FYS2160 Termodynamikk og statistisk fysikk Oblig 7 Sindre Rannem Bilden 4. november 2015
Oppgave 0.11 - Fase likevekt i en van der Waals system a) is at trykket, p(n,, T ), til van der Waals gassen er p = NkT Svar: Har F og vet at p = ( ) F og får ( ) F p = = NkT b) is at trykket til van der Waals gassen kan skrives som c) Plott trykket ˆp som funksjon av ˆ i området 0.4 til 20 for ˆT = 1.15, 1.0 og 0.85. = np. linspace (0.4,20,1000) T = [0.85, 1.0, 1.15] def P(,T): return (8* T )/(3* -1) -3.0/ **2 plt. plot (,P(,t),\ label = T=%g %t) plt. xlabel ( $\ hat {}$ ) plt. xlim (0.4,5), plt. ylim (0,3) plt. legend () 8 ˆT 3 ˆ 1 3ˆ Svar: Setter inn p p c, ˆ = c og ˆT = T T c, der p c = a, 27b 2 c = 2Nb og kt c = 8a 27b. p = NkT ˆp a 8a 27b 2 = N ˆT 27b 3Nb ˆ 9N 2 b 2 ˆ ˆp a 27b 2 = ˆT 8a 27b 2 (3 ˆ 1) a 9b 2 ˆ 8 ˆT 3 ˆ 1 3ˆ
d) is at trykket også kan uttrykkes ved tettheten istedenfor volum: 8ˆρ ˆT 3 ˆρ 3ˆρ2 Svar: Introduserer ˆρ = 1ˆ = ρ ρ c, ρ c = 1 3b og setter inn 8 ˆT 3 ˆ 1 3ˆ = 8 ˆT 3 ˆ ˆˆ 3ˆ 8 = ˆT ˆ (3 1ˆ ) 3ˆ = 8 ˆT ˆρ 3 ˆρ 3ˆρ2 e) Plott trykket ˆp som en funksjon av ˆρ i området 0.0 til 2.0 for ˆT = 1.15, 1.0 og 0.85. rho = np. linspace (0.2,2.0,10000) T = [0.85, 1.0, 1.15] def P(rho,T): return (8* T* rho )/(3 - rho )\ -3.0* rho **2 def ( rho ): return 1.0/ rho def G(rho,P,T): return -3.0* rho -8.0* T*\ np.log (3.0/ rho -1.0)/3.0+ P/ rho plt. plot (rho,p(rho,t),\ label = T=%g %t) plt. xlabel (r $\ hat {\ rho }$ ) plt. xlim (0.2,2), plt. ylim (0,3) f) Basert på plottet i e), ved hvilken temperatur er tettheten blitt en ikke-unik funksjon av trykket? Svar: Set at ˆT = 1.0 gir en relativt flat graf ved ˆρ = 1.0 og at den helt klart er ikkeunik ved ˆT = 0.85, antar at funksjonen er ikke-unik ved ˆT < 1.0. g) Basert på plottet, når blir den isotermiske kompressibiliteten κ = 1 ( ) = 1 ( ) ρ P ρ P blir negativ? Svar: For ˆT = 0.85 er κ negativ mellom ˆρ = 0.6 og ˆρ = 1.5. h) is at Gibbs fri energi til systemet i dimensjonale størrelser er G = NkT ( ) Nb 2aN NkT nq ( Nb) ln + 1 N
Svar: et at G vdw = F vdw + p, setter inn uttrykket for p og får G vdw =F vdw + p =F vdw + NkT = NkT Nb NkT ( ln [ nq ( Nb) i) Agrumenter for at Gibbs fri energi kan skrives N ] ) + 1 G = NkT ln [ Nb] an 2 +p +NkT c(t ) Svar: Da F vdw har flere ledd som er uavhengige av kan disse samles i en funksjon kun avhengig T. G vdw blir defor G = NkT ln [ Nb] an 2 +p +NkT c(t ) j) is at Gibbs fri energi per partikkel er ĝ = G/Gc N = 3ˆρ 8 ˆT 3 ln 3ˆρ 1 + ˆpˆρ om man kun tar med ledd avhengig av ˆp eller ˆρ Svar: Setter inn G c = 3kT c /8 og får 2aN 2 G = NkT ln [ Nb] an 2 + p + NkT c(t ) = Nk ˆT T c ln ˆ c Nb an 2 + ˆpp c ˆ c ˆ c G G c N = 8 3 ˆT a8n 2 ln ˆ 3Nb Nb 3kT c ˆ 3N 2 b + ˆp a 27b2 ˆ 27b2 a ĝ = 8 3 ˆT ln ˆ 3Nb Nb 3ˆ + ˆp ˆ = 3ˆρ 8 [ ( )] 3 ˆT 3 ln Nb ˆρ 1 + ˆpˆρ = 3ˆρ 8 ( ) 3 ˆT 3 ln [Nb] + ln ˆρ 1 + ˆpˆρ = 3ˆρ 8 3 ˆT 3 ln ˆρ 1 + ˆpˆρ
