Musikkens fysikk. Johannes Skaar, NTNU. 9. januar 2010

Transkript

1 Musikkens fysikk Johannes Skaar, NTNU 9. januar 2010 I aboppgavene i TFE40 Eektromagnetisme ager du en eektrisk gitar, der den vibrerende strengen setter i gang vibrasjoner på en magnet, som videre induserer en spenning i en spoe. Foruten Faradays ov fra eektromagnetisme, trengs også itt annen fysikk og matematikk for å beskrive strengeinstrumenter: Svingninger på en streng, grunntone, overharmoniske, intervaer og skaaer, svevinger og kore ekt. Dette notatet innehoder den ikke-eektromagnetiske deen av teorien for aboppgavene i TFE40 Eektromagnetisme. 1 Svingninger på en streng 1.1 Bøgeikning og genere øsning Vi vi nå vise fra Newtons andre ov hvordan bøger kan oppstå på en streng, og finne et uttrykk for bøgehastigheten. Vi ser først på et infinitesimat eement av en streng, se fig. 1. Vi antar at vinkeen strengen danner med -aksen er iten, sik at sin tan Strekkraften (F ) antas å være konstant angs strengen, og vi negisjerer gravitasjonskraften. Dette er en god tinærmese for en godt spent streng. Massen per engdeenhet ( ) ar vi være konstant. Vi bruker nå Newtons andre ov for å finne bevegesesikningen ti det infinitesimae eementet. Hvis vinkeen er iten, er engden ti eementet tinærmet ik d, så massen er d. Kraften som virker på venstre og høyre side av eementet har henhodsvis y- komponentene F sin( ) og F sin( +d ), sik at netto kraft i y-retning bir F [sin( +d ) Her betyr sin( )] @ = y d. ska evaueres i punktet. Siste ikhet framkommer ved å Forskyvning y + d De av en streng + d Figur 1: En de av en streng.

2 y u() u( ct) ct Figur 2: Bøgen u( ct) vedt = 0 og ved t. bruke definisjonen på den dobbetderiverte. Newtons andre ov gir nå og derfor Ved å definere c = p F/, kan dette skrives 2 d = d@2 2, (2) = 2 y c 2. (4) Dette er bøgeikningen! Løsningen (D Aemberts øsning) er iføge matematikken: y = y(, t) =u( ct)+v( + ct), (5) der u og v er vikårige funksjoner. Løsningen kan kontroeres ved å sette (5) inn i (4). Vi kan toke (5) som føger: Vi veger først v = 0 og ser nærmere på eddet u( ct). Ved t = 0 har strengen formen y = u(). Etter at det har gått tiden t, ery = u( ct). Strengen har fortsatt samme form, men har fyttet seg ct i positiv -retning, se fig. 2. Bøgen har atså forfyttet seg med hastighet ct/t = c. På tisvarende vis kan vi toke v( + ct); vi finner da at denne bøgen forpanter seg i motsatt retning med hastighet c. Tokningen ti det generee uttrykket er atså en sum av to bøger som går i hver sin retning med hastighet c. 1.2 Refeksjoner og stående bøger Vi fester nå strengen ti et stiestående punkt i = 0. I dette punktet er totabøgen 0 = y(0,t) = u( ct) + v(ct), så vi får at u() = v( ). Totabøgen overat er dermed gitt av y(, t) = v( ( ct)) + v( + ct). (6) Den forovergående bøgen er atså en snudd og negativ versjon av den bakovergående. Dette beskriver fustendig refeksjon i punktet = 0. Fra Fourieranayse vet vi at ae funksjoner kan skrives som en superposisjon av sinusformede funksjoner. Det er derfor naturig å se nærmere på en ren sinusbøge v() = sin(k), der k er en ree konstant. Likn. (6) gir da y(, t) =sin(k( ct)) + sin(k( + ct)) (7)

