HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi Eksamensdato: 19.5.211 Varighet/eksamenstid: Emnekode: 5 timer EDT24T Emnenavn: Signalbehandling 1 Klasse(r): 2EE Studiepoeng: 1 Faglærer(e): Håkon Grønning og Ingrid Kvakland Kontaktperson(adm.)(fylles ut ved behov kun ved kursemner) Hjelpemidler: Oppgavesettet består av: Vedlegg består av: Kalkulator HP3S, Citizen SR27 eller Citizen SR27X 4 oppgaver over 8 sider inkludert forside 4 sider formler Merknad: Lykke til!
Eksamen i EDT24T Signalbehandling 1, 19. mai 211 Side 2 av 12 Oppgave 1 (25%) Vi har laget en funksjon i Matlab vist under og lagret denne i fila eksamen.m function x = eksamen(w, N) % % Oppgave til eksamen 211 % n = :N-1; x = cos(w*n); a) I Matlabs kommandovindu skriver vi: x1 = eksamen(pi/4, 8); stem(:7, x1); Følgende plot tegnes: 1.5 x1[n] -.5-1 1 2 3 4 5 6 7 n Hva er den diskrete vinkelfrekvensen til det sinusformede diskrete signalet? b) I Matlabs kommandovindu skriver vi følgende: x2 = eksamen(pi/2, 8); stem(:7, x2); Skisser det plottet som nå vil genereres. Husk å sette relevante verdier og symboler på skissen. c) Vi legger nå sammen signalene fra a) og b) ved å skrive: x_sum = x1+x2; stem(:7, x_sum); Skisser det plottet som nå vil genereres. Husk å sette relevante verdier og symboler på skissen.
Eksamen i EDT24T Signalbehandling 1, 19. mai 211 Side 3 av 12 d) Vi skal nå se på DFT (diskret Fourier transformasjon). I Matlab utføres DFT ved å bruke funksjonen fft(). I Matlabs hjelp for fft står blant annet: FFT(X) is the discrete Fourier transform (DFT) of vector X. Vi bruker signalet x_sum fra punkt c) og antar at dette utgjør en periode av et periodisk signal. I Matlabs kommandovindu skriver vi følgende: XX = fft(x_sum); stem(:7, abs(xx)); Skisser det plottet du mener vil framkomme. e) Merk: Dette punktet er uavhengig av punktene over. Vi tar nå utgangspunkt i et periodisk reelt diskret signal y[n] med 8 punktprøver (sampler) per periode. I figuren under har vi vist de fem første verdiene til Y[k], der Y[k] er DFT til y[n]. 6 5 4 Y[k] 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 k Skisser det fullstendige plottet med de manglende verdiene ved k=5, k=6 og k=7. Forklar hvordan du kommer fram til de manglende verdiene. f) Hva er middelverdien til det periodiske signalet y[n] angitt i punkt e). Forklar hvordan du kommer fram til svaret.
Eksamen i EDT24T Signalbehandling 1, 19. mai 211 Side 4 av 12 Oppgave 2 (3%) x[n] h 1 [n] y[n] Figur 2.1 LTI-system1. LTI-systemet (filteret) vist over er beskrevet ved differensligningen 1 1 y[ n] = x[ n] + x[ n 1] 2 2 a) Hva blir enhetspulsresponsen h[ n ] til dette systemet? Svaret skal gis både som et uttrykk og som en skisse. Tegn blokkdiagram for filteret som viser filterstrukturen. b) Anta at inngangssignalet til filteret er x[ n] = 3 δ[ n] 3 δ[ n 1] + 3 δ[ n 2] Hva blir da utgangssignalet y[ n ]? c) Finn et uttrykk for frekvensresponsen, H (e ω ), til dette systemet. Finn også et enklest mulig uttrykk for amplituderesponsen, faseresponsen, { H (e ω )}, til systemet. H (e ω ), og d) Skisser amplituderesponsen og faseresponsen til systemet. Navngi aksene og skriv karakteristiske verdier på skissen. Hva slags filter er dette? e) π Anta at inngangssignalet er: x[ n] = cos( n) + cos( π n) 2 for < n < Finn et uttrykk for utgangssignalet.
Eksamen i EDT24T Signalbehandling 1, 19. mai 211 Side 5 av 12 x[n] h 1 [n] y[n] h 2 [n] Figur 2.2 Kaskadekoblet LTI-system. LTI-systemet (filteret) vist over er en kaskadekobling av systemet h 1 [n] fra figur 2.1 og et nytt LTI-system, h 2 [n], beskrevet ved differensligningen 1 1 y[ n] = x[ n] x[ n 1] 2 2 f) Finn impulsresponsen til det kaskadekoblede systemet i figur 2.2. g) Finn et uttrykk for frekvensresponsen til systemet i figur 2.2, amplituderesponsen, filter er dette? H (e ω ), og faseresponsen, { H (e ω )} H (e ω ), og skisser til systemet. Hva slags
Eksamen i EDT24T Signalbehandling 1, 19. mai 211 Side 6 av 12 Oppgave 3 (2%) LTI-system #1 x( τ ) dτ t Figur 3.1 LTI-system #1 a) Gitt LTI-system #1 i figur 3.1. Finn systemets impulsrespons h(t). Er systemet stabilt? Er systemet kausalt? Svarene skal begrunnes. b) LTI-system #1 fra punkt a) blir brukt som delsystem i et større system som vist i figur 3.2 LTI-system #1 x(t) + y(t) LTI-system #1 h(t)=δ(t-1) _ Figur 3.2 Koblet LTI-system Finn det koblede systemets impulsrespons. (Matematisk uttrykk eller skisse med nødvendige tallverdier.) Er dette systemet kausalt? Er dette systemet stabilt?
