a x<b } (bare ene endepunktet er med) (1.10) (halvåpent intervall) 11

12 1.2 Algebraiske uttrykk Generelle regler for algebra: ( algebra = regler for operasjonene og + ) a + a = 2a (1.11) a + b = b + a (1.12) (a + b) = a b (1.13) (a b) = a + b (1.14) Den distributive lov: a (b + c) = ab + ac (1.15) Fra denne distributive lov så følger at: (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd (1.16) 12

13 1.3 Kvadratsetningene og konjugatsetningen Lign.(1.16) har følgende spesialtilfeller: ( kvadratsetningene ) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (1. kvadratsetning) (1.17) (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (2. kvadratsetning) (1.18) (a + b)(a b) = a 2 b 2 (konjugatsetningen) (1.19) 13

14 1.4 Potenser Definisjon: ( potens ) a n = a } a {{ a... a} = n faktorer (1.20) hvor n= eksponent, n N, a = grunntall og a R. Potensregler: a m a n = a m+n (1.21) a n = 1 a n, a 0 (1.22) a m a n = a m a n = a m n (1.23) (a m ) n = a mn (1.24) (a b) n = a n b n (1.25) ( ) n a = an, b 0 (1.26) b b n og i tillegg: a 0 = 1 (1.27) a 1 = a (1.28) 14

15 1.4.1 Prefiks Normalform: 1 (se også liste av SI prefiks) = 10 3 (1.29) = 10 6 (en million) (1.30) 0, 001 = 10 3 (milli) (1.31) 0, = 6, (1.32) = 4, }{{ 11 } normalform (1.33) Generelt med 10-potens: tall = a 10 n (1.34) hvor n Z og a 10, Også kalt standardform. 15

16 1.5 Kvadratrot Definisjon: ( kvadratrot ) ( a 0 ) 2 a = det positive tallet som, opphøyd i 2, er a (1.35) m.a.o. ( a) 2 = a a = a 1/2+1/2 = a 1 = a. Regneregler: ( a, b 0 ) a = 2 a = a 1 2 (1.36) a 2 = a (1.37) ( a) 2 = a (1.38) a b = a b (1.39) a b = a b, b 0 (1.40) Huskeregl: Kvadratrot noe er bare en fancy måte å skrive noe 1/2 på: noe = (noe) 1/2 (1.41) 2 Man kan ikke ta kvadratroten av et negativt tall. (Komplekse tall er ikke et tema i dette kurset.) 16

17 Generalisering av kvadratrot: n a, a 0 (1.42) hvor n = roteksponent, n N, a = radikand og a R. Regneregler: ( a 0 ) n a = a 1 n (1.43) ( n a) n = n a n = a (1.44) a m n = (a 1 n ) m = ( n a) m (1.45) a m n = 1 (a 1 n ) = 1 m ( n (1.46) a) m Legg merke til at for n = 2 i lign.(1.43) og (1.44), så reproduserer man lign.(1.36) og (1.37): a = a 1 2 (1.47) ( a) 2 = a (1.48) 17

18 1.6 Brøkregning Husk: Man kan aldri dividere med 0. Forkorting av en brøk: ( brøkregning ) a c b c a b = a b = a c b c (forkorting av en brøk) (1.49) (utvidelse av en brøk) (1.50) Sum av brøk med samme nevner: a b + c b = a + c b (1.51) Regler for multiplikasjon og divisjon med brøker: c a b a b c d a b : c d = c a b = a c b d = a d b c [1] (Tall multiplisert med brøk) (1.52) [2] (Brøk multiplisert med brøk) (1.53) [3] (Brøk dividert med brøk) (1.54) 18

19 1.7 To måter å føre ligninger på Føringsmessig er det to måter å føre ligninger på: 1) Føringsmåte 1: VS = HS (1.55) VS = HS (1.56) VS = HS (1.57) VS = HS (1.58) VS = HS (1.59) 2) Føringsmåte 2: VS = HS (1.60) = HS (1.61) = HS (1.62) = HS (1.63) 19

20 gradsligning Definisjon: ( 1. gradspolynom ) 3 En funksjon på formen: f(x) = ax + b (1.64) kalles en 1. gradspolynom eller en lineær funksjon. Her er a og b konstanter. 3 Her snikinnføres begrepet funksjon, y = f(x). Dette med funksjoner skal vi se mer på i kapittel (2.1). 20

21 gradsligninger, ligningssystem Setning: ( løsningsmengde ) Tre mulig situasjoner for løsningsmengden for et linært ligningssystem: 4 1) Èn entydig løsning: Like mange uavhengige ligninger som ukjente. (kvadratisk system) 2) Uendelig mange løsninger: Færre uavhengige ligninger enn ukjente. (underbestemt system) 3) Ingen løsninger: Flere uavhengige ligninger enn ukjente. (overbestemt system) 4 To kommentarer: 1) At ligningene er lineært uavhengige betyr at ingen av ligningene kan bli utledet algebraisk a fra den andre. 2) Når ligningen er uavhengige så inneholder hver ligningen ny informasjon av variablene. a Å fjerne noen av ligingene betyr at man øker størrelsen på løsingdmengden. 21

22 gradspolynom Definisjon: ( 2. gradspolynom ) En funksjon på formen: f(x) = ax 2 + bx + c (1.65) kalles en 2. gradspolynom eller en kvadratisk funksjon. Her er a, b og c er konstanter. 22

23 Setning: ( ABC-formelen ) 5 En 2. gradsligningen f(x) = ax 2 + bx + c sine nullpunkter bestemt ved f(x) = 0 (1.66) dvs. ax 2 + bx + c = 0, har løsningen: ( løsningene kalles også røtter ) x 1 = b b 2 4ac 2a, x 2 = b + b 2 4ac 2a (1.67) Da kan 2. gradsligningen faktor FAKTORISERES slik: a(x x 1 )(x x 2 ) = 0 (1.68) 0 løsninger X 1,2 = 2 løsninger 1 løsning Figur 1.2: Mulige løsninger for en 2. gradsligning. 5 Denne læresetningen viser sammenheng mellom nullpunkter og faktorisering. 23

24 gradspolynom Definisjon: ( 3. gradspolynom ) En funksjon på formen: f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (1.69) kalles en 3. gradsfunksjon. Her er a, b, c og d konstanter. 24

25 1.11 Oversikt: nullpunkter for 1., 2. og 3. gradsfunksjoner 1., 2. og 3. gradsligninger med èn ukjent er gitt ved: 1. gradsfunksjon: f(x) = ax + b (1.70) 2. gradsfunksjon: g(x) = ax 2 + bx + c (1.71) 3. gradsfunksjon: h(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (1.72) Her gir vi en oversikt over hvordan man finner nullpunktene til 1., 2. og 3. gradsligninger med èn ukjent: 1. gradslign.: ax + b = 0 max 1. stk nullpunkt x = b a 2. gradslign.: ax 2 + bx + c = 0 max 2. stk nullpunkt x 1,2 = b ± b 2 4ac (se lign.(1.67)) 2a 3. gradslign.: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 max 3. stk nullpunkt komplisert formel / prøve- og feilemetoden / polynomdivisjon 25

26 1.12 Absoluttverdi Absoluttverdi: 3 = 3 (1.73) 3 = 3 (1.74) dvs. en absoluttverdi er alltid positiv (eller 0). Generelt: a = a, når a 0 a, når a < 0 (1.75) 26

27 1.13 Regning med prosent Definisjon: ( prosent ) Forholdet mellom a og b kan uttrykkes i prosent, dvs. av hundre : 6 a 100 % (1.76) b Setning: ( %-vis endring ) Når et tall endres fra a til b så er den %-vise endringen iforhold til a: %-vis endring = b a a 100 % (1.77) Figur 1.3: %-vis endring. 6 Hva er promille? 27

28 28

29 Kapittel 2 Funksjoner y x company revenue Figur 2.1: Funksjoner. 29

30 2.1 Funksjoner Definisjon: ( funksjon ) 1 funksjon f = entydig assosiasjon fra en størrelse x til en annen f hvor x ofte kalles den uavhengige variabelen eller bare argumentet, og y = f(x) kalles ofte funksjonsverdien. Definisjon: ( definisjonsmengde og verdimengde ) definisjonsmengde = alle mulige tillatte verdier av x (2.1) verdimengde = alle mulige funksjonsverdier til y = f(x) tilhørende alle (2.2) tillatte verdier av x f(x) x Definisjonsmengde y Verdimengde Figur 2.2: Funksjon y = f(x). 1 Isteden for èn og bare èn verdi kunne vi like gjerne sagt entydig. 30

31 Input x ( argument ) Funksjon f Output f(x) ( funksjonsverdi ) Figur 2.3: Visualisering av en funksjon f(x). 31

32 Koordinatsystem Et koordinatsystem i planet består av to akser (koordinatakser), x- aksen og y-aksen. x-aksen er horisontal (vannrett) og y-aksen er vertikal (loddrett). Punktet der aksene krysser kalles for origo. y = f(x) ( funksjonsverdi ) ( 2. kvadrant ) ( 1. kvadrant ) x ( 3. kvadrant ) ( 4. kvadrant ) ( argument, variabel ) Figur 2.4: Koordinatsystem. 32

