Oppgave Oppdatert svar Dato
|
|
- Alfhild Fosse
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Endringer fra versjon /86: Oppgave Oppdatert svar Dato.9a /06 8.6b [, ] /06 6.j + 6 /06 Ad y ( + y) /96 A4b /96 A9b + /96 A9c 4 /96 A9d /96 A9f /96
2
3 Kapittel Fasit betyr at det ikke egner seg å lage kortsvarfasit for oppgaven. Gi beskjed til dersom du oppdager feil eller uklarheter i fasiten. (Versjon /9-06). Fasit til kapittel Delkapittel.. a) e) f) g) h) 0. a) e) f) 4 g) 0 h). a) a) 0 6 e) f) 4. a og i, b og d, c og h, e og g, f og j Delkapittel.. a) 6 8. a) 4 8 e) 8 f). a) 0 7 e) 8 f) g) 4 h) i) j) 8 k) l) 6 4. Regneregelen for divisjon av brøk a) 0 0 Delkapittel % a) a).8 millioner.4 millioner 6. Inneholder 40 kg vann og 0 kg tørrsto, totalt 0 kg % dyrere, 8. % billigere 8. a) NOK.74 USD 9. NOK SEK Delkapittel.4. a) 8y 4y 8 e) 6 4 f) 0.9 g) h) 00. a) a + b a b b a ab. Dersom 4 : 0 = må 0 = 4, som er umulig. 4. a) y + 0y e) + y y 8y f) 7 y g) 7 y h) 0 6 i) + 8 j) y k) + y l) + 7y 7 m) + y + y + + y n) +y y y. a) 0 4 e) a b f) 9 g) 8 h) 0 y 6. a) e) f) 4 g) h) y + 4y 6 i) 4y j) k) 4 64 l) a) + h + h + h 8. a) (y ) ( ) (4 + 8)(4 8) = 6( + )( ) ( + )( ) e) y ( + y)( y) f) y ( y) g) ( + )( ) h) ( + 4)( 4) i) ( + )( ) j) y ( + )( ) 9. a)
4 4 Fasit ab e) f) 0. a, f og o. c og i. d og j. e og n. g og m. Dersom 0 er h og p.. a) e) Begge blir f) ( )( + ) Delkapittel.. a) 4 7 e) 4 f) 4 g) 6 h) 0.. a) e) f) 6. a) e) 0 f) 8 4. a) z Ingen løsning. a) 0 4, 6, a) a) -, 0 -, 7 0, 0, 4 e) 0, ± f) 0, ± 9. a) -, -0 0, 4 ±6 Ingen reell løsning e), -4 f) 4, 7 g) -4, h), 0. a) Ingen reell løsning Ingen reell løsning. a) -4, 7 4, - Ingen reell løsning e) Ingen reell løsning f) g) Ingen reell løsning h) ± 8 i) ± 6 j) 0, 0 7 k) 0, -4 l) 0, 0.7. a) ( 4)( + ) ( 8.4)( +.4) ( + ) ( 4)( 7) e) ( + 4) ( + ) f) ( ) ( ). a) ( )( + ) ( 4)( ) ( 4)( + ) ( + 7) e) Kan ikke faktoriseres f) (4 )( ) 4. a),, 7 ±, ± 0,. a), -, produkt: -0, sum: Regn ut ( )( ) og 6. 4 og eller -4 og - 7. a) Delkapittel.6. a) %. a) , 09, 49 dette er nybilprisen. 4. a) e). f). g) 0. h) 0.0. a) Øke.7 % Redusere.6 % Redusere 7 % Øke 8 % e) Øke 07 % f) Øke 0. % g) Redusere 0.0 % h) Øke 80. % 6. a) Ca % 7. a) Ned % Ned 4 % Ned a 00 % 8. Øke ( a + b + ab ) 00 % 9. a).6, K t = t 60.7, K t = t Ca.06 % Ca.47 % , 7.9, 4. %. 40.7, (i) (ii) (iii) B 4. a) a) a) (i) 7.9 (ii).0, om år og om år % 8. a) ± ±.6.90 ± 6 0 ±.76 e) Ingen reell løsning f) ± 0 0 ± % %. a) A B Ca 4.9 % millioner. Hun har nok. 4. A. a), 0, 8 Begge kombinasjonene koster 00 Maksimal nytte når vi forbruker av A og 8 av B 6.., 47., 6, 8., + 0y = a) Ca 9. % Ca 7.9 % 8. a) e) f) og a) y 4 4y y. a) Bruk reglene for likningsløsing og potensreglene y =.. Ca. %, ca.4 %, %. a) Ned ca. % Opp ca % 4. a) Dobles Øker, men mindre enn dobling Dobles Øker med faktoren
5 .. Fasit til kapittel. Fasit til kapittel Delkapittel.. 0,, 0,, 6.,,,, 7. a) 7, 8, a +, a +, a + b +, 0, a +, a 4 +, a + ab + b + 4. D f =,, V f = [0,. D f = R\0, V f = 0, 6. D f =,,, 7. a) 49, 9 f() = , rekkefølgen har betydning, g(h()) = + 8. a) 4, 9,,, a + a e) (i) f(l, = lb (ii) f() = s (iii) f(l, b, h) = lbh (iv) f(l, = l + b (v) f(s) = 4s (vi) f(l, b, h) = lb + lh + bh Delkapittel.. -. a) y =. + y = = y =. +.7 e) y = f) y = g) y = 0... a) a) 7 + 0y = A B, B A 6. a) = p + 0 D = 0,, V = 0, 0 7. a) y = ±0.9 F 8. a) 0 000, , 000, S(i) = 0.i , S(i) = ( a)i b 9. a) 80, 0, C a < 0 0. a) 4 og 6, og 0 7 over og 0 % over. a) < < 0.6 >. a) I() = 0 K() = > 60. a) K() = D K = [0, ] 4. a) Lin.,,, -. Lin., 0.,, - Ikke lin. Lin., 7,, 7 e) Lin., 0.,, - f) Lin., 6, 9, -. g) Lin., 0., 0., - h) Lin., 0., 0.7, 6 i) Lin.,, 4, 6 j) Ikke lin. k) Lin, 0, 0., - l) b og e. a) (p) = 0.p = 0p a) y = 0. + y = y =.. y = e) y = f) y = + g) y = h) y = 8. a) y = + y = 4 + y = y = 6 e) y = + 4 f) y = g) y = + h) y = 9. a) y = 4, = y = 6, = y = 0, = 8 y =, = a) D (p) = p Delkapittel.. -, og -, bunnp., (0.,.). a) -, og -, -., -. 0, 0og -, -., , a) -4, og 4,., ,70, ,.6. De to parallelle sidene må være m og 6 m 6. a) P () = , a), 9, 9, v +, v +, - 4, -8, -8, v + 4, v + 4, - - a + b + c, - e) - 9. a).9, P () = , , 0,. a) 4 og 0, og a) 40, 40 v() = K() = K() = a) v() = K() = D K = [0, 0] 6. K() = a) (i) 0 (ii).8, 6. y = 0. + K () = + 00, I() = 0, 0 60, 800, v() = 0. +, K () = e).8 og 6., P () = , 7, 6. Delkapittel.4. a), 8, 8 a 4 a, a 4 a. a),, a a, a + a = (a a). a) Sym. om yaksen Ingen av delene Sym. om origo Sym. om yaksen e) Ingen av delene f) Sym. om origo g) Sym. om yaksen 4. f() = 0. a) Begge har topp- og bunnpunkt Nei, har ikke toppog bunnpunkt, bare et att punkt e) Nei, går oppover møt høyre hele tida f) Maksimalt antall nullpunkter er, maksimalt antall topp og bunnpunkter er 6. a) Flytter grafen v enheter opp Flytter grafen h enheter mot høyre Speiler grafen om aksen Speiler grafen om yaksen e) y = f) y = g) y = 7. a).., dette er kostnaden ved å øke fra til 6. Rasjonaliseringsgevinst og overproporsjonale kostnader 8. a) 0, 70, 70 K() = h()
