Test, Funksjoner Innhold. Trigonometriske definisjoner.... Trigonometriske sammenhenger... 8. Trigonometriske likninger.... Funksjonsdrøfting....5 Omforme trigonometriske uttrykk av typen a sin kx + b cos kx....6 Ubestemte integraler....7 Bestemte integraler....8 Arealberegninger og andre anvendelser av bestemte integraler... 0.9 Matematiske modeller... 8 Oppgaver og løsninger Grete Larsen/NDLA
. Trigonometriske definisjoner ) motstående katet a sin A hypotenus b Riktig Galt ) hosliggende katet c tan A motstående katet a Riktig Galt
) Koordinatene til punktet P er cos v,sinv sin v,cosv tan v,sinv
) Sinus til vinkel v er førstekoordinat (x-koordinat) til punktet P. andrekoordinat (y-koordinat) til punktet P. koordinatene til punktet P. 5) sinv tanv når cosv 0. cosv Riktig Galt
6) På figuren er sinv0 og cos v 0 sinv0 og cos v 0 sinv0 og cos v 0 7) På figuren er cos v cos u sinv sinu sinv sinu 5
8) På figuren er sinv sinu cosv sinu cos v cos u 9) tanv tanv 60 Riktig Galt 0) sin50 sin0 sin0 sin0 ) cos0 cos60 cos00 cos80 6
) cos0 cos00 cos0 cos0 ) I hvilken kvadrant ligger v 0.kvadrant.kvadrant.kvadrant ) En vinkel på 70 svarer i radianer til 5) En vinkel på radianer svarer i grader til 0 60 90 7
. Trigonometriske sammenhenger ) sin60 ) tan0 8
) cos60 ) cos5 9
5) sin 6) cos5 0
7) tan 8) sin0 cos0 cos50 sin0 9) sin0 sin0 cos0 cos 50 0) sin x cos x cos x cos x
) Gitt sin x. Da er cos x 5 eller 5 5 eller + 5 5 eller 5 5 ) Gitt sinx. Da er cos x eller eller eller ) sin75 sin5 cos0 cos 5 sin0 6 sin5 cos 5 cos0 sin0 sin5 cos0 cos 5 sin0 6 ) cos5 cos 5 cos0 sin5 sin0 6 sin5 cos 5 cos0 sin0 cos 5 cos0 sin5 sin0 6
5) cos v sinvcos v 5 5 5 cos v sin v 5 5 7 cos v sin v 5 5 5. Trigonometriske likninger ) Likningen 5cos x 0 x 0,60 har løsningene L L 5 5,7 L 5,07
) Likningen tan x 0 x 0,60 har løsningene L L L 5 5, 7,7 ) Likningen 5cos x 0 x 0,60 har løsningene L L 5,7 5,07 L 7,
) Likningen cos xsin x 0 L 7,07 L n 60 7 L n 80 x har løsningene 5) Likningen cos x sin x 0 x 0,50 L L 5,, 7,7 L 7,7,97 har løsningene 5
6) Likningen cos x 0 x0,60 5 L 5,07 L L 9 5,7,,07 7,07 har løsningene 7) 8 Likningencosx 0 x0,60 5 7 L, L,7 7 50 577 L,,, har løsningene 6
8) Likningen cosx sinx 0 x 0,80 L, L, 50 68 L,,, har løsningene 9) Likningen9cos x 6sin x 0 x 0,80 L L 5,7 7, L 7,,7, har løsningene 7
0) Likningen 6cos x 0 x 0, har løsningene L L 60,0 60,00 5 L, ) Likningen tan x 0 x 0, har løsningene L 60,0 L, 5 L, 8
) Likningen cosx sinx 0 x 0, har løsningene 5 L, 5 7 L,,, 5 7 L,,, ) Likningen cos xsin x 0 L n L n 5 7 L,,, x har løsningene 9
) Likningen cos x sin x 0 x 0, har løsningene 5 L, L n 5 L 5) Likningen cos x 0 når x 0, har løsningene L, 6 6 5 7 L, 6 6 5 7 L,,, 6 6 6 6 0
. Funksjonsdrøfting ) sin cos f x x x f x cos x sin x cos x sin x cos x sin x ) fx f x x sinx sin cos x x x x sin x cos x x x sinx sin cos x x x x sin x f x sin x cos x ) f x cos x sin x cos x sin x cos x sin x x ) sin f x e x f x x e cos x x e cos x sin x x e cos x sin x