3 n =4 n =3 n =2 n =1 0 Figur 3: Stående bøger for n = 1, 2, 3 og 4. Ved å definere! = kc, og bruke formeen for en sum av sinuser 1, fås y(, t) =sin(k!t)+sin(k +!t) =2sin(k) cos(!t). (8) Dette er en stående bøge: En bøgetopp beveger seg ikke i -retning, men svinger i stedet opp og ned i y-retning. Der hvor bøgen krysser -aksen, er utsaget atid nu. Dette kaes noder. Legg merke ti at en stående bøge er en sum av forovergående og bakovergående bøger. Vi fester nå strengen også i punktet =. Damåsin(k) = 0, hviket betyr at k må være et het anta /. Hvis vi kaer de muige k-verdiene for k n, har vi atså: k n = n, n =1, 2, 3,... (9) Siden frekvensen er gitt av f =!/2 = kc/2, får vi føgende muige frekvenser: f n = n c, n =1, 2, 3,... (10) 2 Dette kaes egenfrekvensene ti strengen. De tihørende stående bøgene kan iføge (8) og (10) skrives n y(, t) =2sin cos(n2 f 1 t), (11) der s f 1 = c 2 = 1 F () 2 er den grunnharmoniske frekvensen. De stående bøgene er skissert i fig. 3. Det er den grunnharmoniske frekvensen () som bestemmer hviken tone strengen gir, sett fra en musikers synspunkt. Ut fra () ser vi at tonen bir av ved å vege en ang og/eer tung streng. Tonen kan dessuten stemmes ved å variere strekkraften ti strengen. De overharmoniske modene n = 2, 3, 4,... har betydning for tonens karakter eer kang, dvs. hvordan tonen høres ut. Som vi ska se nå, kan disse eksiteres i større og mindre grad. 1 sin +sin =2sin + 2 cos 2

4 streng n =1 n =3 n =5 0 Figur 4: Streng som sås an på midtpunktet, og de tre første harmoniske som ikke er nu. 1.3 Så an en streng Når man sår an en fastspent streng, vi tonen høres forskjeig ut avhengig av hvor på strengen man sår, om man bruker pekter osv. Dette betyr at styrken på de uike overharmoniske er avhengig av hvordan man sår an strengen. Vi ska nå se at dette føger direkte av Fourierteori. Som et eksempe ser vi på tifeet der strengen sås an på midtpunktet med et pekter. Ved t = 0 ser atså strengen ut som øverste kurve i fig. 4. Dersom midtpunktet på strengen er avstanden A unna ikevektsposisjonen (-aksen), beskrives strengen av g() = ( 2A, 2A 1 for 0 appe appe /2,, for /2 <appe. Iføge teorien om Fourierrekker, kan funksjonen g uttrykkes 2 der koe sientene b n er g() = b n = 2 Z 0 n=1 (13) 1X n b n sin, (14) For vårt tifee (13) får vi etter å ha regnet ut integraet: 8 8A ><, for n = 1, 5, 9,... n 2 2 b n = 8A, for n = 3, 7, 11,... n >: 2 2 0, for n = 2, 4, 6,... n g()sin d. (15) 2 Det er mange måter vi kan uttrykke g vha. Fourierrekker. I dette tifeet ønsker vi å uttrykke g vha. sinusfunksjonene sin(n /) fordi det er disse funksjonene vi vet hvordan oppfører seg mhp. tiden, jfr. øsningene (11). For å få ti dette utvider vi g ti en odde funksjon på intervaet [, ] (dvs. sik at g( ) = g()), og finner den tihørende Fourierrekken. Dette er den såkate Fourier-sinus-rekken ti funksjonen. (16)