33 2.2 Lineære funksjoner (rette linjer) I avsnitt 1.8 lærte vi om 1. gradsligninger, dvs. lineære funksjoner. Definisjon: ( lineær funksjon ) En lineær funksjon har formen: y = f(x) = ax + b (2.3) Dette er en RETT LINJE. Her er a og b konstanter. 33

34 1) Setning: ( ett-punktsformelen for lineære funksjoner ) Dersom stigningstallet a og ett punkt (x 1, y 1 ) på en rett linje er kjent så er den lineære funksjonen gitt ved: f(x) = a (x x 1 ) + y 1 (2.4) Denne formelen kalles ett-punktsformelen. 2) Setning: ( to-punktsformelen for lineære funksjoner ) Dersom to punkt (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ) er kjent på en rett linje, så er den lineære funksjonen gitt ved: f(x) = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) + y 1 (2.5) Denne formelen kalles to-punktsformelen. Stigningstallet er da y 2 y 1 x 2 x 1. 34

35 2.3 Kvadratiske funksjoner (parabler) Definisjon: ( 2. gradsligning, parabel ) En kvadratisk funksjon har formen: f(x) = ax 2 + bx + c (2.6) Her er a, b og c konstanter. 2.4 Kubiske funksjoner Definisjon: ( kubisk funksjon ) En kubisk funksjon har formen: f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (2.7) Her er a, b, c og d konstanter. 35

36 2.5 Rasjonale funksjoner Definisjon: ( rasjonale funksjon ) En ligning på formen f(x) = P (x) Q(x) (2.8) hvor P (x) og Q(x) er polynomer, kalles en rasjonal funksjon. 2.6 Hyperbel Definisjon: ( hyperbel ) En hyperbel er en funksjon på formen: f(x) = ax + b cx + d (2.9) Her er a, b, c og d konstanter. 36

37 Kapittel 3 Derivasjon Figur 3.1: Deriverte. 37

38 3.1 Derivasjon Tolkning: ( deriverte, med ord ) f (a) = den deriverte til funksjonen y = f(x) i punktet x = a (3.1) = stigningstallet til tangenten til grafen i punktet x = a (3.2) y f(x) tangent ( a, f(a) ) x Figur 3.2: Den deriverte i punktet x = a, dvs. stigningstallet til tangenten i punktet x = a. 38

39 Definisjon: ( deriverte, teknisk og med ord ) f (x) = lim x 0 f(x) x = lim x 0 f(x + x) f(x) x (3.3) = stigningstallet for tangenten i x (3.4) = stigningen i punktet ( x, f(x) ) på grafen (3.5) f(x) x Figur 3.3: Gjennomsnittlig endring. 39

40 3.2 Derivasjonsregler Generelle derivasjonsregler: 1 f(x) = ax n f (x) = n ax n 1, n R (3.6) og f(x) = k f (x) = 0 (3.7) f(x) = g(x) + h(x) f (x) = g (x) + h (x) (3.8) f(x) = g(x) h(x) f (x) = g (x) h (x) (3.9) f(x) = k g(x) f (x) = k g (x) (3.10) Spesielle derivasjonsregler: f(x) = x f (x) = 1 (3.11) f(x) = 1 x f (x) = 1 x 2, når x 0 (3.12) f(x) = x f (x) = 1 2 x (3.13) 1 Derivasjonsreglene presentert her kan utledes ved å bruke definisjonen av derivasjon i lign.(3.3). Det er litt teknisk krevende. Derfor nøyer vi oss med å kun presentere resultatene. 40

41 Minimum enhetskostnad T EK min Minimum enhetskostnad, dvs. minimum av T EK(x), er bestemt ved: minimum enhetskostnad T EK min stigningstallet = 0 dvs. d T EK dx = 0 (3.14) NB: For å forsikre oss om at vi har et minimum (og ikke et maksimum) så må 2. derivasjonstesten utføres. TEK(x) stigningstall = TEK (x) < 0 (negativt) stigningstall = TEK (x) = 0 TEK 655 NB: Kurven starter på 500: stigningstall = TEK (x) > 0 (positivt) x x 335 Figur 3.4: Stigningstall, dvs. T EK (x), for tre forskjellige punkt på kurven T EK(x). 41

42 Maksimalt totalt resultat T R max Maksimalt resultat (vinningsoptimum), dvs. maksimum av T R, er bestemt ved: d T R(x) ( dx ) d T I(x) T K(x) dx d T I(x) d T K(x) dx dx d T I(x) } dx {{} grenseinntekt = 0 (3.15) = 0 (3.16) = 0 (3.17) = d T K(x) dx }{{} grensekostnad (3.18) d T R(x) maksimalt totalt res. T R max stigningstallet = 0 dvs. dx grenseinntekt = grensekostnad = 0 (3.19) dvs. d T I(x) dx = d T K(x) dx (3.20) TR stigningstall = TR (x) > 0 (positivt) TR(x) stigningstall = TR (x) = 0 stigningstall = TR (x) < 0 (negativt) x x 760 Figur 3.5: Stigningstall, dvs. T R (x), for tre forskjellige punkt på kurven T R(x). 42

43 3.2.1 En økonomisk tolkning av den deriverte: grensekostnad Definisjon: ( grensekostnad ) La K(x) være en kostnadsfunksjonen som funkjson av variabelen x 2. Da er grensekostnaden er da definert ved: 3 grensekostnad = d K(x) dx (3.21) Grensekostnaden har en viktig økonomisk tolkning. Via definisjonen i lign.(3.3): K (x) = lim x 0 f(x + x) f(x) x I stedet for å la 0 så kan vi se på en liten verdi. Anta at = 1 er en liten verdi. Da er: (3.22) d K(x) dx = lim x 0 f(x + x) f(x) x K(x + 1) K(x) 1 = K(x + 1) K(x) (3.23) Med andre ord: dersom h er tilstrekkelig liten i forhold til x, dvs. h x, så er: grensekostnad = ekstrakostnaden ved å produsere en ekstra enhet (3.24) Tilsvarende tolkninger av den deriverte fins mange andre steder i økonomi. 4 2 F.eks. i forbindelse med produksjon av en vare kan K(x) stå for total kostand når vi produserer x antall enheter av varen. 3 Grensekostnaden kalles også marginalkostnaden. 4 Grenseproduktivitet, grensenytte, etc. 43

44 3.3 Derivasjon av produkt- og brøkfunksjoner Generelle derivasjonsregler: ( produkt- og brøkfunksjoner ) f(x) = u v f (x) = u v + uv (3.25) f(x) = u v f (x) = u v uv v 2 (3.26) Dette kan også skrives på følgende ekvivalente form: f(x) = g(x) h(x) f (x) = g (x)h(x) + g(x)h (x) (3.27) f(x) = g(x) h(x) f (x) = g (x)h(x) g(x)h (x) [h(x)] 2 (3.28) = Figur 3.6: Regneregelen i lign.(3.25) kan huskes via indianerfjærhuskeregelen. 44

45 3.4 Kjerneregelen Setning: ( kjerneregelen ) Dersom y = g(u) er en funksjon av u, der u = h(x) er en funksjon av x, da er y = f(x) en sammensatt funksjon av x med derivert: f (x) = g (u) u (3.29) En alternativ måte å skrive denne ligningen på er: d f(x) dx = d g(u) du du dx (3.30) 45

46 3.5 Lokale ekstremalpunkt og 2. derivasjonstesten Setning: ( 1. derivasjonstesten, lokale ekstremalpunkter ) Anta at f(x) er kontinuerlig, dvs. sammenhengende. De lokale ekstremalpunktene til f(x) er de punktene hvor f (x) skifter fortegn: f (x) skifter fra + til lokalt maksimum (3.31) f (x) skifter fra til + lokalt minimum (3.32) Setning: ( 2. derivasjonstesten, lokale ekstremalpunkter ) Anta at c er et kritisk punkt hvor f (c) = 0 (3.33) så gjelder f (c) < 0 x = c er et lokalt maksimum (3.34) f (c) = 0 testen gir oss ingen relevant informasjon (3.35) f (c) > 0 x = c er et lokalt minimum (3.36) PS: Merk at 2. derivasjonstesten ikke gir oss noe nytt i forhold til 1. derivasjonstesten. Man kan derfor velge selv hvilket av de to kriteriene man vil bruke. 46

47 og 2. deriverte Tolkning: ( 2. deriverte, med ord ) 5 f (a) = den 2. deriverte til funksjonen y = f(x) i punktet x = a (3.37) = stigningstallet til den 1. deriverte f (x) i punktet x = a (3.38) Definisjon: ( 2. deriverte, teknisk ) f (x) = lim x 0 f(x) x = lim x 0 f (x + x) f (x) x (3.39) 5 Den 2. deriverte sier noe om utviklingen til den 1. deriverte. 47

48 3.7 Vendepunkter Setning: ( vendepunkt ) Dersom f (a) = 0 og skifter fortegn i x = a (3.40) så er x = a et vendepunkt. Et vendepunkt er karakterisert ved at f (x) skifter fortegn i dette punktet. 48