6 6 Fasit Delkapittel.. a) % e) 7. %. a) , verdien år før kjøp..44 % e) Ca 6 år.. a) Ca. år Ca. år 4. a) Litt for stor, litt for liten. i. 40 ii. 70 iii. 4 iv. 7 v.. vi..4 Best resultat når p er liten. a) y = 4 9 y = 4 y = 7 4 y = ( ) 6. a) y = 7 0 y = 7. a) Delkapittel.6. a) k b a 7a a 7 a +. a) = k b = ± k. a) b = ± = ±4 c < a) Avtar Øker. a) 0 < p < 0 0, 00 Ikke negativ pris og ikke negativ etterspørsel. I(p) = αp + βp, p = β α e) I(p ) = β 4α 6. a) p = β+δ α+γ βγ αδ α+γ Delkapittel.7. a) y = 4., og.9,.79. a), 6,, 4. a) + y = 49 ( + ) + (y ) = 9 ( + ) + y + ) = a) origo, origo, (, 4), 9 (, ), a), (i) Inni (ii) På (iii) Utenfor Enerett, ikke enerett. ( ) +(y 7) 0 7. a) ( ) +(y ) = 6, ±, ingen løsning (, 4), 4 8. a). 7.7 Delkapittel.8. a) Nei Ja. a) (, 7) (, ) (0, ) (, ) e) (, ) f) (, ) g) (, ) h) (, 0) i) ( 0, ) j) Ingen løsning. a), 7.00, 0.40, 4,, 8 e) 0, 4 f) -, 7 4. a) (0, ) (, ) (, ) (, 0). a) Parallelle linjer, ingen løsning Identiske linjer, uendelig mange løsninger (t, t) 6. Ja 7. a) Ja Nei Ja (t, 9.t, t) 8. a) (,, ) (4, 7, ) (,, ) (, 7 4, ) 4 9. a) y = y = + 7 y = y = + + e) y = 0. K() = K() = v() = 0.0 +, en overødig opplysning. Delkapittel.9. ( + 8 )( ). ( + ++9)( ). ( 0 + 0)( + ) ( ) 4. + ( + +. a) ±, ± ) ( ) ( + )( ) 6. a) ±, ±, ±, ± ( )( )(+) 7. a) ±, ± ( )( )( + ) 8. a) ±, ±, ±, ±6 ( + )( )( ) 9. a) Delkapittel.0. a) (0, ±), (.,.), (.,.) (, ) (±, 0), (, ), (, ) (, ), (, ) e) (, 8), (, ) f) Ingen løsning g) (±, ), (0, 4) ) h) (t, a) (, ), (, ) (±, ), (0, ) (, ), (4, ) Ingen løsning e) (±, ±) f) (0, ±), (±., 0)., 8 Delkapittel.... a), a) , a) 6 + 4y 08, + y 4,, y 0. = 0,,,..., 6 og y = 4 Produser 4 slalåmski 6. a) Hverkan maks eller min Maksimum eksisterer ikke minimum er 0.
7 .. Fasit til kapittel 7. Fasit til kapittel Delkapittel a) 0 4 e) f) 6. a) a) 6 0 e) 4 f) 0 8. ± 9. a) 8 ±. e) 0 f) 0.6 g) 0 h) 0. a) ± ±. a) ,.0986, a) 0 ± a) , 8, ja den er kontinuerlig 7. 6, 6, nei ikke kontinuerlig for = 8. Eksisterer ikke, nei ikke kontinuerlig for = 9. a) 00 for 0 < p 0 og 0 for 0 < p Eksisterer ikke e) 00 f) Ikke kontinuerlig i = 0 0. a) 0 00 eksisterer ikke e) Ikke kontinuerlig for = a) e) 00 f) Kontinuerlig. a) 60. A: 000, B: 90, C: 000 A: for 0 000, for > 000. B: for 0 000, for > 000. C: for 0 000, for > for 0 8, for > Mellom 4 % og 4. %. a) Minst ett nullpunkt i (0, ) Minst ett nullpunkt i (,.) Minst ett ullpunkt i intervallet (0., 0.6) Delkapittel.. a) (A) < 0, < 0, = 0, > 0, > 0. (B) > 0, > 0, > 0, < 0, < 0. (C) = 0, < 0, > 0. (D) > 0, < 0, > 0, < 0, > 0. (A) 4,, 0,, 4. (B),,,,. (C) 0,, 4. (D) 0, 8,,., 0.. a) f (), f (4) 4, f (9) 6 f () =, f (4) = 4, f (9) = 6. v (t) < 0 4. a) f () = f () =. f () = f () =. e) f () = 6 f) f () = , 7. a) +, f () = Cirka og Eksakt 0. og Cirka 0. og 6 = Eksakt og a) Ikke deriverbar i = 0.. f( + ) f() f () Delkapittel.. a) f () = f () = 4 f () = 0 f () = + e) f () = 6 f) f () = 4 g) f () = 6 8 h) f () =. a) f () = f () = f () = 9 4 f () = +6+ e) f () = 7 f) f () = 4 + g) f () = 6 4 h) f () =. K () = K (0) = 0 tolkes som tilnærmet kostnadsøkning ved å øke fra 0 til produserte enheter. Å øke produksjonen fra 00 til 0 enheter koster omlag K (00) =. 4. I () = I (00) = 80, tolkes som inntektsøkinga ved å øke salget fra 00 til 0 enheter. I (00) = 60, tolkes som inntektsøkinga ved å øke salget fra 00 til 0 enheter.. a) f () = f () = f () = f () = a) g () = h () = ++ u () = 4 4 v () = + 7. a) a) y = y = + 7 y = 9 + y = 4 + e) y = a) t + 0. e) f) Delkapittel.4. a) f () = 4 f () = 8 7 f () = 8 f () = e) f () = 6 6 f) f () = g) f () = h) f () = +. a) f () = + 6 f () = f () = 6 4 f () = π π e) f () = + f) f () = ( ) + 6. a) f () = 0( + ) 4 f () = ( +) f () = 4( + 4)( + ) f () = e) f () = f) f () = 4 ( ) g) f () = ( + ) + 8
8 8 Fasit h) f () = i) f () = ( + ) j) f () = a) f () = ln() + f () = e +7.. f () = ln(.0).0 f () = ln(4) 4 e) f () = e + ln(.). f) f () = ln(.). 7e. a) f () = e f () = ( + )e + f () = e + f () = e + Delkapittel.. A: Avtar i, 0] og vokser i [0, B: Vokser i, 0.] og avtar i [0., C: Vokser i, ] og i [0.,. Avtar i [, 0.]. D: vokser i,.6], i [ 0., 0.7] og i [,,. Avtar i t [.6, 0.] og i [0.7,.]. a) Avtar i, 0] og vokser i [0, Vokser i, 0] og avtar i [0, Avtar i, ] 4 og [ vokser i 4, Vokser i, ] 8 og avtar i [ 8, e) Vokser i, 0.74] og avtar i [ 0.74, f) Avtar i, ] og vokser i [,. a) Vokser Avtar Vokser Vokser 4. Vokser [ i, ] og i,. Avtar i ],.. a) Vokser Avtar i, ] og øker i [, 6. a) Vokser i, 4] og i [,. Avtar i [ 4, ]. Vokser i, ] og i [,. Avtar i [, ]. Vokser i, ] og i [,. Avtar i [, ]. Vokser i, ] og i [,. Avtar i [, ]. e) Vokser f) Avtar Avtar i, ] og vokser i [, 0.. a) D V = [0, 8] Vokser i [0, 6] og avtar i [6, 8]. Dimensjon 4 cm 4 cm 6 cm og maksimalt volum 46 cm cm. a) V () = 0 4 = cm Radius 6. cm og lengde 8. cm 4. Bredde 4.4 cm, lengde 48.8 cm og dybde 6.8 cm Delkapittel.6. a) L() = 78( 0) + 0 = ,.6,.07. a) 9.0, ,.8 00., L() = ( 8) +,.08,.,.88. a) L() = 44.6( 6) % 6. a) L() =.6( 80) L() = 6.( 80) a)
