GeoGebra Tor Espen Kristensen Februar 2009 Innhold 1 Innstallering av GeoGebra 2 2 Litt om programmets oppbygning 2 3 Funksjoner i GeoGebra 3 4 Skjæringspunkt mellom to grafer 7 5 Arealet under en graf 9 6 Kopiere til Word 12 7 Nyheter i neste versjon 13 Regnearket........................................... 13 Regresjon............................................ 16 GeoGebra er et program som kobler sammen geometri, algebra og funksjoner. Det er et dynamisk geometri-program, grafplotter og etter hvert computeralgebra systen(cas). Således er det et program som passer perfekt for videregående skole. I dette lille heftet skal vi jobbeoss 1
gjennom noen eksempler som viser nytteverdien av programmet. Jeg vil ikke her ta stilling til om dette er den beste måten å løse de ulike oppgavene eller hva som er læringseffekten av å gjøre det ene eller det andre. Her vil vi kun kose oss med selve programmetog løsningene av en del oppgaver. 1 Innstallering av GeoGebra Selve programmet finner du på nettsiden www.geogebra.org. Om du har java innstallert, så er det bare til å trykke på. Dersom du ikke har java installert må du gå til nettsiden www.java.com. 2 Litt om programmets oppbygning GeoGebra er bygget opp rundt flere felt. Det er et felt for inntasting av kommandoer, funksjonsuttrykk, tall, etc. Dette kaller vi for inntastingsfeltet eller kommandofeltet. Det største feltet kaller vi for geometrivinduet. Det er her du kan se grafer, geometriske figurer etc. Så har vi algebravinduet. Her ser vi likninger for kurver, funksjonsuttrykk, tallverdier osv. Ovenfor disse har vi verktøylinjen. Her finner vi ulike konstruksjonsverktøy (tegning av linjer, linjestykker, sirkler, normaler etc.) og en del andre verktøy som måling av lengder, areal, innsetting av tekst etc. 2
3 Funksjoner i GeoGebra Eksempel 1 Vi har gitt funksjonen f(x)=x 3 2x+1 x [0,4] a) Plott grafen til f i et koordinatsystem b) Finn eventuelle nullpunkt til f c) Finn eventuelle topp-/bunnpunkt til grafen til f. Løsning: a) Dersom vi skriver funksjonsuttrykket inn i inntastingsfeltet, vil vi få tegnet grafen uten begrensinger på x-verdiene: Dersom vi ønsker å plotte grafen for x-verdier i et bestemt intervall, kan vi bruke kommandoen Funksjon[funksjon, a, b]. I vårt eksempel skriver vi inn:. Vivildafånoeslikt: 3
Etproblemmeddennegrafeneratviikkefårsealle y-verdiene. Viønskerderforåzoome litt ut på y-aksen og zoome inn litt på x-aksen. Den enkleste måten å gjøre dette på, er å holde Ctrl nede mens du flytter markøren over aksen. Holder du da venstre musetast nede (mensdusamtidigholder Ctrl nede),vildukunnedraiaksenslikatduentenfårstrukket denutellertrukket densammen.resultatetkandaseslikut: b) Vi skal finne nullpunktene. Det er to måter å gjøre dette på i GeoGebra. For polynomfunksjoner er det nok å skrive i inntastingsfeltet Nullpunkt[f]. Vi vil da få tre punkt som 4
svar,a,bogc.dissekanvileseavialgebravinduet.detenepunktetera=( 1,62,0).Dette erikkemedidefinisjonsmengdentil f.svaretpåoppgavenerderforat f hartonullpunkt: x=0,62ogx=1.skulleviønskefleredesimaler,kamvifådetvedåklikkepåinnstillinger i menylinjen og velge antall desimaler: Viviserdenandremåtenåfinnenullpunkt ieksempel2. c) Topp-/bunnpunkt kan vi finne ved å bruke kommandoen Ekstremalpunkt. Vi skriver inn:. Vi får da tegnet inn et punkt E på grafen til f. Grafen har med andreordet bunnpunkt(0,8165, 0,0887).Vi måselvsagtikke glemmeatgrafen ogsåhar to toppunkt. Ett for x= 0og ett for x= 4.Vi kan lett regne ut funksjonsverdiene til f i disse punkta ved å skrive inn f(0) og