49 Definisjon: ( konveks ) Funksjonen f(x) kalles konveks (på et intervall) dersom korden mellom to vilkårlige punkter på grafen alltid ligger på eller over grafen til f(x). Definisjon: ( konkav ) Funksjonen f(x) kalles konkav (på et intervall) dersom korden mellom to vilkårlige punkter på grafen alltid ligger på eller under grafen til f(x). f(x) f(x) x x konveks funksjon konkav funksjon Figur 3.7: En konveks og en konkav funksjon. Dersom en funksjon f(x) skifter fra å være konveks til å bli konkav, eller fra å være konkav til å bli konveks, i et punkt c så kalles c et vendepunkt for f(x). 49

50 3.8 Globale ekstremalpunkt Setning: ( ekstremalverdisetningen ) Dersom en funksjon f er kontinuerlig, dvs. sammenhengende, og definert i et lukket og begrenset intervall: vil f oppnå både [ a, b ] (3.41) globalt max og globalt min (3.42) 50

51 3.9 Elastistieter Definisjon: ( gjennomsnitts elastisiteten, relativ ) 6 Gjennomsnitts elastisiteten av etterspørsel x med hensyn på y i intervallet [y, y + y]: rel. endring i etterspørsel x rel. endring i y = x x y y = x y y x (3.43) hvor x = endringen i x ( etterspørsel ) (3.44) y = endringen i y ( f.eks. pris, inntekt, osv. ) (3.45) Definisjon: ( gjennomsnitts elastisiteten, %-vis ) Gjennomsnitts elastisiteten av etterspørsel x med hensyn på y i intervallet [y, y + y]: %-vis endring i etterspørsel x %-vis endring i y = x 100 % x x = 100 % y y x y y (3.46) hvor x = endringen i x ( etterspørsel ) (3.47) y = endringen i y ( f.eks. pris, inntekt, osv. ) (3.48) 6 Merk at den relative endringen er dimensjonsløs, dvs. uten enhetsløs. 51

52 Definisjon: ( momentan elastisiteten ) Momentan elastisiteten av etterspørselen x med hensyn på y ( f.eks. pris, inntekt, osv. ): E y (x) = d x(y) dy y x(y) (3.49) hvor d x(y) dy = den deriverte av etterspørselen x mhp. y ( f.eks. pris, inntekt osv. ) (3.50) 52

53 kategorier: Priselastisitet Priselastistiteten E p (x) = d x(p) dp p x(p) (3.51) deles ofte inn i 3 kategorier: 1. E p (x)> 1 : ( f.eks. E p (x) = 0.8 ) etterspørselen er lite følsom for prisendring en prisendring gir bare en liten endring i etterspørsel varen er uelastisk 2. E p (x) = 1 : etterspørselen har samme følsomhet som prisen den relative prisendring = den relative endring i etterspørsel varen er nøytralelastisk 3. E p (x)< 1 : ( f.eks. E p (x) = 1.3 ) etterspørselen er følsom for prisendring en prisendring gir en stor endring i etterspørsel varen er elastisk NB: Legg merke til at etterspørselen mhp. prisen normalt er et negativt tall. Dette fordi en økning i prisen normalt medfører en nedgang i etterspørselen. 53

54 E p (x) elastisk (prisfølsomt) uelastisk (ikke prisfølsomt) nøytralelastisk (samme følsomhet) Figur 3.8: Tre kategorier: priselastisitet E p (x). 54

55 Kapittel 4 Eksponensial- og logaritmefunksjoner f(x) = e x x Figur 4.1: Eksponentiell vekst. 55

56 4.1 Eksponensialfunksjonen Definisjon: ( eksponensialfunksjon ) Eksponensialfunksjon f(x) er definert ved: f(x) = a x (4.1) hvor x = eksponent, x R, a = grunntall og a > 0. 56

57 4.2 Tallet e, Eulers tall Definisjon: ( eksponensialfunksjon NB! {}}{ m/grunntall e ) Eksponensialfunksjon f(x) med grunntall e er definert ved: f(x) = e x (4.2) hvor x = eksponent, x R og grunntall e = Setning: ( eksponensialfunksjon NB! {}}{ m/grunntall e ) Eksponensialfunksjon f(x) = e x er lik sin egen deriverte: f (x) = e x (4.3) hvor x = eksponent, x R og grunntall e =

58 Setning: ( Eulers tall e ) Eulers tall e kan bestemmes av en grenseverdi. Denne grenseverdien er: ( lim x = e (4.4) x x) hvor e = f(x) e = x Figur 4.2: Funksjonen f(x) = (1 + 1 x )x. 58

59 Regneregler: 1 e x e y = e x+y (4.5) e x = 1 e x (4.6) e x e y = e x e y = e x y (4.7) (e x ) y = e xy (4.8) (e e) x = e x e x = e 2x (4.9) ( ) x e = ex e e = 1 (4.10) x og i tillegg: e 0 = 1 (4.11) e 1 = e (4.12) 1 Siden eksponensialfunksjonen f(x) = e x er bare et spesieltilfelle av potensfunksjonen g(x) = a x, med a = e = så gjelder samme potensregler som ble presentert på side 14: ( a e ) 59

60 4.3 Logaritmer Definisjon: ( logaritmen m/10 som grunntall ) 2 Logaritmen til et tall x er den eksponenten vi må opphøye 10 i for å få x: 10 log(x) = x (4.13) altså log(x) = logaritmen = det tallet vi må opphøye 10 i for å få x. }{{} NB! Definisjon: ( logaritmen m/e som grunntall ) Logaritmen til et tall x er den eksponenten vi må opphøye Eulers tall e i for å få x: e ln(x) = x (4.14) altså ln(x) = den naturlige logaritmen = det tallet vi må opphøye e i for å få x. }{{} NB! 2 Kalles også den Briggske logaritme. 60

61 4.3.1 Regneregler Regneregler: ln(a b) = ln a + ln b a, b > 0 (4.15) ln ( ) a b = ln a ln b a, b > 0 (4.16) ln(a p ) = p ln a a > 0 (4.17) og i tillegg: ln 1 = 0 (4.18) ln e = 1 (4.19) ln e x = x (4.20) e ln x = x, x > 0 (4.21) 61

62 Regneregler: log(a b) = log a + log b a, b > 0 (4.22) log ( ) a b = log a log b a, b > 0 (4.23) log(a p ) = p log a a > 0 (4.24) og i tillegg: log 1 = 0 (4.25) log 10 = 1 (4.26) log 10 x = x (4.27) 10 log x = x, x > 0 (4.28) NB: Det finnes ingen enkle regler for log(a + b) eller log(a b). log x er bare definert for positive verdier av x. 62

63 4.4 Deriverte av ln x Setning: ( deriverte av ln x ) Den deriverte av f(x) = ln x er: f (x) = 1 x (4.29) 63

64 64

65 Kapittel 5 Følger og rekker Figur 5.1: Følger og rekker. 65

66 5.1 Summetegnet Setning: ( regneregler for summetegn ) n i=1 n n a i + b i = ( a i + b i ) (5.1) n i=1 i=1 c a i = c n (a i + c) = i=1 n i=1 i=1 n a i (5.2) i=1 a i + n c (5.3) 66

67 5.2 Aritmetiske rekker Definisjon: ( aritmetisk rekke ) En rekke er aritmetisk dersom differensen d mellom et ledd og det påfølgende er KONSTANT, dvs. a i+1 = a i + d (5.4) hvor d = konstant og kalles differens. 67

68 5.2.1 Sum av en aritmetiske rekke Setning: ( sum av ARITMETISK rekke ) Summen S n = n i=1 a i av en aritmetisk rekke er a i+1 = a i + d (5.5) S n = n (a 1 + a n ) 2 (5.6) Siden a n = a 1 + (n 1) d (5.7) for en aritmetisk rekke så kan summen alternativt skrives: S n = n ( ) (n 1) d a (5.8) 68

69 5.3 Geometriske rekker Definisjon: ( geometrisk rekke ) En rekke er geometrisk dersom et ledd er lik det foregående multiplisert med en konstant, dvs. a i+1 a i = k (5.9) hvor k = konstant og kalles kvotient. 69

70 5.3.1 Sum av en geometriske rekke Setning: ( sum av GEOMETRISK rekke, endelig n ) 1 Endelig n: 2 i) k 1: Summen S n = n i=1 a i = a 1 + a a n (5.10) av en geometrisk rekke a i+1 a i = k er S n = a 1 kn 1 k 1 (k 1) (5.11) ii) k = 1: Dersom k = 1, dvs. alle leddene er like, så er summen: S n = a 1 n (k = 1) (5.12) 1 Sammenlign denne setningen med den på side Senere i dette kapitlet skal vi se på uendelige summer, dvs. hvor n. 70

71 5.4 Konvergente og divergente rekker: n Definisjon: ( konvergens og divergens ) lim S n = S rekken konvergerer (5.13) n lim S n eksisterer ikke rekken divergerer (5.14) n 71

72 5.5 Aritmetiske rekker: n Setning: ( uendelig sum av en aritmetisk rekke ) Den uendelig summen lim n S n av en aritmetisk rekke: a i+1 = a i + d (5.15) er DIVERGENT (5.16) bortsett fra det trivielle tilfellet hvor a 1 = 0 og d = 0. Da er: lim S n = 0 (5.17) n 72

