Feilrater av ulike modulasjonstyper over gaussiske og fading kanaler

FFI-rapport 7/16 Feilrater av ulike modulasjonstyper over gaussiske og fading kanaler Duc V. Duong Forsvarets forskningsinstitutt FFI 1. desember 7

FFI-rapport 7/16 18 ISBN 978-8-464-19- Emneord Symbolfeil rate SER Bitfeil rate BER Koherent kommunikasjon Inkoherent kommunikasjon Digitalmodulasjon Godkjent av Walther Åsen Vidar Stensrud Andersen Prosjektleder Avdelingssjef FFI-rapport 7/16

Sammendrag Symbolfeil rater SER og bitfeil rater BER for de mest vanlige digitale modulasjonstyper er forsøkt samlet i denne rapporten hvor samme notasjon er konsekvent brukt. De ulike type modulasjoner behandlet i rapporten er: multiple amplitude modulasjon M-AM, multiple phase shift keying M- PSK, multiple kvadratur modulasjon M-QAM, og multiple frequency shift keying M-FSK. Det er analysert for både koherent og inkoherent kommunikasjon, og kommunikasjon over gaussiske og fading kanaler. For fading scenarier har vi brukt Nakagami-m modell. Fordelen med denne modellen er at den ofte gir lukket-form resultater, samt mulighet til å analysere andre fadingtyper ved å endre på parameteren m. Feilrater er ofte gitt i form av error-funksjonen eller den komplementære error-funksjonen, eller av den klassiske gaussisk Q-funksjonen. Denne klassiske Q-funksjonen har svakheter som man gjerne vil unngå, spesielt når man studerer kommunikasjon over fading kanaler. Ved å uttrykke Q-funksjonen på en annen måte, presenterer vi også alternative uttykker for SER og BER. Approksimasjoner og bounds er også gitt for noen modulasjoner noen steder i rapporten. Tilslutt er det hensiktsmessig å nenve at rapporten tar for seg det matematiske grunnlaget for feilrater til ulike modulasjoner, og den kan være uinteressant for de som ikke trenger å forholde seg til slike analyser. FFI-rapport 7/16 3

English summary This report contains the analysis of symbol-error rate SER and bit-error rate BER of the most usual digital modulation types, where the same notations are used throughout. The modulations studied are: multiple amplitude modulation M-AM, multiple phase skift keying M-PSK, multiple quadrature modulation M-QAM, and mulitple frequency shift keying M-FSK. Both coherent and incoherent communications, as well as communications over additive white Gaussian noise and fading channels are considered. For fading cases, we have used a Nakagami-m model. One advantage of this model is that it often results in closed-form expressions. Other types of fading can also be generated by changing the parameter m. Error rate expressions are often given using error-function or complimentary error-function, or the classical Gaussian Q-function. However, this classical Q-function has weaknesses which we want to avoid, at least when working on communcations over fading channels. By representing this function in another way, the error rate expressions are expressed differently. Some of them are given in this report. Approximations and bounds on SER and/or BER are also given for some modulations. 4 FFI-rapport 7/16

Innhold 1 Introduksjon 7 Basisbånd ekvivalente signaler 7 3 Signalrom og vektorrom konsept 9 4 Optimal detektor 1 5 Representasjon av digitalmodulerte signaler - Koherent kommunikasjon 1 5.1 M-AM 13 5. M-PSK 13 5.3 M-QAM 14 5.4 M-FSK 14 6 Gaussisk Q-funksjon og error-funksjon 15 6.1 Gaussisk Q-funksjon 15 6. Error-funksjon 16 6.3 Relasjon mellom Q- og error-funksjonen 16 7 Analysen av feilrater over gaussiske kanaler - Koherent kommunikasjon 16 7.1 M-AM 17 7.1.1 SER 17 7.1. Bitfeil rate BER 19 7. M-PSK 19 7..1 SER 19 7.. Bounds på SER for MPSK signaler 7..3 BER 3 7.3 M-QAM 4 7.3.1 SER 4 7.3. BER 8 FFI-rapport 7/16 5

7.4 M-FSK 3 7.4.1 SER 3 7.4. Noen spesielle tilfeller som resulterer i lukket-form løsninger 33 7.4.3 BER 34 8 Fading kanaler 35 8.1 Fading modeller 36 8. Integral av MGF for Nakagami modell 37 8..1 Integral hvor Q-funksjonen er involvert 37 8.. Integral hvor Q -funksjonen er involvert 37 9 Analysen av feilrater over fading kanaler - Koherent kommunikasjon 38 9.1 M-AM 38 9.1.1 SER 38 9.1. BER 39 9. M-PSK 4 9..1 SER 4 9.. BER 41 9.3 M-QAM 43 9.3.1 SER 43 9.3. BER 45 9.4 M-FSK 49 9.4.1 Eksakt SER for vilkårlige M 49 9.4. Noen tilfeller som gir lukket-form resultater 5 9.4.3 BER 5 1 Inkoherent kommunikasjon 53 1.1 SER over gaussiske kanaler 54 1. BER over gaussiske kanaler 56 1.3 SER og BER over fading kanaler 56 6 FFI-rapport 7/16

1 Introduksjon Rapporten er skrevet med to hensikter. Den ene er å samle symbolfeil rater SER og bitfeil rater BER til de mest vanlige digitalmodulasjoner på et sted. Følgende modulasjoner er studert i rapporten: multiple amplitude modulasjon M-AM, multiple phase shift keying M-PSK, multiple quadature modulasjon M-QAM og multiple frequency shift keying M-FSK. I tillegg til at både koherent og inkoherent kommunikasjon over gaussiske kanaler blir behandlet, har vi også sett på hvordan en fading kanal påvirker feilratene. Slike feilanalyser er gjort i mange litteraturer, men gjerne med forskjellige notasjoner. Dette gjør det vanskelig for lesere å skifte mellom litteraturer. I denne rapporten er det lagt vekt på at notasjonene er konsekvent brukt, samtidig som å presentere grundig hvordan feilrate uttrykkene er kommet fram. Der det er mulig presenterer vi også alternative uttrykk for SER og BER. Upper bounds og approksimerte verdier er også tatt med for noen modulasjonsformer. Ligningene er illustrert med figurer. Den andre hensikt er at rapporten serveres som et forarbeid til det jeg egentlig skal studere, nemlig sårbarhet i kommunikasjonssystemer basert på digitalmodulasjon. I kapittel blir basisbånd ekvivalent representasjon av passbånd signaler presentert. Denne representasjonen er brukt resten av rapporten til å beskrive passbånd signaler til de forskjellige modulasjoner. Sendte signaler symboler blir ofte sett på som bølgeformer. Imidlertid kan de også representeres geometrisk med vektorer. Dette er beskrevet i kapittel 3. Resten av rapporten er delt inn i hovedtemaer: koherent og inkoherent kommunikasjon. Først blir koherent kommunikasjon analysert. Det startes med beskrivelsen av hvordan en optimal demodulator/detektor fungerer, og den er gitt i kapittel 4. Videre, i kapittel 5, blir sendte signaler til de ulike modulasjoner behandlet i rapporten representert med både bølgeform og vektorer. Gaussisk Q-funksjon og dens relasjon til error-funksjonen er introdusert i kapittel 6. Analysen av symbolfeil og bitfeil rater over en kanal med additiv hvit gaussisk støy er gitt i kapittel 7. Når vi i tillegg har variasjoner på kanalen trenger vi en statistisk modell for å beskrive denne variasjonen. Fading modellen som er brukt i rapporten sammen med noen nyttige matematiske integraler er beskrevet i kapittel 8, og feilrater over fading kanaler er gitt i kapittel 9. Videre blir inkoherent kommunikasjon studert i kapittel 1. Basisbånd ekvivalente signaler La passbåndet signal st være reelt og sentrert rundt senterfrekvens f c. La s + t være signalet med kun positive frekvenser slik at frekvensresponsen av s + t kan skrives som S + f = ufsf.1 FFI-rapport 7/16 7