5 De første eddene i rekken (14) er vist i fig. 4. Fra (11) vet vi hvordan hvert av eddene i (14) oppfører seg mhp. tiden. Strengens oppførse bir føgeig y(, t) = 1X n b n sin cos(n2 f 1 t). (17) n=1 Mengden av hver overharmonisk frekvens som når våre ører, er gitt av b n, som igjen er gitt av strengens form ved t = 0. Vi merker oss at enhver funksjon g() som er nu i endepunktene = 0 og =, kan utvikes i en Fourierrekke sik som i (14). Dersom strengen har en vikårig form g() ved t = 0, kan vi atså finne strengens oppførse vha. (17) og (15). Hvis vi i stedet hadde vagt en annen måte å så an strengen på, vie vi atså via (15) få et annet spekter av overharmoniske, og dermed et annen oppfatning av tonen. F.eks. vi bruk av en finger gi svakere overtoner enn de som fås med et pekter. Dette er fordi fingeren vi avrunde kanten på g() i = /2. Videre vi man få sterkere overtoner dersom man sår an nært en av strengens opphengingspunkter enn om man sår an ved midtpunktet. 2 Sveving og kore ekt Vi ser nå på to rene og ike sterke sinustoner som når våre ører. Dersom frekvensene er henhodsvis f 1 og f 2, kan utsaget y på trommehinnen uttrykkes y =sin(2 f 1 t)+sin(2 f 2 t)=2sin(2 ft) cos ( ft), (18) der f =(f 1 + f 2 )/2 og f = f 2 f 1. Siste ikhet framkommer ved å bruke formeen for en sum av to sinuser. Superposisjonen av de to sinusene kan atså ekvivaent sees på som èn sinus mutipisert med en moduerende cosinus med frekvens f/2. Hvis forskjeen meom de to frekvensene er iten, f f, vi dette oppfattes som en tone med frekvens f, som varierer i styrke med angsom svevefrekvens f, se fig. 5. Legg merke ti at svevefrekvensen er f og ikke f/2, siden styrken (absouttverdien) ti den moduerende cosinusfunksjonen cos( ft) har frekvensen f. Når f er iten (mindre enn omag 15 Hz), vi vi mennesker kart kunne oppfatte svevingene. Vi oppfatter da en tone med frekvens f, som varierer i styrke. Sveving kan brukes ti å stemme: Ved å ytte ti svevingens frekvens, vet vi hvor stor frekvensforskje tonene har. Etter hvert som frekvensene bir mer ike, vi svevingens frekvens avta. Hvis f er stor, større en omag 6% av middefrekvensen f (eer noe mer for ekstra ave eer høye toner) vi vi kunne oppfatte de to tonene separat. Tonene vi imidertid sammen oppfattes som skurrende og ite behageige. 6% svarer omtrent ti en havtone for den vanige, ikestemte skaaen (se nedenfor). Om f er større enn omtrent 20% av f, hviket svarer ti omtrent 3 havtoner (såkat iten ters), bir skurringen borte, og tonene kinger fint sammen. Orkestre eer kor består av instrumenter som ikke er perfekt stemt i forhod ti hverandre. Dette gir sveving. Som vi ska se i de 3, vi sveving også oppstå sev om ae hadde hatt perfekt stemte instrumenter; overtonene har nemig ikke het samme frekvens som de tisvarende høyere tonene. Sveving er ikke nødvendigvis å anse som et uønsket fenomen pga. dårig stemming - tvert i mot gir det iv ti musikken. Sveving oppfattes gjerne av begge ørene, men ikke nødvendigvis i fase. Når svevingsampituden er maksium i det ene øret, kan det være minimum i det andre. Man får da inntrykk av at tonene beveger seg fra den ene ti den andre siden, og tibake igjen, osv. Dette kaes kore ekt. Kore ekt gir en spesiet sterk føese av iv, og er en av grunnene ti at kor og orkestre kan gi mer interessant yd enn bare enketinstrumenter. Kore ekt kan

