Løsninger Innhold.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger.....mangekanter og sirkler... 8.3 Formlikhet... 1.4 Pytagoras setning... 17.5 Areal... 3.6 Trigonometri 1... 9 Navn på hjørner og sider i trekanter... 9 Tangens, sinus og cosinus... 30 Arealformel for trekanter... 53.7 Trigonometri... 56 Arealsetningen... 56 Sinussetningen... 61 Cosinussetningen... 66 Blandede oppgaver... 75 Noen av oppgavene er merket med symbolet. Disse oppgavene bør du klare å løse uten hjelpemidler. Øvingsoppgaver og løsninger Stein Aanensen og Olav Kristensen 1
.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger.1.1 Hvordan definerer vi a) en linje? En linje består av uendelig mange punkter. Linjen har en uendelig utstrekning i begge retninger (én dimensjon). b) et linjestykke? Et linjestykke er en del av en linje og avgrenses av to endepunkter. c) en stråle? En stråle er en del av en linje og avgrenses av ett endepunkt. Strålen har uendelig utstrekning i én retning..1. Tegn en rett, en spiss og en stump vinkel. En rett vinkel er 90. En spiss vinkel er mindre enn 90. En stump vinkel er større enn 90.
.1.3 a) Tegn to komplementvinkler. b) Tegn to supplementvinkler..1.4 Sett sammen begrep og forklaring 1) Punkt a) Består av uendelig mange punkter, har uendelig utstrekning i én retning. ) Linje b) Avgrenset av to endepunkter. 3) Linjestykke c) Har ingen utstrekning, men har en bestemt posisjon. 4) Stråle d) Består av uendelig mange punkter, har uendelig utstrekning i begge retninger. 5) Plan e) Har uendelig utstrekning i to dimensjoner 1c, d, 3b, 4a, 5e 3
.1.5 Sett inn begrepet som mangler: a) To linjer som ligger i samme plan og ikke skjærer hverandre er b) En vinkel på 90, kalles en vinkel c) En vinkel mellom 0 og 90 kaller vi en.. vinkel. d) En vinkel mellom 90 og 180 kaller vi en.. vinkel. e) To vinkler som til sammen er 90 kaller vi vinkler. f) To vinkler som til sammen er 180 kaller vi. vinkler. a) parallelle b) rett c) spiss d) stump e) komplement f) supplement 4
.1.6 Bruk figuren og fyll inn begrepene som mangler a) AEC og DEB er. b) AED og CEB er. c) AEC og CEB er. d) AED og DEB er. a) toppvinkler b) toppvinkler c) supplementvinkler d) supplementvinkler 5
.1.7 Linjene b og c på figuren er parallelle. Bestem vinkel u, v, w og u 50, v 50, w 180 50 130, 130.1.8 Vis at w z. v w 180 w 180 v z v 180 z 180 v w z 6
.1.9 Forklar hvorfor u v. Vi har to rettvinklede trekanter, og to toppvinkler. Vinkelsummen i en trekant er 180, vi har derfor at u v..1.10 Fyll ut tabellen. m dm cm mm 1,5 1,5 15 1 50 34 340 3 400 34 000 0,59 5,9 59 590.1.11 Regn ut. Oppgi svarene i meter. a) 0,0 cm + 1,4 m + 38,0 dm = 0,0 m + 1,4 m + 3,80 m =5,4 m b) 740 mm + 30 cm + 6,0 dm = 0,740 m + 3,0 m + 0,60 m = 4,54 m c) 85 mm + 40,00 dm + 9,0 cm = 0, 085 m + 4,000 m + 0,090 m = 4,175 m 7
..Mangekanter og sirkler..1 Hvilke trekanter er a) rettvinklede? b) Likebeinte? c) Likesidet? Den første er rettvinklet, den andre er likebeint, den tredje likesidet (og dermed likebeint) og den fjerde er rettvinklet og likebeint... Tegn og beskriv - et trapes En firkant. Minst to sider er parallelle. - et parallellogram En firkant. 8
Motstående sider er parallelle. - et rektangel En firkant. Alle vinklene er 90. - en rombe En firkant. Alle sidene er like lange. - et kvadrat En firkant. Alle vinklene er 90. Alle sidene er like lange. 9
..3 Figuren viser et parallellogram. Bestem de ukjente vinklene. A C 50, B 180 50 130, D B 130..4 Bestem B på figuren Vinkelsummen i en femkant er 3 180. Vi finner B 3 180 10 91 17 105 115 10
..5 Sett navn på linjene og linjestykkene på figuren 11
.3 Formlikhet.3.1 Forklar at ABC er formlik med DEF. Hvor stor er den siste vinkelen i trekantene? Trekantene har parvis like store vinkler og er dermed formlike. Den siste vinkelen er 180 45 71,57 63,43.3. ABC og DEF nedenfor er formlike. a) Finn lengden av AC. Vi regner ut målestokken når vi går fra Lengden av AC 10,0 cm 0,75 7,5 cm DEF til ABC. AB 6,0 Målestokken 0,75 DE 8,0 1