hvor representerer foldingsoperator, Sf er Fourier transform av st, og uf er en stepfunksjon. I tidsdomain er s + t = hvor F 1 {Sf} = st er invers Fourier transform. S + f expjπft df = F 1 {uf} F 1 {Sf}. Siden F 1 {uf} = δt + j/πt, hvor δt er en Dirac puls, blir s + t = δt + j st πt = st + j 1 st..3 πt La ŝt være ŝt = 1 πt st = 1 π sτ dτ,.4 t τ og den kan betraktes som en filtrert versjon av st med filteret ht = 1/πt, t. Dette filteret er Hilbert transformen og den har følgende frekvensrespons Hf = ht exp jπf t dt j, f > =, f =..5 j, f < Siden amplituderesponsen er 1, er dette filteret en faseskifter som skifter fasen til innkommende signal med ±9 for henholdsvis negative og postive frekvenser. Signal s + t er i passbåndet. Et ekvivalent basisbånd signal s l t kan fås ved å skifte S + f ned til basisbånd. Det vil si S l f = S + f + f c. I tidsplanet kan det skrives som s l t = s + t exp jπft = st + jŝt exp jπf c t..6 Den er ekvivalent med st + jŝt = s l t exp jπf c t.7 hvor s l t generelt er kompleks. La s l t = xt + jyt, kan st skrives på følgende måter: st = R{xt + jyt exp jπf c t}.8a = xt cosπf c t yt sinπf c t.8b = at cosπf c t + θt.8c 8 FFI-rapport 7/16

hvor at = x t + y t og θt = tan 1 yt/xt. Videre er energien i signal st er definert ved E = = = = 1 s tdt [R{s l t expjπf c t}] dt s l t cos πf c t + θ.9 s l t dt + 1 s l t cos4πf c t + θtdt..1 For å oppnå ovennevnte uttrykk har vi brukt R{x} = x + x /. Videre ser vi at s l t varierer langsomt sammenlignet med cosinusfunksjonen med høy frekvens. Dermed er siste integralet netto arealet under kurven veldig lite og kan dermed sees bort ifra. Det medfører at energien i det sendte signalet blir E = 1 s l t dt..11 3 Signalrom og vektorrom konsept Vi skal presentere relasjonen mellom bølgeform signal symbol og vektorrom representasjon i dette avsnittet. La oss anta at informasjon fra en kilde er blitt gjort om til bølgeformer symboler basert på et sett med alfabeter S 1 t, S t,, S M t. Hvert symbol i alfabetet har en varighet T s og energien i hvert symbol er endlig gitt av E s = T s Smtdt. Vi kan da approksimere S m med lineær kombinasjonen K Ŝ m t = a mk ϕ k t 3.1 k=1 med K M, hvor {ϕ k } K k=1 oppfyller Ts, k l ϕ k tϕ l tdt = 1, k = l 3. er settet med ortonormale funksjoner som spenner signalrommet. Videre er approksimasjonsfeil et = S m t Ŝmt slik at energi i approksimasjonsfeil blir E e = = Ts Ts S m t Ŝmt dt S m t K a mk ϕ k t dt. 3.3 k=1 FFI-rapport 7/16 9

Ligningen over er et mean-square-error problem, og fra estimeringsteori vet vi at minst E e oppnås når feilen er ortogonal med hver av de ortonormale funksjonene i 3.1. Dermed får vi Ts Ts K etϕ k dt = S m t a mk ϕ k t ϕ n tdt =, n = 1,,, K, 3.4 og dette reduseres til at a mn = Også fra estimeringsteori vet vi at E min = = Ts Ts = E s k=1 S m tϕ n tdt, n = 1,,, K. 3.5 ets m tdt Smtdt K a mk ϕ k ts m tdt k=1 K a mk. 3.6 k=1 Siden denne kan ikke være negativ, og når E min er minst, dvs. E min =, får vi E s = K k=1 a mk = Ts S mtdt og S m t kan uttrykkes eksakt med S m t = K a mk ϕ k tdt = a T mϕ, 3.7 hvor [ ] T er vektortransponering, og a m og ϕ er K-dimensjonal vektorer gitt ved k=1 a m = [a m1, a m,, a mk ] T ϕ = [ϕ 1 t, ϕ t,, ϕ K t] T. 3.8a 3.8b 4 Optimal detektor Optimal demodulasjon kan gjøres med enten matched-filtre eller korrelatorer. Figur 4.1 illustrerer hvordan en optimal demodulator opereres. Det kan vises at både korrelasjon-basert demodulator og matched-filtrering demodulator vil produsere vektor r = [r 1, r,, r K ] T som inneholder nøvendig/relevant informasjon i mottatt signal for deteksjon. Her står K for antall korrelatorer eller antall matched-filtre som blir brukt. Med andre ord, K er dimensjonen til en symbolvektor. Et BPSK symbol har dimensjon 1 siden den vil ligge på en linje, mens et PSK symbol ligger på et plan og må beskrives ved hjelp av en vektor med to elementer. Dermed har den dimensjon. Når S m t sendes, blir mottatt signal rt = S m t + nt. 4.1 1 FFI-rapport 7/16

Ts dt r 1 ϕ 1 t Ts dt r mottatt signal rt ϕ t optimal detektor Ts dt r K ϕ K t samples ved t = T s Figur 4.1: Optimal detektor ved koherent deteksjon. La oss anta at demodulasjon utføres med et sett med korrelatorer og samples ved tid t = T s som vises i Figur 4.1. Da blir r k = hvor a mk er som i 3.5 og Ts n k = er støykomponentene i det mottatte signalet. rtϕ k tdt = a mk + n k, k = 1,,, K, 4. Ts ntϕ k tdt Med vektorer kan 4. skrives som r = a m + n 4.3 hvor n = [n 1, n,, n K ] T. Vi vil i dette avsnittet finne en optimal detektor som bestemmer hvilket symbol som ble sendt basert på vektor r slik at sannsynlighet for riktig deteksjon blir størst mulig. Vi antar at symbolene er uavhengige av hverandre dvs. en minneløs kilde. Det er velkjent at maximum likelihood ML deteksjon er det samme som maximum a posteriori MAP deteksjon så lenge symbolene er like sannsynlige. Etter demodulasjon er P S m r = P a m r siden ϕ k er gitt og er ortonormale, og ved hjelp av Bayes regel får vi: P S m r = P a m r = pr a mp a m, m = 1,,, M, 4.4 pr hvor pr a m er betinget sannsynlighet tetthetsfunksjon PDF av mottatt vektor r gitt at vektoren med koeffisenter a m ble sendt, og P a m er sannsynlighet at symbolet assosiert med S m t blir FFI-rapport 7/16 11

sendt. Når symbolsannsynlighetene er like, vil P a m være en konstant. Videre er pr uavhengig av hva slags signal som ble sendt. Dermed vil en detektor basert på å finne det signalet som maksimerer a posteriori sannsynlighet pa m r være ekvivalent med det som maksimerer likelihood sannsynlighet pr a m. På en gaussisk kanal vil det være slik at maximum av pr a m over a m oppnås når denne avstandsmetrikken K Dr, a m = r k a mk = r a m 4.5 k=1 har nådd sitt minimum. Denne metrikken er kjent som likelihood funksjon til gaussisk PDF naturlig logaritmen til pr a m hvor ledd som ikke er avhengig av a m er fjernet. Det vil si at ML deteksjonsregel er den som velge symbolet a m som ligger nærmest mottatt vektor r. Skriver vi ut ligning 4.5 får vi Dr, a m = r r T a m + a m. 4.6 Siden r er den samme for alle metrikker, kan den utelukkes fra metrikken. Vi kaller den resulterende avstandsmetrikken for D r, a m = r T a m + a m. La oss nå definere Cr, a m = r T a m a m = D r, a m 4.7 slik at minimering av D r, a m eller Dr, a m vil være ekvivalent med maksimering av Cr, a m. Fra 4.7 kan følgende observasjoner trekkes fram. Først ser vi at r T a m er projeksjonen av mottatt signal vektor r på hver av de mulige M sendte signaler altså a m, m = 1,,, M. Her måles korrelasjonen mellom mottatt vektor og det m te symbolet. Dette impliserer at desisjonen blir det symbolet som har størst korrelasjon med mottatt signal. Denne metrikken blir ofte kalt for korrelasjonsmetrikk. Videre, a m kan sees som en slags kompensasjon for signalsymboler med ulik energi som for eksempel M-AM eller M-QAM signaler. Hvis alle symboler har samme energi som M-PSK eller M-FSK signaler, kan dette leddet fjernes fra metrikken uten at det påvirker desisjonen. 5 Representasjon av digitalmodulerte signaler - Koherent kommunikasjon Generelt har bærebølgen en fase. En eksempel på en bærebølge kan være cosπft + θ c, hvor θ c er fasen. Siden vi behandler koherent kommunikasjon i dette avsnittet blir denne fasen sett bort ifra siden systemet er i stand til å estimere denne. Med andre ord kan θ c settes til null uten at det påvirker analysen. 1 FFI-rapport 7/16