f(4) i inntastingsfeltet. Vi leser da av i algebravinduet at f(0)=1(detståra=1)og f(4)=57(b=57).grafenharaltsåtotoppunkt:(0,1)og(4,57). Eksempel2 Finnnullpunktene tilfunksjonen g(x)= x 2 2x+5. Løsning: Vi skriver i inntastingsfeltet:. Vi får da plottet grafen. Forsøker vi så å skrive Nullpunkt[g], vi ingen ting skje når vi trykker enter. Dette vil nemlig bare fungere for polynomfunksjoner. Men vi kan skrive inn Nullpunkt[g, 3]. Tretallet er her et tall i nærhetene av nullpunktet. Nå kan vi trykke enter og lese av koordinatene til punktet A som bletegnet. Viseratfunksjonenharnullpunkt for x=2. EnannenmåteåfinnenullpunkteteråvelgeetverktøypåverktøylinjensomheterSkjæring mellom to objekter. Se figur 1. Når dette verktøyet er valgt klikker du først på grafen til g og deretter på x-aksen. Da vil du få nullpunktet tegnet inn. Figur1 Skjæringmellomtoobjekter.Foråfårulletneddeandreverktøyenemåduklikkepådenlille trekanten nede i høyre hjørne. 5
Oppgave 1 Gitt funksjonen f(x)=x 4 3x 3 +2, x [0,2] a) Plott grafen til f i et koordinatsystem b) Finn eventuelle nullpunkt til f c) Finn eventuelle topp-/bunnpunkt til grafen til f. GeoGebra kan også derivere funksjoner. Har du skrevet inn en funksjon f(x) i inntastingsfeltet, er det bare til å skrive f (x) i inntastingsfeltet og GeoGebra deriverer f. Du kan også derivere en funksjon f(x) ved å bruke kommandoen derivert[f]. Eksempel3 Deriverfunksjonen f(x)=x 3 sin(x). Løsning: Viskriverinn:.Passpååskrivegangetegnmellom x^3og sin(x).detvil sistjerne *.Vikandaleseavsvaretialgebravinduet: Viharaltsåfunnetat f (x)=3x 2 sin(x)+x 2 cos(x). Oppgave 2 Deriver funksjonene a) f(x)= x2 +1 x 3 1 b) g(x)= x 2 2x c) h(x)=10 x Oppgave3 Funksjonen g ergittved g(x)= 2x2 1 x+1 a) Tegn grafen til g i et koordinatsystem b) Tegndenderiverte g (x)isammekoordiantsystem c) Finn topp-/bunnpunkt til funksjonen. Eksempel4 Finnvendepunktettilfunskjonen f(x)=x 3 2x+1ogfinnlikningentiltangenten i vendepunktet. 6
Løsning: Vi kan selvsagt finne vendepunkt ved å se hvor den dobbeltderiverte skifter fortegn. Men for polynomer fins det en egen kommando som heter vendepunkt. Vi skriver derfor først inn funksjonen f ogskriverså vendepunkt[f]. Vifinnerdaat f harvendepunktia=(0,1). Vifinnertangententil f iavedåskrive.vifårdategnetinntangenten i geometrivinduet og kan lese av likningen i algebravinduet: Viseratlikningentiltangenten er y= 2x+1. Oppgave 4 Gitt tredjegradsfunksjonen f(x)=x 3 2x 2 5x+6 a) Finn nullpunktene til f. b) FinnmidtpunktetDtiltoavnullpunktene AogBogfinntangentensomtangerer f overd. Detvilsiattangenten tangerer f i(d, f(d))der d er x-koordinatentil D.Foråskriveinn dette punktet skriver du (x(d), f(x(d))) i inntastingsfeltet. Du kan finne midtpunkt ved å velge verktøyet«midtpunkt eller sentrum». Se figur 2. c) Hvakandusiomdennetangenten? 4 Skjæringspunkt mellom to grafer Eksempel 5 Løs likningssystemet 2x 3y= 1 5x+2y=26 7
Figur 2 Du kan finne midtpunkt til to punkt med dette verktøyet. Løsning: Vi skriver inn likningene en etter en i inntastingsfeltet. Når vi trykker enter vil linjene som likningene representerer bli tegnet i koordinatsystemet i geometrivinduet. Vikannåvelge«Skjæringmellomtoobjekt»påverktøylinjen,klikkeførstpådenenelinjen,så den andreogfå markertinnskjæringspunktet A=(4,3). Detvil siat x= 4 og y=3.det fins også en egen kommando for skjæring mellom to kurver, nemlig Skjæirng:. Menhuskatdersomduskalbrukedennepågrafertilandreobjekterennpolynomer,såmådu i tillegg skrive inn et punkt i nærheten av et søkt skjæringspunkt. Eksempel6 Gittfunksjonene f(x)=sin(x)og g(x)= x 1. a) Tegngrafentil f og g isammekoordinatsystem b) Finn skjæringspunktet til grafene. Løsning: Vi skriver inn funksjonene i GeoGebra og skriver inn i inntastingsfeltet Skjæring[f,g,(2,1)]. Viharvalgt(2,1)sometpunktsomliggerinærhetenavdetsøkteskjæringspunktet.Vikanda lese av skjæringspunktet i algebravinduet: A =(1,935, 0,935). 8