b) Finn lengden av EF. 6,3 cm 6,3 cm Lengden av EF 0,75 3 4,1 6,3 cm 4 8,4 cm 3.3.3 I trekanten nedenfor er DE parallell med GH. Forklar at DEF er formlik med GHF. Trekantene DEF og GHF har felles vinkel F. De parallelle linjene DE og GH skjæres av linjene gjennom DF og EF. Når to parallelle linjer skjæres av en tredje linje, er de samsvarende vinklene like store, dvs. at vinkel DEF = vinkel GHF osv. Trekantene har dermed parvis like store vinkler og er da formlike..3.4 Figuren nedenfor viser to trekanter DSC og ASB. DC er parallell med AB. Forklar at DSC er formlik med ASB. Toppvinklene ASB og CDS er like store. De parallelle linjene DC og AB skjæres av linjene gjennom AB og CD. Når to parallelle linjer skjæres av en tredje linje, er de samsvarende vinklene like store. Trekantene har dermed parvis like store vinkler og er da formlike. 13
.3.5 ABC og DEF nedenfor er formlike. A D. Hvor store er de andre vinklene i trekantene? ACB DFE ACB 71,6 CBA FEB 180 45 71,6 63,4.3.6 Norges høyeste tre skal være grantreet Goliat i Aurskog-Høland. Lise vil finne ut hvor høyt treet er. Hun plasserer en,0 m loddrett stav på bakken 10,0 m foran treet. Lise sikter inn en rett linje fra toppen av treet gjennom toppen av staven som treffer bakken 0,5 m fra staven. Bruk formlikhet og regn ut hvor høyt treet er. Trekanten dannet av bakken, staven og siktelinja er formlik med trekanten som dannes av bakken, treet og siktelinja. Trekantene har felles vinkel der siktelinja treffer bakken og både staven og treet danner 90 med bakken. 10,5 Målestokk 1 0,5,0 m 1 4m Treet er 4 meter høyt. 14
.3.7 Se på figuren under og forklar hvorfor trekantene BTS og B T S er formlike. T T B B S Trekantene BST og B ST har felles vinkel S. Begge trekantene er rettvinklet. Trekantene har da parvis like store vinkler og er formlike..3.8 På figuren til høyre er siden PQ parallell med RT. Forklar hvorfor trekantene PQS og RST er formlike. Hvilken side er tilsvarende til ST? Finn lengden til denne siden. PSQ RST fordi de er toppvinkler. Linjene PT og RQ skjærer de parallelle linjene PQ og RT og vi har da at de samsvarende vinklene er like. For eksempel er SQP SRT. Trekantene har da parvis like store vinkler og er formlike. Da SQP SRT er sidene PS og ST tilsvarende sider fordi de er motstående sider til like store vinkler. Forholdet mellom tilsvarende sider er konstant PS PQ PS 4m 4 0m PS 5m 3,3 m ST RT 5m 6m 6 6 15
.3.9 Vi står på Sjøsanden og skal beregne avstanden ut til Hatholmen. Se figuren til høyre. Vi måler avstander og finner at AB 5m, CD 00 m og BC,5 m. Hva blir avstanden ut til Hatholmen? DCE og BCA er formlike fordi vinkel C er lik i de to trekantene (toppvinkler), og begge trekantene er rettvinklete. Forholdet mellom de tilsvarende sidene CD og BC 00 blir 80.5 5 80 000 Avstanden DE ut til Hatholmen er 000 meter..3.10 Denne oppgaven krever fint vær og at du får lov av læreren din. Gå sammen to og to og finn ut hvor høy skolen din er. Utstyr: Målebånd/tommestokk Metode: Gå ut i solen rett ved skolen. Få medeleven din til å måle skyggen som du lager. Mål lengden av skyggen som skolen lager. Mål din egen høyde, dersom du ikke vet hvor høy du er. Du har nå to formlike trekanter og kan finne ut hvor høy skolen din er! 16
.4 Pytagoras setning.4.1 Regn ut lengden av siden AC i den rettvinklete trekanten ABC nedenfor. Jeg bruker Pytagoras læresetning. Lengden av siden AC er 5,8 cm..4. Figuren nedenfor viser grunnflaten til en garasje. Regn ut lengden av diagonalen BC. Bruker Pytagoras læresetning. BC BC 6,0 8,0 36 64 BC 100 BC 10,0 Diagonalen BC er 10,0 meter. 17
.4.3 Regn ut lengden av siden AB i den rettvinklete trekanten ABC nedenfor. Bruker Pytagoras læresetning. AB AB AB 10,0 6,0 100 36 64 AB 8,0 Lengden AB er 8,0 dm..4.4 I en rettvinklet trekant er hypotenusen 5,15 cm lang og den ene kateten,50 cm lang. Regn ut lengden av den andre kateten. Bruker Pytagoras læresetning. Lengden av den andre kateten er 4,50 cm. 18