5.1 M-AM Med denne modulasjonstypen ligger selve informasjondata i amplituden til bærebølgen. Et sendt signal i ekvivalent basisbånd ser typisk ut som E m S m t = Ts cosπf c t, t T s, ellers for m = 1,,, M. Med vektorrom representasjon i 3.7 er vektoren ϕ en en-dimensjonal vektor med bølgeformen ϕ 1 = /T s cosπf c t, og a m har kun et element a m1 a m1 = Ts 5.1 Em cosπf c t cosπf c tdt = E m. 5. T s T s Det er viktig å huske at ligningen over ikke gjelder eksakt, men den er en veldig god approksimasjon for f c T s 1. Grunnen til det kan sees i overgangen mellom ligningene.9.11. d E1 E E3 E4 Figur 5.1: Plassering av AM symboler og deteksjonsgrensene. Illustrasjon av hvordan symbolene er plassert er tegnet i Figur 5.1. Her ser vi at amplituden E m kan ha verdier Em = m 1 Md, m = 1,,, M, 5.3 hvor d er den minste avstanden mellom nærliggende amplituder. 5. M-PSK Her ligger datainformasjon i fasen til bærebølgen. I dette tilfellet har alle modulerte symboler samme energi E slik at et symbol kan beskrives med E T S m t = s cos πf c t + πm 1 M, t T s, ellers for m = 1,,, M. Siden cosa + b = cosa cosb sina sinb kan S m t skrives som S m t = E T s cos πf c t cos πm 1 M E sin πf c t sin T s πm 1 M. 5.4 FFI-rapport 7/16 13

Med vektorrepresentasjon er S m t = a T mϕ hvor [ E πm 1 a m = cos M [ ϕ = cosπf c t, T s, E sin T s sinπf c t ] πm 1 T 5.5a M ] T. 5.5b 5.3 M-QAM Med denne modulasjonstypen ligger informasjonen i både amplitude og fase til bærebølgen. Den kan også sees som en kompleks-amplitude modulasjon eller en kombinasjon av ampilitude- og fasemodulasjon. Et typisk signalsymbol ser ut som E m S m t = Ts cos πf c t + θ m, t T, ellers for m = 1,,, M. 5.6 Noen ganger er det foretrukket å uttrykke S m t på følgende måte: S m t = R { EmR T s + j EmI T s expjπf c t } 5.7 = EmR T s cosπf c t EmI T s sinπf c t 5.8 hvor E mr og E mi henholdsvis er energi i ifase- og kvadraturkomponentene forkortes med I- og Q-komponent, og E m = E mr + E mi er energi per symbol. Med kan S m t = a T mϕ. [ a m = EmR, ] T E mi 5.9a [ ] T ϕ = cosπf c t, sinπf c t T s T s 5.9b 5.4 M-FSK Denne modulasjonstypen baserer seg på at informasjonen blir kodet som frekvensendringer på bærebølgen. Hvis vi antar at symbolene har lik energi E, kan vi skrive et typisk modulert symbol som E T S m t = s cos πf c + m ft, t T s 5.1, ellers 14 FFI-rapport 7/16

for m = 1,,, M. La cosπf c + m ft = cosπf m t slik at vi kan skrive S m t som i ligning 3.7, hvor elementene i vektor ϕ er ϕ k t = cosπf m t, T s k = 1,,, K = M. 5.11 Elementene i vektor a m blir Ts E a mk = cosπf m t cosπf k tdt T s T s E, når m = k =. 5.1, ellers Det vil si at vektorene a m er ortogonale. 1 Det kan lett vises at avstanden mellom symbolene S m t eller vektorene a m er like og er gitt av d min = E. 6 Gaussisk Q-funksjon og error-funksjon Før vi kan analysere SER og BER for de ulike modulasjoner er det nødvendig å introdusere noen matematiske funksjoner som ofte vil bli brukt seinere i rapporten. Når man analyserer feilrater kan man ikke unngå å møte error-funksjonen erf eller gaussisk Q- funksjonen. Vi vil derfor introdusere måter å skrive Q-funksjonen på, samt relasjonen den har med error-funksjonen. 6.1 Gaussisk Q-funksjon I et en-dimensjonalt tilfelle er Q-funksjonen definert ved Qx = 1 exp π x y dy. 6.1 Dette er integralet av en normalisert gaussisk sannsynlighet tetthetsfunksjon PDF over intervallet [x,. Denne har to svakheter. Den viktigste er øvregrensen av integralet, som oftest må trunkeres ved numerisk integrasjon. Den andre svakheten er at argumentet til Q-funksjonen er nedregrensen av integralet. For gaussiske kanaler vil ikke den sistnevnte svakheten spille noen rolle, mens trunkering av øvregrensen til et endelig tall svarer til unøyaktighet i beregningen når numerisk integrasjon må anvendes. Imidlertid, for for eksempel en multipath fading kanal, vil den sistnevnte svakheten gjøre analytisk beregning vesentlig vanskeligere siden argumentet til Q-funksjonen som er nedregrense 1 De er ortogonale kun når frekvensseparasjon f oppfyller et visst krav. I koherent kommunikasjon må f = 1/T s, mens f må være 1/T s ved inkoherent kommunikasjon [11]. FFI-rapport 7/16 15

av integralet er avhengig av amplitudevariasjonen til de forskjellige komponenter i det mottatte signalet. Det er derfor ønskelig at Q-funksjonen kan uttrykkes på en annen måte ved hjelp av elementære funksjoner hvor begge svakhetene kan unngås. Det kan vises at for x kan Qx i 6.1 skrives som [13] Qx = 1 π π/ exp x sin dθ. 6. θ 6. Error-funksjon Den er definert ved erfx = x exp y dy, 6.3 π slik at den komplementære error-funksjonen betegnes ved erfcx skrives som erfcx = 1 erfx = exp y dy. 6.4 π x 6.3 Relasjon mellom Q- og error-funksjonen Sammenligner man 6.1 og 6.4 ser vi at de to er relatert med hverandre på følgende måte: Qx = 1 erfc x. 6.5 7 Analysen av feilrater over gaussiske kanaler - Koherent kommunikasjon Før vi går videre og analyserer feilrater for ulike modulasjonstyper, er det viktig å påpeke at, i koherent kommunikasjon, en feil oppstår når S m t var sendt mens mottatt signal ikke havner på området som er assosiert med symbolet S m t. La R m være det omådet og la r være mottatt signal. Når vi antar at symbolene er like sannsynlige, blir feilsannsynlighet: M P E = P S m var sendtp r ikke i R m S m var sendt m=1 = 1 M M P r ikke i R m S m var sendt. 7.1 m=1 16 FFI-rapport 7/16

7.1 M-AM 7.1.1 SER Ut fra 4.1 og 5. ser vi at r m = E m + n. 7. r m er da en gaussisk stokastisk variabel med middelverdi lik E m og varians lik N /. Videre ser vi fra Figur 5.1 at et symbol er feil detektert hvis absoluttverdien av støyen er større enn halvparten av den minste avstanden mellom nærliggende symboler. Da blir symbolet detektert som en av de to nabosymbolene. Imidlertid vil feilraten til de to symbolene på hver ende av aksen være halvert siden der er det kun ett nabosymbol. Matematisk kan gjennomsnittlig SER skrives som SER M AM = P S 1 P E S 1 + P S P E S + + P S M P E S M 1 P E S 1 P E S M = 1 + 1 M M P E S + + 1 M P E S M 1 + 1 M = M 1 M P E S m 7.3 hvor P S m representerer sannsynligheten for at symbolet S m blir sendt, og P E S m er sannsynlighet for feil gitt at S m var sendt. Videre har vi P E S m = P r S m > d = e x /N dx πn d = e v / dv π d /N = Q d. 7.4 N Videre antar vi at sender opererer med begrenset gjennomsnitteffekt på E s /T s watts per symbol. Det medfører E s T s = 1 M M m=1 E m T s = d MT s M m 1 M = d M 1. 7.5 3T s m=1 6Es Løser vi resultatet med hensyn på d og setter inn i 7.4 får vi P E S m = Q /N M 1. Gjennomsnittlig SER blir derfor SER M AM = M 1 M Q Eb N 6k M, 7.6 1 hvor k = log M er antall bit per symbol og E b = E m /k er midlere energi per bit. Når symbolene har lik energi blir E b = E/k. FFI-rapport 7/16 17