73 5.6 Geometriske rekker: n Setning: ( sum av GEOMETRISK rekke, uendelig n ) 3 Uendelig n: i) 1 < k < 1: Dersom 1 < k < 1 så er den uendelige summen: S = lim S n (5.18) n av en geometrisk rekke a i+1 a i = k gitt ved: S = a 1 1 k (5.19) ii) k 1 eller k 1: For k 1 eller k 1 DIVERGERER den uendelige summen k divergerer konvergerer divergerer Figur 5.2: Divergens og konvergens. 3 Sammenlign denne setningen med den på side

74 74

75 Kapittel 6 Finansmatematikk Figur 6.1: Finansmatematikk. 75

76 6.1 Oversikt Rekker og følger spiller en viktig rolle i finansmatematikk, dvs. pengenes tidsverdi. Figuren nedenfor viser en oversikt over hva vi skal ta opp som tema i dette avsnittet om finansmatematikk. Rekker Aritmetisk Geometrisk n te ledd i aritmetisk rekke: (kontinuerlig rente) n te ledd i geometrisk rekke: a n = a 1 + (n-1)d K n =K 0 exp(r t n ) K n = K 0 (1+r) n (renteformelen) a 1 = a n - (n-1)d K 0 =K n exp(- r t n ) K 0 = K n /(1+r) n (nåverdi) konstant (nåverdi ved kontinuerlig rente) konstant terminbeløp = avdrag + rente terminbeløp = avdrag + rente Serielån Annuitetslån R n serie S n ann K 0 K R n ann (totalt rentebeløp) (oppsparing) (nåverdi) (terminbeløp) (rente) 76

77 6.2 Aritmetisk rekke: Serielån Serienlån: avtar {}}{ terminbeløp = konstant {}}{ avdrag }{{} + = K 0 n avtar {}}{ renter (6.1) Rente R serie n ved serielån Setning: ( rente R serie n i et serielån ) Den totale rentebeløpet som må betales for et serielån i lånets løpetid er gitt ved: R serie n = K 0 r n (6.2) Rn serie = det totale rentebeløpet etter n terminer (6.3) K 0 = størrelsen på serielånet (6.4) n = antall terminer for tilbakebetaling (6.5) r = rente (6.6) 77

78 6.3 Geometrisk rekke: Annuitetslån Annuitetslån: konstant {}}{ terminbeløp }{{} = K = øker {}}{ avdrag + avtar {}}{ renter (6.7) 78

79 6.3.1 Renteformelen K n og nåverdi K 0 Definisjon: ( renteformelen K n, rentesrente ) Renteformelen er: 1 K n = K 0 (1 + r) n }{{} akk.faktor (6.8) hvor K n = kapitalen etter n terminer (6.9) K 0 = startkapital, dvs. kapital etter 0 terminer: nåverdi (6.10) r = p = rente med p % per termin 100 (6.11) n = antall terminer (6.12) Definisjon: ( nåverdi K 0 ) Nåverdien K 0 er: 2 K 0 = K n 1 (1 + r) n }{{} diskont.faktor (6.13) hvor K 0 = nåverdi, dvs. kapital etter 0 terminer, startkapital (6.14) K n = kapitalen etter n terminer (6.15) r = p = rente med p % per termin 100 (6.16) n = antall terminer (6.17) 1 Faktoren (1 + r) n kalles akkumuleringsfaktoren. 2 Faktoren 1/(1 + r) n kalles diskonteringsfaktoren. 79

80 6.3.2 Oppsparingsannuitet S ann n Setning: ( oppsparingsannuitet S ann n ) Dersom man setter av kapitalen K ved begynnelsen av hver termin så er oppspart beløp S ann n en termin etter siste termin n, gitt ved: S ann n = K (1 + r) (1 + r)n 1 r (6.18) Sn ann = oppspart beløp en termin etter siste termin n (6.19) K = sparebeløp per temin (6.20) n = antall terminer (6.21) r = rente (6.22) Oppspart beløp S ann, u n umiddelbart etter at siste beløp K er avsatt, er: 3 S ann, u n = K (1 + r)n 1 r (6.23) 3 Ser du forskjellen på lign.(6.18) og lign.(6.23)? 80

81 6.3.3 Nåverdi K 0 av etterskuddsannuitet Setning: ( nåverdi K 0 ved etterskuddsannuitet ) Dersom man ønsker å ta ut/må betalte tilbake samme beløp K i hver termin så må startkapitalen, dvs. nåverdien K 0, være: K 0 = K (1 + r)n 1 r (1 + r) n }{{} annuitetsfaktor (6.24) hvor K 0 = nåverdien, dvs. startkapitalen (6.25) K = uttak/tilbakebetalingsbeløp per termin, terminbeløp (6.26) n = antall terminer (6.27) r = terminrente (6.28) Formelen forutsetter at første utbetaling skjer en termin etter startinnskuddet/nåverdien K 0. En alternativ måte å skrive lign.(6.24) på er: K 0 = K 1 1 (1+r) n r }{{} annuitetsfaktor (6.29) 81

82 6.3.4 Nåverdi K 0 ved utbetaling til evig tid, dvs. n Setning: ( nåverdi K 0 ved etterskuddsannuitet og utbetaling til evig tid ) Dersom man ønsker å ta ut/må betalte tilbake samme beløp K til evig tid i hver termin så må startkapitalen, dvs. nåverdien K 0, være: K 0 = K 1 r }{{} ann.faktor (6.30) hvor K 0 = nåverdien, dvs. startkapitalen (6.31) K = uttak/tilbakebetalingsbeløp per termin, terminbeløp (6.32) r = terminrente (6.33) Formelen forutsetter at første utbetaling skjer en termin etter startinnskuddet/nåverdien K 0. 82

83 6.3.5 Terminbeløp K ved annuitetslån Setning: ( terminbeløp K ved annuitetslån ) Dersom startkapitalen, dvs. nåverdien, er K 0 og man ønsker å ta ut/må betale tilbake samme beløp K i hver termin, da er dette konstante terminbeløpet K er gitt ved: K = K 0 r (1 + r) n (1 + r) n 1 }{{} inv. annuitetsfaktor (6.34) K = uttak/tilbakebetalingsbeløp per termin, terminbeløp (6.35) K 0 = nåverdien, dvs. startinnskudd (6.36) n = antall terminer (6.37) r = terminrente (6.38) Formelen forutsetter at første utbetaling/tilbakebetaling skjer en termin etter startinnskuddet K 0. En alternativ måte å skrive lign.(6.34) på er: r K = K (1+r) }{{ n } inv. annuitetsfaktor (6.39) 83

84 6.3.6 Rente R ann n ved annuitetsån Setning: ( rente R ann n i et annuitetslån ) 4 Det totale rentebeløpet som må betales for et annuitetslån i lånets løpetid er gitt ved: R ann n [ ] lign.(6.2) nr = K (1+r) n (6.41) Rn ann = det totale rentebeløpet etter n terminer (6.42) K 0 = størrelsen på annuitetslånet, dvs. nåverdi (6.43) n = antall terminer for tilbakebetaling (6.44) r = rente (6.45) 4 Til sammenligning: Den totale renten for et serielån er gitt ved lign.(6.2): R serie n = K 0 r n (6.40) 84

85 6.4 Kontinuerlig rente K t Setning: ( kontinuerlig rente K t, sluttkapital ) I renteformelen: K n lign.(6.8) = K 0 (1 + r) n (6.46) er kapitaliseringen av renten realisert ved slutten av hver termin. Ved kontinuerlig rente er sluttkapitalen gitt ved: hvor K t = K 0 e rt (6.47) K t = kapitalen etter t terminer, sluttkapital (6.48) K 0 = startkapital, dvs. nåverdi (6.49) r = p = rente med p % per termin 100 (6.50) t = antall terminer (dimensjonsløs) (6.51) Nåverdien K 0 kan løses trivielt ut fra lign.(6.47): 85

86 Setning: ( kontinuerlig rente, nåverdi K 0 ) I renteformelen: K n lign.(6.8) = K 0 (1 + r) n (6.52) er kapitaliseringen av renten realisert ved slutten av hver termin. Ved kontinuerlig rente er nåverdien gitt ved: K 0 = K t e rt (6.53) hvor K 0 = startkapital, dvs. nåverdi (6.54) K t = kapitalen etter t terminer (6.55) r = p = rente med p % per termin 100 (6.56) t = antall terminer (dimensjonsløs) (6.57) 86

87 Kapittel 7 Integraler f(x) areal = a b x Figur 7.1: Integral. 87

88 7.1 Integrasjon = MOTSATTE av derivasjon Setning: ( det ubestemte 1 integralet / antideriverte ) Anta at f(x) er en kontinuerlig funksjon. Da er: 2 f(x) dx = F (x) + C d F (x) dx = f(x) (7.1) hvor C = en konstant og F (x) = antideriverte til f(x). 3 1 Med ubestemte integralet menes at startpunktet og sluttpunktet er ubestemt. 2 Dette med kontinuitet er en betingelse som må være oppfylt for at f(x) skal være integrerbar. De fleste funksjonne som vi bruker i dette kurset er integrerbare. 3 Husk at notasjonen d F (x) dx = F (x) også ofte brukes om den deriverte. 88

89 Noen generelle regneregler for integrasjon: k dx = kx + C (7.2) x n dx = xn+1 n C (7.3) 1 dx = ln x + C x 0 (7.4) x 1 dx = ln x + a + C x + a 0 (7.5) x + a e ax dx = eax a + C (7.6) 89

