DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 For et utvalg der antall oservasjoner er et partall, slik som her, er medianen gjennomsnittet av de to midterste verdiene. For at medianen skal li 7 C, må tallet vi er ute etter, være større enn 6, men mindre enn 10, som er det nest høyeste tallet. 6 + x = 7 6 + x = 14 x = 14 6 x = 8 Temperaturen på lørdag er 8 C. Oppgave 0 Vi ruker vekstfaktor og setter opp en likning. Vekstfaktoren lir 1 = 1 0, 0 = 0,80. 100 x 0,80 = 40 40 x = 0,8 400 x = 8 x = 300 Varen kostet 300 kr. Oppgave 3 a 10 14 000 000 000 = 1, 4 10 Vi ganger antall år med antall sekunder per år. 10 1, 4 10 3 000 000 10 7 = 1, 4 10 3, 10 17 = 4, 48 10 17 Universet er ca. 4, 48 10 sekunder gammelt. Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 15
Oppgave 4 a 3 3 9 8 = 0 4 14 ( ) 1 = 4 6a 6 a = 9a 9 a 1 36 a = = 4a 4 1 9 ( ) Oppgave 5 a Nedgangen har vært lineær, og modellen lir på formen y = ax +. Vi finner først stigningstallet a: a y x y 1340 1400 60 x 10 0 10 1 = = = = 1 6 Konstantleddet lir 1400, siden dette er antall elever i utgangspunktåret. Modellen lir dermed y = 6x+ 1400, der x er antall år etter startåret med 1400 elever. x vil være et tall som ligger mellom 0 og 10. x Vi får nå eksponentiell vekst, og modellen lir på formen y= a. a lir antallet elever i dag, det vil si når x = 0 og den prosentvise minkingen starter, altså 1340. p 0,5 lir vekstfaktoren, altså 1 = 1 = 1 0, 005 = 0,995. 100 100 Modellen lir dermed N( x ) = 1340 0,995 x, der x er antall år regnet fra da nedgangen på 0,5 % startet. Oppgave 6 a Vi lager først en taell over datamaterialet: Alder i år Midtpunkt x m Frekvens f xm f 0, 30 30, 40 40, 50 5 10 50 35 0 700 45 30 1350 50, 70 60 40 400 Sum n = 100 4700 Vi finner nå gjennomsnittet ved formelen datamaterialet. ( x f ) sum x = m, der n er antallet på dataverdier i n Aschehoug www.lokus.no Side av 15
4700 x = = 47 100 Lærernes gjennomsnittalder lir 47 år. Vi finner søylehøyden ved å regne ut frekvensen delt på klasseredde. Alder Frekvens Klasseredde Høyde 10 0 9 10 10 1 10 = 30 39 0 10 0 10 = 40 49 30 10 30 3 10 = 50 69 40 0 40 0 = c Det er totalt 100 lærere på skolen. Vi finner relativ frekvens ved å dele frekvensen på det totale antallet lærere. Vi finner kumulativ frekvens ved å addere frekvensene. Aschehoug www.lokus.no Side 3 av 15
Oppgave 7 a Alder Frekvens Relativ frekvens Kumulativ frekvens 0 9 10 10 0,1 100 = 10 30 39 0 0 = 0, 100 10 0 30 40 49 30 30 = 0,3 100 10 0 30 60 50 69 40 40 = 0, 4 100 10 0 30 40 100 t 0 0,5 1 1,5,5 3 h(t) 15 18,75 0 18,75 15 8,75 0 c Karl kaster allen ved t = 0. h (0) = 15 etyr at allen er 15 meter over akken idet Karl kaster den. h (3) = 0 etyr at det tar 3 sekunder før allen treffer akken. Aschehoug www.lokus.no Side 4 av 15
Oppgave 8 Vi får funksjonsuttrykket At ( ) = 30 1t, der t er antall timer Sigurd sykler, mens A er avstanden fra hjemmet. Tallet 30, som er avstanden fra hjemmet ved oppstart, lir konstantleddet. Tallet 1 er farten i kilometer per time. Siden avstanden minker, lir dermed stigningstallet 1. Da Sigurd er kommet hjem, er avstanden til hjemmet 0 km. Sigurd kommer hjem etter,5 timer. Aschehoug www.lokus.no Side 5 av 15