Når M = har vi et binært signal. Da er energi per symbol E m lik energi per bit E b, siden det er 1 bit per symbol. Det generelle SER uttrykket reduseres til Eb SER AM = Q. 7.7 N Figur 7.1 viser eksakt SER for forskjellige verdier av M som funksjon av signal-til-støy forhold SNR per bit E b /N. 1 1 1 M = M = 4 M = 8 M = 16 1 SERM AM 1 3 1 4 1 5 1 6 5 1 15 5 SNR per bit [db] Figur 7.1: Sannsynlighet for symbolfeil for M-AM ligning 7.6. Alternativ representasjon av SER Basert på 6. kan SER uttrykkene henholdsvis skrives som og SER M AM = π M 1 M SER AM = 1 π π/ π/ exp E b 3k N M 1 sin dθ, 7.8 θ exp E b 1 N sin dθ. 7.9 θ 18 FFI-rapport 7/16

7.1. Bitfeil rate BER Istedet for å måle SER kan man måle BER. For å kunne gjøre dette man må konvertere symbolene til bit. Hvordan man gjør det er avhengig av hvilken algoritme som var brukt hos senderen til å mappe bitene til et symbol. Graykoding er ofte brukt og er kjent for å ha ett bit i forskjell mellom to nærliggende symboler, som igjen betyr at det kun er 1 bitfeil hvis et nabosymbol blir detektert som sendte symbolet. BER for M-AM er gitt som følgende []: BER M AM = log M 1 1 n M 1 log M M n=1 i= 1 in 1 /M i n 1 n 1 M + 1 Eb 6k Q i + 1 M 1 N 7.1 hvor x er det største heltall som er mindre enn x. Dvs. den helltallig delen av x. Ved høye SNR det er det ofte antatt kun 1 bitfeil, dvs. et av de nærmeste nabosymbolene er detektert som riktig symbol. Da gjelder følgende approksimasjonen BER M AM SER M AM. 7.11 k Det er verdt å nevne at når M = så er 7.11 identisk med 7.7 slik at 7.11 blir et eksakt BER uttrykk. Videre er 7.1 identisk med 7.7 når M =. Dette er bekreftet ved sammenligning av Figurene 7.1 og 7.. Det er også plottet BER for andre verdier av M i Figur 7.. 7. M-PSK 7..1 SER La θ m = πm 1/M, og ut fra 4.1, 4.3 og 5.5 får vi at signalpunktet r har koordinater: r 1 = r = Ts Ts rtϕ 1 tdt = E cos θ m + n 1 rtϕ tdt = E sin θ m + n 1 7.1a 7.1b Optimal detektor for AWGN kanaler er den som projiserer mottatt vektor r = [r 1, r ] T på hver av de mulige M signalvektorer og velger den som har størst korrelasjon med r. Siden alle M-PSK symboler har likt energi, vil en optimal detektor kalkulere korrelasjonsmetrikken Cr, a m = r T a m, m = 1,,, M, 7.13 FFI-rapport 7/16 19

1 1 1 M = M = 4 M = 8 M = 16 1 BERM AM 1 3 1 4 1 5 1 6 5 1 15 5 SNR per bit [db] Figur 7.: Sannsynlighet for bitfeil for M-AM ligning 7.1. og velge signalvektoren a m som ligger nærmest r i fasen. Fasen til mottatt vektor r er Θ r = tan 1 r r 1. For å finne feilsannsynlighet, er vi nødt til å finne PDF av Θ r først, for så å bruke den til å regne SER. Uten å miste generalitet la oss nå anta at S 1 t dvs. [ E, ] T signalvektor a 1 = ble sendt. Dette er symbolet modulert på fasen θ1 =. Mottatt vektor [ E ] T, blir da r = + n1, n hvor nk, k = 1, er additiv støy med null i middel og varians lik N /. Siden n k er gaussisk-fordelt stokatiske variable, er simultanfordeling til r 1 og r også gaussisk med E[r 1 ] = E, E[r ] = og σr 1 = σr = N / = σr. Sannsynlighetstetthetsfunksjonen blir pr 1, r = 1 πσr exp r 1 E + r σr. 7.14 Ved variabelskifting med R = r 1 + r Θ r = tan 1 r r 1 får vi [11] pr, Θ r = R πσr exp R + E R E cos Θ r σr, Θ r π, R. 7.15 FFI-rapport 7/16

Med enda en tranformasjon av variabel med r = R/σr = R/ N, og integrerer vi over r får vi r E pθ r = π exp r r cos Θ r + E dr N N r = π exp r r Eb k cos Θ r + k E b dr. N N Sannsynlighet for å gjøre en riktig deteksjon av symbolet a 1 dvs. signalet S 1 t vil være integralet av pθ r over intervallet π/m, π/m slik at sannsynlighet for feil deteksjon blir [1] SER M PSK = 1 = 1 π π/m π/m pθ r dθ r [ ] [ ] exp u k E u tanπ/m b exp v dv du 7.16 N Alternativ representasjon Ved hjelp av gaussiske Q-funksjoner kan SER i 7.16 skrives som [13] SER M PSK = Q k E b + exp u k E b Q u tan π N π N M du. 7.17 Fra 7.17 kan man lett se at når M = dvs. k = 1 så er SER redusert til Eb SER PSK = Q, 7.18 siden Q = se ligning 6.1 slik at integralet i 7.17 blir null. Dette stemmer overens med resultatet for binær AM i 7.7. Når M = 4 har vi en kombinasjon av to binære PSK signaler. Da kan SER enkelt beregnes med N SER 4 PSK = 1 sannsynlighet for korrekt deteksjon = 1 1 SER PSK Eb = Q Q Eb. 7.19 N N Vi ser at både 7.16 og 7.17 er på lukket-form, men begge inneholder et integral hvor øvregrensen er uendelig. Uendelighet må trunkeres til et endelig verdi ved numerisk beregning, noe som gir opphav til unøyaktighet eller krever høy kompleksitet. Videre er det vist i [1, 4] at SER kan skrives som SER M PSK = 1 M 1π/M exp E b k sin π/m π N sin dθ. 7. θ Det er tydelig at evalueringen er mye enklere med 7. enn med 7.16 eller 7.17, siden 7. er et endelig integral hvor integranden kun inneholder elementære funksjoner og er på eksponensiell form. FFI-rapport 7/16 1

7.. Bounds på SER for MPSK signaler Generelt har vi sett at beregningen av SER for M-PSK signaler krever å løse integraler, bortsett fra to spesielle tilfeller når M = og M = 4. Derfor er det nyttig å ha upper-bounds på enklere lukket-form slik at estimert SER raskt kan beregnes. Vi har følgende bounds [13]: Exponensielt bound: SER M PSK M 1 M exp E b k sin N π M. 7.1 Union bound: Dette går ut fra at hvis E m er hendelsen hvor for eksempel Cr, s m > Cr, s 1 for m 1, så gjelder følgende P n m=1e m n P E m, 7. hvor P E m er sannsynlighet for at hendelsen E m oppstår. Dermed kan SER upper bounded med SER M PSK Q m=1 k E b N sin π M. 7.3 Union-Chernoff bound: SER M PSK exp E b k sin N π M. 7.4 Figur 7.3 viser eksakt og union bound av SER for M-PSK modulasjon. Her ser vi at union bound faller sammen med kurver for eksakt SER bortsett fra når M =. Når M = er union bound blitt fordoblet sammenlignet med eksakte verdier faktoren foran Q-funksjonen i 7.3 sammenlignet med 7.18. Videre er resultatet for union bound for M = og 4 ganske likt, og de overlapper hverandre på figuren. Men som nevnt tidligere, når M = og M = 4 finnes det eksakte og enkle lukket-form uttrykk for SER slik at approksimasjon og bound ikke er nødvendig. Ved sammenligning av Figur 7.3 med Figur 7.1 er det observert at M = gir nøyaktig samme resultater. FFI-rapport 7/16

