2003/46 Notater 2003 Leiv Soheim Foreøpige andta i KOSTRA Prinipper, metoder, produkjon og ekemper Metoder og Standarder Emnegruppe: 00.00.20
1. Innedning 1.1. Formået KOSTRA (KOmmune STat Rapportering) er tatitikk om kommuner og fykekommuner gjennom regnkapta, ta om reurbruk og ta om tjeneteprodukjonen for den enkete kommune og fykekommune. Befokningta hører ogå med i en ik bekrivee iden die ofte definerer et tjenetebehov, f.ek. barn meom ett og fem år (barnehager), barn meom 6 og 15 år (grunnkoen) og edre over 70 år(peie og omorg). Fra og med 2001 omfatter KOSTRA ae kommuner etter en utviking- og utbyggingperiode fra 1996. Kommunene og fykekommunene ka i utgangpunktet rapportere inn data om tatitikkåret i øpet av de to førte månedene etter året utgang. Det egge ut foreøpige ta om kommunene i mar. I juni ka kommuner og fykekommuner ha rettet opp fei ik at endeige ta er på pa per 15. juni, atå i underkant av et havt år etter rapporteringåret utt. Taene om egge ut i mar er mangefue iden mange kommuner og fykekommuner ofte ikke har kart å evere inn data for ett eer fere områder om det ka rapportere ta for. Det er derfor behov for å utvike metoder ik at foreøpige andta kan pubiere i forbindee med den førte pubieringen i mar på grunnag av de kommunene og fykekommunene om har evert ta om er godkjent av Statitik entrabyrå. I dette notatet har vi tudert grunnaget for å pubiere foreøpige regnkapta, men metoden kan ogå utnytte på ta om reurbruk og tjeneteprodukjon. For å underøke hvordan metoden fungerer utover akkurat for de kommunene om hadde evert data ti å age foreøpige regnkapta for 2002, er ogå metoden bitt brukt på KOSTRA kommunene i 2000 på KOSTRA taene for 2001. I tiegg har vi ogå imuert hvor gode foreøpige andta vie bitt produert for 2001 derom kommunene om everte regnkapta ti mar 2002 hadde bitt brukt. Hovedreutatet i dette arbeidet er bidet av kommuneøkonomien i 2002 måt gjennom regnkaptaene ti de 335 kommuner om hadde evert data per 24. apri 2003. Videre arbeid framover må være å utvide bruken av metoden på andre typer data og bygge ut et mer trøminjeformet produkjonytem for foreøpige ta i KOSTRA. 1.2. Metoden og reutater Den metoden om bruke for å beregne andtaene er en tratifiert ratemode om kan formuere ved den tatitike modeen (1.2.1) Y k, = β k, + ε k, der er en inndeing i 16 kommunegrupper baert på innbyggerta og økonomik handefrihet Y k, er en KOSTRA variabe, f.ek. regnkapta, for kommune k i tratum, er en forkaringvariabe, ofte et befokningta for kommune k i tratum k k, ε er feieddet i modeen med forventning ik nu og varian proporjona med forkaringvariabeen Inndeingen i de 16 kommunegruppene er dokumentert i Langørgen, A., R. Aaberge og E.R. Åerud (2001). Sukeen med å bruke denne enke modeen hvier tungt på effektiviteten ti inndeingen. Det 1
betyr at forkjeer meom kommunene i tor uttrekning fange opp av de 16 gruppene ik at feieddet i modeen kun tar hånd om reativt må forkjeer meom kommunene innen hver gruppe. Foreøpige KOSTRA ta for 2002 om kommunene og fykekommunene be pubiert 17. mar 2003. For å age foreøpige andta hadde vi da tigang ti 275 kommuner. Die dataene hadde noen vakheter, bant annet manget det data for Oo og Stavanger. Deuten var det kun en av kommunene i KOSTRA gruppe 9, meomtore kommuner med ave bundne kotnader og høye frie diponibe inntekter, om hadde evert inn data. Sev om reutatene jevnt over å bra ut vagte en å utette pubiering bant annet for å få inn ta for Oo og Stavanger og underøke itt nærmere noen av taene i andre kommuner. I de endeige beregningene om er aget for foreøpige andta er det kommet ti 60 kommuner i tiegg, bant annet Oo og Stavanger. I tabe 1.1 er reutatene baert på die 335 kommunene preentert. Vi er at preijonen på etimatene er høy, noe om kyde at over 90 proent av innbyggerne i Norge er repreentert i de 335 kommunene om er utnyttet ti beregningene. Det kan bety at eventuee måefei i data fra kommunene er et tørre probem enn utvagfeien i die andtaene. Tabe 1.1 Foreøpige ta i KOSTRA - reutater for 17 regnkaptørreer baert på 335 kommuner - ta for 2002 - miioner kroner Variabe Etimerte ta Variajonkoeffiienten 95 proent KI nedre grene 95 proent KI øvre grene Brutto driftinntekter 178 796,7 0,14 178 321,7 179 271,8 Brutto driftutgifter 178 038,3 0,15 177 478,2 178 598,5 Brutto driftreutat 758,4 12,31 575,5 941,3 Netto driftutgifter 122 291,5 0,15 121 932,4 122 650,7 Renter 204,8 38,61 49,8 359,8 Avdrag 5 136,4 0,65 5 071,1 5 201,6 Netto driftreutat 1 071,4 7,99 903,6 1 239,3 Statig rammetikudd 38 554,4 1,10 37 719,6 39 389,2 Andre tatige tikudd 7 519,6 1,53 7 294,1 7 745,1 Skatt på inntekt og formue 74 193,4 0,24 73 843,7 74 543,1 Sag og eieinntekter 27 759,3 0,24 27 628,0 27 890,5 Frie inntekter 112 693,8 0,24 112 154,1 113 233,5 Brutto inveteringutgifter 26 967,1 0,66 26 616,6 27 317,6 Tikudd, refujoner, agint 9 946,3 1,23 9 707,0 10 185,6 Overkudd før ån og avetninger -9 999,7 2,15-10 421,2-9 578,1 Intern finaniering -5 239,3 6,46-5 902,8-4 575,7 Bruk av ån 21 145,4 1,68 20 446,9 21 844,0 Denne tabeen er en kopi av tabe 8.2. Vi påvier ogå i anayen av die foreøpige andtaene at når Oo hode utenfor er informajoninnhodet i taene baert på de 275 kommunene om hadde evert data ti 17. mar omtrent om for de 334 kommunene om hadde evert per 24. apri. Derom vi underøker om etimatene baert på data per 17. mar igger innenfor konfidenintervaene baert på data per 24. apri er varet ja for 9 av 15 tørreer om kan ammenikne og de ek utenfor konfidenintervaene havner forhodvi nær. Motatt gjeder at ae etimerte ta baert på data per 24. apri igger trygt innenfor konfidenintervaene for data per 17. mar. Atå kan vi konkudere med at taene er ite påvirket ved å egge ti 59 kommuner utenom Oo, men preijonen i tokningen av taene er forbedret betydeig for en de tørreer. Dette kyde ti en tor grad at dekninggraden måt ved andeen av befokningen har økt fra 70 ti 90 proent. Tapet i økt preijon kan være at fei i kommunetaene gir tørre muighet for feiaktige tokninger måt ved preijonen ti konfidenintervaene. For detajer om dette henvier vi ti tabeene 8.5 og 8.6. Et annet viktig punkt ved oppegget for beregningene er vaget av forkaringvariabeen. I ae anayene har vi nyttet den totae fokemengden uanett regnkaptørree. En avgjørende årak ti at 2