5) Gitt funksjonen f x x sin 5 Faseforskyvningen til funksjonen er 6) Gitt funksjonen f x x Amplituden til funksjonen er 5 sin 5 7) Gitt funksjonen f x x Likevektslinja til funksjonen er 5 sin 5 8) Gitt funksjonen f x x Perioden til funksjonen er sin 5 9) Gitt funksjonen f x x Den minste verdien fx kan ha er sin 5
0) Gitt funksjonen f x x fx har et bunnpunkt når x 8 sin 5 ) Gitt funksjonen f x x fx har et toppunkt når x 8 sin 5 ) sinv cosv Riktig Galt ) Funksjonen f x sin x har en vendetangent for x
) Funksjonen f x sin x 0 og har vendetangenter med stigningstall 5) Funksjonen f x sin x 0 har et toppunkt for x.5 Omforme trigonometriske uttrykk av typen a sin kx + b cos kx ) Likevektslinja til grafen ovenfor er 0
) Amplituden til grafen ovenfor er 0 ) Faseforskyvingen til grafen ovenfor er 0,5 5
) Perioden til grafen ovenfor er 5) sinx cosx Asinx A 5 5 5 6) sinx cosx Asinx tan 7) sinx cosx Asinx tan 6
8) sinx cosx Asin x 6 5 6 9) sinx cosx Asin x A 7
0) sinx cosx Asin x 6 5 6 ) sinx cosx Asin x 6 5 6 6 8
) Figuren viser grafen til en modell som gir daglengden ved den nordlige polarsirkelen. x er antall dager etter nyttår. Funksjonsuttrykket er på formen sin 0 f x A kx d. Her er d ) Figuren viser grafen til en modell som gir daglengden ved den nordlige polarsirkelen. x er antall dager etter nyttår. Funksjonsuttrykket er på formen sin 0 f x A kx d. Her er A 9
) Figuren viser grafen til en modell som gir daglengden ved den nordlige polarsirkelen. x er antall f x Asin kx d. Her er k dager etter nyttår. Funksjonsuttrykket er på formen 65 65 65 5) Figuren viser grafen til en modell som gir daglengden ved den nordlige polarsirkelen. x er antall dager etter nyttår. Funksjonsuttrykket er på formen f x Asin x d. Vi kan 65 bestemme ved å løse likningen 8 0 65 7 0 65 6 0 65 0
.6 Ubestemte integraler ) r r r x dx x r Riktig Galt ) kx kx e dx e C k Riktig Galt ) x x a dx a C a 0 lna Riktig Galt ) x dx ln x C x 0 Riktig Galt 5) sin x dx cos x C Riktig Galt
kx c dx kx c C k 6) cos sin Riktig Galt 7) tan x dx tan x C Riktig Galt 8) Hvis vi skal utføre integrasjonen integrasjon ved variabelskifte delvis integrasjon delbrøkoppspalting x x e dx, er den metoden som egner seg best 9) Hvis vi skal utføre integrasjonen xe x dx, er den metoden som egner seg best integrasjon ved variabelskifte delvis integrasjon delbrøkoppspalting x 0) Hvis vi skal utføre integrasjonen dx, er den metoden som egner seg best x x integrasjon ved variabelskifte delvis integrasjon delbrøkoppspalting ) Hvis vi skal utføre integrasjonen integrasjon ved variabelskifte delvis integrasjon delbrøkoppspalting x sin xdx, er den metoden som egner seg best
x ) Hvis vi skal utføre integrasjonen dx, er den metoden som egner seg best x integrasjon ved variabelskifte delvisintegrasjon delbrøkoppspalting x ) dx x ln x ln x ln x C C ) x sin x dx cos x C cos x C cos x C 5) x xe dx x x xe e C x x xe e C xe x e x