90 7.2 Integrasjon = SUM av mange små areal De 6 rektanglene i figur (7.2) kan er nesten lik arealet under grafen fra a til b: f(x) Δx f(x 6 ) f(x 0 ) A x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 start x 0 = a x 6 = b slutt ( bestemt integral ) Figur 7.2: Arealet A. Areal A under grafen fra a til b: A = SUM av mange små rektangel under grafen f(x) mellom a og b (7.7) = b a f(x) dx (7.8) 90

91 7.3 Integrasjon = areal under en grafen Setning: ( integralregningens fundamentalsats ) Anta at f(x) er en kontinuerlig funkjson. Da er: 4 b a f(x) dx = F (b) F (a) (7.9) hvor d F (x) dx = f(x) (7.10) 4 Dette med kontinuitet er en må være oppfylt for at f(x) skal være integrerbar. Så og si alle funkjonene som vi bruker i dette kurset er integrerbare. 91

92 7.4 Noen regneregler b a f(x) dx = c a f(x) dx + b c f(x) dx (a c b) (7.11) b a f(x) dx = a b f(x) dx (7.12) b a [ f(x) + g(x) ] dx = b a f(x) dx + b a g(x) dx (7.13) b a k f(x) dx = k b a f(x) dx (k = konstant) (7.14) 92

93 Kapittel 8 Funksjoner av flere variabler z y x Figur 8.1: Sadelpunkt. 93

94 8.1 Funksjoner av to variable Definisjon: ( funksjon av to variable ) z = f(x, y) = funksjon av x og y hvor det for hver verdi av tallparet (x, y) kun finnes en og bare en verdi for f(x, y) (8.1) hvor x og y ofte kalles de uavhengige variabelene eller bare argumentet og z = f(x, y) kalles ofte funksjonsverdien. Definisjon: ( definisjonsmengde og verdimengde ) definisjonsmengde = alle mulige tillatte verdier av x og y (8.2) verdimengde = alle mulige funksjonsverdier til z = f(x, y) tilhørende alle (8.3) tillatte verdier av x og y 94

95 x y z = f(x,y) Figur 8.2: Skjematisk illustrasjon av en funksjon med to variable, z = f(x, y). 95

96 8.2 Grafisk fremstilling av funksjoner av to variable z z y x x Figur 8.3: Man trenger et 3D rom for å illustrere funksjoner av to variable, z = f(x, y). 96

97 z = f(x,y) z = f(x,y) x y y x z = f(x,y) z = f(x,y) y x y x Figur 8.4: Funksjoner med to variable, z = f(x, y). 97

98 8.3 Grafisk fremstilling og nivåkurver Definisjon: ( nivåkurve ) Gitt funksjonen z = f(x, y) av to variable x og y. Nivåkruven i høyde c over (eller under) xy-planet kan da skrives: c = f(x, y) (8.4) Dette er skjæringskurven mellom grafen f og det horisontrale planet z = c. 98

99 8.4 Partielle deriverte Definisjon: ( partiell deriverte, deriverte med to variabler, med ord ) 1 f(x, y) x = x=a,y=b f(a, b) x (8.5) = den deriverte til funksjonen z = f(x, y) mhp. x i punktet x = a og y = b (8.6) = stigningstallet til grafen i punktet x = a og y = b i x-retning (8.7) z z y y x x Figur 8.5: Venstre: f(x,y) x. Høyre: f(x,y) y. 1 mhp. = med hensyn på 99

100 Definisjon: ( partiell deriverte, teknisk ) f(x, y) x = lim x 0 f(x + x, y) f(x, y) x (8.8) f(x, y) y = lim y 0 f(x, y + y) f(x, y) y (8.9) 100

101 8.5 Kjerneregelen (for en funksjon med to variable) Setning: ( kjerneregelen m/to variabler ) Dersom z = f(x, y) er en funksjon hvor både x og y er avhengige av t, da gjelder: d f(x, y) dt = d f(x, y) dx dx dt + d f(x, y) dy dy dt (8.10) 101

102 Setning: ( stigningstallet til en nivåkurve ) Stigningstallet d y dx = y til et punkt på en nivåkurve: er gitt ved: F (x, y) = c (c = konstant) (8.11) d F (x,y) d y dx = dx d F (x,y) dy (8.12) 102

103 Definisjon: ( marginal substituasjonsbrøk MSB ) 2 Den marginale substitusjonsbrøken M SB for en indifferenskruve: er definert ved: U(x 1, x 2 ) = U 0 (U 0 = konstant) (8.13) MSB = d x 2 dx 1 (8.14) som er tallverdien 3 av stigningstallet til indifferenskurven bestemt av lign.(8.13). Setning: ( marginal substituasjonsbrøk MSB ) Via total derivasjon kan man vise at den marginale substitusjonsbrøken M SB for en nivåkurve: er: U(x 1, x 2 ) = U 0 (U 0 = konstant) (8.15) MSB = d U(x 1,x 2 ) dx 1 d U(x 1,x 2 ) dx 2 (8.16) hvor U(x 1, x 2 ) er nyttefunksjonen. 2 I SØK200 Mikroøkonomi får man lære mer om MSB. 3 Også kalt absoluttverdien, se kapittel (). 103

104 8.6 Partiell derivasjon av 2. orden Setning: ( Youngs setning ) 4 Dersom f(x, y) har kontinuerlig partialt deriverte av 1. og 2. orden så gjelder: 2 f(x, y) x y = 2 f(x, y) y x (8.17) 4 Denne setningen kalles også Eulers teorem for blandede deriverte. Resultatet holder for flere deriverte. 104

105 8.7 Maksimum og minimum Definisjon: ( stasjonært punkt ) Punktet (x 0, y 0 ) til funksjonen f(x, y) med to variabler kalles stasjonært dersom følgende betingelser er oppfylt: f(x 0, y 0 ) x = 0 og f(x 0, y 0 ) y = 0 (8.18) 105

106 Setning: ( klassifisering av stasjonære punkter ) La f(x, y) være en funksjon som har kontinuerlige 1. og 2. ordens deriverte i hele sitt definisjonsområde D f. La videre: A B C def. = 2 f(x, y) x 2 (8.19) def. = 2 f(x, y) x y (8.20) def. = 2 f(x, y) y 2 (8.21) Det stasjonære punktet (x 0, y 0 ) bestemt av: f(x 0, y 0 ) x = 0, f(x 0, y 0 ) y = 0 (8.22) er da klassifisert på følgende måte: AC B 2 > 0 og A > 0 : (x 0, y 0 ) er et minimumspunkt (8.23) AC B 2 > 0 og A < 0 : (x 0, y 0 ) er et maksimumspunkt (8.24) AC B 2 < 0 og A < 0 : (x 0, y 0 ) er et sadelpunkt (8.25) AC B 2 = 0 og A < 0 : testen fungerer ikke (8.26) 106

107 8.8 Maksimum og minimum (for flater med rand) Setning: ( ekstremalverdisetningen ) La f(x, y) være en kontinuerlig funksjon over et lukket og begrenset område. Funksjonen har da: globale maksimum- og minimumspunkter (8.27) 107

108 8.9 Maksimering/minimering under bibetingelser Setning: ( maks/min med Lagrange multiplikatorer ) Funksjonen f(x, y) skal maksimeres/minimeres under bibetingelsen g(x, y) = c. Dette optimaliseringsproblemet kan løses på følgende måte: 1) Skriv opp Lagrange-funksjonen: F (x, y) = f(x, y) λ[ g(x, y) c ] (8.28) hvor λ = Lagrange-multiplikatoren, en ukjent (uinteressant) konstant. 2) Finn de stasjonære punktene til F (x, y), dvs. regn ut: F (x, y) x = 0, F (x, y) y = 0 (8.29) 3) De 3 ligningene: F (x, y) x F (x, y) y = 0 (8.30) = 0 (8.31) g(x, y) = c (8.32) danner et ligningssystem som kan løses mhp. x og y. 108

MAT100. Matematikk FORMELSAMLING Per Kristian Rekdal

MAT100. Matematikk FORMELSAMLING Per Kristian Rekdal MAT100 Matematikk FORMELSAMLING 2017 Per Kristian Rekdal Figur 1: Matematikk er viktig. 2 Forord Dette er formelsamlingen i emnet MAT100 Matematikk ved Høgskolen i Molde, 2017. Formelsamlingen er ment

Detaljer

Kompendium h-2013. MAT100 Matematikk. Formelsamling. Per Kristian Rekdal

Kompendium h-2013. MAT100 Matematikk. Formelsamling. Per Kristian Rekdal Kompendium h-2013 MAT100 Matematikk Formelsamling Per Kristian Rekdal Forord Dette er formelsamlingen i emnet MAT100 Matematikk ved Høgskolen i Molde, 2013. Formelsamlingen er ment å brukes når man løser

Detaljer

Kompendium H MAT100 Matematikk. Del 2 av 2. Per Kristian Rekdal

Kompendium H MAT100 Matematikk. Del 2 av 2. Per Kristian Rekdal Kompendium H-2016 MAT100 Matematikk Del 2 av 2 Per Kristian Rekdal Figur 1: Matematikk er viktig. 2 Innhold 1 Grunnleggende emner 19 1.1 Tall og tallsystemer................................... 20 1.2 Algebraiske

Detaljer

Ny og bedre versjon 2018 MAT100. Matematikk. Kompendium 2018, del 2. Per Kristian Rekdal og Bård-Inge Pettersen

Ny og bedre versjon 2018 MAT100. Matematikk. Kompendium 2018, del 2. Per Kristian Rekdal og Bård-Inge Pettersen Ny og bedre versjon 2018 MAT100 Matematikk Kompendium 2018, del 2 Per Kristian Rekdal og Bård-Inge Pettersen Figur 1: Matematikk er viktig. 2 Innhold 1 Grunnleggende emner 6 1.1 Tall og tallsystemer...................................