det er guntig å bruke amme forkaringvariabe for ae regnkaptørreene er at det ikrer at ineære ammenhenger meom die på kommunenivå bevare for de beregnede andtaene. Dette kan vi utrykke mer formaiert derom en antar at R regnkaptørreer (1.2.2) Y k,,1, Yk,,2,..., Yk,, R oppfyer betingeen (1.2.3) c r Y k,, r = 0 R r= 1 for ae kommuner k. Derom vi bruker amme forkaringvariabe for ae Y i modeen definert ved (1.2.1) vi de beregnede totaene (1.2.4) T ˆ,1, Tˆ,2,..., Tˆ, R oppfye de amme betingeene, atå har vi (1.2.5) c r Tˆ, r = 0 R r= 1 for hvert tratum. Dette vier at det er både guntig og nødvendig å bruke det totae foketaet om forkaringvariabe for å beregne najonae ta for ae regnkapta om ka henge ammen gjennom den ineære betingeen gitt ved (1.2.3). Dette vier at ogå for driftutgiftene for barnehager og grunnkoen vi det være nødvendig å bruke det totae foketaet i tedet for fokemengden i de adergruppene om tjenetene tar eg av. De amme argumentene kan ogå bruke for å nytte det totae foketaet om forkaringvariabe for å ve tjeneteprodukjonen om peronereurene når vi er på de totae ammenhenger. For mer peiee anayer innen de enkete funkjoner er adergruppene om funkjonene dekker mer reevante og bruk av den modeen vi har introduert kan ogå gi mer direkte tokninger om ioert ett fungerer bedre. 1.3. Innhodet i notatet I kapitte 2 gi en overikt over brutto driftinntekter for kommunene i Vetfod for år 2000 (kun ek kommuner) og for år 2001 da ae kommunene everte KOSTRA ta. Dette enke taekempet nytte ti å vie hvordan ratemodeen fungerer i praki. Seve teorien for ratemodeen og metodene om bruke er bekrevet i kapitte 3, men kapitte 4 innehoder en gjennomgang av produkjonoppegget for foreøpige andta. I kapitte 5 og 6 er deretter dette oppegget prøvd ut på henhodvi KOSTRA kommunene i 2000 og på kommunene om hadde evert inn ta per 15. mar i 2002, i begge tifeene på ta for 2001. Reutatene er evauert i forhod ti de endeige taene for KOSTRA i 2001. I kapitte 7 er de foreøpige andtaene for 2003 beregnet baert på kommunene om hadde evert data ti pubieringen 17. mar 2003. Vi har ogå evauert reutatene i forhod ti taene for 2001. For å forbedre og trygge die andtaene ytterigere be det agt ti 60 kommuner om hadde endt inn ta før 24. apri 2003 ik at de beregningene og evaueringene om er gjennomført i kapitte 8 bygger på hee 335 kommuner om dekker over 90 proent av foketaet i Norge. Det er imidertid ikke ut ti at die ekti kommunene endrer det bidet om de 275 kommunene ga av den totae kommuneøkonomien utenom Oo måt gjennom de tørreene om er brukt i beregningene. Ti utt er ta for hver av KOSTRA gruppene for de 17 regnkaptørreene om foreøpige ta for 2002 omhander dokumentert i vedegg A, men SAS programmet og utkriften er gjengitt i henhodvi vedegg B og C. 3
Produkjonoppegget om preentere i kapitte 4 bygger på en produkjoninje der godkjente KOSTRA ta hente inn fra Ece regneark ti SAS ik at beregningene kan gjennomføre og evauere og deretter egge reutatene tibake ti Ece regneark. Det anbefae at SAS/Inight bir utnyttet ti å e på data og reutatene i tiegg. For en mer omfattende innføring i bruken av ratemodeen i tatitikkprodukjonen og dokumentajon av et generet program i SAS for beregningene vie det ogå ti et arbeid om etimering og varianberegninger, Soheim og Fadmo(2003). På bakgrunn av de reutatene om er oppnådd på data for 2001 er det grunn ti å tro at oppegget vi virke tifredtiende, men hvor gode andta og indikatorer på andnivå dette oppegget gir for 2002 vi ført kunne fatå når de endeige taene for 2002 er kare. En feikide om ikke har vært muig å underøke, er hva avviket meom de foreøpige KOSTRA taene kommunene everte og de endeige taene fra kommunene, betyr for reutatene. Det er agt vekt på å bruke enke og overiktige metoder om gir gode nok ta, men ikke nødvendigvi de bete i ae ituajoner. Dette kyde at produkjoninja må være enke og rak på grunn av vært knappe tidfriter. I tiegg er det ogå nødvendig å bevare regnkapbetingeer og det medfører at vi må bruke den totae fokemengden om forkaringvariabe for ae regnkaptørreer ev om dette ikke nødvendigvi gir mint uikkerhet i reutatene. På grunnag av de erfaringene om dette oppegget gir for året 2002 vi reutatene bi evauert einere i øpet av høten 2003. En vi da vurdere hvike forbedringer om kan egge inn i pubieringen av foreøpige ta for 2003. Et viktig punkt i produkjonen av KOSTRA taene om er berørt i kapitte 4 er bruken av SAS/Inight for å e på data og reutatene. I det førte tifeet kan en utnytte verktøyet ti å avøre fei i data eer at kommuner har endret eg kraftig fra forrige år i forhod ti ammeniknbare kommuner, men en i det andre tifeet kan avøre kommuner om bør behande peiet iden de både er avvikende og har tor innvirkning på reutatene. Dette verktøyet og metodene om er kobet ti SAS/Inight bør få en angt mer entra pa i behandingen av KOSTRA data fra mottak ti pubiering. Sik ett kan ogå deer av kapitte 4 ee på om en innføring i bruken av SAS/Inight i behandingen av KOSTRA taene. 4
2. Et enket ekempe for kommunene i Vetfod I tabe 2.1 er det gitt noen KOSTRA ta for kommunene i Vetfod for årene 2000 og 2001. Die ka bruke om regneekemper for å vie fram prinippene og metodene i dette notatet, e kapitte 3. Tabe 2.1. Brutto driftinntekter og anta innbyggere for kommunene i Vetfod, 2000 og 2001 Kommune Brutto driftinntekter. 1 000 2000 2001 Brutto driftinntekter Brutto drift- per inntekter. innbygger 1 000 Anta innbyggere 1 Anta innbyggere 2 Brutto driftinntekter per innbygger 07 Vetfod 215 030 7 226 837 216 456 33 387 0701 Horten 689 671 24 049 28 678 792 792 24 302 32 623 0702 Hometrand 288 542 9 384 30 748 321 698 9 426 34 129 0704 Tønberg 1 184 629 35 145 33 707 1 316 752 35 326 37 274 0706 Sandefjord 39 813 1 293 687 40 079 32 278 0709 Larvik 1 169 367 40 681 28 745 1 321 312 40 795 32 389 0711 Svevik 188 182 6 416 29 330 208 911 6 445 32 414 0713 Sande 7 478 243 494 7 524 32 362 0714 Hof 2 970 101 655 3 033 33 516 0716 Våe 4 248 162 684 4 319 37 667 0718 Ramne 112 569 3 790 29 702 128 154 3 853 33 261 0719 Andebu 4 750 153 121 4 823 31 748 0720 Stokke 9 613 317 352 9 815 32 333 0722 Nøtterøy 19 742 623 894 19 797 31 515 0723 Tjøme 4 540 153 954 4 533 33 963 0726 Larda 2 411 87 377 2 386 36 621 I år 2000 detok ek av kommunene i Vetfod i KOSTRA, nemig Horten(den gang Borre), Hometrand, Tønberg, Larvik, Svevik og Ramne. Fire av de ek kommunene er kommuner der de fete av innbyggerne bor i tettbygde områder iden befokningen i henhodvi byene Horten, Hometrand, Tønberg og Larvik ammen med andre tettteder i die kommunene utgjør en dominerende de av befokningen. De to andre kommunene om eer detok i 2000, Svevik og Ramne, er i tørre grad repreentanter for mindre kommuner med betydeig ande av befokningen utenfor tettteder - dette gjeder ærig Ramne. I avnitt 3.6 gjennomgå inndeingen av kommunene i KOSTRA gruppene om er kontruert på grunnag av tørreen ti kommunene måt