.4.5 Trekanten ABC til høyre er likebeint. AC er 6,75 m og AB er 10,80 m. Finn høyden h. Bruker Pytagoras læresetning. katet hypotenus katet Regner i GeoGebra Høyden h er 4,05 meter..4.6 I en rettvinklet trekant er den ene kateten 10,0 cm. Den andre kateten er tredjedelen av hypotenusen. Finn hypotenusen og den ukjente kateten. Setter opp en likning som vi løser i GeoGebra. Jeg kaller hypotenusen for x Ser bort fra den negative løsningen 10,6 3,5 3 Hypotenusen er 10,6 cm og kateten er 3,5 cm. 19
.4.7 En trekant har sidene 3 cm, 4 cm og 5 cm. Hvordan kan du finne ut om denne trekanten er rettvinklet? Jeg undersøker om Pytagoras setning gjelder for trekanten. 3 4 9 16 5 3 4 5 5 5 Siden Pytagoras setning bare gjelder for rettvinklete trekanter, er denne trekanten rettvinklet..4.8 Undersøk om trekanten til høyre er rettvinklet. Undersøker om Pytagoras setning gjelder for trekanten. 4,0 4,0 5,5 4,0 4,0 16,0 16,0 3 5,5 30,5 Trekanten er ikke rettvinklet. 0
.4.9 Gitt firkanten ABCD. ACD ADC, BAC ABC, AE står normalt på CD og ACB 90. Diagonalen AC er 4, cm og høyden AE er 3,9 cm. a) Finn lengden av AD og BC. Opplysningene om vinklene viser at trekantene ABC og ACD er likebente. Da er AD BC AC 4,cm b) Finn lengden av AB og CD. Bruker Pytagoras til å bestemme lengden av AB. Regner i GeoGebra. AB 5,9 cm Bruker Pytagoras til å bestemme lengden av CD: CD 3, cm c) Finn arealet av firkanten ABCD. Finner arealet av firkanten som summen av arealene av de to trekantene: 1
Arealet er 15 cm
.5 Areal.5.1 Gitt rektangelet ABCD nedenfor. a) Regn ut arealet av rektangelet. Arealet 6,0 m,0 m 1 m b) Regn ut lengden av diagonalen AC. Diagonalen AC er 6,3 meter. c) Regn ut arealet av trekanten ABC. 6,0 m,0 m Arealet av trekanten ABC 6,0 m d) Hva er arealet av trekanten ACD? Trekantene ABC og ACD er formlike og like store. Arealet av ABC = Arealet av ACD, altså 6,0 m 3
.5. Gitt trapeset ABCD. Finn arealet og omkretsen av trapeset. Sidelengden AB 6m 3m 9m 9 m 6 m 15 m Arealet av trapeset ABCD m m 15 m Finner omkretsen i GeoGebra: Omkretsen av trapeset ABCD er 1m.5.3 Finn arealet av parallellogrammet EFGH. Arealet av parallellogrammet EFGH grunnlinje høyde 4 dm dm 8 dm 4
.5.4 Regn ut arealet av trekanten ABC nedenfor. Finner først høyden h fra C ned på linja gjennom AB. Pytagoras læresetning gir: h h h 5 3 5 9 h 4 16 cm 4 cm 8 cm Arealet av trekanten ABC 4 cm 5
.5.5 Stian skal sette opp et bygg. Grunnflaten har form som vist på tegningen ovenfor. Alle målene er gitt i millimeter (mm). Vis at grunnflaten til bygget har et areal på 107,5 m. Oppgaven kan løses på flere måter. Løsningen her er bare ett av mange alternativ. Metode: Finner arealet av de to store firkantene. Legger til arealet av trekanten. Trekker i fra det området der de to firkantene overlapper hverandre. Areal av den øverste store firkanten Areal av den nederste store firkanten 7,0 m 8,0 m 56,0 m 8,0 m 6,0 m 48,0 m 8,0 m,5 m 7,0 m 3,0 m 5,5 m 4,0 m Areal av trekanten 11,0 m Areal av det området som blir med i begge de store firkantene,5 m 3,0 m 7,5 m Samlet areal blir: 56,0 m 48,0 m 11,0 m 7,5 m 107,5 m 6
.5.6 Figuren nedenfor viser en likesidet trekant med sider 30,0 cm. Utskjæringen er en halvsirkel med diameter 10,0 cm. a) Regn ut høyden i trekanten. Trekanten er likesidet. Høyden treffer dermed midt på grunnlinjen. Høyden i trekanten er 6,0 cm. b) Regn ut arealet av den utskjærte trekanten. Arealet av hele trekanten minus arealet av halvsirkelen. Arealet er 351 cm 7
c) Regn ut omkretsen av den utskjærte trekanten. Omkretsen av halvsirkelen r r Omkretsen av trekanten blir dermed: 30,0 cm 30,0 cm 10,0 cm 10,0 cm 15,7 95,7 cm.5.7 Hvilken figur har størst areal, en sirkel med radius 4,00 cm eller et kvadrat med sidelengde 7,00 cm? Areal sirkel r 7,00 cm 49,00 cm Areal kvadrat Arealet av sirkelen er størst..5.8 Regn ut arealet av det lysegrå området på figuren. Areal av rektangel 6,0 m 3,0 m 18,0 m Areal av de to kvartsirklene Arealet av det lysegrå området blir: 18,0 m 14,1 m 3,9 m 8