9 .4. Fasit til kapittel Fasit til kapittel 4 Delkapittel 4. y = 40 e 0. Delkapittel 4.4 Delkapittel 4.6. a) e) f) 0. a). 4 0 e) f). a) e) f) 4.. a) e) 6.49 f) 0. g).48 h). 6. a) e) f).6 g).8 h) ca.4 år, ca 9 år 8. ca.4 år, ca 4.60 år log(9) = e ln(9). a) y = y = y = y = e) y = f) y = a) y = e 0.69 y = e y = 0 e.07 e) y = e f) y = 4 e a) log(a). log( a b ) log( b a ) log( a b ) 6. a) 4,, , , a) y = y = 8 0. y =. y = ( 4 ) e) y = 0. Delkapittel 4.. a) 6.6 % 6.68 % 6.8 % 6.84 %. a) e) %,. % a) A , Omvendte funksjoner. a) Omvendte Omvendte Omvendte Ikke omvendte e) Omvendte f) Omvendte g) Omvendte. a) f () = f () = f() f () = + f () = ( y) e) f () = ± +4 f) f () = g) f () = f() 4.. ln(0)y f () = y 8. f () = + + 4, (f )() = y Delkapittel 4.. a) f () = e 7 f () = f () = ln() f () = ln() + e) f () = ln() + + f) f () = 7(ln())6 g) f () = ln() h) f () = e i) f () = e j) f () =. a) y = + y = 4 y =. a) f () = f () = 4. a) y =. a) y = k (log()) = ln(0) (log a ()) = ln(a). a) Cirka 6. a) c = 9 00 Cirka. y = e 0.08t 4. y = 00 +e 0.t. a) y(t) = e 0.004t y(t) = 00 +4e 0.076t Cirka Cirka 6. y = 4 0e 0.0t, cirka 8.4 grader og cirka 76 minutter 7. a) y(t) = e 0.097t 4, romtemperaturen Cirka 6.4 minutter 8. a) y(0) 8.96 Cirka 60 0., 6, a) a) y = +9.6e 0.04t 8.4. a) y(t) = e 0.686t 8 4 uker. a) y(t) = e.0t Cirka 8. dager. t = ln( k
10 0 Fasit. Fasit til kapittel Delkapittel.. a) f () = ( + ) e f () = ln() + f () = e + e f () = (+) ln()++ e) f () = ( ln() + ) f) f () = e ( ) + g) f () = ( ) ln() + h) f () = e ( ln( + 4) + i) f () = e + + ( + )e + + (+)e + j) f () = ( ) 4 ( ) 4 ( 0 9). a) f () = ( ) f () = (+) f () = ( +) f () = ( ) e) f () = f) f () = 7 ( ). a) f () = e e f () = ln() f () = + ln() ( +) f () = ln() ln () e) f () = ( ) 4 ( 0+9) ( ) 4 f) f () = e ( ++) (+) 4. a). a) ± Avtar i,.4] og i [.4,. Vokser i [.4,.4]. 6. a) f () = ( + ) e Avtar i, ] og vokser i [, y = e(4 ) 7. a) D g = 0, a = e +4 Delkapittel.. a) A() = = 0, y = 00. =, y =. =, y = 4. a).,, 0 millioner 66.7 %, å fjerne kriminaliteten helt blir veldig dyrt. a) a, avlingsmengde uten gjødsling ) a + b, maksimal avlingsmengde a+(a+, ligger midt mellom avling uten gjødsel og maksimal avling 6. a) A() = = 0, y = Avtar i 0, 00], vokser i [00, 00 e) 7. a) A() = = 0, y = Avtakende i 0, 000] og voksende i [000, = 000 e) Delkapittel.. a) L f() = 0 for =, f() < 0 for, og f() > 0 for < eller > f () = (+). Voksende for alle der f er denert =, y = e). a) Nevner 0 y = Avtar for 0 og vokser for 0. a) =, y = Vokser i,.4] og i [.4,. Avtar i [.4, 0 og i 0,.4] 4. a) y = 0, = 0 og = 4 f() > 0 når 0, 4. f() < 0 når < 0 eller > 4 f () = 8 6 (4 ). Avtar i, 0 og i 0, ]. Vokser i [, 4 og i 4,. a) =, y = f() < 0 for,,. f() > 0 for,, f () = + 4 (+). Vokser i og i, Delkapittel.4. a) a) 0.,,,., , 0.4, 0.,, e) 0., 0., ,.8 % 4. a) k 6. E()(p) = p p 0, 0. %, %, % 7. a) a) 0.4 e) 0.8 f) (p) = Ae kp gir inntektsoptimum for p = k 9. a) [0, 88].6 p < a) [0, ], p p, uelastisk for 0 p., nøytralelastisk for p =. og elastisk for. < p <, I(.) = p [0, 4], p 4, uelastisk for 0 p <, nøytralelastisk for p = og elastisk for < p 4, I() == 000 p 0,, alltid nøytralelastisk, I(p) = 00 p [0, 60], p 60, uelastisk for p [0, 0], nøytralelastisk for p = 0 og elastisk for 0 < p < 60, I(0) = 000. a) + Delkapittel.. a) E = {,,, }, globalt maks = og =, globalt min = og = E = {0, },globalt min =, ikke globalt min E = {, }, globalt maks =, globalt min = E = {0,, }, = er globalt min, = 0 er globalt maks e) E = {, }, = globalt maks, = globalt min. = globalt min, = + globalt maks. E = {.,, 0,,.} 4. a) A() = , A(0) = 7 = 00, A(00) = 0 Finn minimum til A() når > 0 I() = 0., P () = e) = 7, 60 f), = 70 g), 7. a), 0, 9,,, = 0 er ikke ekstramalpunkt e)
11 .. Fasit til kapittel f) =, = 6. a) (0, ), (, 0), (, 0), =, y = 9 Globalt maks = 0, globalt min = ( 0 ).77 Delkapittel.6. a) () = + 8 d y d = d f d = 6 4 () = ( + )e d e) d f = ( ) ( +) f) y = + = +. a) = 0, y = + =, y = + = 0, y = =,y = + 4 e) Ingen vendepunkt f) = e., e. + 0.e. () = < 0 4. () = ln (a) a > 0. a) =, = =, y = + 6 Vokser i, og i,. () = 8 (+) skifter fortegn for = der er ikke funksjonen denert. Ingen vendepunkt vendepunkt e) f) Går ut 6. a) y =, y = 6 +, y = 0 +ln(0), y = 9, Delkapittel.7. a) y = y y y = 4 y y = y y = e y y e y e) y = y y f) y = y = y. a) (0, 0), (, ) y = ( ), y = y. a) y = Delkapittel.8. a) [ 9 4, ] [0, 4 ln()] [, e ] [, ]. a) f() < 0 for, f() < 0 for, 0, f() < 0 for,,, f() = 0 for =, ellers positiv e) f() < 0 for, f) f() < 0 for,. a) = er mimimumspunkt = er lokalt maksimumspunkt. = er lokalt minimumspunkt = 0 er minimumspunkt = 0 er trappepunkt e) = er et minimumspunkt f) 4. a). a) ± 9 4, Delkapittel.9. a) 0 0. a) e). a) 4. a). 