ved innbyggertaet, tørreen på bundne utgifter baert på ovpåagte oppgaver og tørreen på de frie diponibe inntektene kommunene itter tibake med. Fra tabe 3.6.1 er en at de ek KOSTRA kommunene i 2000 er vært godt fordet utover KOSTRA gruppene i forhod ti ae femten kommunene i Vetfod. Ramne hører ti i gruppe 1 - må kommuner(innti 4 999 innbyggere) med midde bundne kotnader per innbygger og ave frie diponibe inntekter per innbygger. Det finne fire andre kommuner i amme gruppe - Hof, Våe, Andebu og Tjøme. Larda tihører ogå må kommuner med midde bundne kotnader, men den har midde frie diponibe inntekter, om forkarer hvorfor Larda har forhodvi høye brutto driftinntekter per innbygger. Hometrand er ekempe på en meomtor kommune( fra 5 000 ti 19 999 innbyggere) med ave bundne kotnader og midde frie inntekter, men Svevik er en meomtor kommune med midde 1 Offiiee befokningta per 1. januar 2001 2 Offiiee befokningta per 1. januar 2002, for Ramne og Våe er taene beregnet på grunnag av befokningtaet for Re kommune 5
bundne kotnader og ave frie diponibe inntekter. Stokke hører ti amme gruppe, men Nøtterøy kier eg fra Hometrand kun på ave frie diponibe inntekter i tedet for midde. På den annen ide kier Sande eg fra Svevik med midde frie diponibe inntekter i tedet for ave frie diponibe inntekter. Ti utt er tre av de fire tore kommunene i Vetfod med bant KOSTRA kommunene i 2000, kun Sandefjord manger. Ti ammen forteer dette at utvaget av KOSTRA kommuner i 2000 er vært repreentative for de femten kommunene i Vetfod. I tiegg dekker die 6 kommunene over femti proent av innbyggerne i Vetfod. Ti ammen burde dette gi gode muigheter for at en ka treffe godt på totata for Vetfod baert på data fra die ek kommunene. I nete kapitte nytte dette ekempet ti å e vie hvordan metodene kan bruke på virkeige data. Legg imidertid merke ti to vært tydeige tendener i tamateriaet: Økningen i brutto driftinntekter per innbygger fra år 2000 ti år 2001 er vært ynig i de ek kommunene med ta for begge år der Svevik øker mint, 10,5 proent, og Horten met med 13,8 proent. Brutto driftinntekter per innbygger for år 2001 i de femten kommunene i Vetfod varierer forhodvi ite, fra 31 500 på Nøtterøy ti 34 100 i Hometrand, med unntak av for Tønberg, Våe og Larda om ae tre igger rundt kr 37 000. I nete kapitte ta det tak i den ite obervajonen for å vie hvordan en kan forbedre metoden og reutatene ved å gi en peie behanding av en ik avvikende obervajon når kommunen amtidig påvirker reutatet. 6
3. Den tatitike ratemodeen brukt i KOSTRA KOSTRA omhander kort fortat tre typer informajon om tie ammen for hver kommune og fykekommune, nemig Regnkapta Tjeneteprodukjon Peronareurer og kan itt mer edig bekrive om inntekter ti å kare utgiftene(regnkaptaene) hviken hjep innbyggerne i kommunen mottar(tjenetene) og ti hviken kotnad hvem om everer hjepen ti innbyggerne(peronareurene) og hvor tore die er Vi ka i dette kapitet gå gjennom den tatitike modeen om bruke for å fortå taene og hvordan de bekriver kommunen gjennom KOSTRA. Siden vært mange av inntektene og utgiftene, tjenetene og peronareurene er avhengig av eer rettet mot betemte befokninggrupper og ærig befokninggrupper i betemte adre er det ogå heniktmeig å innføre en betegnee på en fjerde type informajon om bekriver kommunen, nemig Befokningtaene Utgifter, tjeneteprodukjonen og peronareurene i barnehagene er kobet ti adergruppa 1-5 år, men utgiftene, tjeneteprodukjonen og peronareurene i grunnkoen er kobet ti adergruppa 6 ti 16 år. Dette er ekemper på KOSTRA ta om er kobet ti vært preie adergrupper i kommunen, men utgifter ti hjemmeykepeien ammen med tjeneteprodukjonen dette gir og peronareurene om bruke ikke er ike preit kobet ti en betemt adergruppe. Rett nok er det mete av produkjonen rettet inn mot adergruppa over 67 år, og kankje peiet de over 80 år, men ogå andre adergrupper har krav på og mottar peie- og omorgtjeneter gjennom hjemmeykepeien. I avnitt 3.1. definere og bekrive egenkapene ti den modeen om nytte ti å bekrive taene, men det i avnitt 3.2 vie hvordan etimater og uikkerhet beregne i denne modeen. Avnitt 3.3 hander om hvordan apparatet benytte ti å beregne aboutte totata for grupper av kommuner og hee andet ammen med uikkerheten ti de amme tørreene. I avnitt 3.4 tie det opp noen metoder for henhodvi revijon og imputering av taene, men verktøyet kan ogå nytte ti å forbedre predikjonen av totataene i avnitt 3.3. I avnitt 3.5 vie det at regnkapbetingeer på kommunenivå bevare ved bruk av amme forkaringvariabe for ae regnkaptørreer. Ti utt i avnitt 3.6 krive det opp noen reger for hvordan metodene og prinippene om er utedet og bekrevet i de foregående avnittene kan utnytte i produkjonen gjennom inndeingen av kommunene i 16 KOSTRA grupper. Hee dette kapitet og oppegget for beregningene bygger på en åkat modebaert utvagteori, e Soheim og Fadmo(2003) for en forkaring av hva dette innebærer. Her nøyer vi o med å påpeke at utvaget av kommuner om bruke ti å beregne de foreøpige andtaene ikke er trukket på forhånd, dv. før innamingen av data. Det innebærer ogå at metoden om bruke kun kan evauere gjennom hvor godt reutatene treffer for de endeige taene en tår tibake med etter at ae kommuner har evert data. 7
3.1. Ratemodeen Vi ka nå innføre det formee apparatet for å anayere taene og bruker betegneene i - for en innbygger i en kommune k - for en kommune - for en gruppe av kommuner, ofte ogå kat et tratum av kommuner Inndeingen av kommunene i grupper eer trata må bygge på at hver gruppe har noen fee trekk om gjør de ammeniknbare. Ekemper kan være at kommunene er rimeig ike i tørree, dv. etter anta innbyggere i kommunen eer igger i amme område, f.ek. fykene kunne være opphav ti en inndeing. Den inndeingen om er brukt bygger på tørree måt med antaet innbyggere, ovpåagte oppgaver måt ved nivået på bundne kotnader og handefrihet måt ved nivået på frie diponibe inntekter. Dette redegjøre det for i tørre detaj i avnitt 3.6. Ratemodeen Vi vi nå definere modeen og bruker betegneen (3.1.1) Y k, for et KOSTRA ta om det enten et regnkapta, ta for tjeneteprodukjon eer ta for peronareurer. Videre nytte betegneen (3.1.2) k, for et ta om KOSTRA taet definert i (3.1.1) naturig kan ammenikne med. Det er fere muigheter, nemig om taet definert (3.1.2) ev er et tivarende KOSTRA ta for foregående år, et annet KOSTRA ta for amme året eer et befokningta om det er naturig å måe KOSTRA taet mot. Vi Y k, er antaet barn i barnehagene i kommune k er det rimeig å måe dette taet mot det totae antaet barn i adergruppa 1 ti 5 år, atå er k, antaet barn i adergruppa 1 ti 5 år i amme kommune k. Verdien av å gjøre en ik ammenikning kan måe ved å tie opp en mode for den preie ammenhengen meom die to taene for en gruppe av kommuner gitt ved den tatitike modeen (3.1.3) Y k, = β k, + ε k, der (3.1.4) E( ε k, Var( ε ) = 0 k, ) = k, σ 2 Modeen definert ved (3.1.3) og (3.1.4) forteer både at en antar at KOSTRA ta for kommunene i tratum har vie ikheter, men ogå at de varierer i forhod ti hverandre. Deto mindre de varierer innen et tratum deto mer treffikkert kan oppyninger om noen kommuner i tratumet fortee vært ikkert hva taene ka være for kommuner om ikke har evert ta ti Statitik entrabyrå Begrunneen for ratemodeen Før vi etter i gang med hvordan modeen ka bruke på kommunetaene vi vi ført vie hvordan modeen kan utede fra en antakee om den enkete innbygger. La o et øyebikk tenke på en enket 8