Detaljer

Matematikk for økonomi og samfunnsfag

Matematikk for økonomi og samfunnsfag Harald Bjørnestad Ulf Henning Olsson Svein Søyland Frank Tolcsiner Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave Innhold Forord... 11 Kapittel 1 Grunnleggende emner 1.1 Tall og tallsystemer... 13 1.2

Detaljer

Kompendium H MAT100 Matematikk. Del 1 av 2. Per Kristian Rekdal

Kompendium H MAT100 Matematikk. Del 1 av 2. Per Kristian Rekdal Kompendium H-2016 MAT100 Matematikk Del 1 av 2 Per Kristian Rekdal Figur 1: Matematikk er viktig. 2 Innhold 1 Grunnleggende emner 19 1.1 Tall og tallsystemer................................... 20 1.2 Algebraiske

Detaljer

Emnenavn: Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard

Emnenavn: Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 2. mars 2018 Hjelpemidler: Godkjent kalkulator og utdelt formelsamling Emnenavn: Metodekurs 1, deleksamen i matematikk Eksamenstid: 4 timer Faglærer: Hans Kristian Bekkevard

Detaljer

Emnenavn: Metode 1 matematikk. Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard

Emnenavn: Metode 1 matematikk. Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 21. februar 2017 Hjelpemidler: Godkjent kalkulator og utdelt formelsamling Emnenavn: Metode 1 matematikk Eksamenstid: 4 timer Faglærer: Hans Kristian Bekkevard Om eksamensoppgaven

Detaljer

Forord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011.

Forord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011. 1 13. august 011 Forord Høgskolen i Molde gjennomfører forkurs i matematikk for studenter som har svakt grunnlag i dette faget, eller som ønsker å friske opp gamle kunnskaper. Formål: Målet med forkurset

Detaljer

EKSAMEN. Emne: Metode 1: Grunnleggende matematikk og statistikk (Deleksamen i matematikk)

EKSAMEN. Emne: Metode 1: Grunnleggende matematikk og statistikk (Deleksamen i matematikk) EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 2.6.2014 Hjelpemidler: Kalkulator Utlevert formelsamling Emne: Metode 1: Grunnleggende matematikk og statistikk (Deleksamen i matematikk) Eksamenstid: kl. 09.00 til kl.

Detaljer

Matematikk for økonomer Del 2

Matematikk for økonomer Del 2 Matematikk for økonomer Del 2 Formelark Dokument type: Formelark Antall kapitler: 10 kapitler Antall sider: 17 Sider Forfatter: Studiekvartalets kursholdere rett til bruk av materialet. Det innebærer at

Detaljer

MAT001. Forkurs i matematikk. Kompendium Per Kristian Rekdal

MAT001. Forkurs i matematikk. Kompendium Per Kristian Rekdal MAT001 Forkurs i matematikk Kompendium 2018 Per Kristian Rekdal 1 Figur 1: Matematikk er viktig. 2 Innhold 1 Grunnleggende emner 13 1.1 Algebraiske uttrykk................................... 14 1.2 Kvadratsetningene

Detaljer

Emnenavn: Eksamenstid: Faglærer: Hans Kristian Bekkevard. består av 8 sider inklusiv denne forsiden og vedlagt formelsamling.

Emnenavn: Eksamenstid: Faglærer: Hans Kristian Bekkevard. består av 8 sider inklusiv denne forsiden og vedlagt formelsamling. e. Høgskoleni Østfold ). EKSAMEN Emnekode: Emnenavn: SFB10711 Metode 1 matematikk deleksamen Dato: Eksamenstid: 3. juni 2016 4 timer Hjelpemidler: Kalkulator og vedlagt formelsamling Faglærer: Hans Kristian

Detaljer

Høgskoleni østfold EKSAMEN. Metode 1 (Deleksamen i matematikk)

Høgskoleni østfold EKSAMEN. Metode 1 (Deleksamen i matematikk) Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Emne: Metode 1 (Deleksamen i matematikk) Dato: 02.12.2013 Eksamenstid: kl 0900 til kl 1300 Hjelpemidler: Kalkulator Utlevert formelsamling Faglærer: Hans Kristian

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven

TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven 10.10.09 Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag October 1, 2009 L.S. (NTNU) TMA4100: Oversikt October 1, 2009 1 / 20 Kapittel 1: Funksjoner.

Detaljer

Kompendium h-2013. MAT100 Matematikk. Del 2 (av 2) Per Kristian Rekdal

Kompendium h-2013. MAT100 Matematikk. Del 2 (av 2) Per Kristian Rekdal Kompendium h-2013 MAT100 Matematikk Del 2 (av 2) Per Kristian Rekdal Innhold 1 Grunnleggende emner 20 1.1 Tall og tallsystemer................................... 21 1.2 Algebraiske uttrykk...................................

Detaljer

Eksamen i. MAT100 Matematikk

Eksamen i. MAT100 Matematikk Avdeling for logistikk Eksamen i MAT100 Matematikk Eksamensdag : Torsdag 17. desember 2015 Tid : 09:00 13:00 (4 timer) Faglærer/telefonnummer : Molde: Per Kristian Rekdal / 924 97 051 Kristiansund: Terje

Detaljer

Kompendium h-2013. MAT100 Matematikk. Del 1 (av 2) Per Kristian Rekdal

Kompendium h-2013. MAT100 Matematikk. Del 1 (av 2) Per Kristian Rekdal Kompendium h-2013 MAT100 Matematikk Del 1 (av 2) Per Kristian Rekdal Forord Dette er kompendiet i kurset MAT100 Matematikk ved Høgskolen i Molde, 2013. Forelesningene vil i all hovedsak følge dette kompendiet.

Detaljer

f =< 2x + z/x, 2y, 4z + ln(x) >.

f =< 2x + z/x, 2y, 4z + ln(x) >. MA 40: Analyse Uke 48, 00 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma40 H0 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave.5: 5. Vi har gitt funksjon f(x, y) = x + y z + z ln(x) og punkt

Detaljer

H MAT100 Matematikk. Løsningsforslag til eksamensoppgaver Per Kristian Rekdal

H MAT100 Matematikk. Løsningsforslag til eksamensoppgaver Per Kristian Rekdal H-2016 MAT100 Matematikk Løsningsforslag til eksamensoppgaver 2012-2016 Per Kristian Rekdal 2 Innhold 1 LØSNING: Eksamen 11. des. 2012 7 2 LØSNING: Eksamen 7. juni 2013 23 3 LØSNING: Eksamen 18. des. 2013

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Matematikk for økonomer Del 2

Matematikk for økonomer Del 2 Matematikk for økonomer Del 2 Oppgavedokument Antall oppgaver: 75 svar Antall kapitler: 10 kapitler Antall sider: 15 Sider Forfatter: Studiekvartalets kursholdere Kapittel 1 Derivasjon 1. f (x) = 2x 2

Detaljer

Høgskoleni østfold EKSAMEN. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard

Høgskoleni østfold EKSAMEN. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Emne: Metode 1 (Deleksamen i matematikk) Dato: 23.11.15 Eksamenstid: 4 timer, kl. 9.00-13.00 Hjelpemidler: Kalkulator Utlevert formelsamling (4 siste sider

Detaljer

MET Matematikk for siviløkonomer

MET Matematikk for siviløkonomer SENSORVEILEDNING - Skriftlig eksamen MET 11803 Matematikk for siviløkonomer Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 29.05.2019 Kl. 09:00 Innlevering: 29.05.2019 Kl. 14:00 For mer informasjon om formalia,

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

Oppgave 1. Oppgave 2

Oppgave 1. Oppgave 2 Midtveiseksamen i MET1180 1 - Matematikk for siviløkonomer 12. desember 2018 Oppgavesettet har 15 flervalgsoppgaver. Rett svar gir poeng, galt svar gir svaralternativ (E) gir 0 poeng. Bare ett svar er

Detaljer

Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46

Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46 Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46 Bøkene B (læreboken): Tor Gulliksen og Arne Hole, Matematikk i Praksis, 5. utgave. K (kompendium): Amir M. Hashemi, Brukerkurs i matematikk MAT, høsten. Oppsummering

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

Oppgaveløsninger for "Matematikk for økonomer - kort og godt".