DEL Med hjelpemidler Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 1 Vi velger å løse oppgaven ved å se på hvem som må etale tilake minst penger i renter og geyrer. Den personen vil ha fått det este tiludet. Per: Per har etalt 3450 3000 = 450 kr for lånet. Pål: Pål etaler renter hver måned i 6 månder, og vi opphøyer derfor renten i 6. Pål har etalt 418,43 kr for lånet. Espen: Espen etaler også renter hver måned i 6 måneder, og vi opphøyer derfor renten i 6. I tillegg plusser vi på 100 i etaleringsgeyr. Espen har etalt 438,93 kr for lånet. Det vil si at Pål må etale minst for lånet, og har dermed fått det este tiludet. Oppgave a Først taster vi inn tallene i regnearket i GeoGera. I kolonne A legger vi inn tallene som viser antall år etter år 000. I kolonne B legger vi inn det tilhørende antallet kvinnelige studenter for hvert år. Vi får følgende taell: Aschehoug www.lokus.no Side 6 av 15
Vi klikker på Analyser og velger Lineær i rullegardinmenyen under Regresjonsmodell. Vi får dette skjermildet: Vi runder av tallene noe og får modellen f( x) = 148,9x+ 5 380,6. Gjennomsnittlig økning i kvinnelige studenter i perioden tilsvarer funksjonens stigningstall, altså ca. 1483 studenter per år. c Vi skal finne året da antallet kvinnelige studenter passerer 85 000. Det vil si at f( x ) = 85 000. Vi får denne likningen: 148,9x + 5 380, 6 = 85 000. Vi løser oppgaven som likning i CAS. Det vil altså ta ca. år før antallet studenter passerer 85 000, og det vil skje rundt årsskiftet til år 0. Aschehoug www.lokus.no Side 7 av 15
Oppgave 3 a Vi setter oservasjonene inn i regnearket i GeoGera og analyserer tallene ved hjelp av verktøyet Analyse av en variael. Vi velger Statistikk og får opp følgende verdier: Vi ser at gjennomsnittet lir 19,9 C og standardavviket lir 1, 71 C. Det er vanskelig å gi et entydig råd. Det er forventet varmere vær i y B, men her vil variasjonen (standardavviket) også være langt større. Det vil si at du kan være veldig heldig med været i denne yen, men risikoen for dårligere vær er også større. Det tryggeste valget vil være å gå for y A. Her er det litt mindre sjanse for knallvær, men det er mindre risiko, og vi kan være litt tryggere på at det lir ganske godt vær. Oppgave 4 a Vi skal finne antall linjestykker i F 4. Det er 18 linjestykker F 3. Disse fordeler seg på 6 trekanter med 3 linjestykker i hver (grå, lyselå og mørkelå på figuren). I F 4 vil vi få alle disse 6 trekantene, pluss at vi vil få 4 nye trekanter i tillegg (rune på figuren). F 4 Vi får dermed 10 trekanter med 3 linjestykker i hver. Til sammen vil det være 10 3 = 30 linjestykker i F 4. Aschehoug www.lokus.no Side 8 av 15
Vi finner antall linjestykker i neste figur i rekka ved å ta antallet linjestykker i figuren foran og addere den aktuelle figurens nummer i rekka ganget med 3. Vi får en formel som er slik: Fn = Fn 1 + 3 n I regnearket taster vi inn følgende formel i celle B: = B1 + 3 A. Deretter trekker vi denne formelen ned gjennom hele regnearket, og tallene som viser antall linjestykker, kommer fram. Aschehoug www.lokus.no Side 9 av 15