.6 Trigonometri 1 Navn på hjørner og sider i trekanter.6.1 Sett navn (bokstaver) på sidene til trekanten nedenfor. Se figur..6. Gitt den rettvinklete trekanten ABC til høyre. a) Sett navn på sidene. Se figur. b) Hvilken side er hypotenus? c c) Sett fra hjørnet A 1. Hvilken side er motstående katet? a. Hvilken side er hosliggende katet? b d) Sett fra hjørnet B 1. Hvilken side er motstående katet? b. Hvilken side er hosliggende katet? a 9
Tangens, sinus og cosinus.6.3 Finn tangensverdiene til følgende vinkler. Finn også de eksakte verdiene hvis det er mulig. Bruker GeoGebra a) 3 b) 45 c) 73,6 tan3 0,445 tan45 1 tan73,6 3,3977 d) 30 e) 60 tan30 0,5774 1 3 1 tan30 3 3 3 3 tan60 1,731 tan60 3 30
.6.4 Finn ut hvilke vinkler som har følgende tangensverdier Bruker GeoGebra Husk å krysse av for grader a) tanv 0,3456 v 19,1 Alternativ kan vi løse likningen b) tanv 1 v 45 c) tanv 3 v 60 d) tanv 3 3 v 30 31
.6.5 a) Finn den ukjente kateten i trekanten til høyre når c 14,0. Jeg løser følgende likning i GeoGebra b 7,4 b) Finn den ukjente kateten i trekanten til høyre når b 7,0. Jeg løser følgende likning i GeoGebra c 13.6.6 Finn den ukjente kateten i trekanten når C 6 Jeg løser følgende likning i GeoGebra og b 7,0. c 13.6.7 Finn vinkel v i den rettvinklete trekanten til høyre. Jeg løser følgende likning i GeoGebra v 68 3
.6.8 Finn de ukjente sidene i trekantene under a) Jeg løser følgende likninger i GeoGebra AB 4,0 AC 4,7 b) Jeg løser følgende likninger i GeoGebra BC 1,3 AC 3,4 33
c) Jeg løser følgende likninger i GeoGebra BC 0, AC 3,1 34
.6.9 I trekanten under er 3 tanb og AC 3,0. 5 a) Bestem lengden til BC og AB Jeg bruker definisjonen på tangens og Pytagoras setning og løser følgende likninger i GeoGebra BC 5,0 AB 5,8 Vi ser bort fra den negative løsningen b) Bestem vinklene i trekanten GeoGebra gir følgende B 31 C 90 A 90 31 59 35
.6.10 I trekanten under er 3 tanb og BC 7,0. 5 a) Bestem lengden til AC og AB Vi bruker definisjonen til tangens og løser følgende likning i GeoGebra AC 4, Så kan vi bruke Pytagoras setning til å finne AB Vi ser bort fra den negative løsningen AB 8, b) Bestem vinklene i trekanten Jeg bruker definisjonen på tangens i GeoGebra B 31,0 36
C 90,0 A 90,0 31,0 59,0.6.11 a) Tegn en rettvinklet trekant ABC der 3 tanb 5 b) Tegn en rettvinklet trekant ABC der 1 tanc c) Tegn en rettvinklet trekant ABC der tan A 3 37
.6.1 Du skal finne høyden til et tre i skolegården. Dette kan gjøres ved at du går 30 meter bort fra treet. Du finner vinkelen mellom siktelinjen til treets topp og bakken. Vinkelen måler du til 33. Se figuren ovenfor. Hvor høyt er treet? Jeg bruker definisjonen på tangens i GeoGebra Høyden til treet er 19 meter.6.13 Du skal nå sammen med tre andre elever finne et stort tre eller en høy bygning. Dere skal benytte framgangsmåten skissert i forrige oppgave og finne høyden til det valgte objekt. Dere må klart redegjøre for metoden dere brukte for å finne vinkelen. Bruk to forskjellige metoder for vinkelmålingen og vurder grad av nøyaktighet. Hvilket utslag gir det på treets høyde om vinkelen måles en grad feil? 38
.6.14 Hege vil beregne den korteste avstanden over Mandalselva. Hun merker seg ut en stein på andre siden av elva der hvor elva ser ut til å være smalest. Hun merker så av to punkter, A og B, slik at AB 10m og A 90. Hun måler og finner at B 84. Hun måler videre avstanden fra punktet A og inn til elvebredden til 6 m. Hvordan kan nå Hege beregne avstanden over elva? Vi kaller avstanden fra punktet A og over til steinen på andre siden av elva for x. Vi regner i GeoGebra og får Bredden over elva blir da 95 m 6 m 69 m.6.15 Mens Maren og Naomi var på Sjøsanden, så de en seilbåt langt ute på sjøen. De kjente igjen seilbåten og visste at mastehøyden var 1 meter over havflaten. De ville nå finne ut hvor langt ute seilbåten var. De målte vinkelen mellom siktelinjene til seilbåtens mastetopp og til båtens vannlinje til 1,5. De beregnet så avstanden til båten. Hvilken avstand fant de? Vi kaller avstanden ut til båten for x. Vi kan da sette opp følgende likning som vi løser i GeoGebra x 460 m 39