6. a) e e e Delkapittel.0. a) f (t) = 0.9t.88t+9.6, t = 0 er lokalt min, t = er lokalt maks. Maksimumsverdi 46, minimumsverdi 0 A () = , 6 (i) g () =.8(0. + ) , g () =.08(0. + ) ( 4 +) (ii) 0 = a. a) E = 0.6p, E = 0.8, p > 6.0. %, ca 7 år, % f (t) = 00e 0.t (+800e 0.t ), (t) = 960 e 0.t ( 800e 0.t ) (+800e 0.t ), t = ln(/800) 0... a) f () = g () = + h () = 0 (4 4 ) 4 i () = e 4. a) = 0 a = b =, c = 0.8. a),.0, 0.7,, 4.79, 6.6, = g () = +, ingen ekstremalpunkt 6. a) 64, 9, 0,, 0, 9. = 0, =. f () = 4 + 8, vokser i [0, ] og i [,, avtar i, 0] og i [, ] Konveks i, 0.4] og i [, 8,. Konkav i [0.4,.8]. Vendepunkt ± 7. a) = 0, y = + 4, 6. S() = , < < a) (i) f () = 6 e (ii) g () = ln( ) + = 0 y () = 9. a) 0., E = p p 900, E =.6, p = a) 40, f (t) = (t+), f (t) < 0, pruting gir laver pris
12 Fasit.6 Fasit til kapittel 6 Delkapittel 6.. a), 4, 9, 6,,, 4, 8, 8,,, 7, 9. a) b + +b + b 4 + b a +a +4a 4+a. a) sum 4 n= an n= (n + )an 6 n= n 7 n= n 4. a og e, d og e. a) n= an+ 6 n= n 6. a) Like Ikke like nk= 7. = k n = n n k= k Delkapittel 6.. a) 0 00 n(n+) 0 n(n+) e) f) 70. a) 8 n= (n ) 9 n= ( n) 9 n= (4n 9). d =, a = , 4, a = b n og b = a n. a) 0, 60, 70, t n = 0n + 0 0, 70, n + n 6 6. a) 870, 940, 00, p n = 70n a) 0, 96, 89, t n = 0 7n V t = t Verdi i antall 000 a) 0, 9, 8, 7, 06, 9, 84, 7, 6,, 40 0, 0,, 96, 8, 70, 60,, 46, 4, 40. a) k(k+) e) V t = 00t 00t Delkapittel 6.. a) e) f) 9. g) 7.94 h) 0 i) y y y 0 j) + 6 k) 76.9 l) 4.79 m).80. a). 0.8 (( )n ). V t = t, V a) a = 0 4, k =, Sum 7 = a) 0,, 4., a n = 0. n %, 9 8. a) 0, , a) Cirka Cirka.8 0 9, cirka.6 0 tonn, ca 0 tonn Delkapittel 6.4. a) a) a) a) a) S() = [ ( ) ] , 80.79, hvis renta øker så øker saldoen 87.08, a) i n = n, i 0 = a) 9.84, , , 769.9, 9. a) Delkapittel 6..., a) , a) a) 777.9, , a og en 6. på a) a) a) n terminbeløp a og et 7. på a) a) %. a) 6., 6.09 % 4. % 7 %.4 %. a) =.0, =.0, = , , a) 8.99, 0 %. a) , a) Gunstig Delkapittel 6.6. a) 8 Divergerer e) 87.4 f) 4 7 g) Diveregerer. a) < eller > 0 < eller > 0 / [, ] Konvergerer for / [, ], S = e) Konvergerer for,, S =. a) 0.6,.,.6984, 7.( 0.9 n ) a) P n = ( 0.9 n+ ) , ved resirkulering vil råvarer til plastposer gi opphav til plastposer. a) Nei, den divergerer Delkapittel 6.7. a) Dyrt. a) 7 7., a) Nei r > v 4. a) %. a) 6. a)
13 .6. Fasit til kapittel 6 Delkapittel 6.8. a) 89.84, 4. % 4., a) , 0.6 % a) (i).8 / (ii).77 / (i) (ii) (iii) a) (i) (ii). % (iii) 4 år (i) (ii) (iii) a) 0 600, 8.48, , 4 år, %, a) 6., 9 84., , 0 år, , 0., Alternativ, 4.4 %,.8 % 7. a) år a) a) 804.6, , a) , , 97.99
14 4 Fasit.7 Fasit til kapittel 7 Delkapittel 7.. a) y = + C y = + C y = 8 t8 + C y = ln t + C e) y = t + C f) y = e + C. a) C e + + C t6 t t + C 4 ln t + 8 t + C. a) C 6e t + 8 t + C 4 ln + C 4 ln + C 4. a) + C C e + C 7e + C e) + ln + C f) C g) C h) 8 + C i) + C j) + C. F () = ln(), ln() d = F () + C 6. (A) lovlig, (B) ikke lovlig. 4 + C, + C a) I() = Delkapittel 7.. a) e) 4 f) e e g) 0 ln() h) 6e 6. a) e) 6 f) 88 g) 64 h) 60 i) 4 9 j) e e. a) a) a) Cirka 7 00 Cirka a) a) 0 Delkapittel 7. a) 4 6 ln() a), ln() 4 e) 48 9 e) 6 f). Området over aksen er arealenhet større enn området under. g) 4 h) a) k Delkapittel , 9, 9.. Eksakt 0. 0, 0., 0.4. Eksakt a) A 00 = Delkapittel 7.. a) a) T.77. a) a) F (t) = te rt 0 000e0r r (0r + e 0r ). a) Delkapittel 7.6. a) ln + C + ln ( ) ln ( ) ln + + C e) ln ( ) 8 f) 4 ln + C. a) ln + C C e e + C e) f) ln ln() + C. a) e ( + ) + C ln(4) ( ln() ) + C ( + )e + C e) ( ln() ) +C f) 96 4 ln ln + C ln +ln +C 4. a) 4 ln ln + + C ln 0 ln + C. e) ln + ln + + C f) 44 ln 4 ln + + C g) ln + C h) 4 ln C Delkapittel 7.7. a) e. a) a) 0,0,0 ln(4) Delkapittel 7.8 a. a) = ±, ingen nullpunkt dersom b a < 0. = ± c. Hvis b og c har ulikt fortegn har vi ikke nullpunkt. Hvis c = 0 og b 0 har vi ikke nullpunkt. a =, b = 4., c = 8.7., 4. (i) + + C (ii) e8 4. a) K() = I() = 0, =
15 .8. Fasit til kapittel 8.8 Fasit til kapittel 8 Delkapittel 8.. 6, a) K(, y) = 0 + 0y + 40 I(, y) = y P (, y) = y 40. a) I(, y) = y Underskudd på 9 7 e) Overskudd på a) K(, y) = y I(, y) = 0 + 0y 7. a) P (, y) = 4+4y+0z P (, y, z) = 0.00z y + 0z 0 000, K(,,, 4) = a) 0 y 00 I(, y) = y y Delkapittel 8.. a) z = , = 90 z = 0.y + 40y + 900, y y 0.y y 00 = 0. a) 40, 6 80, 00 80, 00 Relativt att e) Bratt ned mot fjorden f) Ja. a) Stigning z =, en parabel e) z = + f) g) 4. a), parabler z = z = y e) 4 f) z = + g), 4. a), tredjegradskurver Stigning mot sør z = e) mot vest f) z = + g) h) (, y) = (, 9) i) 7 j) 6. a) Radius vokser eksponetielt Radius avtar eksponetielt e) z = ln(y), z = ln() f) Trakt 7. a) + y 0, z 0 + y > 0, verdimengde er R y, z 0, y > 0, verdimengde er R e) y > 0 f) y > g) y ± h) y og y > 0 Delkapittel 8.. a) f =, f y = f =, f y = y f = 6 + y, = y f y f = 4y + y4, f y = + y e) f = y, f y = y f) f = y y + y, f y = 4 + y g) f = + y, f y = y h) f = 04 y + y, f y = 4 y +. a) f = y, f y = + f = 4y, f y = + 4 f = e ln(y), f y = e y = y ( y), y = ( y) e) = y = y, y y f) = +y, y = y +y. a) Cirka 4.0 Cirka Cirka 8.80 Cirka.0 4. f = A, f y = B, konstant stigning i - og y-retninga.. a) f = y z, f y = + z, f z = y f = yz y z, f y = z 6yz, f z = y 9y z = e ln(yz), y = e y, z = e z = z y ( z), y = z, z = +y ( z) e) = y +z, y = y y +z, z = z y +z f) = +y +z, y = y +y +z, z = z +y +z 6. a) P = 80 + y, = y P y 00, 0, 7. U = αα y β > 0, U y = βα y β. Økt konsum gir økt nytte. 