Figur 3 Skjæring mellom to grafer nær punktet(2,1). Vi ser at A =(1,935, 0,935) i algebravinduet. Oppgave 5 Løs likningssettene a) x y=9og3x+5y=11 b) y=x 2 2ogx 2 + y 2 =8 5 Arealet under en graf ViskalhersepåhvordanvikanbrukeGeoGebratilåberegnearealetunderengraf. Eksempel7 Hvaerarealetundergrafentil f(x)=0,1x 2 +1fra x=0til x=6? Nedenfor har vi tegnet inn grafen til f. Vi har også tegnet inn en del rektangler som ligger akkuratovergrafentil f.dissegirengodtilnærmingtilarealetundergrafen. 9
Figur 4 Kommandoen SumOver[f, 0, 6, 6] gir en tilnærmet verdi for arealet under grafen. Vi kunne gjort dette enda bedre ved å ta flere rektangler. Vi kunne også beregnet arealet ved å tegne rektanglene inn slik at de ligger under grafen. På figuren under har vi beregnet en tilnærmet verdi for arealet ved å bruke flere rektangler og ved å ta gjennomsnittet mellom øvre sumognedresum. Figur5 KommandoenSumOver[f,0,6,12]ogSumUnder[f,0,6,12]girbeggeentilnærmetverdifor arealet under grafen. Gjennomsnittet av disse gir en ganske god tilnærming. Kommandoene SumOver[f, a, b, n] og SumUnder[f, a, b, n] fungerer slik at de beregner arealettilnrektanglerfraatilbsomhenholdsvisertegnetoverogundergrafentilf. 10
Dersom vi nå lar n i beregningene ovenfor bli veldig stor, det vil si at vi får uendelig mange rektangler,såvidiferansenmellomdeøvreogdenedrerektanglenegåmotnullogvikanfinne arealet under grafen. Dette gjelder for kontinuerlige funksjoner. Denne grensen kaller vi for integralettil f fraatilbogvinotererdetteslik: b a f(x)dx I S2 skal vi kunne beregne slik arealet ved hjelp av digitale hjelpemidler. Kalkulatoren er et slikt.dufinnegodeframgangsmåterfordetteilæreboka.hervilvivisehvordanvikanbruke GeoGebra til å beregne dette integralet. Eksempel8 Beregnarealetunder f fra0til6. Vi har allerede funnet en god tilnærming for dette arealet ved å bruke SumOver og SumUnder. Her vil vi bruke en kommando som heter Integral[f, a, b]. Denne beregner altså arealet under grafentilffra x= a til x=b.idettetilfellet fårvi 0 6 fdx=13.2 Figur6 KommandoenIntegral[f,0,6]girossarealetunder f frax=0til x=6. Eksempel 9 Finn arealet avgrenset av grafen til f, x-aksen, x= 0 og x= 2 til funksjonen f(x)=x 3 3x 2 +2x. 11
KommandoenIntegral[f,0,2]girossidettetilfellet0somsvar.Kandettestemme?Detsom skjeridettetilfelleteratdeterlikestortarealsomliggeroverx-aksensomunder.vimåderfor deleopp integralet fra x= 0til x= 1 og fra x= 1 til x= 2. Det sisteintegralet blir negativt, så derformåvitrekkedettefradetførste.vifår detsøkteareal= 0 1 x 3 3x 2 +2xdx 1 2 x 3 3x 2 +2xdx =Integral[f, 0,1]-Integral[f, 1,2]=0.25 ( 0.25) =0.5 MerkatviførstharskrevetinniGeoGebra f(x)=x 3 3x 2 +2x. Figur7 Arealetbegrensetav f, x-aksen,x=0og x=2tilfunksjonen f(x)=x 3 3x 2 +2x. 6 Kopiere til Word DersomdubrukerWord(ellerandretekstbehandlere)ogønskeråfåengrafinnietdokument, erdetbaretilåtrykkepå Ctrl + Shift + C.Duvildafåraltdetduserigeometrivinduet kopierttilutklipstavlen.nåerdetbaretilålimedetinniwordderdumåtteønskedet. 12