1 Exact SER Union bound 1 1 1 SERM PSK 1 3 1 4 M = M = 4 M = 8 M = 16 M = 3 1 5 1 6 5 1 15 5 SNR per bit [db] Figur 7.3: Eksakt SER for M-PSK modulasjon 7. sammen med "union bound"7.3. 7..3 BER En måte å finne eksakt BER av M-PSK modulasjon er å utføre en bit-to-symbol mapping med Gray coding. Denne metoden forutsetter beregningen av sannsynligheten at mottatt signalvektor ligger innenfor hvert desisjonsområde totalt π/m radianer på begge sider av et symbol. La P n, n =, 1,,, M 1, representere disse sannsynlighetene, og de kan skrives som [1, ligning 4.198b] P n = 1 π π1 n 1/M exp E b 1 π k sin [n 1π/M] N sin θ exp π1 n+1/m BER for M = 4, 8, 16 er som følgende [9], [8]: dθ E b N k sin [n + 1π/M] sin θ dθ. 7.5 BER 4 PSK = 1 P 1 + P + P 3, M = 4, 7.6 BER 8 PSK = 1 3 P 1 + P + P 3 + P 4 + 3P 5 + P 6 + P 7, M = 8, 7.7 8 BER 16 PSK = 1 7 P n + P n +.5P 5 + P 6 +.5P 7, M = 16. 7.8 n=1 n= FFI-rapport 7/16 3

Videre er det velkjent at BER av -PSK BPSK er identisk med BER av 4-PSK QPSK. Det vil si Eb BER 4 PSK = BER PSK = Q /N. Forskjellen med de to modulasjonstypene er at QPSK krever halvparten av båndbredden som BPSK gjør. Selv om eksakt BER kan oppnås for et antall verdier av M, må man eksplisitt regne en god del av P n før BER blir beregnet for hver M. Ved høye SNR kan BER approksimeres med SER/k. Imidlertid, når vi seinere skal studere feilrate over fading kanaler hvor SNR kan ha verdier nær null, trenger vi et BER uttrykk som er gyldig for både lave og høye SNR er for alle M. Det kan vises at [1] BER M PSK maxm/4,1 Q max k, l=1 k E b N sin l 1π M 7.9 er en god approksimasjon som er gyldig for både lave og høye SNR. Når M > 4 og ved høye SNR, er første ledd i summasjonen den dominerende og den er lik den velkjente union bound av SER i 7.3 dividert på k. Dermed er de resterende ledd i summasjonen der for å gjøre approximasjonen nøyaktig ved lave SNR. Hvordan BER endrer seg med SNR er plottet i Figur 7.4. Her ser vi at approksimerte verdi er veldig gode, så den kan trygt brukes til å evaluere bitfeil rater. 7.3 M-QAM 7.3.1 SER Her skiller vi mellom kvadratisk QAM konstellasjoner og rektangulære QAM konstellasjoner. Kvadratisk QAM: Et symbol fra en kvadratisk QAM konstellasjon vil være en -dimensjonal generalisering av en M-AM på den måten at et M-QAM symbol er ekvivalent med to uavhengige M-AM symboler, hver med 1/ energi. Det medfører at et M-QAM symbol er riktig detektert hvis to M-AM symboler hver for seg er riktig detektert. Matematisk kan det skrives som 1 SER M QAM Em = 1 SER M AM E m/. Da er midlere sannsynlighet for feil deteksjon SER Em M QAM = 1 sannsynlighet for riktig deteksjon [ ] = 1 1 SER M AM Em/ = SER M AM Em/ 1 1 SER M AM Em/. 7.3 4 FFI-rapport 7/16

1 Exact BER Approksimasjon 1 1 1 BERM PSK 1 3 1 4 M = 4 M = 8 M = 16 1 5 1 6 5 1 15 5 SNR per bit [db] Figur 7.4: Eksakt og approksimasjonen av BER for M-PSK ligning 7.6 7.8 og 7.9. Kurven for M = er ikke tatt med her siden den vil være identisk med kurven for M = 4. Ved innsetting av SER for M-AM inn i uttrykket over får vi SER M QAM = 4 = 4 M 1 Q M M 1 Eb Q M N [ 3E 1 N M 1 3k 4 M 1 M 1 Q M 3E N M 1 M 1 Q Eb M N ] 3k M 1 7.31 for vilkårlige verdier av M = k når k er like. Når M = 4, reduseres 7.31 til SER 4 QAM = Q som er helt identisk med SER for 4-PSK i 7.19. Eb N Q Eb, N Figur 7.5 viser SER for forkjellige kvadratiske M-QAM konstellasjoner. FFI-rapport 7/16 5

1 1 1 M = 4 M = 16 M = 64 M = 56 SERM QAM [square constellations] 1 1 3 1 4 1 5 1 6 5 1 15 5 SNR per bit [db] Figur 7.5: SER for kvadratiske QAM konstellasjoner ligning 7.31. Rektangulær QAM: I dette tilfelle M = k og k er odde finnes det ikke en ekvivalent M-AM-basert løsning slik som i forrige avsnittet. Her kan man kalkulere avstands- eller korrelasjonsmetrikken som vist i 4.5 eller 4.7, og det kan vises at SER kan være upper-bounded med [11] SER M QAM 1 Dette er illustrert i Figur 7.6. 4Q [ 1 Q Eb N Eb 3k M 1 N ] 3k M 1 4Q Eb N 3k. 7.3 M 1 For lettere sammenligning viser Figur 7.7 SER for både kvadratiske og rektangulære QAM konstellasjoner. Husk forøvrig at SER kurver for kvadratiske konstellasjoner gjelder eksakt, mens kurver for rektangulære konstellasjoner kun er upper bounds. 6 FFI-rapport 7/16

1 1 1 M = 8 M = 3 M = 18 M = 51 SERM QAM [rectangular constellations] 1 1 3 1 4 1 5 1 6 5 1 15 5 SNR per bit [db] Figur 7.6: SER for rektangulære QAM konstellasjoner ligning 7.3. Alternativ representasjon Bruker man definisjonen til Q-funksjonen kan SER av kvadratiske QAM konstellasjoner i 7.31 skrives som en sum av definite integraler: SER M QAM = 4 M 1 π/ exp E b 3k π M N M 1 sin θ 4 M 1 π/4 exp E b π M N dθ 3k M 1 sin θ dθ. 7.33 Tilsvarende kan SER av rektangulære QAM konstellasjoner i 7.3 skrives som: SER M QAM < 4 π π/ exp E b 3k N M 1 sin dθ 7.34 θ FFI-rapport 7/16 7

1 1 1 M = 4 M = 8 M = 16 M = 3 M = 64 M = 18 M = 56 M = 51 1 SERM QAM 1 3 1 4 1 5 1 6 5 1 15 5 SNR per bit [db] Figur 7.7: SER for QAM konstellasjoner ligning 7.31 og 7.3. 7.3. BER Kvadratisk QAM: Bruker man Gray koding for å konvertere bit til symboler, kan man finne eksakt BER for vilkårlige kvadratisk M-QAM med [14] hvor BER n = 1 n M 1 i= BER M QAM = 1 in 1 / M Videre kan BER approksimeres med [1] BER M QAM 4 M 1 k M log M M log M n=1 BER n 7.35 i n 1 n 1 + 1 Eb Q i + 1 M N M/ 1 i= Q i + 1 Eb N 3k. M 1 7.36 3k, 7.37 M 1 8 FFI-rapport 7/16

som er gyldig for både lave og høye SNR. Igjen, første ledd i summasjonen vil være den dominerende ved høy SNR, slik at resterende ledd er med å gjøre approksimasjonen nøyaktig også ved lave SNR. 1 Exact BER Approximation 1 1 BERM QAM [square constellations] 1 1 3 1 4 M=4 M=16 M=64 M=56 1 5 1 6 5 1 15 5 SNR per bit [db] Figur 7.8: Eksakt og approksimasjon av BER for kvadratiske M-QAM konstellasjoner ligning 7.35 og 7.37. Rektangulær QAM: La oss anta at konstellasjonen har I symboler i I-komponenten mens J representerer antall symboler i Q-komponenten. La d I og d J henholdsvis være minste avstanden mellom to nærliggende symboler i I- og Q-komponentene, slik at η = d J /d I er forholdet av minste avstanden mellom dem. Med disse antagelser, kan BER for en vilkårlig rektangulær QAM uttrykkes eksakt som [3] BER M QAM = 1 log IJ log I n=1 log J BER I n + l=1 BER J l, 7.38 FFI-rapport 7/16 9