innbygger i en av die kommunene. En ik tifedig innbygger krever et tjenetetibud fra kommunen om koter kr Y, (3.1.5) i, k Vi en videre antar at for en tifedig innbygger i en av kommunene i vårt tratum er den forventede kotnaden (eer gjennomnittig utgift per innbygger) av tjenetetibudet peronen trenger ik (3.1.6) β med en variajon fra peron ti peron kan dette kombinere ti en tatitik mode: (3.1.7) Y i, k, = β + ε i, k, der feieddet ε i, k, ka forkare forkjeene i behov for tjeneter fra kommunen fra peron ti peron inkudert forkjeer meom kommunene. Rent formet bekrive dette ved antakeen (3.1.8) E( ε i, k, Var( ε ) = 0 i, k, ) = σ 2 der den førte antakeen bare er en omkriving av at feiedet måer avviket i forhod ti den gjennomnittige utgiften per peron i die kommunene og den andre antakeen tier opp et navn på det "gjennomnittige" avviket. Modeen definert i 3.1.6-8 innebærer at en antar at innbyggerne i hver kommune har i gjennomnitt de amme behovene og at variajonen meom innbyggerne ogå er den amme i ae kommuner i hvert tratum. Derom de faktike utgiftene ti ae peronene i en kommune ummere, atå k, k, k, (3.1.9) Yk, = Yi, k, = [ β + ε i, k, ] = β k, + ε og videre ette, (3.1.10) ε k = i k, ε i, k, i= 1 i= 1 gir den vanige formeen for utregningen av varianer ti uavhengige obervajoner at i= 1 i, k, (3.1.11) Var k, k, 2 2 ( ε k, ) = Var( ε i, k, ) = σ = k, σ i= 1 i= 1 Atå er det vit at modeen for enketinnbyggere gitt ved (3.1.7) og (3.1.8) reuterer i modeen for kommuneta definert ved (3.1.3) og (3.1.4) for totae utgiftta forkart ved antaet innbyggere. En ik ammenheng kan vi ogå vie het generet for andre vag av Y og. Het tivarende kunne en ogå argumentert derom det var en peie type utgifter for eer en type inntekter ti kommunen om var temaet. I å fa må en tenke at den enkete innbygger genererer inntekter direkte gjennom katt og avgifter eer indirekte gjennom overføringer fra taten fordi oppgavene er ovpåagte. Uanett vi en ofte ha at predningen kan bi tor ammeniknet med det forventede nivået fordi det er en iten ande av innbyggerne om har krav på tjenetene(utgifter) eer kaffer denne typer inntekter. 9
Ratemodeen er en av tre modeer om er behandet i Soheim og Fadmo(2003) der et program i SAS for beregninger av totaer og dere uikkerhet er dokumentert. I kapitte 4 vi vi ogå komme mer tibake ti hvordan programmet ka bruke for å få ti beregningene ammen med å e på data i SAS/Inight. 3.2. Etimater og uikkerhet Vi ka nå e på hvordan en i ratemodeen etimerer den ukjente raten popuajonvarianen for, nemig utv ik at betegneen oberverte taene β og den ukjente 2 σ. Da innføre det en betegnee på de kommunene i tratum om vi har ta k utv (3.2.1) ( k,, Yk, ) for k utv betyr kommunene k i utvaget av kommuner i tratum. Ut fra de om en antar føger ratemodeen definert ved (3.1.3) og (3.1.4) gir minte kvadrater metode at en finner føgende etimater for de to ukjente parametrene, (3.2.2) ˆβ = k utv Y k utv k, k, og 1 (3.2.3) σ ˆ = 1 der k 2 2 ( Yk, β k, ) k k utv k, er antaet kommuner i utvaget for tratum. Videre er varianen ti den etimerte raten i (3.2.2) gitt ved ˆ (3.2.4) Var( β ˆ ) = σ 2 k utv k, Vi kan derfor age et konfideninterva for den ukjente raten ved å ette inn etimatet for popuajonvarianen fra (3.2.3) i (3.2.4). Vi en gjør de vanige forutetningene om at kommunetaene er normafordete og uavhengige(betinget -verdiene) vi et 95 proent konfideninterva for den ukjente raten være gitt ved 10
(3.2.5) ˆ σˆ ˆ σˆ [ β tk 1,0.025, β + 1,0.025 ] tk der tk 1,0.025 k utv k, er 2,5 proent fraktien i Student t-fordeingen med k 1frihetgrader. Et ite utnitt av en ik tabe over fraktiene er gitt i tabe 3.2.1 for 5% og 2,5 % fraktiene der ite rad varer ti de tivarende fraktiene i tandard normafordeingen. k utv På grunnag av taene for brutto driftinntekter, e tabe 3.2.2, for de ek kommunene om var KOSTRA kommuner i 2000 kan brutto driftinntekter per innbygger i Vetfod etimere for hee Vetfod når det regne om ett tratum. k, Tabe 3.2.1. Student t-fordeingen - 2,5 og 5% fraktiene Frihetgrader( k 1) 5 proent( t k 1,0. 05 ) 2,5 proent( t k 1,0. 025 ) 1 6,31 12,71 2 2,92 4,30 3 2,35 3,18 4 2,13 2,78 5 2,01 2,57 6 1,94 2,45 7 1,89 2,37 8 1,86 2,31 9 1,83 2,26 10 1,81 2,23 15 1,75 2,13 20 1,72 2,09 25 1,71 2,06 1,65 1,96 Tabe 3.2.2. Brutto driftutgifter og anta innbyggere for årene 2000 og 2001 i de kommunene i Vetfod om detok i KOSTRA i år 2000 2000 2001 Kommune Brutto driftinntekter Anta innbyggere Brutto driftinntekter Anta innbyggere 0701 Horten 689 671 000 24 049 792 792 000 24 302 0702 Hometrand 288 542 000 9 384 321 698 000 9 426 0704 Tønberg 1 184 629 000 35 145 1 316 752 000 35 326 0709 Larvik 1 169 367 000 40 681 1 321 312 000 40 795 0711 Svevik 188 182 000 6 416 208 911 000 6 445 0718 Ramne 112 569 000 3 790 128 154 000 3 853 Summen 3 632 960 000 119 465 4 089 619 000 120 147 11
Da finner en at de etimerte driftutgiftene per innbygger i Vetfod for 2000 bir ik Yk, ˆ 3 632 960 000 β = = = 30 410 119 465 k utv k utv k, men den etimerte popuajonvarianen er ik 2 2 1 (Yk, βˆ k,) 1 σ ˆ = = 577 437 000 000 = 115 487 400 000 k 1 5 k utv k, Regner en ut kvadratroten finne tandardavviket om er mer overkommeig å toke, nemig σ ˆ = 115 487 400 000 = 339 835 Dette er et vært høyt ta ammeniknet med gjennomnittige inntekter per innbygger noe om kyde at det er tore forkjeer meom innbyggerne med henyn ti hva de direkte genererer av inntekter(katter og avgifter) og indirekte(gjennom overføringer) og i tiegg er om vi ka e Tønberg vært avvikende i forhod ti de andre fem kommunene. Innatt i formeen for et 95 proent konfideninterva ti den ukjente raten(brutto driftinntekter per innbygger) gir dette ˆ σˆ ˆ σˆ β β + = [ t 6 1,0.025, t 6 1,0.025 ] k, k, k utv k utv 339 835 339 835 [30 410 2,57, 30 410 + 2,57 ] = 119 465 119 465 [30 410 2 527, 30 410 2 527] = [27 883, 32 937] Atå kan en påtå med en ikkerhet på 95 proent at den gjennomnittige brutto driftinntekten per innbygger i kommunene i Vetfod for 2000 å meom kr 27 883 og 32 937. Tivarende beregninger for 2001 gir føgende ta og 95 proent konfideninterva: β ˆ = 34 038 σ ˆ = 331 461 [31 587, 36 495] Fra tabe 2.1 vet vi at brutto driftinntekt per innbygger i Vetfod i 2001 var på kr 33 387 om igger trygt innenfor konfidenintervaet, men den etimerte driftinntekten per innbygger er ik 34 038, atå kr 650 for høyt. Legg merke ti i tabe 2.1 at en av de ek kommunene i utvaget vårt, Tønberg, igger vedig høyt ammeniknet med de andre kommunene med unntak av Våe og Larda. Dette kommer vi tibake ti i avnitt 3.4. 12