Figur 8 Under Fil/Eksporter får du flere valg for hvordan du vil eksportere geometrivinduet. Merk at du også kan eksportere arbeidsarket som nettside! 7 Nyheter i neste versjon I skrivende stund er neste versjon av GeoGebra like rundt hjørnet. Denne har en god del forbedringer, og du kan allerede må bruke denne versjonen. Du finner den ved å gå til www. geogebra.org og så klikke på«kommende versjoner» i venstemargen. På siden du da får opp velger du GeoGebra Pre-Release. Deviktigstenyheteneidenneversjonen(versjon3.2nårdenerferdig)erat Den har fått et eget regneark-vindu Du kan symbolbehandle uttrykk(f.eks. RegnUT[(x-3)^2] Du kan regne ut standardavvik, median og liknende GeoGebra kan nå utføre regresjoner. Regnearket Du får opp regnearket ved å enten klikke på Vis/Regneark på menylinjen eller ved å klikke Ctrl + Shift + S.Nårduharfåttoppdettevindueterdetbaretilåføreinntallicellenei regnearket. 13
Eksempel10 Viskaltegneoppethistorgramutfrafølgendetall: Løsning: 2,3,2,4,1,3,5,3,5,6,3,4,4,6,6,3,4,6,5 Vi skriver tallene inn i kollone A, markerer tallen (svarter), høyreklikker og velger «Lag liste». DavilalledissetalleneblilagretienlisteL 1. 14
Vi kan nå gjøre beregninger på listen, slik som for eksempel Middelverdi[L_1]. Vi skal nå tegne et histogram.vi ønsker at breddenskalværefra og med1til 2, fra og med2til 4 ogfra ogmed4til6.daskriverviinnkommandoen.resultatetserdupå figur9 Figur 9 Du kan tegne hisogram ved å bruke kommandoen Histogram[]. Oppgave 6 Vi har følgende tall: 2,3,3,2,5,4,6,5,5,5,2,1,4,5,6,5,2 a) Førtalleneinnienkollonneiregnearketoglagenlisteavtallene. b) Hva er middelverdien? c) Hva er stadardavviket? Bruk kommandoen StandardAvvik[] d) Tegn et histogramover tallen. La breddenværefra ogmed 1 til 2, fra og med 2til 5 ogfra ogmed5til6. Eksempel 11 Simuler 20 terningkast og lag søylediagram over alle utfallene. Løsning: For å løse denne oppgaven bruker vi kommandoen A1TilfeldigMellom[1,6]=. Vi vil da få et tilfeldigtallskrevetinnicellea1iregnearket.vikandaautokopieredennecellenvedåklikkepå firkanteninedrehøyrehjørneicellea1ogdra19raderned. 1 Etteratduharfått20tilfeldigetall 1 Iskrivende stundfungererdetteikkeivista. Dumåherkopiereoglimeinniformelennedtilduhar20kast. 15
mellom1og6(inkludert1og6),kandumarkeredisse20tallene,høyreklikkeoglageliste.denn kan du nå regne ut middelverdi, median, standardavvik, etc. Du kan også tegne søylediagram: Figur 10 Simulering av 20 terningkast. Vi har også valgt å vise Konstruksjonsforklaring (under Vismenyen). Når du simulerer slike tilfelige tall, så kan du be GeoGebra om å regne gjøre kaste på nytt ved å trykke keystrokef9. Regresjon Eksempel 12(Fra eksempelsett 2 til 2P) Den nøyaktigaste måten å finne makspulsen på, er ågjennomføreeinfysisktest. Detbetyr ipraksisåpressesegmaksimaltfor åsjåkor høgpuls determoglegåoppnå.fempersonarhar gjennomførteinsliktest. Resultataserduitabellen nedanfor. Alder 17 25 37 48 60 Makspuls 195 189 183 175 166 Viskalbrukeregresjontilåfinneensammenhengmellommellommakspulsyogalderx.Vi førertallainniregnearket,lagerenliste(l 1 )ogskriversåinnkommandoen:. Vi får da fram en linje sompasserpunkta ganske bra.her møter vi en liten utfordring. Vi ser atlikningen forlinjaer3941x+5966y=1230819mensviskullehahatt y=...dettekanvifå om vi høyreklikker på likningen for linja i algebravinduet og velger «Likning y=ax+b». Vi får daat y= 0,66x+206. 16
Oppgave 7 Samanhengen mellom kostnaden K(x) i kroner ved produksjon av en vare og tallet på produserte enheter x er gitt i tabellen nedenfor. x 0 100 300 500 700 K(x) 30 000 83 000 207 000 355 000 527 000 a) Brukregresjonogfinn en godmodellfor K(x). IGeoGebra kanduvelgemellom RegExp, RegLin, RegLinx, RegLog, RegLogsit, RegPly, RegPot og RegSin b) FinnK (300) 17