Oppgaveløsninger for Matematikk for økonomer - kort og godt. Oppgaveløsninger for "Matematikk for økonomer - kort og godt". Kapittel 1 Oppgave 1.1 a) (x 2 9x 12)(3 3x) =3x 2 27x 36 3x 3 +27x 2 +36x = 3x 3 +30x 2 +9x 36. b) (2x y) 2 +2(x+y)(x y)+(x+4y) 2 =4x 2 4xy+y

Detaljer

Høgskolen i Bodø Matematikk for økonomer 16. desember 2000 Løsninger

Høgskolen i Bodø Matematikk for økonomer 16. desember 2000 Løsninger Høgskolen i Bodø Matematikk for økonomer 6. desember 2 Løsninger OPPGAVE. a) Deriver funksjonen f( x) x 8 + 2x 4 + 7x 4 + 7 f ( x) 4x 8 + 4x 2 + + 28x 3 + 28x 3 8x 4 8x 6 b) Deriver funksjonen f( x) 7x

Detaljer

Løsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 0003, onsdag 30. november 2005

Løsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 0003, onsdag 30. november 2005 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 Løsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 3, onsdag 3. november 5 Del Oppgave Funksjonen f(x) er

Detaljer

Handelshøyskolen BI Eksamen i Met Matematikk for økonomer kl til Løsninger

Handelshøyskolen BI Eksamen i Met Matematikk for økonomer kl til Løsninger Handelshøyskolen BI Eksamen i Met 91001 Matematikk for økonomer..1 00 kl 09.00 til 1.00 Løsninger OPPGAVE 0.1 Vi skal derivere disse funksjonene a) b) f( x) 3x 8 + 3x f ( x) x 8 1 + 3 x x 9 + 6x fx ( )

Detaljer

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 14. desember 2006 Tidspunkt Antall oppgaver 4. Løsningsforslag

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 14. desember 2006 Tidspunkt Antall oppgaver 4. Løsningsforslag Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato. desember 6 Tidspunkt 9. -. Antall oppgaver Vedlegg Tillatte hjelpemidler Ingen Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave Vi løser likningene ved

Detaljer

Oppsummering matematikkdel

Oppsummering matematikkdel Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 5, 2014 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 5, 2014 1 / 25 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er

Detaljer

Oppsummering matematikkdel

Oppsummering matematikkdel Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 6, 2010 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 6, 2010 1 / 23 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT111 Prøveeksamen Eksamensdag: 5. juni 21. Tid for eksamen: 1. 13.3. Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Oppsummering matematikkdel

Oppsummering matematikkdel Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 9, 2011 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 9, 2011 1 / 25 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 11 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 11 Transcendentale funksjoner Vi begynner nå på temaet transcendentale funksjoner. I dagens forelesning

Detaljer

INNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER

INNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER INNHOLD ALGEBRA OG FUNKSJONER... PARENTESER... USYNLIGE PARENTESER... USYNLIGE MULTIPLIKASJONSTEGN... DE TI GRUNNLEGGENDE ALGEBRAISKE LOVENE... REGNEUTTRYKK INNSATT FOR VARIABLER... 3 SETTE OPP FORMLER...

Detaljer

Oppsummering matematikkdel ECON 2200

Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke 7. mai 2008 1 Innledning En rask oppsummering av hele kurset vil ikke kunne dekke alt vi har gjennomgått. Men alt er pensum, selv om det ikke blir

Detaljer

Universitetet i Agder Fakultet for teknologi og realfag EKSAMEN

Universitetet i Agder Fakultet for teknologi og realfag EKSAMEN Bokmål Universitetet i Agder Fakultet for teknologi og realfag EKSAMEN Emnekode: MA-5 og MA-38 Emnenavn: Matematikk med anvendelse i økonomi Dato: 2. desember 20 Varighet: 09.00-3.00 Antall sider: 3 +

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode

Detaljer

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 7: Derivasjon (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 23. august, 2012 Den deriverte som momentan endringsrate Den deriverte som momentan endringsrate Repetisjon

Detaljer

Oppsummering matematikkdel

Oppsummering matematikkdel Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 8, 2009 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 8, 2009 1 / 22 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er

Detaljer

Eksamen i. MAT100 Matematikk

Eksamen i. MAT100 Matematikk Avdeling for økonomi, informatikk og samfunnsfag Eksamen i MAT100 Matematikk Eksamensdag : Onsdag 18. desember 2013 Tid : 09:00 13:00 (4 timer) Faglærer/telefonnummer : Per Kristian Rekdal / 924 97 051

Detaljer

dg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0

dg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,

Detaljer

LØSNING: Eksamen 18. des. 2013

LØSNING: Eksamen 18. des. 2013 LØSNING: Eksamen 8. des. 03 MAT00 Matematikk, høst 03 Oppgave : ( algebra / faktorisering / brøk ) a) Setter inn ligningene i generalbudsjettligningen: R = C +I +G+X () = C 0 +c(r T) + I + G + X 0 br ()

Detaljer

Matematikk 1. Oversiktsforelesning. Lars Sydnes November 25, Institutt for matematiske fag

Matematikk 1. Oversiktsforelesning. Lars Sydnes November 25, Institutt for matematiske fag Matematikk 1 Oversiktsforelesning Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag November 25, 2009 LS (IMF) tma4100rep November 25, 2009 1 / 21 Matematikk 1 Hovedperson Relle funksjoner

Detaljer

MAT100. Matematikk. Løsning til øvingsoppgaver Per Kristian Rekdal

MAT100. Matematikk. Løsning til øvingsoppgaver Per Kristian Rekdal MAT100 Matematikk Løsning til øvingsoppgaver 2016 Per Kristian Rekdal 2 Forord Løsningsforslag: Dette er en samling av løsningsforslag til øvingene i emnet MAT100 Matematikk ved Høgskolen i Molde fra høsten

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Onsdag 9 mai 9 Tid for eksamen: 4:3 8:3 Oppgavesettet er på 7 sider Vedlegg: Tillatte

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk Dag 3

Oppfriskningskurs i matematikk Dag 3 Oppfriskningskurs i matematikk Dag 3 Petter Nyland Institutt for matematiske fag Onsdag 8. august 2018 Dagen i dag Tema 4 Polynomer: Faktorisering, røtter, polynomdivisjon, kvadratiske ligninger og rasjonale

Detaljer

NTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29

NTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29 MA0003 Ole Jacob Broch Norwegian University of Science and Technology MA0003 p.1/29 Oversikt, torsdag 13/1 Avsnitt 1.3: intervaller og intervallnotasjon definisjons- og verdimengden til en funksjon Avsnitt

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 27. januar 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 27. januar 2017 Løsningsforslag Eksamen S, høsten 016 Laget av Tommy Odland Dato: 7. januar 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 3 5x, og vi kommer til å få bruk for reglene (ax n ) = anx

Detaljer

Prøveeksamen i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag

Prøveeksamen i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT, H- Løsningsforslag. Integralet cos x dx er lik: +sin x Riktig svar: c) arctan(sin x) + C. Begrunnelse: Sett u = sin x, da er du = cos x dx og vi får: cos x + sin x dx = du du = arctan

Detaljer

Forberedelseskurs i matematikk

Forberedelseskurs i matematikk Forberedelseskurs i matematikk Formålet med kurset er å friske opp matematikkunnskapene før et år med realfag. Temaene for kurset er grunnleggende algebra med regneregler, regnerekkefølgen, brøk, ligninger

Detaljer

S2 eksamen våren 2018 løsningsforslag

S2 eksamen våren 2018 løsningsforslag S eksamen våren 08 løsningsforslag DEL Uten hjelpemidler Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (5 poeng) Deriver funksjonene f x =

Detaljer

Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 23. mai 2014

Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 23. mai 2014 Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 23. mai 2014 ORDINÆR EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 1 15 studiepoeng Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 7 sider (inkludert

Detaljer

ECON2200: Oppgaver til for plenumsregninger

ECON2200: Oppgaver til for plenumsregninger University of Oslo / Department of Economics / Nils Framstad 9. mars 2011 ECON2200: Oppgaver til for plenumsregninger Revisjoner 9. mars 2011: Nye oppgavesett til 15. og 22. mars. Har benyttet sjansen

Detaljer

Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2,

Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, 201. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling TØL Repetisjonsoppgaver MATEMATIKK 1 REA1141 og REA1141F Derivasjon 2, 201. Oppgave 1 Denne oppgaven har forholdsvis enkle derivasjoner,

Detaljer

Deriver funksjonene. Gjør greie for hvilke derivasjonsregler du bruker.