.7 Bestemte integraler ) x dx x C 7 ) x e dx 0 x e x e C e ) x 0 ln ln ) 0 sin x
5) Figuren viser grafen til f x x og fire rektangler under kurven. Hva er summen av rektanglene? 5 8 0 6) Figuren til venstre viser grafen til f x x og et areal under grafen. Figuren til høyre viser samme graf med fire rektangler under. Hva er differensen mellom arealet på figuren til venstre og summen av arealene av rektanglene på figuren til høyre? 5 5 5
7) Figuren viser grafen til f x summen av arealene? x og fire rektangler under kurven. Hvilket uttrykk er riktig for A f 0 f f f f x 5 A f f f f 5 f x 0 A f f f f f x x og et areal under grafen. Figuren til høyre viser samme graf med tre rektangler under. Hva er differensen mellom arealet på figuren til venstre og summen av arealene av rektanglene på figuren til høyre? 8) Figuren til venstre viser grafen til gx 6
9) Figuren viser grafen til x f x og et areal under grafen. Hvor stort er dette arealet? 5 8 0) Figuren viser grafen til h x x og to rektangler under kurven. Hva er summen av rektanglene? 9 9 5 7
) Figuren viser grafen til h x x og tre rektangler. Hva er summen av rektanglene? 5 9 ) Figuren til venstre viser summen av 0 rektangler under grafen til en eksponentialfunksjon. Figuren til høyre viser tilsvarende 0 rektangler over den samme grafen. Hva er den beste tilnærmingsverdien for arealet under grafen fra x 0 til x 0? 76 90 5 ) Figuren til venstre viser summen av 0 rektangler under grafen til en eksponentialfunksjon. Figuren til høyre viser summen av 0 rektangler under den samme grafen. Hva er den beste tilnærmingsverdien for arealet under grafen fra x 0 til x 0? 557 650 76 8
) For å bestemme arealet under en graf i Geogebra, bruker vi kommandoen Sum Under[ <Funksjon>, <Startverdi for x>, <Sluttverdi for x>, <Antall rektangler> ] Sum Over[ <Funksjon>, <Startverdi for x>, <Sluttverdi for x>, <Antall rektangler> ] Integral[ <Funksjon>, <Startverdi for x>, <Sluttverdi for x> ] 5) Figuren viser grafen til eksponentialfunksjonen fx, og ti rektangler under kurven. Hvilket uttrykk er riktig for summen av arealene? 0 0 A f 0 f f 0 f x A0 f 0 f f 8 0 8 A f 0 f f 8 f x 0 0 9
.8 Arealberegninger og andre anvendelser av bestemte integraler ) ) Figuren viser grafen til f x x x. Arealet til det fargede området er 0 7 7 Figuren viser grafen til f x dx 0 7 7 f x x x. 0
) Figuren viser grafen til f x x x. Arealet til det fargede området er 5 ) Figuren viser grafen til 0 f ( x) dx 5 f x x x.
5) Figuren viser grafen til f x x x. Arealet til det fargede området er 0 8 6) f x x x. Figuren viser grafen til f ( x) dx 0 8
7) Figuren viser grafen til f x x x (blå) og til gx f x Arealet til det fargede området er 0 8 (rød). 8) Figuren viser grafen til f x x og til gx x Arealet til det fargede området er 8.