3.3. Predikjon av kommuneta og totaer Mået vårt nå i dette avnittet er å predikere de totae KOSTRA verdiene for hee trata, atå krevet ut (3.3.1) T = Y = Y + Y k, k, k, k pop k utv k pop utv der k pop - betyr kommuner med i popuajonen, dv. ae kommuner i tratum k pop utv - betyr kommuner med i popuajonen, men ikke i utvaget i tratum Den førte ummen, etter ite ikheten i (3.3.1), er kjent iden die kommunene har evert ta, men den andre ummen er ukjent, ja enkettaene i denne ummen er ukjent iden dette er kommunene om ikke har evert ta. Derom vi kan predikere fornuftige anag for de kommunene om ikke har vart er oppgaven øt. Et naturig forøk er å utnytte etimatet av raten i forrige avnitt mutipiert med - verdien iden denne er kjent for ae kommunene, dv. (3.3.2) Y ˆ k, = βˆ k, for k pop utv. Die Y-verdiene ette nå inn i den ite ummen i (3.3.1) og gir (3.3.3) Tˆ = Y + Yˆ = Y +β ˆ = y +βˆ (X ) k, k, k, k, k utv k pop utv k utv k pop utv der y = Y k, - ummen av Y-verdiene i utvaget k utv = k, - ummen av -verdiene i utvaget k utv X = k, - ummen av -verdiene i popuajonen k pop En kan vie at varianen ti avviket meom den predikerte totaen i (3.3.3) og den ukjente totaen i (3.3.1) er ik (3.3.4) Var( Tˆ T ) = X 2 X X σ 2 Bruker en nå etimatet for popuajonvarianen i (3.3.4) finne det empirike tandardavviket ti differanen meom den predikerte totaen og den faktike(og ukjente) totaen om er gitt ved (3.3.5) SD( Tˆ T ) = X X X σˆ Dette kan da bruke ti å age et 95 % konfideninterva for den ukjente totaen i tratum etter amme et om for raten, nemig gitt ved 13
(3.3.6) Tˆ t SD( Tˆ T ), Tˆ + t SD( Tˆ T )] [ k 1,0.025 k 1,0. 025 Ved å hente fram taene for Vetfod for å e hvordan dette fungerer når de totae brutto driftinntektene for Vetfod ka beregne finne føgende ta og konfideninterva for 2001: T ˆ ˆ = y + β ( X ) = 4 089 619 000 + 30 410 (216 456 120 147) = 7 367 829 000 ˆ 216 456 120 147 331 361 SD ( T T ) = 216 456 = 138 027 000 216 456 120 147 [7 367 829 000 2,57 138 027 000, 7 367 829 000 + 2,57 138 027 000] = [7 013100 000, 7 722 557 000] Atå kan det konkudere med at den faktike totaen, 7 226 miioner, igger godt innenfor 95 % konfidenintervaet om går fra 7 013 miioner ti 7 722 miioner kroner. Punktetimatet bommet med 141 miioner kroner, dv. et reativt avvik på om ag 2 %. Siden Vetfod har omtrent 5 % av befokningen Norge vie en forvente å få et reativt avvik på i underkant av ½ proent for hee andet derom ituajonen for Vetfod var repreentativ for de andre fykene med henyn både ti utvaget tørree og avvik fra hee fyket. Det kan ve neppe kae dårig å kunne begrene feien ti en hav proent for foreøpige andta. Derom det gjennomføre en tivarende argumentajon om hviken bredde en vie endt opp med for et 95 % konfideninterva for hee andet om bekriver det ukjente andtaet, er varet innenfor ± 1 proent av den predikerte totaen. 3.4. Revijon og imputering av enketkommuner Vi har ti nå godtatt de taene om er kommet inn uten å komme inn på probemet at noen av kommunene kan ha evert feiaktige ta. Et annet beektet probem er ogå om en ka bruke ae kommunene om et grunnag ti å beregne foreøpige andta. Vi kommenterte i avnitt 3.2 at Tønberg hadde peiet høye brutto driftinntekter per innbygger og en kan derfor tie eg pørmået om reutatet hadde bitt bedre brutto driftinntekter for Vetfod ved å hode Tønberg utenfor beregningene i de to foregående avnittene. Dette ka vi komme tibake ti einere, men ført ka metoden utvike for å underøke om taene fra en kommune er fei eer annerede enn taene fra de andre kommunene. Metoden om ka utvike føger amme et, men nå underøke en betemt kommune ved å etimere raten og popuajonvarianen baert kun på de andre kommunene i utvaget. Det vier eg at en kan utnytte beregningene i avnitt 3.2 uten å måtte gjøre nye beregninger fra grunnen av for hver kommune om ekkudere etter tur fra utvaget. Reutatene kan ammenfatte gjennom føgende to former: (3.4.1) β ˆ ( ) = Y k, k, k utv k, k, k utv = βˆ Y, βˆ,, (3.4.2) σˆ 2 ( ) k = k 1 = k 2 1 σˆ 2 2 k, k utv k, ( k ( Y 2)[ k, βˆ, ( ) ] 2 k, ) ( Y, βˆ, 2, ) 14
15 Die to formene bruke videre ti å underøke om taet for kommune er vært avvikende i forhod ti de andre taene i utvaget. Da predikere ført en Y-verdi for kommune ved hjep av raten i (3.4.1) og -verdien ti kommune : (3.4.3) Y Y Y Y Y,,,,,,,,,,, ) ( ), ( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + = = = β β β Det ite eddet vier at predikjonen endrer eg mer derom predikjonavviket aerede var tort, derom -verdien er tor eer ummen av -verdiene for reten av utvaget er ite. Små kommuner betyr derfor mindre enn tore kommuner. Beregner deretter avviket meom denne predikerte verdien og den oberverte verdien. Da gir det føgende forme om vier at avviket øker proporjonat med andeen ti -verdien ti kommunen måt i forhod ti ummen av -ene for ae kommunene i utvaget : (3.4.4) ) )(1 ˆ ( ) ˆ ( ˆ,,,,,,, ), ( Y Y Y Y Y Y + = Denne kan utnytte ti å beregne varianen ti avviket om er gitt ved formeen (3.4.5) Y Y Var, 2,, ), ˆ ( ) ( = σ Ved å ette inn den etimerte popuajonvarianen fra 3.4.2 finne da føgende empirike varian ti avviket: (3.4.6) Y Y SD, 2 ) (,, ), ( 2 ˆ ) ˆ ( = σ Da har vi at derom kommune ikke kier eg fra de andre kommunene å er forhodet meom avviket og tandardavviket tudent t-fordet med 2 k frihetgrader, atå krevet ut formet (3.4.7) 2, ), (, ), ( ), ( ~ ) ˆ ( ˆ = k t Y SD Y Y Y r og den kae for det tudentierte reiduaet om beregne i de fete tatitikkprogrammer, f.ek. i SAS. I utkriftene i SAS betegne den med RT_Y. Dermed kan det tie opp et kriterium for å underøke om en kommune itt KOSTRA ta avviker terkt fra de andre kommunene gjennom å underøke om forhodet i (3.4.7) er tort i aboutt verdi. Vi kan f.ek. påtå at kommune kier eg fra de andre kommunene ved ignifikannivå 5 proent derom (3.4.8) 78 2, ) ˆ ( ˆ 2,0.025, ), (, ), ( ), ( = > = k t Y SD Y Y Y r iden k 2 4 = i dette tifeet.