6 2 1 y(t) 0 Frekvensspektrum Tid (sek) Frekvens (Hz) Figur 5: Summen av to sinusfunksjoner med forskjeig frekvens 95 Hz og 105 Hz kan sees på som en moduert sinus ved middefrekvensen 100 Hz. Den moduerende cosinusfunksjonen, med frekvens 5 Hz, er tegnet med prikket kurve. Svevingene (ampitudeforandringene) har frekvens 10 Hz. oppstå på føgende vis: Se først på det venstre øret ti en tihører. Anta at avstanden ti instrument 1 og instrument 2 er ik. Da mottas de to tonene i fase, sik at (18) beskriver signaet på trommehinnen. Se nå på det høyre øret. For dette øret, anta at avstanden ti instrument 1 og instrument 2 er forskjeig. Dette er ikke urimeig, siden det er en viss avstand meom ørene. Pga. denne gangengdeforskjeen, vi det være en faseforskje ' meom de to tonene som når øret. Signaet i det høyre øret kan atså skrives y h =sin(2 f 1 t)+sin(2 f 2 t + ') =2sin(2 ft + '/2) cos ( ft+ '/2). (19) Hvis f.eks. ' =, vi signaet i det ene øret være maksimum når det andre er nu. Dette gir kore ekt. Det fins eektronisk utstyr som simuerer denne e ekten; f.eks. vi synthesizere gjerne simuere kore ekt for å oppnå en yd som ikner strykere i et orkester. 3 Intervaer og skaaer Det er et fundamentat sektskap meom en sinustone med frekvens f og en med frekvens 2f: Hvis man sår en streng med grunntone f, vi man gjerne også eksitere en overharmonisk frekvens 2f. Disse tonene kinger godt sammen. Intervaet fra f ti 2f kaes en oktav. Det er naturig å ta utgangspunkt i at en skaa ska innehode ae toerpotenser mutipisert med f, dvs.2 n f for ae heta n. Omf = 440 Hz (kammertonen, A 4,A over den midterste C en på et piano), svarer dette atså ti ae A ene: 55 Hz, 110 Hz, 220 Hz, 440 Hz, 880 Hz, osv. Man kan vege andre toner i skaaen på føgende vis: Vi starter med en grunntone med frekvens f. Ta utgangspunkt i en overharmonisk frekvens ti f, og de på en toerpotens sik at resutatet bir et sted meom f og 2f. F.eks. ved å ta utgangspunkt i den overharmoniske 3f, fås (3/2)f. Denne tonen kinger bra sammen med den opprinneige tonen f, siden den er en oktav under den overharmoniske 3f. Vi kan fortsette sik med 5f og 7f, som gir tonene (5/4)f og (7/4)f. Dette er såkate naturtoner.

7 C D E F G A H C D E F CG A H C Figur 6: Den ikestemte, tempererte skaaen. Taene ska mutipiseres med kammertonens frekvens 440 Hz for å få de tihørende frekvensene. Det er et fundamentat probem med naturtonene: Om vi nå ønsker å transponere vårt musikkstykke fra grunntone f ti (3/2)f, hva bir de nye tonene i skaen? Vi kommer da fort ti nye toner som ikke finnes i den opprinneige skaaen. For å unngå probemene med naturtonene, og tisvarende probemer med andre skaaer som baserer seg på såkate rene kvinter (3/2) eer kvarter (4/3), kan man bruke forskjeig typer temperering. Dette innebærer å justere itt på frekvensene ti fere av tonene. Man kan se på dette som en kompromisøsning: Ved å justere itt på tonene, bir mange av intervaene noe faske i forhod ti de tisvarende rene intervaene, men på den andre siden får man stor feksibiitet når man ska age musikk; man kan f.eks. transponere et musikkstykke fra en tonart ti en annen. Andre probemer sik som at enkete intervaer bir vedig faske bir også redusert. Skaaen som for det meste brukes i dag, kaes den ikestemte skaaen, se fig. 6. Dette er en temperert skaa; det er en ogaritmisk skaa for frekvensen sik at en havtone opp atid svarer ti en faktor 2 1/. Skaaen er passert sik at kammertonen A 4 har frekvensen 440 Hz. En oktav (f.eks. fra en A ti den neste) svarer som før ti en faktor 2. De forskjeige intervaene er atså gitt av faktorene 2 1/,2 2/,..., 2, se tabe 1. Noen intervaer: prim stor ters kvint septim oktav Naturtoner: 1 5/4 =1, 25 3/2 =1, 5 7/4 =1, 75 2 Likestemt skaa: 1 2 4/ 1, / 1, / 1, Tabe 1: Sammenikning av noen naturtoner og de tisvarende tonene i den ikestemte skaaen.