k) For ˆT = 0.9 plott ˆp som en funksjon av ˆρ i området 0.2 til 2.0. Plott så ˆ som en funksjon av ˆp for samme data ved å bruke ˆ = 1ˆρ. Plott til slutt ĝ som funksjon av ˆp for det samme datasettet. Kommenter kurven for Gibbs fri energi. rho = np. linspace (0.2,2.0,10000) T = [0.9] def P(rho,T): return (8* T* rho )/(3 - rho )\ -3.0* rho **2 def ( rho ): def return 1.0/ rho G(rho,P,T): return -3.0* rho -8.0* T\ *np.log (3.0/ rho -1.0)/3.0+ P/ rho plt. subplot (3,1,1) plt. plot (rho,p(rho,t),\ b,label = T=%g %t) plt. xlabel (r $\ hat {\ rho }$ ) plt. xlim (0.2,2), plt. ylim (0,3) plt. subplot (3,1,2) plt. plot (P(rho,t),( rho ),\ g,label = T=%g %t) plt. ylabel (r $\ hat {}$, rotation =0) plt. legend ( loc =1) plt. subplot (3,1,3) plt. plot (P(rho,t),G(rho,P(rho,t)\,t), r,label = T=%g %t) plt. ylabel (r $\ hat {g}$, rotation =0) Ser at ĝ er negativ, dette kan forskyves med en konstant uavhengig av ˆρ og ˆp. Det virker som at grafen tilhører to forskjellige funksjoner, dette kan være to forskjellige faser.
l) Argumenter for at vi kan finne minimumverdien til Gibbs fri energi ved å se på punktet der ĝ( ˆp( ˆρ)) krysser seg selv. Svar: I punktet hvor ĝ(ˆp(ˆρ)) krysser seg selv vil det sannsynligvis være en faselikevekt og derfor minimal Gibbs fri energi. plt. ylabel (r $\ hat {g}$, rotation =0) m) Finn krysningspunktet i ĝ( ˆp( ˆρ)) og sett inn tilsvarende punkter i ˆρ(ˆp) og ˆ (ˆp). rho = np. linspace (0.2,2.0,100) t = 0.9 def P(rho,T): return (8* T* rho )/(3 - rho )\ -3.0* rho **2 def ( rho ): def return 1.0/ rho G(rho,P,T): return -3.0* rho -8.0* T\ *np.log (3.0/ rho -1.0)/3.0+ P/ rho g = G(rho,P(rho,t),t) p = P(rho,t) RHO = [] for i in range (0, len ( rho )): for j in range (i+1, len ( rho )): if abs (g[i]-g[j ]) <0.01 and \ abs (p[i]-p[j ]) <0.001 and \ abs (i-j) >5: RHO. append ( rho [i]) RHO = RHO [0] RHO2 = rho [ abs (P(RHO,t)-P(rho,t )) <0.0001][: -1] plt. subplot (3,1,1) plt. plot (rho,p(rho,t), b,label = T=%g %t) plt. scatter (RHO2,P(RHO2,t)) plt. plot (RHO2,P(RHO2,t), black ) plt. xlabel (r $\ hat {\ rho }$ ) plt. xlim (0.2,2), plt. ylim (0,3) plt. subplot (3,1,2) plt. plot (P(rho,t),( rho ), g,label = T=%g %t) plt. scatter (P(RHO2,t),1/ RHO2 ) plt. plot (P(RHO2,t),1/ RHO2, black ) plt. ylabel (r $\ hat {}$, rotation =0) plt. legend ( loc =1) plt. subplot (3,1,3) plt. plot (P(rho,t),G(rho,P(rho,t)\,t), r,label = T=%g %t) plt. scatter (P(RHO,t),G(RHO,P(RHO,t),t))
n) Hva tror du egentlig skjer mellom de to punktene? Svar: Jeg tror det er faselikevekt, her har man begge fasene i forskjellige komposisjoner. o) Gjør et systematisk studie hvor du ser på linjen mellom de to punktene i ˆp( ˆ ) for ˆT = 1.0 ned til 0.85. Kommenter. Svar: Ser at skillet mellom de to fasene (punktene) er større ved lavere temperaturer, ved ˆT = 1.0 er de like som vil si ˆT = 1.0 er den kritiske temperaturen.