Vi ka nå bruke apparatet om er utviket ti å underøke om noen av de ek kommunene i Vetfod hadde vært avvikende brutto driftinntekter i forhod ti de fem andre. I tabe 3.4.1 er reutatene av en anaye av de ek KOSTRA kommunene fra 2000 på taene for 2001 ammenfattet. Når en ka vurdere om en kommune er vært annerede må en ogå i tiegg e hva ag innfytee denne kommunen har på beregningene, atå på etimatet av raten. Derom en kombinerer formene (3.4.1), (3.4.4) og (3.4.6) med (3.4.7) er vi at det er føgende ammenheng: (3.4.9) β ˆ ( ) βˆ = σˆ r ( ) ( ) (,, ) Vi er at det uttrykket under rottegnet voker med verdien ti,, atå er det kombinajonen av en tor aboutt verdi ti det tudentierte reiduaet ammen med at kommunen er reativt tor om bør føre ti at vi vurderer om denne kommunen kun ka tee for eg ev. Føgende tandardierte uttrykk for innfyteen ti en obervajon måt på virkningen ti raten beregne f.ek. i SAS der den ogå betegne DFBETAS: (3.4.10) DFBETAS ( ) = βˆ ( ) σˆ βˆ ( ) = r ( ),, I itteraturen anbefae det at en aboutt verdi på over 2 bruke om indikajon på om obervajonen har for tor innfytee på reutatet. I tabeen nedenfor er vi reutatet av en anaye av om kommunene er avvikende og /eer har tor innfytee. Tabe 3.4.1. Kommune Reutatene av anayen av om det er avvikere bant kommunene i utvaget for Vetfod Brutto driftint. Anta innbygg. ˆβ () Ŷ (), Y ˆ, (),, SD(Y Y ) r ( ), DFBETAS ( ) 0701 Horten 792 792 000 24 302 34 397 43 135 693 60 958 934 0,71-0,36 0702 Hometr. 321 698 000 9 426 34 031-923 952 37 465 196 0,02 0,01 0704 Tønberg 1 316 752 000 35 326 32 691-161 916 527 17 706 743 9,14 5,90 0709 Larvik 1 321 312 000 40 795 34 886 101 879 401 76 699 163 1,33-0,95 0711 Svevik 208 911 000 6 445 34 131 11 060 180 30 068 814 0,37-0,09 0718 Ramne 128 154 000 3 853 34 064 3 095 460 23 322 708 0.13-0,02 Det er iøynefaende fra de to ite koonnene over tetverdiene at tredje rad kier eg vært kart ut. Tønberg har både enn høy verdi for det tudentierte reiduaet og for innfyteen om måe i ite koonne. Derom Tønberg hode utenfor beregningene gir det et kraftig utag: Brutto driftinntekter per innbygger i Tønberg kommune er kart høyere enn for de andre fem kommunene. Det behøver ikke betyr at taet er fei, men det er noe å vinne på å hode Tønberg utenfor beregningene når de totae brutto driftinntektene for de fjorten andre kommunene i Vetfod ka predikere. La o ført ummere opp de tørreene om bruke: β ˆ 32 691 ( Tbrg) = σ ˆ (Tønberg) = 79157 16
ˆ(Tbrg) ˆ(Tbrg) ˆ σ ˆ σ [ β(tbrg) t k 2,0.025, β (Tbrg) + t k 2,0.025 ] = [31935, 33 446] k utv k Tbrg k, k utv k Tbrg Vi egger merke ti at konfidenintervaet for brutto driftinntekter per innbygger er angt maere enn tidigere og deuten at den anne verdien på kr 33 387 fortatt igger i det intervaet vi har regnet ut, men taet for Tønberg, kr 37 274, igger angt utenfor dette intervaet. Det er ikke overrakende at intervaet be maere iden det etimerte tandardavviket i popuajonene er reduert fra 339 835 ti 79 157, atå ti under en fjerdede. I tiegg er etimatet for predningen, tandardavviket, et ta om nå harmonerer angt bedre i forhod ti de gjennomnittige driftinntektene per peron. Vi egger merke ti at men punktetimatet for hee utvaget å over den anne verdien er nå det motatte tifeet, men det henger evagt ammen med at vi fjernet den kommunen med det høyete taet. La o avutte regneekempet med å e på hva dette gir o når vi ka predikere de totae brutto driftutgiftene for ae kommunene ti ammen i Vetfod ved å peiabehande Tønberg. Nå ka tørreen k, (3.4.11) Tˆ = Y + Yˆ = () k, k(), k utv k pop utv Y +β ˆ = y +βˆ (X ) k, () k, () k utv k pop utv beregne og det betyr at i ekempet vi Tønberg kun tee for eg ev, men vi bruker de andre fem kommunene ti å beregne predikerte brutto driftinntekter for de ni kommunene utenfor utvaget vårt. Da gjeder føgende forme for å beregne det empirike tandardavviket for avviket meom predikjonen definert i (3.4.11) og den ukjente totaen: (3.4.12) SD(Tˆ T ) = [X ] (), X σˆ () X,, Setter vi inn taene finner en føgende predikerte tota med tihørende tandardavvik: T ˆ ( Tbrg) = 4 089 169 000 + 32 691 (216 456 120 147) = 7 238 038 000 96 309 79 157 SD ( Tˆ ( Tbrg ) T ) = 181130 = 35 897 181130 84 821 Bruker vi dette ti å ette inn i formeen for et 95 proent konfideninterva gir dette [7 138 243 000, 7 337 832 000] om både er angt maere og dermed ett mer preit anag på de totae bruttodriftutgiftene for kommunene i Vetfod og deuten igger fortatt det anne taet for Vetfod, kr 7 226 837 000, trygt innenfor konfidenintervaet. I tiegg egger vi merke ti at det faktike avviket meom predikjonen og annheten er kun 11 201 000 eer i ord: eeve miioner og to hundre og ett tuen kroner 17
om er 0,15 proent av de totae driftutgiftene for kommunene i Vetfod. Vi vi nå utnytte dette ti å beregne et uttrykk for brutto driftutgifter baert på etimatet for totaen ovenfor, nemig (3.4.13) β ˆ = * ˆT () X Innatt med ta fra ekempet finne nå brutto driftinntekter per innbygger i Vetfod ik ˆ * 7 238 038 β = = 33 439 216 456 om er kun kr 52 for høyt, eer om for totataet, kun 0,15 proent for høyt. Vi brukte metoden om er utviket i dette avnittet ti å forbedre predikjonen av de totae brutto driftinntektene for kommunene i Vetfod, men vi kunne ogå brukt metoden ti å godkjenne eer underkjenne ta evert av den enkete kommune. Det betyr at vi ammenikner ta for en gruppe kommuner om i utgangpunktet ka være ike med henyn ti de taene om er evert. Da vi vi bruke reutatet i de to ite koonne i en tabe av amme type om tabe 3.4.1 ti å avgjøre dette pørmået. For at en ik framgangmåte ka ha noen framgang er vi avhengig av at reten av taene er korrekte og at det har mening å ammenikne de kommunene om tie ammen i en gruppe eer tratum. 3.5. Bevare regnkapbetingeer I et regnkap ka tørreene henge ammen. Reutatet er f.ek. ik de totae inntektene minu de totae inntektene. Utgiftene kan f. ek. fordee på utgiftene ti forkjeige funkjoner eer agt på en annen måte å vi ummen av utgifter over ae funkjoner være ik de totae utgiftene. Sike betingeer må bevare når en beregner foreøpige andta. Vi ka nedenfor vie at derom en bruker amme forkaringvariabe for ae regnkaptørreer føger det at regnkapbetingeene bevare ved regningene av foreøpige andta når en bruker ratemodeen. La o anta at en gruppe regnkaptørreer (3.5.1) Y k,,1, Yk,,2,..., Yk,, R oppfyer en regnkapbetingee (3.5.2) c ry k,, r = 0 R r= 1 der cr - ene er ik -1 eer 1. Derom vi er på inntekter, utgifter og reutat er c 1 = 1, c2 = 1og c3 = 1. Videre anta det at en bruker modeen definert i (3.1.3) og (3.1.4) for ae regnkaptørreene, atå (3.5.3) Yk,, r = β, r k, + ε k,, r der E( ε k,, r ) = 0 og Var( ε k,, r ) = σ, r k, for ae i=1,2,...i. Da føger det evagt av den utedningene i avnitt 3.2 og 3.3, nærmere betemt formene (3.2.2) og (3.3.3) at i hvert tratum predikere totaene ved formeen 2 18