9) Figuren viser grafen til f x x og til gx x Arealet til det fargede området er 8. 0) Figuren viser grafen til f x x. Arealet til det fargede området er
) Figuren viser grafen til f x x og gx x Arealet til det fargede området er 9 6. ) Figuren viser en kule sett fra siden. Kula er skåret gjennom av et plan slik at den blir delt i to kulekalotter. Volumet til den fargede kulekalotten er 5 8 5
) Figuren viser grafen til f x x. Volumet av det omdreiningslegemet vi får når vi dreier det fargede området 60 om x -aksen er ) Figuren viser et omdreiningslegeme sett fra siden. Funksjonsuttrykket til den røde grafen er f x x. Volumet til omdreiningslegemet er 0 0 0 f x dx x dx x x dx 6
5) Figuren viser en rett kjegle sett fra siden. Volumet til kjeglen er 9 6 6 7
.9 Matematiske modeller ) Punktene i koordinatsystemet viser antall innbyggere i en kommune x år etter 980. Hvilken modell passer best til å beskrive utviklingen i folketallet fra 980 til 00? f x 600,0 x 0,5 600 x f x 600 0 f x x ) Punktene i koordinatsystemet viser verdien til en bil x år etter at den var ny. Hvilken modell passer best til å beskrive utviklingen til verdien til bilen? f x 00 000,00 x f x 00 000 0,85 x 00 000 50 000 f x x 8
) Punktene i grafen angir befolkningen i Norge fra 900 til 00 i millioner. Grafen viser en modell av denne utviklingen basert på befolkningstallene. Hvilket uttrykk kan være funksjonsuttrykket til grafen? f x,,007 x, f x, x, 0,0x 0 f x 0,0000 x 0,0x, ) Petter har plantet en solsikke og antar at høydeveksten til solsikken kan beskrives med en lineær modell. Han tar tre målinger, etter, og 6 uker og finner at høyden er henholdsvis 6, cm,, cm og 8,0 cm. La x være antall uker etter plantingen og fx høyden i cm. Hvilken modell passer best? 6 6 f x 6 f x 0 f x x x x 9
5) Funksjonen fx,0,08 x er en modell for utviklingen av verdien på en leilighet i millioner x år etter 008. Hva var verdien på leiligheten i 009 ifølge modellen?,0 millioner, millioner,0 millioner 6) Funksjonen f x,5 x er en modell for høyden til et stearinlys i centimeter etter at det har brent i x timer. Hvor mange timer kan lyset brenne?,5 timer timer timer 7) Figuren viser grafen til f. f er modell for høyden i centimeter til et kjegleformet stearinlys etter at det har brent i x timer. Hvor høyt var lyset da det var nytt? ca 8 cm ca cm Det kan vi ikke si noe om ut fra modellen 50
8) Å modellere er å finne matematiske modeller eller formler som viser sammenhengen mellom ulike størrelser Riktig Galt 9) Formelen Ar er en matematisk modell som viser sammenhengen mellom radius i en sirkel og arealet til sirkelen Riktig Galt 0) Den blå grafen er en modell for vannstanden gjennom et døgn et sted på norskekysten. Funksjonsuttrykket er på formen sin Her er A - meter meter 8 meter f x A kx d. 5
) Den blå grafen er en modell for vannstanden gjennom et døgn et sted på norskekysten. Funksjonsuttrykket er på formen sin Her er d - meter meter 8 meter f x A kx d. 5
) Den blå grafen er en modell for vannstanden gjennom et døgn et sted på norskekysten. Funksjonsuttrykket er på formen sin Her er k 6 f x A kx d. 5
) Den blå grafen er en modell for vannstanden gjennom et døgn et sted på norskekysten. Funksjonsuttrykket er på formen sin Vi kan bestemme ved å løse likningen k.6 0 k 7.6 0 k 0.6 0 f x A kx d. 5
) Den blå grafen er en modell for vannstanden gjennom et døgn et sted på norskekysten. Hvor mange timer er det mellom hver gang det er høyvann? 0,5 timer timer timer 55
5) Den blå grafen er en modell for vannstanden gjennom et døgn et sted på norskekysten. Per fortøyer båten sin en gang det er høyvann. Hvor langt tau må han ha hvis båten hele tida skal ligge på vannet? meter 8 meter meter 56