hvor BER I n = I 1 n I 1 i= { 1 in 1 /I i n 1 n 1 I Q E b N + 1 } 6i + 1 log IJ I 1 + η J 1, 7.39 BER J l = J 1 l J 1 j= { 1 jl 1 /J j l 1 l 1 J Q η E b N + 1 } 6j + 1 log IJ I 1 + η J 1 7.4 Ved høye SNR er de leddene når i = og j = de domminerende slik at BER kan approksimeres ved å fjerne de resterende ledd i summasjonen. Det vil si { I 1 E b 6 log BER M QAM Q IJ log IJ I N I 1 + η J 1 } + J 1 J Q η E b 6 log IJ N I 1 + η J. 7.41 1 Når d I = d J, dvs. η = 1, og I = J vil 7.41 reduseres til 7.37. 7.4 M-FSK 7.4.1 SER Når S m t er sendt vil mottatt signal være se ligningene 4., 5.11 og 5.1 Ts n k, k m r k = rtϕ k tdt = E + nm, k = m for k = 1,,, K = M. Når signaler er ortogonale med lik energi, vil en optimal detektor være den som beregner krysskorrelasjonen mellom mottatt signalvektor r og hver av de mulig M sendte vektrorer med elementer som beskrevet i 5.1, og velger vektoren med index m som gir størst korrelasjonen. Med andre ord, den vil beregne denne metrikken: M Cr, a m = r T a m = r k a mk, m = 1,,, M. k=1 3 FFI-rapport 7/16

1 Exact BER Approximation BERM QAM [rectangular constellations] 1 1 1 1 3 1 4 1 5 4 8 4 16 8 3 16 1 6 5 1 15 5 SNR per bit [db] Figur 7.9: Eksakt og approksimasjon av BER for rektangulære M-QAM konstellasjoner hvor M = I J ligning 7.38 og 7.41. For å finne feilsannsynligheter, antar vi at S 1 t dvs. vektoren a 1 var sendt slik at den demodulerte vektoren blir r = [ E + n 1, n, n 3,, n M ] T, hvor n m, m = 1,,, M er gaussisk støy med null i middel og varians lik N /. På utgangen av de M korrelatorer får man Cr, a 1 = E + n 1 E Cr, s =n E. Cr, s M =n M E. Siden E inngår i alle metrikker og ikke vil påvirke desisjonen, kan den sees bort i fra. Da vil PDF en til utgangen av den første korrelator være gaussisk med middelverdi E, mens den vil være gaussisk med null i middel for alle de andre korrelator utganger. Derimot er det samme varians på alle utgangene. FFI-rapport 7/16 31

La fr m være PDF til korrelator utgang nummer m, m = 1,,, M. En korrekt desisjon vil skje når sannsynlighet at r 1 er større enn de verdier på de andre utgangene. Dvs. P korrekt = P n < r 1, n 3 < r 1,, n M < r 1 r 1 fr 1 dr 1 7.43 hvor P n < r 1, n 3 < r 1,, n M < r 1 r 1 er simultansannsynlighet at n, n 3,, n M er alle mindre enn r 1 når r 1 er gitt. Siden {n m } er uavhengige gaussiske stokastiske variabler, blir simultansannsynlighet et produkt av sannsynlighetene med følgende marginalsannsynligheter: Dermed blir 7.43 P korrekt = P n m < r 1 r 1 = og symbolfeil sannsynlighet blir Og dette kan skrives som [1, 11] = r1 r1 fr m dr m, 1 exp r m πn = 1 π r1 /N 1 r1 /N exp π SER M FSK = 1 1 π exp x m =, 3,, M dr m N x dx. dx M 1 fr 1 dr 1, SER M FSK = 1 P korrekt. 7.44 = 1 1 π Q Q q q E N keb N M 1 exp q dq M 1 exp q dq. 7.45 Igjen er resultatet i lukket-form, men den må evalueres numerisk siden den inneholder et indefinit integral. Vi er dermed interessert i en bound som er enklere. Det kan vises at SER kan begrenses med en union bound uttrykkes ved [11] keb SER M FSK M 1Q. 7.46 N En mer nøyaktig bound kan også finnes i [7]: [ SER M FSK 1 1 Q ] M 1 keb. 7.47 N 3 FFI-rapport 7/16

7.4. Noen spesielle tilfeller som resulterer i lukket-form løsninger Binær FSK Vektorene a 1 og a er henholdsvis a 1 = [ E b, ] T og a = [, E b ] T. La oss anta nå at S 1 t dvs. a 1 var sendt slik at mottatt vektor blir r = [ E b + n 1, n ] T. Korrelasjonsmetrikkene Cr, a 1 og Cr, a blir beregnet, og sannsynlighet for symbol- eller bitfeil blir da P E a 1 = P Cr, a > Cr, a 1 a 1 = P n n 1 > E b. Siden n 1 og n er gaussiske stokastiske variabler med null i middel og varians lik N /, vil n n 1 også være en gaussisk stokastisk variabel med middelverdi lik null og varians lik N. Da gjelder P n n 1 > 1 E b = exp x dx πn Eb = 1 exp π Eb /N = Q Eb N. N x dx På grunn av symmetri får man eksakt samme resultat dersom man hadde antatt at s var sendt. Den totale sannsynlighet for feil blir da SER FSK = BER FSK = 1 P E a 1 + P E a = Q Eb Denne modulasjonstypen krever 3 db mer i SNR for å oppnå samme BER som BPSK gjør. N. 7.48 3-FSK og 4-FSK Ligning 7.45 kan ikke reduseres til noe enklere for vilkårlige verdier av M >. Imidlertid, ved å skifte origo i signalrommet introdusert i [4] er det vist i [5] at 3-FSK og 4-FSK henholdsvis kan skrives som: SER 3 FSK = 1 π/3 exp E b k π N sin dθ, 7.49 θ og 3kEb SER 4 FSK = Q N 5π/6 [ 3kEb ] 3 sin θ + π/6 π + sin θ exp 3kE b sin θ N 4 + sin 1 Q dθ. 7.5 θ N 4 + sin θ Figur 7.1 viser både eksakte SER kurver og upper bounds for -FSK og 4-FSK. Kun M = og 4 er plottet på grunn av sammenligningsårsak ligning 7.45 vs. ligningene 7.48 og 7.5. For andre verdier av M > 4 finnes det ingen enklere lukket-form uttrykker, og SER må dermed beregnes med ligning 7.45. Figuren viser også at både union bound og Hughes bound er veldig nøyaktige. FFI-rapport 7/16 33

1 1 1 1 Exact SER, M = Eq. 7.45 Exact SER, M = 4 Eq. 7.45 Exact SER, M = Eq. 7.48 Exact SER, M = 4 Eq. 7.5 Union bound, M = Union bound M = 4 Hughes bound, M = Hughes bound, M = 4 SERM FSK 1 3 1 4 1 5 1 6 5 1 15 SNR per bit [db] Figur 7.1: Eksakt og approksimerte SER til -FSK og 4-FSK. 7.4.3 BER Når de M symbolene er ortogonale og alle er like sannsynlige for å opptre, blir symbolfeil sannsynlighet lik for de resterende M 1 symbolene 3 siden det er samme avstand mellom symbolene. Denne sannsynligheten finnes ved å dividere symbolfeil sannsynligheten på M 1 symboler. Videre er det k n mulige kombinasjoner hvor n av k bit kan være feil. Dermed blir antall bit som er feil per et k-bit symbol en middelverdi gitt ved k k n n n=1 SERM FSK M 1 = k k 1 M 1 SER M FSK. Dividerer man ovennevnte uttrykket på antall bit per symbol, får man bitfeil sannsynlighet, og resultatet blir Bruker man union bound i 7.46 kan BER begrenses med BER M FSK = 1 M M 1 SER M FSK. 7.51 BER M FSK M Q keb N 3 Dette er fordi et av de M symbolene skal være den riktige., 7.5 34 FFI-rapport 7/16