Yk,, r k utv (3.5.4) ˆ X, r = β ˆ, r X = X = Y Da føger det ganke enket at T k,, r k utv R R R (3.5.5) ˆ ˆ, =, = [,, ] = [ R X X crt r cr β r X cr Yk r cryk,, r ] = 0 r= 1 r= 1 r= 1 k utv k utv r= 1 ved å bytte om rekkeføgen på ummene og bruke betingeen i (3.5.2). Atå har vi vit at regnkapbetingeene bevare for ae trata. Da gjeder evagt det amme for hee andet under ett iden det bare er en um over trata. Et viktig poeng i tiegg er at derom vi karakterierer en kommune om ektrem etter oppegget i avnitt 3.4 på grunn av en regnkaptørree må kommunen behande om ektrem for ae regnkaptørreer for at en ka behode regnkapbetingeene. Siden regnkapbetingeene er het fundamentae betyr dette at ved vag av forkaringvariabe kan vi ikke vege den bete for hver regnkaptørree, men må vege en om fungerer godt nok for ae variaber. Det er vankeig å e at andre vag enn den totae fokemengden kan fungere i en ik ammenheng. Det betyr imidertid at ratemodeen for ae arter og funkjoner vi føre ti at beøpene om bruke eer motta regne per innbygger i at og ikke i forhod ti den gruppen om tjeneten primært er rettet inn mot. Et annet poeng er at de tore forkjeer meom kommunene med henyn ti en ik kaering ka være tatt hånd om gjennom inndeingen i de 16 KOSTRA gruppene, e nete avnitt. Atå ka en å enke mode innen hvert tratum kunne fungere rimeig bra. 3.6. Reger for ammenikninger Vi ka i dette avnittet e itt på hvordan vi kan bruke apparatet om er utviket i de foregående avnittene i praki for å beregne andta og eventuet ogå kunne pubiere ta for grupper av kommuner. Vi har i de foregående avnittene utarbeidet et metodeoppegg for hvordan totata for trata kan beregne. Totata for andet finne evagt gjennom å ummere totataene for andet. Oppegget inkuderer ogå muigheten ti å behande enkete kommuner for eg ev, e avnitt 3.4, men det bærende prinippet er uanett at en tørree om bare er kjent for et utvag av kommuner ka kunne ammenikne med et oppyning om er kjent for ae kommuner. Det naturige er ofte å ammenikne med et befokningta, enten ae innbyggerne i kommunen eer antaet innbyggere om tjeneten er rettet ti. I noen tifeer kan det ogå være at KOSTRA taet må ammenikne mot et annet KOSTRA ta. Et typik ekempe kan være utgifter per bruker. I et ikt tifee vi det være heniktmeig om en ført beregner taet for antaet brukere gjennom en ammenikning mot befokningtaene og deretter beregne utgiftene gjennom å ammenikne mot antaet brukere, e foregående avnitt. Uanett hvike typer ta om ka pubiere vi en bruke amme framgangmåte, nemig ført beregne totataene og deretter de forhodene eer indikatorene om ka pubiere. Det andre viktige punktet er å vege en inndeing av kommunene i trata. Her kan fere faktorer være nyttige. For det førte kan en underøke om en geografik inndeing, f.ek. enten i fyker eer anddeer er nyttig og i tiegg om ta for die områdene ogå er muig å pubiere derom kvaiteten bir god nok. Den andre faktoren er en inndeing av kommunene etter kriterier om gjør kommunene 19
forhodvi ike i hver gruppe, f.ek. etter innbyggerta og/eer fere faktorer om bekriver andre egenkaper ved kommunene, f.ek. inntekter og utgifter. Tabe 3.6.1. Gruppering av kommunene etter anta innbyggere, bundne kotnader og frie inntekter inkudert hvor kommunene i Vetfod hører hjemme. Gruppe Bekrivee 1 Små kommuner med midde bundne kotnader per innbygger, ave frie diponibe inntekter Anta Kommuner i Vetfod 48 0714 Hof, 0716 Våe, 0718 Ramne, 0719 Andebu og 0723 Tjøme 50 0728 Larda 2 Små kommuner med midde bundne kotnader per innbygger, midde frie diponibe inntekter 3 Små kommuner med midde bundne kotnader per 35 innbygger, høye frie diponibe inntekter 4 Små kommuner med høye bundne kotnader per 11 innbygger, ave frie diponibe inntekter 5 Små kommuner med høye bundne kotnader per 43 innbygger, midde frie diponibe inntekter 6 Små kommuner med høye bundne kotnader per 51 innbygger, høye frie diponibe inntekter 7 Meomtore kommuner med ave bundne kotnader 13 0722 Nøtterøy per innbygger, ave frie diponibe inntekter 8 Meomtore kommuner med ave bundne kotnader 49 0702 Hometrand per innbygger, midde frie diponibe inntekter 9 Meomtore kommuner med ave bundne kotnader 8 per innbygger, høye frie diponibe inntekter 10 Meomtore kommuner med midde bundne 27 0711 Svevik og 0720 Stokke kotnader per innbygger, ave frie diponibe inntekter 11 Meomtore kommuner med midde bundne 42 0713 Sande kotnader per innbygger, midde frie diponibe inntekter 12 Meomtore kommuner med midde bundne 8 kotnader per innbygger, høye frie diponibe inntekter 13 Store kommuner utenom de fire tørte byene 36 0701 Horten, 0704 Tønberg, 0706 Sandefjord og 0709 Larvik 14 Bergen, Trondheim og Stavanger 3 15 Oo kommune 1 16 De ti kommunene med høyet frie diponibe inntekter per innbygger 10 Det finne en inndeing av kommunene i 16 grupper om tar henyn ti Fokemengde, hvor vi kier meom må(færre enn 5 000 innbyggere), meomtore kommuner(fra 5 000 ti 19 999 innbyggere) og tore kommuner(20 000 eer fere innbyggere). Bundne kotnader per innbygger, om er et må på kommunene kotnader for å innfri mintetandarder og ovpåagte oppgaver. Inndeinger i kommuner med ave, midde og høye bundne kotnader er en inndeing etter en reativ kaa i den fortand at det er de 25 proent av kommunene med avete bundne kotnader kategoriere om kommuner med ave bundne kotnader, de 25 proent av kommunene med de høyete bundne kotnadene 20