Deriver funksjonene. Gjør greie for hvilke derivasjonsregler du bruker. Heldagsprøve i matematikk, 1. desember 006 Forkurs for Ingeniørutdanningen ved HiO, 006/07 Antall oppgaver: Antall timer: 5 timer fra klokken 0900 til klokken 100. Hjelpemidler: Kalkulator og Formelsamling

Detaljer

KAPITTEL 1 - ALGEBRA. 1. Regnerekkefølger og regneregler. Legg først merke til at: Legg spesielt merke til at :

KAPITTEL 1 - ALGEBRA. 1. Regnerekkefølger og regneregler. Legg først merke til at: Legg spesielt merke til at : KAPITTEL - ALGEBRA. Regnerekkefølger og regneregler Legg først merke til at: 2( ) = 2 ( ) = 6, ab = a b = b a = ba og a a = a 2 Legg spesielt merke til at : a 2 = a a, ( a) 2 = ( a) ( a) = a 2 og ( a)

Detaljer

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013 Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 26./28. november 2013 Forelesningene 26./28. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis

Detaljer

Høyskolen i Buskerud. fx ( ) x x 2 = x 1. c) Løs ulikheten ( x 3) ( x + 1)

Høyskolen i Buskerud. fx ( ) x x 2 = x 1. c) Løs ulikheten ( x 3) ( x + 1) Høyskolen i Buskerud Eksamen i matematikk. års grunnutdanning Mandag den. desember 00 OPPGVE. Deriver funksjonene a) f ( ) 5 + -- f ( ) 5 + -- 5 + -- b) f ( ) f ( ) ---------- ----------------------------------------

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2015 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2015 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017 Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 215 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 217 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere funksjonen f(x) = x 3 + 2x. Formelen vi må bruke er (x n ) =

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 009 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved g(x)

Detaljer

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom

Detaljer

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 6: Derivasjon Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 22. august, 2012 Stigningstallet i et punkt Stigningstallet i et punkt Vi vender nå tilbake til problemet med å finne

Detaljer

Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh

Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009 Hossein Rostamzadeh 5. mai 2009 2 Kapittel 1 Algebra 1.1 Brøkregler 1.1.1 Addisjon av brøker a b + c d =

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 26. november 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 26. november 2017 Løsningsforslag Eksamen S, høsten 017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 6. november 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 4x 3. Vi bruker regelen samt regelen (x n ) = nx

Detaljer

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015 Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 16./17. november 2015 Forelesningene 17./18. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 noen tips for

Detaljer

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2 Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

Oppfriskningskurs i Matematikk

Oppfriskningskurs i Matematikk Oppfriskningskurs i Matematikk Dag 3 Stine M. Berge 07.08.19 Stine M. Berge (NTNU) Oppfriskningskurs i Matematikk 07.08.19 1 / 19 Polynomer Polynomer er de enkleste funksjonene Definert og kontinuerlig

Detaljer

Eksamen R2, Høst 2012, løsning

Eksamen R2, Høst 2012, løsning Eksamen R, Høst 0, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave ( poeng) Deriver funksjonene a) cos f e Vi bruker produktregelen

Detaljer

Løsningsforslag: Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I

Løsningsforslag: Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 8. desember 006. Bokmål Løsningsforslag: Eksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag desember 8, 006, kl. 09-4. Oppgave Gitt funksjonen f(x) = ln(

Detaljer

Eivind Eriksen. Matematikk for økonomi og finans

Eivind Eriksen. Matematikk for økonomi og finans Eivind Eriksen Matematikk for økonomi og finans # CAPPELEN DAMM AS 2016 ISBN 978-82-02-47417-1 1. utgave, 1. opplag 2016 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten

Detaljer

Oppgave 1. e rt = 120e. = 240 e

Oppgave 1. e rt = 120e. = 240 e Løsning MET 803 Matematikk Dato 5. desember 05 kl 0900-00 Oppgave. (a) Dersom vi selger eiendommen etter t år, med t > 0, så er nåverdien av salgssummen med r = 0,0. Da får vi N(t) = V (t)e rt = 0 e e

Detaljer

Løsningsforslag. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver teller like mye.

Løsningsforslag. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver teller like mye. Eksamen i FO929A - Matematikk Dato: 2013 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver teller

Detaljer

1 Mandag 15. februar 2010

1 Mandag 15. februar 2010 1 Mandag 15. februar 2010 Vi begynner med et eksempel på bruk av partiell derivasjon for å gjøre såkalt lineær regresjon, eller minste kvadraters metode. Dette er en anvendelse av teorien vi har gjennomgått

Detaljer

Eksamen i MAT1100 H14: Løsningsforslag

Eksamen i MAT1100 H14: Løsningsforslag Eksamen i MAT H4: Løsningsforslag Oppgave. ( poeng) Dersom f(x, y) x sin(xy ), er f y lik: A) sin(xy ) + xy cos(xy ) B) x cos(xy ) C) x y cos(xy ) D) sin(xy ) + x y cos(xy ) E) cos(xy ) Riktig svar: C):

Detaljer

EKSAMEN. V3: Tall og algebra, funksjoner 2 ( trinn)

EKSAMEN. V3: Tall og algebra, funksjoner 2 ( trinn) EKSAMEN Emnekode: LSV3MAT Emne: V3: Tall og algebra, funksjoner (5.-0. trinn) Dato: 3. desember 08 Eksamenstid: kl. 09.00 til kl. 5.00 Hjelpemidler: Kalkulator uten grafisk vindu Vedlagt formelark Faglærere:

Detaljer

Enkel matematikk for økonomer. Del 1 nødvendig bakgrunn. Parenteser og brøker

Enkel matematikk for økonomer. Del 1 nødvendig bakgrunn. Parenteser og brøker Vedlegg Enkel matematikk for økonomer I dette vedlegget går vi gjennom noen grunnleggende regneregler som brukes i boka. Del går gjennom de helt nødvendige matematikk-kunnskapene. Dette må du jobbe med

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

Oppsummering MA1101. Kristian Seip. 23. november 2017

Oppsummering MA1101. Kristian Seip. 23. november 2017 Oppsummering MA1101 Kristian Seip 23. november 2017 Forelesningen 23. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i MA1101 noen tips for eksamensperioden

Detaljer

Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT1100, H-14 DEL 1

Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT1100, H-14 DEL 1 Løsningsforslag til prøveeksamen i MT, H- DEL. ( poeng Hva er den partiellderiverte f y sin(xy cos(xy y sin(xy x sin(xy cos(xy xy sin(xy cos(xy y sin(xy + xy sin(xy når f(x, y = y cos(xy? Riktig svar:

Detaljer

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 17./18. november 2014

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 17./18. november 2014 Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 17./18. november 2014 Forelesningene 17./18. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis

Detaljer

Løsningsforslag MAT102 Vår 2018

Løsningsforslag MAT102 Vår 2018 Løsningsforslag MAT102 Vår 2018 Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT102 Tirsdag 12 juni 2018, kl 0900-1400 Oppgavesettet har fem oppgaver Hver deloppgave

Detaljer

MET Matematikk for siviløkonomer

MET Matematikk for siviløkonomer SENSORVEILEDNING - Skriftlig eksamen MET 11803 Matematikk for siviløkonomer Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 18.1.017 Kl. 14:00 Innlevering: 18.1.017 Kl. 19:00 For mer informasjon om formalia,

Detaljer

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 2007 Tidspunkt Antall oppgaver 4 Sirkelskive i radianer.

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 2007 Tidspunkt Antall oppgaver 4 Sirkelskive i radianer. Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 007 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 4 Vedlegg Tillatte hjelpemidler Sirkelskive i radianer Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave

Detaljer

Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 25. august 2010 2 Dagens pensum I dag vil vi se på følgende: Kontinuerlige funksjoner Den deriverte

Detaljer

Oppgave Oppdatert svar Dato

Oppgave Oppdatert svar Dato Endringer fra versjon /86: Oppgave Oppdatert svar Dato.9a /06 8.6b [, ] /06 6.j + 6 /06 Ad y ( + y) /96 A4b /96 A9b + /96 A9c 4 /96 A9d + + + 6 /96 A9f 4 + + 4 + + /96 Kapittel Fasit betyr at det ikke

Detaljer

Krasjkurs MAT101 og MAT111

Krasjkurs MAT101 og MAT111 Krasjkurs MAT101 og MAT111 Forord Disse notatene ble skrevet under et åtte timer (to firetimers forelesninger) i løpet av 10. og 11. desember 2012. Det er mulig at noen av utregningene ikke stemmer, enten

Detaljer

Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh

Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009 Hossein Rostamzadeh 6. mai 2009 2 Kapittel 1 Algebra 1.1 Brøkregler 1.1.1 Addisjon av brøker a b + c d =

Detaljer

Løsningsforslag for MAT-0001, desember 2009, UiT

Løsningsforslag for MAT-0001, desember 2009, UiT Løsningsforslag for MAT-1, desember 29, UiT av Kristian Hindberg Oppgave 1 a) Bestem grenseverdien e x 1 x lim x x 2 e x 1 x lim x x 2 = lim x e x 1 2x e = x lim x 2 = 1 2 b) Finn det ubestemte integralet

Detaljer

MAT jan jan jan MAT Våren 2010

MAT jan jan jan MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Mandag 18. januar 2010 Forelesning I denne første forelesningen skal vi friske opp litt rundt funksjoner i en variabel, se på hvordan de vokser/avtar, studere kritiske punkter og beskrive

Detaljer

Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 25. mai 2012

Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 25. mai 2012 Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 25. mai 2012 EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 1 15 studiepoeng Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 8 sider (inkludert formelsamling).

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk Dag 1

Oppfriskningskurs i matematikk Dag 1 Oppfriskningskurs i matematikk Dag 1 Petter Nyland Institutt for matematiske fag Mandag 6. august 2018 Om meg Bachelor- og mastergrad i matematiske fag (2014, 2016) Doktorgradsstipendiat i matematikk (2016

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100 H07

Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100 H07 Løsningsforslag til eksamen i MAT H7 DEL. (3 poeng Hva er den partiellderiverte f y når f(x, y, z = xeyz? xze yz e yz xe yz e yz + xze yz e yz + xze yz + xye yz Riktig svar: a xze yz Begrunnelse: Deriver

Detaljer

MAT feb feb feb MAT Våren 2010

MAT feb feb feb MAT Våren 2010 Våren 2010 Mandag 15. februar 2010 Forelesning Vi begynner med et eksempel på bruk av partiell derivasjon for å gjøre såkalt lineær regresjon, eller minste kvadraters metode. Dette er en anvendelse av

Detaljer