mens med Hughes bound blir BER [ ] M 1 BER M FSK 1 M keb 1 1 Q. 7.53 M 1 N Både eksakt BER, union bound og Hughes bound er plottet i Figur 7.11. 1 1 1 Exact BER, M = Eq. 7.51 Exact BER, M = 4 Eq. 7.51 Union bound, M = Union bound M = 4 Hughes bound, M = Hughes bound, M = 4 1 BERM FSK 1 3 1 4 1 5 1 6 5 1 15 SNR per bit [db] Figur 7.11: Union bound og Hughes bound sammen med eksakte BER kurver for -FSK og 4-FSK modulasjon. 8 Fading kanaler Over en fading kanal blir signal utsatt for en tidsvarierende dempning i tillegg til additiv støy. La α være en stokatisk variabel som beskriver denne dempningen, og la E [ α ] = Ω. Da har α en fordelingsfunksjon som er avhengig av hva slags fading det er på kanalen. Videre, la γ = α E b N 8.1 FFI-rapport 7/16 35

være instantant SNR per bit, slik at gjennomsnittet blir γ = ΩE b N. 8. Generelt vil gjennomsnitt feilrate enten SER eller BER over en fading kanal kan regnes ved å løse integralet: 4 P E = P E γfγdγ, 8.3 hvor P E γ er SER eller BER over gaussiske kanaler med E b /N eller E s /N erstattet med γ eller γ s. 8.1 Fading modeller Avhengig av miljøet der kommunikasjonen finner sted vil det oppstå forskjellige typer fadinger. Når det er frisikt mellom enheter som kommuniserer med hverandre, har vi en fading modell som er godt beskrevet med Rice PDF, ellers vil en Rayleigh PDF være beskrivende når det er ingen direktesikt mellom sender og mottaker. I stedet for å regne på Rice og Rayleigh fading eksplisitt, kan vi bruke en modell heter Nakagami multipath fading. PDF til SNR i denne modellen kalles ofte for Nakagami-m, og er gitt ved fγ = mm γ m 1 Γm γ m exp m γ γ, 8.4 og dens momentgenererende funksjon MGF er M γ s = = exp sγ fγdγ 1 + s γ m m. 8.5 Fordel med denne PDF er at man oppnår Rayleigh fading ved å sette m = 1. Videre, kan Rice fading approksimeres med stor nøyaktighet ved å benytte relasjonen m = K + 1 K + 1, m > 1 8.6 hvor K er Rice faktor som beskriver forholdet mellom direktesikt og de reflekterte signaler mottatt hos mottakeren. Når K = har vi Rayleigh fading. Parameteren m trenger ikke å være heltallig. Når m = 1/ vil Nakagami PDF være en ensidig gaussisk fordelingsfunksjon. Man får gaussisk fordeling ved å la m. I tillegg til at Nakagamim PDF kan brukes til forkjellige type fadinger ved å endre på m, består PDF en kun av elementære funksjoner slik at den ofte fører til lukket-form resultater. På grunn av ovennevnte grunner skal vi kun presentere resultater av SER og BER for Nakagami modellen i fading miljøer. 4 Vi bruker P E for både SER og BER, siden dette integralet gjelder for begge tilfellene. 36 FFI-rapport 7/16

8. Integral av MGF for Nakagami modell Før vi diskuterer SER/BER for fading kanaler presenterer vi, i dette avsnittet, noen nyttig matematiske integraler som dukker opp mange steder i analysen av fading scenarier. 8..1 Integral hvor Q-funksjonen er involvert I = = = 1 π Qa γ fγdγ 1 π π/ π/ exp a γ sin θ M γ a sin θ dθfγdγ dθ. 8.7 For en Nakagami modell får vi I = 1 π π/ π/ = 1 π 1 = µ 1 π 1 + a γ 1 + c m 1 m m sin dθ θ m dθ sin θ l 1 µ l, m heltallig 1, m + 1 ; m + 1; 1, m ikke-heltallig 1 + c l= l 4 c Γm + 1/ 1 + c m+1/ Γm + 1 F 1 8.8 hvor c = a γ/m, og µ = c/1 + c. Videre er F 1 a, b; c; z en Gauss hypergeometrisk funksjon definert ved F 1 a, b; c; z = l= a l b l c l z l l!, hvor notasjonen a l = Γa + l/γa = aa + 1 a + l 1. 8.. Integral hvor Q -funksjonen er involvert J = Q a γfγdγ. 8.9 Generelt er dette integralet veldig vanskelig å evaluere analytisk for vilkårlig m parameter. Imidlertid kan Q a γ skrives som Q a γ = 1 π π/4 exp a γ sin θ dθ, 8.1 FFI-rapport 7/16 37

og med m heltallig kan 8.9 løses hvor resultatet kan skrives i lukket-form uttrykk: 1 π/4 J = exp a γ π sin dθfγdγ θ = 1 π/4 M γ a π sin dθ θ = 1 π/4 1 + a γ m π m sin dθ θ = 1 π/4 1 + c m dθ π sin θ { = 1 4 1 π m 1 π µ l 1 l tan 1 µ l 41 + c l= sin tan 1 µ m 1 l 1 l [ T jl cos tan 1 µ ] } l j+1, 8.11 1 + c l=1 j=1 hvor c = a γ/m og µ = c/1 + c = a γ/m + a γ, og T jl l l l j l j 4 j [l j + 1]. 8.1 9 Analysen av feilrater over fading kanaler - Koherent kommunikasjon 9.1 M-AM 9.1.1 SER Setter man inn SER i 7.6 med E b /N erstattet med γ inn i 8.3 og integrerer ut ved hjelp av 8.7 og 8.8 får man SER fading M AM = M 1 M Γ m + 1 [mm 1] m 3k γ 1/ π Γm + 1 [mm 1 + 3k γ] m+1/ F 1 1, m + 1 ; m + 1; mm 1 mm, 9.1 1 + 3k γ for generelt m større eller lik 1/. Når m er heltallig, større eller lik 1, reduseres 9.1 til [ SER fading M AM = M 1 m 1 l 1 µ l ] 1 µ M l 4 hvor l= 3k γ µ mm 1 + 3k γ. Dette uttrykket er plottet i Figur 9.1 for m = 1, dvs. Rayleigh fading. 9. 38 FFI-rapport 7/16

1 1 1 SERM AM 1 1 3 M = M = 4 M = 8 M = 16 5 1 15 5 SNR per bit [db] Figur 9.1: SER av M-AM modulasjoner over en Rayleigh fading kanal ligning 9. for m = 1. 9.1. BER Setter man 7.1 inn i 8.3 og integrerer ut får man: log BER fading M AM = 1 M 1 1 n M 1 log M M n=1 i= i n 1 n 1 M + 1 [ m 1 l 1 µ l ] 1 µ, 9.3 l 4 1 in 1 /M l= hvor 3k γi + 1 µ = mm 1 + 3i + 1 k γ. BER kurvene for ulike M er plottet i Figur 9.. FFI-rapport 7/16 39

1 1 1 BERM AM 1 1 3 M = M = 4 M = 8 M = 16 5 1 15 5 SNR per bit [db] Figur 9.: BER av M-AM modulasjon over en Rayleigh fading kanal ligning 9.3 for m = 1. 9. M-PSK 9..1 SER Løser man 8.3 med 7. og 8.4 innsatt, og med hjelp av [1] 5 kan man oppnå lukket-form uttrykket: SER fading M PSK =M 1 M 1 k γ sin π/m π m + k γ sin π/m { π m 1 + l m tan 1 α l 4 m + k γ sin π/m l= + sin tan 1 α m 1 [ l m l m + k γ sin π/m l=1 j=1 l ]} [ T jl cos tan 1 α ] l j+1, 9.4 5 Det er som kjent at effektivt SNR etter maximum ratio combining av m uavhengige antenner, hvor variasjonen av mottatt signal i hver av dem er Rayleigh fordelt, er det samme som SNR i en Nakagami-m modell. Det er nettopp denne observasjonen som blir brukt slik at resultater i [1] kan anvendes her. 4 FFI-rapport 7/16

hvor k γ sin π/m α m + k γ sin π/m cot π M. Dette gjelder for heltallig verdier av m. Det er lett å se at for Rayleigh fading m = 1 og M = er 9.4 og 9. identiske. Dette bekreftes ved sammenligning av kurven for M = i Figurene 9.1 og 9.3. Figur 9.3 illustrerer også SER av M-PSK for andre verdier av M. 1 1 1 SERM PSK 1 1 3 M = M = 4 M = 8 M = 16 M = 3 5 1 15 5 SNR per bit [db] Figur 9.3: SER for M-PSK over Rayleigh fading kanaler ligning 9.4 for m = 1. 9.. BER Eksakte resultater for BER av 4-PSK, 8-PSK og 16-PSK over Nakagami-m fading kanaler kan fås ved å integrere 7.6, 7.7 og 7.8 over fading PDF i 8.4. Det vil si P n = P n fγdγ. 9.5 FFI-rapport 7/16 41