8. a) Cirka 000 q = y 0. z 0.4, q y = y 0.7 z 0.4, q z = y 0. z 0.6, q (8, 6, 9) 97.6, q y (8, 6, 9) 749.0, q z (8, 6, 9) = 4.6 Radioreklame 9. B v = h > 0, B h = v h < 0, 0. a) Komplementære Konkurrerende Komplementære Konkurrerende Delkapittel 8.4. a) f =, f y =, = 0, f yy = 0, y = 0 f =, f y = y, =, f yy =, y = 0 f = 6 + y, f y = y, = 6, yy = 4y, y = f = 4y + y4, f y = + y, = 4y, yy = 6y, = 4 + y y e) f = y, f y = y, = 0, f yy =, y = y f) f = y y + y, f y = 4 + y, = 6 y, yy = 0y, f y = + y g) f = + y, f y = y, = 6, yy =, f y = y h) f = 04 y + y, f y = 4 y +, = 40 y + y, yy = 4, y = 04 y +. a) f = y + y, f y = y + 6y 6, = 6y, yy = + y, y = 6 y + 6y f = yey, f y = ey y, = y e y, yy = e y + y, y = ey + ye y f = ye e y, f y = e e y, = ye, yy = ey, y = e e y f = e y, f y = 4 ye y, = 6ey, yy = 4 e y + 6 y e y, y = ye y. a) (, ) er sadelpunkt (0, 0) er lokalt minimumspunkt (, ) og (, ) er sadelpunkter
16 6 Fasit (0, 0) og (, ) er sadelpunkter e) (0, 0) er lokalt minimum, (, 0) er lokalt maksimum f) (0, 0) er lokalt maksimum. (, ), (, ), (, ) og (, ) er sadelpunkter 4. a) (0, 0) er sadelpunkt. ( 4, ) 8 og ( 4, ) 8 er lokale minimumspunkter (, ) er lokalt minimumspunkt (0, 0) er sadelpunkt. (, ) er lokalt minimumspunkt ( 4, ) er lokalt maksimum. a) 6. a) Delkapittel 8.. a) y = y y y = 4 y y = y y = e y e y y e) y = y y f) y = y. a) y = +, y = a) U =.y , U y = 7.0. y 0., én ekstra av B Slå til 4. a) f = y + 9, f y = y, = 6, f yy =, y = (, ) er sadelpunkt, (, ) er lokalt minimumspunkt y = Delkapittel 8.6. a) 4. a), Cirka. og -.. a).,., a),, 0 av A og av B gir maksimal nytte på a) Punktene (, ) og (, ), (, ) og (, ) 7. a) 8. a) I(, y) = + y y +0+0y P (, y) = + y y y 0. tonn av A og 9. tonn av B. Øke til ca 7 9. a) av A og 8 av B gir maksimum på Cirka 86, økes til ca a) f = y +, = y, f y =, f yy =, y = (, ) er sadelpunkt Minimumspunkt ( 6, ) 6. a) 0 ved A og ved B gir maksimum på 49 9 ved A og ved B e) Cirka. a) (, 4) 0 + y = 90,, y 0 (4.9,.84). a) + y =,, y 0.6 kg kae og.6 kg te 4. a), budsjett på minimum 00. a) Sirkel om (, ) med radius. 4,. Maks 4 og min 0. Maksimum 4 og minimum 0. Delkapittel 8.7. a) 9,, 0 8, 8 0, e e) 0,, 0 f) 0, 4. a) i Narvik og 97 i Sandnes. a) (4000, 000) er maksimumspunkt. Maksimumsverdi a) f = y + 9, f y = y, = 6, f yy =, y = (, ) er sadelpunkt, (, ) er lokalt minimumspunkt 7,., , Delkapittel 8.8. a) df dt = (t+)+(t+ ) t +(t+) t, df dt = (+e t (t +) )e t + 6t(t + ) e t,. a) = 6t + 0s, 6. s t s = e s = t + 6s +, 8 (e s +e t ) + s s +t + (+e). a) = c 6, y = c, λ = c 6, maksimum c m( = c, dm dc = c 6 = λ Delkapittel 8.9. a) = 4, y =, maksimal fortjeneste Sirkel med sentrum i (, ) og radius k.. y = a) (, y) = (.7,.9), z = 68.84, y = 7 + 7, 7. a) F K = 4 K 4 L, F L = K 4 L, F KK = 6 K 7 4 L, F LL = 4 K 4 L F KL = 8 K 4 L K = 0 000, L = a) = 80, y = av hver. a) h = y, h y = + y, h = y, h yy =, h y = Lokalt minimum, sadelpunkt, sadelpunkt.. Minimum er a) h = 6 y, h y = + y, h = y, h yy =, h y =, Begge er sadelpunkter, minimumsverdi 4 7. a) u = y+, u y = y +y (, 8) 8. a) f = 6 y, f y = 6y + y + 6y, = 6, yy = 6 + 6y + 6, y = 6y (0, 0), (, ), (0., ) Lokalt minimum, sadelpunkt, sadelpunkt 9. a) 000, 6 000, ved A og 00 ved B 0. a) f = 4 + y, f y = 6y + 6, = 4, f yy = 6, y = (, ) er et sadelpunkt
17 .9. Fasit til kapittel A 7.9 Fasit til kapittel A Delkapittel A.. a) e) 4 f) a) Delkapittel A.. a) 6 y 6 y a 8 b 4 e) 8 f) a 6. a) 0 e) y 8 f) 6 Delkapittel A.. a) 9 6 e) 7 f) ( 6 + 7). a) y y ( + y) Delkapittel A.4. a) e) f). a) a 6 y e) y 4 f) 0a g) a h) + i) a b y 6 j) a Delkapittel A.. a) {,,,, 7, 9} {} {, 9} {,, 7}. ahi, bg, cj. Delkapittel A.6. a) ( ) ( + ) ( + ) + ) ( y) = 4( y) e) ( ) f) ( + y) g) (a h) 4a + i) y) j) ( + 4y ) Delkapittel A.7. a) e) + 4 f) +4 g) + h) Stemmer. a) 7,, 9,, e), f), g),. a) ( )( + ) ( 7)( ) ( )( + ) ( + )( + ) e) ( )( + ) f) ( )( + 4) g) ( + ( ))( + ( + )) Delkapittel A.8.. a) [, ], 4 [, ], e) [, ] f),, Delkapittel A.9. a) e) f) g) + + h) + +++
Arne B. Sletsjøe. Oppgaver, MAT 1012
Arne B. Sletsjøe Oppgaver, MAT 101 1 En-variabel kalkulus 1.1 I de følgende oppgavene, i) finn alle kritiske punkter til f(x), ii) beskriv monotoniegenskapene til funksjonene ved å se på fortegnet til
DetaljerKortfattet løsningsforslag til ekstra prøveeksamen i MAT1100, høsten 2014
Kortfattet løsningsforslag til ekstra prøveeksamen i MAT, høsten 4 DEL Oppgave. 3 poeng Hvis f, y = ye y, er f y lik: A y 3 e y B y e y C e y ye y D e y y e y E e y ye y Riktig svar: D e y y e y Oppgave.