.6.16 I eksempel i teorien ble det beskrevet hvordan du kan beregne avstanden fra Sjøsanden til Hatholmen. Du skal nå sammen med tre andre elever følge denne framgangsmåten for å finne denne eller en tilsvarende avstand. Som en del av oppgaven må du lage en vinkel på 90. Beskriv hvordan du gjør dette. Sjekk også hvilket utslag det gir på avstanden om vinkelen måles en grad feil..6. 17 Regn ut ukjente sider og vinkler i trapeset til høyre. Vi kaller fotpunktet fra C på AD for E. DE 4,5 1,9,6 D 36, C 90 180 90 36, 143, 8 Jeg bruker definisjonen på cosinus og bestemmer CD CD 3, 40
.6.18 a) Regn ut hvor store hver av vinklene i parallellogrammet til høyre er. C A 51,7 D B 90 180 90 51, 7 18, 3 b) Regn ut arealet til trapeset EBCD. Jeg bruker GeoGebra og finner AE AE 1,7 BE AB AE 5,1 1,7 3,4 Arealet blir 3,4 5,1,1 8,9 c) Regn ut omkretsen til parallellogrammet. Finner først AD ved å bruke Pytagoras Ser bort fra den negative løsningen AD,7 Omkretsen blir (, 7 5,1) 15, 6 41
.6.19 a) Tegn en rettvinklet trekant ABC der 3 tanb og AC 6 5 b) Tegn en rettvinklet trekant ABC der 1 tanc og AC 6 c) Tegn en rettvinklet trekant ABC der tan A 3 og AC 1, 4
.6.0 I trekanten under er 3 tanb og AB 5,8. 5 Bestem lengden til AC og BC Vi finner AC uttrykt ved BC 3 tanb 5 AC 3 BC 5 3 AC BC 5 Vi kan bruke Pytagoras setning og sette opp en likning for å finne BC. Løser likningen i GeoGebra AB AC BC 5,8 3 BC 5 BC Vi ser bort fra den negative løsningen BC 5,0 3 AC BC 5 AC 3 5,0 5 AC 3,0 43
.6.1 Finn lengden av siden AC i trekanten til høyre. AC 9,7.6. Finn lengden av siden AB i trekanten til høyre AB 1,7.6.3 Finn lengden av siden AC i trekanten til høyre. AC 1,5.6.4 Finn lengden av siden AB i trekanten til høyre. AB 88 m 44
.6.5 Finn ukjente sider og vinkler i trekanten ABC. AC 61 m AB 547 m C 180 90 6,6 63,4.6.6 Finn de ukjente sidene i trekantene under a) Vi finner først AB ved å bruke definisjonen til sinus AB 3,1 Så finner vi BC ved å bruke definisjonen til cosinus BC 1,7 45
b) Vi finner først AC ved å bruke definisjonen til sinus. AC 4,0 Så finner vi BC ved å bruke definisjonen til tangens BC,6 c) Vi finner først AC ved å bruke definisjonen til cosinus. AC 3,6 Så finner vi AB ved å bruke definisjonen til tangens AB 3, 46
.6.7 3 I trekanten under er sina og AB 5,0. 5 a) Bestem lengden til BC og AC Vi bruker definisjonen til sinus BC sin A AC 3 BC 5 5,0 BC 3,0 Så kan vi bruke Pytagoras setning til å finne AC AC AB BC AC 5,0 3,0 AC 4,0 b) Bestem cos Aog tan A AC 4 cos A AB 5 BC 3 tan A AC 4 c) Bestem sin B,cos B og tanb 4 sinb cos A 5 3 cosb sina 5 AC 4 tanb BC 3 47
.6.8 I trekanten ABC under er cosb og AB,0. 5 a) Bestem lengden til BC og AC. Oppgi svarene eksakt Vi bruker definisjonen til cosinus AB cosb BC,0 5 BC BC 5,0 Så kan vi bruke Pytagoras setning til å finne AC AC BC AB AC 5,0,0 AC 1,0 b) Bruk eksakte verdier og bestem sin Bog tanb AC sinb BC AC tanb AB 1 5 1 c) Bestem sin C,cos C og tanc AC cosc sinb BC sinc cosb 5 1 5 AB,0 1 tanc AC 1,0 1 48
.6.9 1 I trekanten under er sina og AB 0,0. 5 a) Bestem lengden til BC og AC Vi bruker definisjonen til sinus BC sin A AC 1 BC 5 0,0 BC 4,0 Så kan vi bruke Pytagoras setning til å finne AC AC AB BC AC 0,0 4,0 AC AC 384 AC 8 6 4 4 4 6 b) Bruk eksakte verdier og bestem cos Aog tan A AC 8 6 6 cos A AB 0 5 BC 4 6 6 tan A AC 8 6 6 1 c) Bestem sin B,cos B og tanb 1 cosb sina 5 6 sinb cos A 5 AC 8 6 tan A 6 BC 4 49
.6.30 1 I trekanten ABC er sinc og AB,0. 3 Bestem lengden til AC og BC. Oppgi svarene eksakt. Vi finner først BC ved å bruke definisjonen til sinus 1 sinc 3,0 1 BC 3 BC 6,0 Så kan vi bruke Pytagoras setning til å finne AC AC BC AB AC AC 6,0,0 3,0 AC 4 b) Bruk eksakte verdier og bestem cos C og tanc AC 4 cosc BC 6 3 AB tanc AC 4 4 c) Bestem sin B,cos B og tanb 1 cosb sinc 3 sinb cosc 3 AC 4 tanb AB 50
.6.31 Gitt den rettvinklede trekanten ABC, se figuren a) Bestem sin C og cosc,0 sinc 0, 10 9,8 cosc 0,98 10 b) Bestem tan B,sin B og cos B 9,8 tanb 4,9,0,0 cosb sinc 0, 10 9,8 sinb cosc 0,98 10 51
.6.3 Regn ut hvor store hver av de ukjente vinklene i trekanten til høyre er. A 4,1 C 180 90 4,1 47, 9.6.33 En 8,5 m lang stige står mot en husvegg og danner 7. med bakken. Vinkelen mellom bakken og husveggen er 90. a) Hvor høyt står stigen på veggen? Vi kaller høyden for h h 8,1 m b) Hvor langt fra veggen står stigen? La avstanden til veggen være x x,6 m 5