c Vi markerer tallene over i regnearket i GeoGera og ruker verktøyet regresjonsanalyse. Deretter velger vi Polynom og grad. Det gir oss dette resultatet: Vi får andregradsuttrykket Fn = 1, 5n + 1, 5n. d Her vil x være 0, og vi legger inn 0 i feltet x = F 0 inneholder 630 linjestykker. Oppgave 5 a Vi har uttrykket F( x) = ( P 000) 0,9 x, som er en modell over utetalingen. Beløpet vi tar utgangspunktet i, er ( P 000). Dette grunneløpet kommer av sykkelens verdi P, minus de 000 kronene vi må etale i egenandel. Vi ganger dette grunneløpet med 0,9 x fordi erstatningen minker med 10 % hvert år. Dette gir 10 oss en vekstfaktor på 1 = 1 0,1 = 0,9. Vi opphøyer vekstfaktoren i antallet år x vi har eid 100 sykkelen, siden nedgangen på 10 % er årlig. Kommentar Det vanligste er nok at egenandelen er konstant, i dette tilfelle 000 kr. Da ville modellen være F( x) = P 0,9 x 000. Vi skal finne verdien etter 7 år og setter x = 7 inn i uttrykket: Dette regner vi ut i CAS. 7 F (7) = (10 000 000) 0,9 Aschehoug www.lokus.no Side 10 av 15
Vi får utetalt ca. 386 kr. c Vi skal finne et uttrykk for hvor mye du sitter igjen med. Vi tar da utetalingen F( x ) og trekker fra det du har etalt inn, som er 150 kr. Vi antar at forsikringen etales med en gang, altså når sykkelen kjøpes. Vi får da følgende uttrykk: S( x) = F( x) 150( x+ 1) x S( x) = (10 000 000) 0,9 150( x+ 1) x S( x) = 8000 0,9 150( x+ 1) d Vi tegner grafen til S og finner når utetalt sum lir mindre enn totalt innetalt premie. For å finne skjæringspunktet mellom grafen og x-aksen rukte vi kommandoen Skjæring mellom to ojekt. Vi ser at utetalt sum lir mindre enn totalt innetalt premie etter 13 år. Det er nok dette som er akgrunnen for Ronnys utsagn. Men utetalingen vil fortsatt i mange år være større enn den årlige forsikringspremien, så dette er ikke god nok grunn til å si opp forsikringen. Aschehoug www.lokus.no Side 11 av 15
Oppgave 6 a f x = x + x x+ x 3 ( ) 0, 000 008 0, 001 0, 05 3,8 0 300 Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 15
Vi ruker kommandoen Ekstremalpunkt[f]. Den største forskjellen i temperatur lir 16,9 C 3, 6 C = 13,3 C. c Vi taster f (100) inn i innstastingsfeltet på GeoGera. Vi får da verdien 8,5. Det vil si at temperaturen i vannet er 8,5 C etter 100 dager. Vi legger inn punktet P = (100, f(100)) og ruker vektøyknappen Tangenter til å tegne tangenten i punktet P. I algerafeltet ser vi at stigningstallet til tangen er 0,091. Det vil si at temperaturen i vannet øker med 0,091 C per dag etter 100 dager. Aschehoug www.lokus.no Side 13 av 15
Oppgave 7 a Volumet av oksen finner vi ved å multiplisere grunnflaten med høyden. Vi vet at høyden er h, men vi trenger et uttrykk for grunnflaten. Grunnflaten er satt sammen av et rektangel og to halvsirkler som til sammen lir en hel sirkel. x x Radien i sirkelen lir. Arelaet av sirkelen lir dermed π. Arealet av rektanglet lir x y. x Grunnflaten lir G = π + x y. Vi får dermed volumet x V = π + x y h Summen av lengden og redden er 10. x+ y = 10 y = 10 x Summen av redden og høyden er 5. x+ h= 5 h= 5 x Vi ytter ut y og h i uttrykket for V. x V( x) = π + x 10 x 5 x ( ) ( ) Aschehoug www.lokus.no Side 14 av 15
c Vi tegner grafen til V i GeoGera. Vi ruker kommandoen Ekstremalpunkt[ <Polynom> ] og setter Polynom som V for å finne toppunktet. Vi ser at toppunktet lir (,43, 59,19). Det vil si at oksen må være,43 cm red for at volumet skal li størst mulig. 3 Volumet lir da 59,19 cm. Aschehoug www.lokus.no Side 15 av 15