DetaljerOppgave 1. (a) Vi løser det lineære systemet for a = 1 ved Gauss-eliminasjon. Vi nner først den utvidede matrisen: x A =
Løsning MET 803 Matematikk for siviløkonomer Dato 8. desember 07 kl 400-900 Oppgave. (a) Vi løser det lineære systemet for a = ved Gauss-eliminasjon. Vi nner først den utvidede matrisen: 7 3 y = 9 6 7
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Onsdag 9 mai 9 Tid for eksamen: 4:3 8:3 Oppgavesettet er på 7 sider Vedlegg: Tillatte
DetaljerLøsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3
Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2
DetaljerOppgave 1. (a) Vi løser det lineære systemet for a = 1 ved Gauss-eliminasjon. Vi nner først den utvidede matrisen: x A =
Løsning MET 80 Matematikk for siviløkonomer Dato 0. mai 07 kl 0900-400 Oppgave. (a) Vi løser det lineære systemet for a = ved Gauss-eliminasjon. Vi nner først den utvidede matrisen: 0 y = 4 0 4 0 z 0 Deretter
DetaljerOppgave 1. Oppgave 2
Midtveiseksamen i MET1180 1 - Matematikk for siviløkonomer 12. desember 2018 Oppgavesettet har 15 flervalgsoppgaver. Rett svar gir poeng, galt svar gir svaralternativ (E) gir 0 poeng. Bare ett svar er
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 44. Oppgaver til seminaret 4/11
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 44 Avsn. 5.5: 19, 41, 47 Avsn. 5.6: 9, 17, 47 Avsn. 5.7: 15 På settet: S.1, S.2. Oppgaver til seminaret 4/11 Oppgaver til gruppene uke 45 Løs disse først så disse Mer dybde Avsn.
DetaljerNotater nr 9: oppsummering for uke 45-46
Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46 Bøkene B (læreboken): Tor Gulliksen og Arne Hole, Matematikk i Praksis, 5. utgave. K (kompendium): Amir M. Hashemi, Brukerkurs i matematikk MAT, høsten. Oppsummering
DetaljerQED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Kalkulus
QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Kalkulus Kapittel 1 Oppgave 1. a) en funksjon b) en funksjon c) ikke en funksjon d) ikke en funksjon Oppgave 2. a) 12,1 b) 4 c)
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B. Eksamen 28. mai 2016 Løsningsforslag. Oppgave 1
MA000 Brukerkurs i matematikk B Eksamen 8. mai 06 Løsningsforslag Oppgave a) Viser at B = A ved å vise at AB = BA = I. Nedenfor er matrisemultiplikasjonen AB vist (du må vise at BA gir det samme). ( )
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk 2008
Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-
DetaljerEksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler
Eksamensoppgavehefte 1 MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor
DetaljerKorreksjoner til fasit, 2. utgave
Korreksjoner til fasit,. utgave Kapittel. Oppgave.. a): / Oppgave.. e):.887, 0.58 Oppgave..9: sin00πt). + ) x Oppgave.7.5 c): ln for 0 < x. x Oppgave.8.0: Uttrykket for a + b) 7 skal være a + b) 7 = a
DetaljerSammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009
Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A
DetaljerFasit. Funksjoner Vg1T. Innhold
Fasit Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjoner... 15 Andregradsfunksjoner... 15 Polynomfunksjoner... 18 Rasjonale funksjoner... 19 Potensfunksjoner og eksponentialfunksjoner...
DetaljerMET Matematikk for siviløkonomer
SENSORVEILEDNING - Skriftlig eksamen MET 11803 Matematikk for siviløkonomer Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 18.1.017 Kl. 14:00 Innlevering: 18.1.017 Kl. 19:00 For mer informasjon om formalia,
Detaljerdg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,
DetaljerFunksjonsdrøfting MAT111, høsten 2017
Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2017 Andreas Leopold Knutsen 11. Oktober 2017 Strengt voksende funksjon (Def. 6 i Ÿ2.8) f er strengt voksende på intervallet I dersom x 1 < x 2 i I = f (x 1 ) < f (x 2
DetaljerHøyskolen i Buskerud. fx ( ) x x 2 = x 1. c) Løs ulikheten ( x 3) ( x + 1)
Høyskolen i Buskerud Eksamen i matematikk. års grunnutdanning Mandag den. desember 00 OPPGVE. Deriver funksjonene a) f ( ) 5 + -- f ( ) 5 + -- 5 + -- b) f ( ) f ( ) ---------- ----------------------------------------
DetaljerLøsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1
Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene
Detaljer3.1. Ensidige grenser FIGUR 3.2. cappelendamm.no. La oss studere funksjonen f(x) = x x + 2, Hvis vi nå spør hva funksjons-
3. Ensidige grenser La oss studere funksjonen f() =, Hvis vi nå spør hva funksjons- kr 8 6 5 5 5 335 gr FIGUR 3. 3 FIGUR 3. 3 3 3 5 3 FIGUR 3.3 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel
DetaljerHøgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 25. mai 2012
Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 25. mai 2012 EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 1 15 studiepoeng Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 8 sider (inkludert formelsamling).
DetaljerTid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. og setter f u ln
Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeng) Deriver funksjonene a) 3 f( ) 3 f 3 4 3 b) g( ) ln( ) Vi bruker kjerneregelen
DetaljerEksamen R1, Våren 2015
Eksamen R1, Våren 015 Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (4 poeng) Deriver funksjonene a) f( ) 3 3 b) g( ) ln( ) c) h
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Løsningsforslag Øving 10 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det
DetaljerEmnenavn: Metode 1 matematikk. Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 21. februar 2017 Hjelpemidler: Godkjent kalkulator og utdelt formelsamling Emnenavn: Metode 1 matematikk Eksamenstid: 4 timer Faglærer: Hans Kristian Bekkevard Om eksamensoppgaven
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016 Løsningsforslag Øving 11 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det
DetaljerEksamen R2, Våren 2015, løsning
Eksamen R, Våren 05, løsning Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeng) Deriver funksjonene a) f () =- 3cos f =- 3 - sin
Detaljer4 ( ( ( / ) 2 ( ( ( / ) 2 ( ( / 45 % + 25 ( = 4 25 % + 35 / + 35 ( = 2 25 % + 5 / 5 ( =
MA Brukerkurs i matematikk B Eksamen 8. mai 6 Løsningsforslag Oppgave a) Viser at! # $ ved å vise at #!!# ' (. Nedenfor er matrisemultiplikasjonen #! vist (du må vise at!# gir det samme). ( + + + / ( +
DetaljerEksamen våren 2008 Løsninger
Eksamen våren 008 Løsninger Eksamen våren 008 Løsninger Del Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med cm-mål og vinkelmåler Oppgave a f x ( ) x ln = x f ( x) = x lnx+ x = xlnx+x x b c ( ) (
Detaljerx 2 2 x 1 =±x 2 1=x 2 x 2 = y 3 x= y 3
Obligatorisk om funksjonar og deriverte Oppgåve f 3 f = ±, =R Funksjonen f er ein parabel med botnpunkt på (,y) = (0,3) og definisjonsmengda er difor heile tallinja. Sidan f = f er funksjonen symmeterisk
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 4. oktober 20 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerEksamen R2, Høst 2012, løsning
Eksamen R, Høst 0, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave ( poeng) Deriver funksjonene a) cos f e Vi bruker produktregelen
DetaljerPrøveeksamen i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag
Prøveeksamen i MAT, H- Løsningsforslag. Integralet cos x dx er lik: +sin x Riktig svar: c) arctan(sin x) + C. Begrunnelse: Sett u = sin x, da er du = cos x dx og vi får: cos x + sin x dx = du du = arctan
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017 Løsningsforslag Øving 11 Oppgaver fra boken: 10.6 :, 8, 12, 19, 1, (valgfritt - 9,
DetaljerTMA4100 Matematikk1 Høst 2008
TMA400 Matematikk Høst 008 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 4 4..3 Vi skal finne absolutt maksimum og absolutt minimum verdiene for funksjonen
DetaljerEksamen R2 Høsten 2013 Løsning
Eksamen R Høsten 03 Løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (3 poeng) Deriver funksjonene a) f 5cos Vi bruker produktregelen
DetaljerEksamen R2 Høst Løsning
Eksamen R Høst 017 - Løsning Dennis Christensen 7. november 017 Del 1 - Uten Hjelpemidler Oppgave 1 (a) (b) (c) g (x) = f (x) = cos x = 6 cos x, x cos x 1 sin x x = x cos x sin x x, h (x) = 1 cos x + x
DetaljerEksamen R2, Våren 2011 Løsning
R Eksamen, Våren 0 Løsning Eksamen R, Våren 0 Løsning Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Deriver funksjonene
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT1100 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 14. oktober 2016 Tid for eksamen: 13.00 15.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Svarark,
DetaljerLøsningsforslag Eksamen S2, høsten 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 27. januar 2017
Løsningsforslag Eksamen S, høsten 016 Laget av Tommy Odland Dato: 7. januar 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 3 5x, og vi kommer til å få bruk for reglene (ax n ) = anx
Detaljer( ) DEL 1 Uten hjelpemidler. Oppgave 1. Oppgave 2. Px ( ) er altså delelig med ( x 2) hvis og bare hvis k = 8. f x x x. hx ( x 1) ( 1) ( 1) ( 1)
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 a f x x x f ( x) = 6x+ 6 ( ) = 3 + 6 c 3 gx ( ) = 5ln( x x) 1 3 g ( x) = 5 3 ( x x )
DetaljerMET Matematikk for siviløkonomer
SENSORVEILEDNING - Skriftlig eksamen MET 11803 Matematikk for siviløkonomer Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 29.05.2019 Kl. 09:00 Innlevering: 29.05.2019 Kl. 14:00 For mer informasjon om formalia,
DetaljerAndre del av forelesningen om funksjoner bygger på dette notatet. Notatet bygger på læreboken og er noe mer utfyllende enn forelesningen.