.6.34 I en rettvinklet trekant er den ene vinkelen 7. Den hosliggende kateten til denne vinkelen er 3,5 meter. Finn lengden av den andre kateten og hypotenusen. Vi kaller den andre kateten for k, og hypotenusen for h. Vi får k 1,8 m h 3,9 m Arealformel for trekanter.6.35 Finn arealet av trekanten til høyre. 1 T 40 m h h der sin37,0 h 30 m sin37,0 30 m T 360 m 53
.6.36 Finn arealet av trekanten til høyre. realet er 5 cm.6.37 Regn ut arealet av trekanten til høyre. Arealet 9,5 54
.6.38 Regn ut arealet av trekanten til høyre. Bruker GeoGebra Arealet 13.6.39 Gitt firkanten til høyre. a) Regn ut hvor stor A er. A 50,8 b) Regn ut lengden av BD, BC og CD. BD: BD 6,7 BC: BC 4,7 CD: CD 4,7 c) Regn ut arealet av firkanten. 1 AB BD 1 BC CD 1 5,5 6,7 4,7 4,7 9,5 Arealet av firkanten er 9,5 55
.7 Trigonometri Arealsetningen.7.1 a) Regn ut arealet av trekanten til høyre. Arealsetningen gir Arealet er 5,5 cm b) Regn ut arealet av trekanten til høyre. Arealsetningen gir Arealet er 1,8 m c) I ABC er A 5, AB 8,0 m og AC 3,5 m. 1. Tegn en hjelpefigur.. Regn ut arealet av trekanten. Arealsetningen gir Arealet er 5,9 m 56
.7. Regn ut lengden av siden AB i trekanten til høyre. Vi kan bruke arealsetningen til å sette opp en likning AB 5,7.7.3 Trekanten til høyre har areal 14,6. Regn ut lengden av siden AC i trekanten Vi kan bruke arealsetningen til å sette opp en likning AC 5,8.7.4 Bestem arealet til trekanten til høyre når du får 3 vite at sina 5 Vi kan bruke arealsetningen 1 Arealet AC AB sina 1 3 Arealet 7 5 5 Arealet 10,5 57
.7.5 Bestem sida AC til trekanten til høyre når du får vite at 3 sina 5 Vi kan bruke arealsetningen 1 Arealet AC AB sina 1 3 3 AC 5 AC 5.7.6 Regn ut hvor stor A i trekanten til høyre er. Vi setter opp en likning med utgangspunkt i arealsetningen. A 5,5 58
.7.7 Regn ut hvor stor A i trekanten til høyre er. Vi setter opp en likning med utgangspunkt i arealsetningen A 3,8.7.8 Eirins mor har en stor hage med mål som gitt på figuren nedenfor. Eirin får i oppgave å regne ut arealet av hagen slik at den får riktig mengde med gjødsel. Eirin finner ut at hagen har et areal på ca. 710 m. Har hun regnet riktig? Vi deler hagen opp i to trekanter, se stiplet linje. Finner så samlet areal ved hjelp av arealsetningen. B Ja, det ser ut som Eirin har kommet fram til riktig svar. 59
.7.9 Huseier Per A. Real skal legge asfalt på gårdsplassen sin. Det vil koste 100 kroner per m å legge asfalten. Finn prisen Per må betale for å få legge asfalten. Finner arealet av gårdsplassen Kostnad: 39,4 m 100 kr/m 3 940 kr 60
Sinussetningen.7.10 Figuren viser en trekant ABC med sider a, b og c. a) Regn ut lengden av siden a når b er 3,0 cm, A 39 og B 59. Jeg bruker sinussetningen og løser likningen a, cm b) Regn ut lengden av siden b når a er 8,5 cm, A 110, 5 og B 19, 8. Jeg bruker sinussetningen og løser likningen b 3,1 cm.7.11 Vi skal legge en strømkabel SP langs gangveien på Sjøsanden. Figuren viser arbeidsområdet sett fra vannkanten V. Regn ut lengden SP når du får oppgitt at det er 35 meter mellom S og V. Finner først vinkel V: V Jeg bruker sinussetningen og får 180 1,5 48 110,5 SP 600 m 61
.7.1 Anniken tar seg en liten båttur en varm sommerdag. Hun går ut fra Dyrstad og legger kursen mot Færøy. Så bøyer hun av mot Ryvingen, deretter drar hun rett hjem. Se figuren til høyre. Finn hvor lang båttur Anniken hadde denne dagen. Jeg finner først vinkel v(dyrstad). Setter opp en likning med utgangspunkt i sinussetningen Det betyr at v 33,4 Den siste vinkelen i trekanten blir da: 180 33,4 85 61,6 Avstanden DF fra Dyrstad til Færøy blir 1015 m 635 m 1150 m 800 m Det betyr at Annikens båttur var ca 800 m. 6