Det kan vises [1] at hvor { P n = 1 M + 1 π π β U + sin tan 1 m 1 α U { 1 π π β L + sin tan 1 m 1 α L m 1 + tan 1 α U l l=1 j=1 m 1 + tan 1 α L l l=1 j=1 l= l l 1 41 + µ U l T jl 1 + µ U l [ cos tan 1 α U ] l j+1 l= l l 1 41 + µ L l T jl 1 + µ L l [ cos tan 1 α L ] l j+1 } }, 9.6 µ L k γ n 1π sin m M β L µ L 1 + µ L α L β L cot n 1π M 9.7a µ U k γ n + 1π sin m M β U µ U 1 + µ U α U β U cot n + 1π M. 9.7b Disse P n istedet for P n brukes da i 7.6, 7.7 og 7.8 til å finne BER for 4-PSK, 8-PSK og 16-PSK over Nakagami-m m heltallig fading kanaler. Igjen er BER PSK = BER 4 PSK. For de andre M-PSK modulasjoner M > 16 kan man midle approksimasjonen i 7.9 over Nakagami-m PDF for å få BER over fading kanaler. Erstatter man E b /N i 7.9 med γ og skriver man ut integralet får man: maxm/4,1 BER fading M PSK Q maxk, = = = π maxk, π maxk, 1 maxk, l=1 maxm/4,1 l=1 maxm/4,1 l=1 maxm/4,1 l=1 kγ sin l 1π π/ π/ M γ k sin θ [ m 1 c 1 1 + c for m heltallig hvor c = k γ/m sin [l 1π/M]. M fγdγ exp kγ l 1π sin sin fγdγdθ θ M l= l 1π sin dθ M ] l l l 1 41 + c, 9.8 Eksakt BER sammen med approksimasjoner er tegnet i Figur 9.4. Kurven for M = er ikke tatt med her siden den vil falle sammen med den for M = 4. Her ser vi at 9.8 er en god approksimasjon av BER av M-PSK signaler. Siden denne er enklere, vil den kanskje være aktuelt å bruke til BER evaluering av M-PSK modulasjon. 4 FFI-rapport 7/16

1 Exact BER, M = 4 Exact BER, M = 8 Exact BER, M = 16 Approximation, M = 4 Approximation, M = 8 Approximation, M = 16 Approximation, M = 3 1 1 BERM PSK 1 1 3 5 1 15 5 SNR per bit [db] Figur 9.4: Eksakt og approksimasjon av BER for M-PSK over Rayleigh fading kanal. 9.3 M-QAM 9.3.1 SER Kvadratiske QAM konstellasjoner For m heltallig og kvadratiske QAM konstellasjoner kan SER beregnes ved å midle 7.31 over Nakagami PDF. Det vil si SER fading M QAM = 4 M 1 π M 4 M 1 π M = 4 M 1 π/ π M 4 M 1 π π/ exp π/4 3k M γ M 1 sin θ dθfγdγ 3kγ M 1 sin θ 3kγ exp M 1 sin θ dθ π/4 3k M γ M M 1 sin θ dθfγdγ dθ. 9.9 FFI-rapport 7/16 43

Med hjelp av 8.8 og 8.11 får vi 6 SER fading M QAM = M 1 M [ µ m 1 l= ] l ξ l l [ { M 1 1 4 1 M π µ tan 1 µ sin tan 1 µ m 1 l=1 j=1 m 1 l= l ξ l l l 4ξ l [ T jl cos tan 1 µ ] }] l j+1 9.1 hvor 3k γ µ = mm 1 + 3k γ ξ = mm 1 4mM 1 + 6k γ. 9.11a 9.11b Resultatet er plottet i Figur 9.5. Rektangulære QAM konstellasjoner Tilsvarende er SER for rektangulære QAM konstellasjonerupper bounded ved å midle 7.3 over Nakagami PDF. Resultatet blir M QAM 4Q SER fading = 4 π π/ =1 µ 3kγ fγdγ M 1 3k M γ M 1 sin θ { l ξ l + 4π l µ m 1 l= m 1 sintan 1 µ l l=1 j=1 3kγ 4Q fγdγ M 1 dθ 4 π tan 1 1 µ π/4 m 1 l= mm 1 mm 1 + 3k γ 3k M γ M 1 sin θ dθ l l mm 1 4mM 1 + 6k γ l } l T jl[costan 1 µ] l j+1, 9.1 og den er plottet i Figur 9.6. 6 Når man leser i annen litteratur er det verdt å merke seg at tan 1 µ = π/ tan 1 1/µ for µ > her er µ alltid større enn. 44 FFI-rapport 7/16

1 SERM QAM [square constellations] 1 1 1 1 3 M = 4 M = 16 M = 64 M = 56 5 1 15 5 SNR per bit [db] Figur 9.5: SER for kvadratiske QAM konstellasjoner over en Rayleigh fading kanal ligning 9.1. 9.3. BER Kvadratisk QAM log BER fading M QAM = M M log M Erstatter vi E b /N i 7.36 med γ er BER n BER n = 1 n M 1 i= n=1 BER n fγdγ. 9.13 } {{ } BER n 1 in 1 / M i n 1 n 1 + 1 M 3k Q i + 1 γ fγdγ. 9.14 M 1 FFI-rapport 7/16 45

1 SERM QAM [rectangular constellations] 1 1 1 1 3 M = 8 M = 3 M = 18 M = 51 5 1 15 5 SNR per bit [db] Figur 9.6: Approksimasjon av SER for rektangulære QAM konstellasjoner over en Rayleigh fading kanal ligning 9.1. Det er plottet for når avstanden mellom symbolene er lik i både horisontale og vertikale retninger dvs. η = 1. Ved hjelp av 8.8 får vi BER n = hvor µ nå er: 1 n M 1 i= 1 in 1 / M i n 1 n 1 + 1 [ 1 M µ m 1 l= l l 1 µ l ], 4 9.15 3k γi + 1 µ = mm 1 + 3k γi + 1. 46 FFI-rapport 7/16

På denne måten kan BER fading M QAM for kvadratiske QAM konstellasjoner regnes ut med log BER fading M QAM = 1 M 1 1 n log M n=1 M M 1 i= 1 in 1 / M [ 1 µ m 1 l= l l i n 1 n 1 + 1 M 1 µ l ] 4. 9.16 Hvis vi istedet bruker approksimasjonen i 7.37 kan BER av kvadratisk QAM over en fading kanal approksimeres med M 1 M QAM 4 M k BER fading = M 1 M k M/ 1 i= M/ 1 Approksimasjonen er plottet sammen med eksakte BER i Figur 9.7. i= 3k Q i + 1 γ fγdγ M 1 [ m 1 l 1 µ l ] 1 µ l 4 l= 9.17 Rektangulær QAM BER fading M QAM = 1 log IJ log I BER I nfγdγ n=1 } {{ } log J + l=1 BER J l fγdγ } {{ }. 9.18 BER I n BER J l På samme måte som for kvadratisk QAM kan BER I n og BER J l skrives som BER I n = 1 I 1 n I 1 i= { hvor µ 1 = c 1 /1 + c 1 med 1 in 1 /I i n 1 n 1 I [ + 1 m 1 1 µ 1 l= l l 1 µ 1 4 l ] }, 9.19 og BER J l = 1 J 1 l J 1 j= { c 1 = 1 jl 1 /J γ6i + 1 log IJ m[i 1 + η J 1], 9. j l 1 l 1 J [ + 1 m 1 1 µ l= l l 1 µ 4 l ] }, 9.1 FFI-rapport 7/16 47