NOTAT TIL FORELESNING OM FUNKSJONER, DEL Andre del av orelesningen om unksjoner bygger på dette notatet. Notatet bygger på læreboken og er noe mer utyllende enn orelesningen. GRENSEVERDI Man kan or eksempel
DetaljerMatematikk for økonomer Del 2
Matematikk for økonomer Del 2 Formelark Dokument type: Formelark Antall kapitler: 10 kapitler Antall sider: 17 Sider Forfatter: Studiekvartalets kursholdere rett til bruk av materialet. Det innebærer at
DetaljerSammendrag R1. 26. januar 2011
Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander
DetaljerR1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a)
R kapittel 4 Funksjonsdrøfting Løsninger til oppgavene i boka 4. a 4 f( ) f ( ) 4 4 b g ( ) 6 c d e f 4. a b c d e f 4. a g ( ) 0 h ( ),8 4 h ( ),8,8 i ( ),8,8 i 0 ( ) j ( ) π j ( ) 0 k ( ) k ( ) f( )
DetaljerMatematikk for økonomer Del 2
Matematikk for økonomer Del 2 Oppgavedokument Antall oppgaver: 75 svar Antall kapitler: 10 kapitler Antall sider: 15 Sider Forfatter: Studiekvartalets kursholdere Kapittel 1 Derivasjon 1. f (x) = 2x 2
DetaljerLøsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 5
Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 5 I kapittel 5 har mange av oppgavene et mer teoretisk preg enn du er vant til fra skolematematikken, og jeg har derfor lagt vekt på å lage løsningsforslag
DetaljerEmnenavn: Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 2. mars 2018 Hjelpemidler: Godkjent kalkulator og utdelt formelsamling Emnenavn: Metodekurs 1, deleksamen i matematikk Eksamenstid: 4 timer Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
DetaljerMAT jan jan jan MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag 18. januar 2010 Forelesning I denne første forelesningen skal vi friske opp litt rundt funksjoner i en variabel, se på hvordan de vokser/avtar, studere kritiske punkter og beskrive
DetaljerEKSAMEN. Emne: Metode 1: Grunnleggende matematikk og statistikk (Deleksamen i matematikk)
EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 2.6.2014 Hjelpemidler: Kalkulator Utlevert formelsamling Emne: Metode 1: Grunnleggende matematikk og statistikk (Deleksamen i matematikk) Eksamenstid: kl. 09.00 til kl.
DetaljerFlere anvendelser av derivasjon
Flere anvendelser av derivasjon Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 30, 2014 Forelesning 17.09.2014 Fikspunkt-iterasjon Newtons metode Metoder for å finne nullpunkter av funksjoner:
DetaljerInnlevering Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 15. november 2017 kl 14:30 Antall oppgaver: 8
Innlevering Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 15. november 017 kl 14:30 Antall oppgaver: 8 1 Deriver følgende funksjoner a) ( x) b) (3 5x) 6 c) x x + 3 d) x ln
DetaljerFunksjonsdrøfting MAT111, høsten 2016
Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2016 Andreas Leopold Knutsen 11. oktober 2016 Den deriverte f Newton-kvotienten f (x+h) f (x) h er stigningen til sekantlinjen gjennom punktene (x, f (x)) og (x + h, f
DetaljerTid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. x x x x
Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (5 poeng) Deriver funksjonene gitt ved f 3 6 4 a) f 3 6 6 6 b) g 5ln 3 3 Vi bruker kjerneregelen
DetaljerBYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8
Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)
DetaljerFunksjoner S2 Oppgaver
Funksjoner S Funksjoner S Oppgaver. Derivasjon... Den deriverte til en konstant funksjon... Den deriverte til en potensfunksjon... Den deriverte til et produkt av to funksjoner... 4 Den deriverte til en
DetaljerEksamen REA3022 R1, Våren 2010
Eksamen REA0 R1, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 a) Deriver funksjonene 1) ln f 1 f ) g ln ln ln 1 4e
DetaljerR2 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka
R kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka E Bruker formelen cos 36 cos( 8 ) E sin 8 v og sin8 5 cos v sin sin8 5 5 6 5 5 8 5 5 8 6 5 8 6 5 8 8 3 5 5 5 a f ( ) sin 5 cos f ( ) 5cos
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bokmål Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 17. desember 2007, kl. 09-14. Oppgave 1 Gitt f(x) = x + x 2 1, 1 x 1. a) Finn og
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 28/4-2/5
Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 8/4-/5 Tom Lindstrøm (lindstro@math.uio.no) 5..5 a) Alle punktene i B har avstand til origo større enn 1, så d(0, B) må være minst 1. Ved å velge punkter på x-aksen
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT Kalkulus. Eksamensdag: Fredag 9. desember 2. Tid for eksamen: 9.. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
Detaljercappelendamm.no Funksjoner av to variable 7.1 FIGUR 7.1 FIGUR 7.2 FIGUR 7.3 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 7 1
7. Funksjoner av to variable Df FIGUR 7. FIGUR 7. FIGUR 7. Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 7 FIGUR 7. FIGUR 7.5 FIGUR 7.6 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Lørdag 25. Mai 29. Tid for eksamen: :5 4:5. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg:
DetaljerR2 kapittel 8 Eksamenstrening
R kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i boka Uten hjelpemidler Oppgave E a F (4) = f (4) = 4 4 b f x x [ F x ] F F ( ) Oppgave E5 ( )d = ( ) = (4) () = 6 = 7 Grafen til f ligger over x-aksen
DetaljerLøsningsforslag. og B =
Prøve i Matte EMFE DAFE ELFE BYFE Dato: august 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave a) Gitt matrisene A = 2 3 2 4 2 Løsningsforslag og
DetaljerLøsningsforslag Eksamen M100 Våren 2002
Løsningsforslag Eksamen M00 Våren 00 Oppgave Evaluerer grensen cos( ) 0 ( sin( ) ) 0 6 0 6 5 0 sin( ) 0 sin( ) = Har brukt l Hôpitals regel (derivert teller og nevner hver for seg) i første og tredje overgang.