.7.13 Du skal finne C i en trekant der AB 8,0 cm, BC 6,0 cm og A 30,0. a) Bruk figuren ovenfor og forklar at det er to trekanter som oppfyller kriteriene gitt i oppgaveteksten. Tenk deg at du setter passeren i punkt B og slår en sirkel med radius 6,0 cm. Du vil da skjære venstre vinkelbein til vinkel A på to steder, nemlig i C1 og C. Du får da to løsningstrekanter ABC1 og ABC. b) Finn C1 og C. Vi bruker sinussetningen: C 41,8 og C 138, 1 Vi ser av figuren at vi her kan bruke begge løsningene. Gitt en trekant ABC der AB 8,0 cm og A 30,0. c) Finn lengden av BC når BC står vinkelrett på venstre vinkelbein til A. Vinkel ACB er da 90 og vi får: BC 4,0 cm (Den minste kateten er halvparten av hypotenusen i en 30-, 60-, 90-graders trekant) 63
Lengden av BC vil avgjøre hvor mange mulige trekanter vi kan få. d) Finn hva lengden av BC må være dersom det ikke skal være mulig å danne en trekant. Dersom lengden BC er kortere enn 4,0 cm vil vi ikke ha noen løsninger. (BC rekker ikke opp til venstre vinkelbein til vinkel A). e) Finn hva lengden av BC må være dersom det skal være mulig å danne to trekanter. Dersom vi skal ha to løsninger må lengden BC være større enn 4,0 cm og mindre enn lengden til AB dvs. 8,0 cm. Se figuren i oppgave c). f) Finn hva lengden av BC må være dersom det bare skal være mulig å danne én trekant. Vi får én løsning når lengden BC er lik eller større enn 8,0 cm og når lengden BC akkurat er 4,0 cm..7.14 1 Bestem sida BC i trekanten på figuren når du får oppgitt at sin30 og sin45 Vi bruker sinussetningen og får: BC AB sin30 sin45 BC 5 1 1 5 5 5 BC 64
.7.15 I trekanten ABC er AC, BC 3 og 3 sina 4 a) Bestem sinb Vi bruker sinussetningen og får: sinb sin A b a 3 sinb 4 3 3 sinb 4 3 1 sinb I en rettvinklet trekant der de spisse vinklene er 30 og 60, er hypotenusen dobbelt så lang som den minste kateten. b) Bestem vinkel B i trekanten i a) Opplysningen over viser at sin30 Da må B 30 1. 65
Cosinussetningen.7.16 Gitt en trekant ABC med sider a, b og c. a) Regn ut a når b 5,0 cm, c 7,0 cm og A 39. Setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen og får: Vi ser bort fra den negative løsningen Siden a er 4,4 cm. b) Regn ut b når a 8,7 dm, c 1,3 dm og B 115,5. Setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen og får: Siden b er 17,9 dm. c) Regn ut c når a,3 cm, b 4,5 cm og C 3,6. Setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen og får: Siden c er,6 cm. 66
.7.17 Gitt en trekant ABC, se figuren. Regn ut vinklene i trekanten. Vi setter opp likninger med utgangspunkt i cosinussetningen: A 11,7 B 8, C 180 11,7 8, 140,1.7.18 Vi skal grave en kanal fra Båly, B til Lehnesfjorden, L. Vi står på en høyde, H slik at vi kan se både B og L, og gjør målinger som vist på figuren til høyre. Finn lengden av kanalen Vi setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen: Vi ser bort fra den negative løsningen. BL 800 m 67
.7.19 Gitt en trekant ABC med sider a, b og c. a) Regn ut a når b 4,8 cm, c 4,5 cm og B 63. Vi setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen: Vi ser bort fra den negative løsningen. a 4,7 cm b) Regn ut b når a 3,8 cm, c 6,0 cm, og C 80. Vi setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen: Vi ser bort fra den negative løsningen. b 5,4 cm c) Regn ut c når a 3,9 cm, b 4,7 cm, og A 35 Vi setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen: Her kan begge løsningene brukes. Lengden c 1,0 cm i den ene løsningstrekanten og c 6,7 cm i den andre trekanten. 68
.7.0 I hver av oppgavene nedenfor skal du tegne hjelpefigur og finne lengden av BC hvis mulig. a) Gitt trekanten ABC der AB 8,0 cm, AC 4,0 cm og B 30. Vi setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen: BC 6,9 cm Vi får to sammenfallende løsninger. Det må bety at C 90. Dette stemmer også med at hypotenusen er det dobbelte av den minste kateten i en 30-, 60-, 90 graders trekant b) Gitt trekanten ABC der AB 8,0 cm, AC 6,0 cm og B 30. Vi setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen: BC 11,4 cm BC,5 cm 1 c) Gitt trekanten ABC der AB 8,0 cm, AC 3,0 cm og B 30. Vi bruker GeoGebra og setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen: Vi finner ingen mulige løsninger. Vi ser av figuren at AC ikke rekker bort til BC. 69