Eksamen i EDT24T Signalbehandling 1, 19. mai 211 Side 7 av 12 c) Finn frekvensresponsen til et system med impulsrespons som vist i figur 3.3. Skisser amplituderesponsen og faseresponsen. Hva kan et slikt system kalles? 1.5 1 h(t).5.5 1 1.5 2 t Figur 3.3 d) Gitt at inngangssignalet til et system med impulsrespons som vist i figur 3.3 er gitt ved π x( t) = δ ( t) + cos( t) + cos(2 πt). Finn et uttrykk for utgangssignalet. 2
Eksamen i EDT24T Signalbehandling 1, 19. mai 211 Side 8 av 12 Oppgave 4 (25%) Figur 4.1 Figur 4.2 Gitt spekteret i figur 4.1 og blokkskjemaet for et system i figur 4.2. a) n= 1 p(t) er gitt ved uttrykket p( t) = δ ( t nt ), f = > 2 fb der T n= Skisser p(t). Finn et uttrykk for P(jω) og skisser P(jω). f b ωb = 2π b) Anta at x(t) er gitt ved spekteret i figur 4.1. Skisser Y(jω). Hva kalles signalbehandlingsoperasjonen som beskrives i figur 4.2 når p(t) er som gitt i a)? c) Anta nå at x(t) er gitt ved x( t) = cos(2 π f t) og p( t) = cos(2 π f t), f f. Skisser x(t), p(t) og y(t). m c c m d) Gitt x(t) og p(t) som beskrevet i c). Skisser X(jω), P(jω) og Y(jω). Hva kalles signalbehandlingsoperasjonen som beskrives i figur 4.2 når p(t) er gitt som i c)? e) Gitt x(t) og p(t) som beskrevet i c). Anta at vi ønsker å gjenvinne x(t) fra y(t). Beskriv hvordan dette kan gjøres. Tegn opp et blokkskjema og vis, enten ved skisser i frekvensplanet eller matematiske utrykk i tidsplanet, hvordan y(t) kan gjenvinnes.
Eksamen i EDT24T Signalbehandling 1, 19. mai 211 Side 9 av 12 Vedlegg 1
Eksamen i EDT24T Signalbehandling 1, 19. mai 211 Side 1 av 12 Vedlegg 2 Komplekse Fourierrekker: Analyse: T 1 j2π fkt ak = x( t) e dt T = k = j2π Syntese: x( t) ak e f kt Diskret tid Fouriertransformasjon (frekvensresponsen til FIR-filter): M M ω ωk ωk = k = k = k = H (e ) b e h[ k]e Diskret Fouriertransformasjon: Invers diskret Fouriertransformasjon: N 1 n= 2π k n -j N X[k] = x[n] e for k N 1 k= 2π k n j N N 1 1 x[n] = X[k] e for n N 1 N
Eksamen i EDT24T Signalbehandling 1, 19. mai 211 Side 11 av 12 Vedlegg 3
Eksamen i EDT24T Signalbehandling 1, 19. mai 211 Side 12 av 12 Vedlegg 4 FOURIERTRANSFORMASJONEN FOR ANALOGE OG DISKRETE SYSTEMER: For analoge LTI-system gjelder: t= H( j ω) = h(t) e dt = H( j ω) e t= jωt j H( j ω) hvor H(jω) er systemets frekvensrespons og h(t) er systemets impulsrespons. S( j ω) = R( j ω) H( j ω) s(t) = r(t) h(t) = r( τ )h(t τ )dτ τ = r(t) R(jω) h(t) H(jω) s(t) S(jω) For sinusformede signal gjelder: r(t) = sin( ω t) s(t) = H( j ω ) sin( ω t + H( j ω )) For diskrete LTI-system gjelder: ( ω j H e ) H e = h(n) e = H e e (DiskretTidFourierTransform) n= ( ω ˆ ˆ ) j ω n ( j ω ) n= hvor H( e ω ) er systemets frekvensrespons og h(n) er systemets enhetspulsrespons. ω ω ω S(e ) = R(e ) H(e ) s(n) = r(n) h(n) = r(k)h(n k) k= r(n) R e ω ( ) h(n) H e ω ( ) s(n) S e ω ( ) For sinusformede sekvenser gjelder: r(n) = sin( ˆ ω n) s(n) = H(e ) sin( ˆ ω n + H(e )) ω ω