DetaljerDel 1 - Uten hjelpemidler
Del 1 - Uten hjelpemidler Oppgaveteksten til del 1 ligger i: http://www.ulven.biz/r1/heldag/r1_hd_100516.docx (Oppgaveteksten til del er inkludert i dette dokumentet.) Oppgave 1 f x 3x 1 x 1 x (Husk: x
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 4. oktober 20 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerMET Matematikk for siviløkonomer
SENSORVEILEDNING - Fagoppgave MET 1186 Matematikk for siviløkonomer Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 18.1.19 Kl. 9: Innlevering: 5.1.19 Kl. 1: For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven.
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
Bokmål UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Løsningsforslag til Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i matematikk I Torsdag 22. mai 28, kl. 9-4. Dette er kun et løsningsforslag.
DetaljerFaktor. Eksamen høst 2005 SØK 1001- Innføring i matematikk for økonomer Besvarelse nr 1: -en eksamensavis utgitt av Pareto
Faktor -en eksamensavis utgitt av Pareto Eksamen høst 005 SØK 00- Innføring i matematikk for økonomer Besvarelse nr : OBS!! Dette er en eksamensbevarelse, og ikke en fasit. Besvarelsene er uten endringer
DetaljerOppgaveløsninger for "Matematikk for økonomer - kort og godt".
Oppgaveløsninger for "Matematikk for økonomer - kort og godt". Kapittel 1 Oppgave 1.1 a) (x 2 9x 12)(3 3x) =3x 2 27x 36 3x 3 +27x 2 +36x = 3x 3 +30x 2 +9x 36. b) (2x y) 2 +2(x+y)(x y)+(x+4y) 2 =4x 2 4xy+y
DetaljerLøsning eksamen R1 våren 2008
Løsning eksamen R våren 008 Oppgave a) f ( ) ln f ( ) ( ) ln (ln ) ln ln b) c) d) e) ( 4 6) : ( ) 4 6 6 0 64 ( 8) ( 8) 8 8 8 6 lim lim lim 8 8 6 8 ( 8) 8 lg( y ) lg y lg lg lg y lg y lg lg y lg lg y y
DetaljerLøsningsforslag, midtsemesterprøve MA1103, 2.mars 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA03,.mars 00 Oppgave Tegn figur og finn en parametrisering for skjæringskurven
DetaljerEmnenavn: Eksamenstid: Faglærer: Hans Kristian Bekkevard. består av 8 sider inklusiv denne forsiden og vedlagt formelsamling.
e. Høgskoleni Østfold ). EKSAMEN Emnekode: Emnenavn: SFB10711 Metode 1 matematikk deleksamen Dato: Eksamenstid: 3. juni 2016 4 timer Hjelpemidler: Kalkulator og vedlagt formelsamling Faglærer: Hans Kristian
DetaljerLøsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA3022 - Desember 2007
Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA022 - Desember 200 eksamensoppgaver.org October 2, 2008 eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksempeloppgave i R1
DetaljerOppgaver og fasit til seksjon
1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.1-3.3 Oppgaver til seksjon 3.1 1. Regn ut a b når a) a = ( 1, 3, 2) b = ( 2, 1, 7) b) a = (4, 3, 1) b = ( 6, 1, 0) 2. Finn arealet til parallellogrammet utspent av a =
DetaljerUiO MAT1012 Våren Ekstraoppgavesamling
UiO MAT1012 Våren 2011 Ekstraoppgavesamling I tillegg til eksamen og prøveeksamen fra våren 2010 inneholder denne samlingen en del oppgaver som er blitt gitt til eksamen i diverse andre emner ved UiO i
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Løsningsforslag Øving 10 10.6.3 La f (x, y) = x 2 y 4x 2 4y der (x, y) R 2. Finn alle
DetaljerLøsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998
Løsningsforslag Eksamen M00 Høsten 998 Oppgave { x y = f(x) = + x + a hvis x ln( + x ) x hvis < x lim f(x) = f( ) = + a = a x lim f(x) = ln( + x ( ) ) ( ) = ln + For at f(x) skal være kont. i x = må lim
DetaljerFasit til obligatorisk oppgave i MAT 100A
3. november, 000 Fasit til obligatorisk oppgave i MAT 00A Oppgave a) Grensen er et 0 0-uttrykk, og vi bruker l Hôpitals regel: ln cos π (ln ) (cos π ) ( sin π ) π b) Vi må først skrive uttrykket på eksponentiell
Detaljereksamensoppgaver.org x = x = x lg(10) = lg(350) x = lg(350) 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor
eksamensoppgaver.org 5 oppgave1 a.i.1) 2 10 x = 700 10 x = 700 2 x lg(10) = lg(350) x = lg(350) a.i.2) Vibrukerfortegnsskjema 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor x 1, 5 a.ii.1)
DetaljerOppgave 1. e rt = 120e. = 240 e
Løsning MET 803 Matematikk Dato 5. desember 05 kl 0900-00 Oppgave. (a) Dersom vi selger eiendommen etter t år, med t > 0, så er nåverdien av salgssummen med r = 0,0. Da får vi N(t) = V (t)e rt = 0 e e
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode
DetaljerFagdag CAS-trening
Fagdag 03.12.2015 - CAS-trening Innhold: Viktige kommandoer på side 1. Eksempler på bruk av CAS side 1-4. Arbeidsoppgaver på side 5 og utover. Viktige kommandoer: Se oversiktene side 444 og side 446 i
DetaljerLøsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2
Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver
DetaljerEkstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. september 2011 Kapittel 4.1. Funksjoners ekseremverdier fra og med lokale ekstrema
DetaljerTest, 5 Funksjoner (1P)
Test, 5 Funksjoner (1P) 5.1 Funksjonsbegrepet 1) f ( x) = 16x + 0 f (0) = 0 16 0 ) f ( x) = 4x 6 f ( ) = 14 6 3) f er en funksjon av x dersom hver verdi av x gir nøyaktig en verdi av f. Riktig Galt 4)
Detaljerf =< 2x + z/x, 2y, 4z + ln(x) >.
MA 40: Analyse Uke 48, 00 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma40 H0 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave.5: 5. Vi har gitt funksjon f(x, y) = x + y z + z ln(x) og punkt
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MAT 1100 H07
Løsningsforslag til eksamen i MAT H7 DEL. (3 poeng Hva er den partiellderiverte f y når f(x, y, z = xeyz? xze yz e yz xe yz e yz + xze yz e yz + xze yz + xye yz Riktig svar: a xze yz Begrunnelse: Deriver
Detaljera) Blir produktet av to vilkårlige oddetall et partall eller et oddetall? Bevis det.
Prøve i R1 04.1.15 Del 1 Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Husk å begrunne alle svar. Det skal gå klart frem av besvarelsen hvordan du har tenkt. Oppgave
DetaljerEksamen R2 høst 2011, løsning
Eksamen R høst 0, løsning Oppgave (4 poeng) a) Deriver funksjonene f e ) Bruker produktregelen for derivasjon, uv uv uv f e e e e ) g sin Bruker kjerneregelen på uttrykket cos der u og g u sinu Vi har
DetaljerMatematikk R1 Forslag til besvarelse
Matematikk R1 Forslag til besvarelse NITH 4. mars 014 Oppgave 1 a) Regn ut p x) når px) = x 3 3x + 6x 1. p x) = x 3 ) 3x ) + 6x) 0 = 3x ) 3x) + 6 1 = 6x 6x + 6 b) Regn ut p x) når px) = ax + bx + c. Her
DetaljerEksamen REA3022 R1, Våren 2011
Eksamen REA30 R1, Våren 011 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (18 poeng) 500 8 er a) Vis at den deriverte til funksjonen
DetaljerFørste og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 13. september 2011 Kapittel 4.3. Monotone funksjoner og førstederivasjons-testen
DetaljerTerminprøve R2 våren 2014
Terminprøve R2 våren 2014 Magne A. Myhren 30. april 2014 Delprøve 1 må leveres etter 2 timer. Det er da lov å benytte seg av hjelpemidler. Oppgavesettet er på totalt 12 oppgaver fordelt på 6 sider. Kontroller
Detaljer