kategoriere om kommuner med høye bundne kotnader, men de reterende femti proent av kommunene karakteriere om kommuner med midde bundne kotnader. Frie diponibe inntekter per innbygger, om er et må på hvor mye inntekter kommunene har ti dipoijon etter at de bundne kotnadene er dekket, og gir en antydning av kommunene økonomike handefrihet. Inndeingen i kommuner med ave, midde og høye frie diponibe inntekter per innbygger er ogå her gjennomført ved kvartiene, dv. de 25 proent avete(ave), de 25 proent høyete(høye) og de femti proent meom kvartiene(midde) Inndeingen er gjennomført på grunnag av data for 1998, e Langørgen, A., R. Aaberge og E.R. Åerud (2001). I tiegg er det kit ut tre egne grupper av kommuner utenom denne inndeingen baert på de tre bapunktene, nemig Bergen, Trondheim og Stavanger Oo kommune De ti kommunene med høyet frie diponibe inntekter per innbygger I at kunne vi fått 30 grupper, men for mange kombinajoner finne det ikke kommuner og noen grupper er å må at en har ått ammen, f.ek. er ae tore kommuner utenom de fire tørte byene ått ammen ti en gruppe uten å ta henyn ti bundne kotnader og frie inntekter. Dette gir da ti ammen 16 grupper og i tabe 3.6.1 er die gruppene bekrevet ammen med antaet kommuner i hver av gruppene og hvordan kommunene i Vetfod fordeer eg. En egger merke ti at med henyn ti brutto driftinntekter per innbygger kier ikke die gruppene kart meom kommunene i Vetfod, men det kan være mange andre variaber der grupperingen er angt mer effektiv. La o derfor nå anta at en har en inndeing i trata, f.ek. de 16 kommunegruppene, da kan vi faktik krive opp en ganke enke forme om forkarer hvordan beregningene må gjennomføre for at vi ka få ut foreøpige andta. Ført kan det imidertid være heniktmeig å minne om formeen for den etimerte totaen, nemig forme (3.3.3) omkrevet på føgende form (3.6.1) T ˆ = βˆ X når vi bruker oppegget i avnitt 3.2 og 3.3. Totata for hee andet finne ved å ummere over ae trata, dv. (3.6.2) T ˆ T ˆ = βˆ X = Det gir da føgende metode for å regne ut forhodet meom KOSTRA totaen i forhod ti X- totaen, f. ek. totae brutto driftinntekter per innbygger på andnivå: Tˆ (3.6.3) = X βˆ * X X = βˆ der X = X Forhodet. førte ikheten i (3.6.3), gir en genere form om kan bruke uavhengig om vi beregner totaer i hvert tratum etter metoden i avnitt 3.3. eer avnitt 3.4, men den andre deen gir en enke oppkrift på hvordan vi kober ammen forhodene i hvert tratum veiet med andeen av -ene i hvert tratum. 21
Vi kan ogå beregne den empirike varianen ti andtotaen i forme (3.6.2) ved å egge ammen varianene i avnitt 3.3 2 (3.6.4) SD Tˆ 2 ( T ) = SD ( Tˆ T ) og da har vi ogå en forme å beregne det empirike tandardavviket ti forhodet i (3.6.3): (3.6.5) SD( β ˆ SD( Tˆ ) = X * * β T ) der (3.6.6) * β = T X X = X T X er den endeige raten når ae kommuner har evert ta. Oppegget for beregningene i (3.6.4) og (3.6.5) kan ogå bruke derom en utnytter metoden i avnitt 3.4 og hoder noen kommuner utenfor beregningene av totaene i hvert tratum. I å fa må en bruke de tivarende uttrykkene for å beregne totaene og tandardavviket i hvert tratum. Sammen med punktetimatet i (3.6.3) og tandardavviket i (3.6.5) kan det tie opp en forme for et 95 proent konfideninterva i tiegg der en kan bruke tinærmingen ti normafordeingen iden det er fere hundre kommuner en kan anta har vart: (3.6.7) ˆ * ˆ * * 1,96 ( ), ˆ * [ 1,96 ( ˆ * * β SD β β β + SD β β )] Vi har ogå het tivarende et konfideninterva for totaen i (3.6.2) (3.6.8) [ Tˆ 1,96 SD( Tˆ T ), Tˆ + 1,96 SD( Tˆ T )] Ti ammen gir dette en vært god muighet ti å gi en oid vurdering av de foreøpige andtaene om er beregnet. 22
4. Produkjonoppegget for foreøpige andta i KOSTRA I dette kapitet ka vi ført i avnitt 4.1 gå gjennom eve proeen fra kommuneta ti foreøpige andta. I avnitt 4.2 bekrive hvordan SAS Inight i kan bruke ti å e på kommunetaene for å danne eg et kart inntrykk av hvor gode taene er og hvike kommuner om er gode nok ti å bruke om grunnaget for å age de foreøpige andtaene. Deretter i avnitt 4.3 bekrive kort trinnene i eve kjernen av produkjonproeen, nemig beregningene av andtaene med uikkerhet. Ti utt i avnitt 4.4. bruke prinippene, metodene og verktøyet på dataene for Vetfod om be nyttet for krydre gjennomgangen av teorien i kapitte 3. 4.1. En gjennomgang av produkjonproeen Produkjonproeen kan bekrive ved ek trinn: Organiere data på riktig format for å e på data Se på data ved bruk av SAS/Inight Organiere data på riktig form for beregninger i SAS Gjennomføre beregningene ved ratemodeen Stie ammen beregningene ti andta Legge ut andtaene på rett format Vi ka nå e itt mer i detaj på de forkjeige trinnene. Organiere data på riktig format og å e på data ved SAS-Inight Data kan anayere på to måter, enten kommune for kommune eer grupper av kommuner. Det betyr at det treng to dataett - ett med kommune om rad og variabene i koonner - ett annet der variaber er rader og kommuner er koonner, dv. f.ek. derom årene 2001 og 2002 er aktuee ager vi en koonne for hvert av die årene for hver kommune. Den enkete kommune underøke - ammenikner mot foregående år I det førte tifeet er det en ammenikning meom taene for 2002 og 2001 for den enkete kommune om er metoden for å kontroere og vurdere taene om er mottatt for 2002. I dette tifeet er det met heniktmeig å ha organiert data på en ik måte at variabene(kjennemerkene) igger om rader(recorder) og kommuner og år om koonner(variaber). En kan f.ek. e på hver kommune for eg ved predningpott av taene for 2002 mot taene for 2001 en anaye ved bruk av ratemodeen der Y-ene er ta for 2002 og -ene taene for 2001 og en i begge tifeer bruker en SAS/Inight. Data må da ført være agret om en SAS datafi. En kan ogå age to avedete variaber av taene for de to årene ved å beregne henhodvi gjennomnittet av have differanen og age et predningpott av have differanen mot gjennomnittet noe om for øvrig kae et Tukeypott og er noe mer effektivt for å e forkjeer. Dette er kommune for kommune anayen grunnidé. 23