Gitt trekanten ABC der AB 8,0 cm, AC a cm og B 30,0. d) For hvilke verdier av a er det to, én eller ingen trekanter som innfrir kravene i teksten ovenfor? Finner lengden til AC når AC står vinkelrett på BC. Vinkel ACB er da 90 og vi får: AC sin30 8,0 AC 8,0 sin30 AC 4,0 cm Dette fant vi i oppgave a). Dersom lengden AC er kortere enn 4,0 cm, vil vi ikke ha noen løsninger. Dette så vi i oppgave c). Dersom vi skal ha to løsninger må lengden AC være større enn 4,0 cm og mindre enn lengden til AB dvs. 8,0 cm. Se figur så skjønner du det. Et eksempel på dette var oppgave b) ovenfor. Vi får én løsning når lengden AC er større enn 8,0 cm og når lengden AC akkurat er 4,0 cm dvs. vinkelrett på BC. 70
.7.1 I en trekant er lengden på sidene 4, 5 og 5. Bestem cosinusverdien til vinklene i trekanten. Vi ser at trekanten er likebent. Da vet vi at to av vinklene er like. Vi kaller de to like vinklene v og den tredje vinkelen u. Så bruker vi cosinussetningen til å bestemme cosinus til vinklene. 4 5 5 5 5 cosu 5 5 4 cosu 5 5 34 17 cosu 50 5 5 4 5 4 5 cosv 4 5 5 cosv 4 5 16 cosv 40 cosv 5.7. I trekanten ABC er 5 AC 6, BC 3 og cosc. 9 a) Tegn en hjelpefigur og bestem AB Vi bruker cosinussetningen til å bestemme AB : 71
5 AB 6 3 6 3 9 AB 36 9 0 AB 5 b) Bestem cos Aog cos B Vi bruker cosinussetningen til å bestemme cos A : 3 6 5 6 5 cos A 36 5 9 cos A 6 5 5 cos A 6 5 13 cos A 15 Vi bruker cosinussetningen til å bestemme cosb : 6 3 5 3 5 cos B 9 5 36 cosb 35 cosb 35 1 cosb 15 c) Hva kan du si om størrelsen på vinklene i trekanten? Siden cos A er negativ, vet vi at A 90. De to andre vinklene er mindre enn 90. 7
.7.3 Utfordring I denne oppgaven får du bruk for at sin30 1 I trekanten ABC er A 30, AB 5 og BC 3. a) Tegn en hjelpefigur og bestem sinc Vi bruker sinussetningen og får sinc sin A AB BC 1 sinc 5 3 1 5 sinc 3 5 sinc 6 b) Forklar at det er to trekanter som tilfredsstiller kravene. Vi får en vinkel i intervallet 0,90 og en vinkel i intervallet 90,180, se figuren. I en av trekantene i b) er AC 6 c) Bestem cosb i denne trekanten Vi bruker cosinussetningen: 73
b a c ac cosb 3 5 6 cosb 35 1 cosb 15 d) Hva forteller svaret i b) om størrelsen på B? Siden cosinusverdien er negativ, vet vi at vinkelen er større enn 90 e) Bestem arealet til trekanten i b) Vi bruker arealsetningen og får at arealet er 1 1 1 15 b c sina 6 5 74
Blandede oppgaver.7.4 Et jordstykke er formet som en trekant ABC der AB 13 m, BC 65 m og B 70. a) Lag en figur og sett på de oppgitte målene. b) Regn ut arealet av trekanten. Bruker Arealsetningen: Arealet blir 3760 m c) Finn lengden av AC. Vi finner lengden av AC ved hjelp av cosinussetningen: Vi ser bort fra den negative løsningen AC er 118 meter d) a) Finn C ved regning, både ved hjelp av sinussetningen og ved hjelp av cosinussetningen Sinussetningen: Her må vi undersøke om begge vinklene kan brukes. Ved å tegne trekanten ut fra de gitte opplysningene, ser vi at bare den ene vinkelen er mulig. 75
C 79 Cosinussetningen: C 79.7.5 Gitt ABC der B 30,0, BC 14,0 cm og AC 10,0 cm. a) Tegn trekanten. b) Finn A ved regning. Vi setter opp en likning med utgangspunkt i sinussetningen og finner A 44,4 eller A 135,6 1 Begge vinklene passer ifølge kriteriene for sinussetningen. c) Finn lengden av AB ved regning. Vi velger å bruke cosinussetningen Lengden 1 AB er 19,3 cm. Lengden AB er 5,0 cm. (Se figur.) 76
.7.6 En trekant ABC har arealet 14,3 cm. AB har lengden 7,0 cm og BC har lengden 5,0 cm. a) Finn B. Vi setter opp en likning med utgangspunkt arealsetningen og finner B : Her er begge løsningene mulige, se figuren B 54,8 eller B 15, b) Finn lengden av AC. Vi bruker cosinussetningen og begge løsningene fra a) Vi ser bort fra de negative løsningene Lengden av AC er 5,8 cm eller 10,7 cm. c) Finn de to andre vinklene i trekanten. Her har vi nok opplysninger slik at vi kan velge om vi vil bruke cosinussetningen eller sinussetningen. Under er begge metodene vist. En på hver av de to løsningene. Vi finner A ved cosinussetningen: A 180 A 44,8 Vi finner A ved sinussetningen: 77
A,5 A,5 eller A 44,8 C blir: 180 44,8 54,8 80,4 eller 180,5 15, 3,3 78