Termodynamikk og statistisk fysikk Oblig 1

Transkript

1 FYS216 Termodynamikk og statistisk fysikk Oblig 1 Sindre Rannem Bilden 1. september 2015

2 Oppgave Mikro- og Makrotilstander i en Einsteinkrystall a) For et system med N = 2 oscillatorer og q =, list opp alle mulige tilstander Svar: Totalt 4 kombinasjoner: (0 ) ( 0) (2 1) (1 2) b) For et system med N = oscillatorer og q =, list opp alle mulige tilstander Svar: Totalt 10 kombinasjoner: (0 0 ) (0 0) ( 0 0) (1 2 0) (2 1 0) (0 1 2) (0 2 1) (1 0 2) (2 0 1) (1 1 1) c) For et system med N = 4 oscillatorer og q =, list opp alle mulige tilstander Svar: Totalt 20 kombinasjoner: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 0) (0 0 0) (0 0 0) (0 0 0 ) d) Sjekk om antall kombinasjoner stemmer med formelen for Ω(N, q) ( ) 4 Ω(2, ) = = 4 ( ) 5 Ω(, ) = = 10 ( ) 6 Ω(4, ) = = 20 Resultatene stemmer godt med antallene i deloppgave a), b) og c). e) List opp alle mulige mikrotilsdander for et system bestående av delsystem A med N A = 2 og q A = 5 og delsystem B med N B = 2 og q B = 1. Svar: Det blir 12 kombinasjoner av mikrosystemer. A B (5 0) (1 0) (5 0) (0 1) (4 1) (1 0) (4 1) (0 1) ( 2) (1 0) ( 2) (0 1) A B (2 ) (1 0) (2 ) (0 1) (1 4) (1 0) (1 4) (0 1) (0 5) (1 0) (0 5) (0 1) f) Hva er de mulige verdiene for q A og q B gitt verdiene N a = 2,N B = 2,q = 6? Svar: q A og q B kan ta verdier fra 0-6 så lenge q A + q B = 6. q A q B g) Finn antall mikrotilstander til hver makrotilstand av q A. Svar: Ved å bruke formelen ( ) q + N 1 Ω(N, q) = q gitt i d) fås resultatene: q A = 6 q A = 5 q A = 4 q A = q A = 2 q A = 1 q A = 0 gir 7 mikrotilstander. gir 12 mikrotilstander. gir 15 mikrotilstander. gir 16 mikrotilstander. gir 15 mikrotilstander. gir 12 mikrotilstander. gir 7 mikrotilstander. Her er antall mikrotilstander gitt for det kombinerte systemet AB i termisk kontakt.

3 h) Sammenlign det totale antallet mikrotilstander for systemet før og etter delsystemene kom i termisk kontakt. Kommenter resultatet. Hvilke aspekter tror gjelder generellt? Svar: Fra e) vet vi at før termisk kontakt hadde vi Ω A (2, 5) = 6 og Ω B (2, 1) = 2 som kombinert gir 12 mikrotilstander. Ved termisk kontakt har vi totalt N = N A + N B = 4 tilstander vi kan fordele q = 6 på. Dette gir Ω = ( 9 6) = 84 mikrotilstander, dette er syv ganger så mange mulige tilstander. Dette virker logisk da energien kan fordele seg på ere måter i et større sytstem. Jeg tror prinsippet av frienergiyt gjelder ved termisk kontakt. j) Hva er sannsynligheten for at A beholder sin initsielle makrotilstand? q A = 5 er = 1 7. k) Hva er sannsynlighen for å nne all energien i system A? q A = q = 6 er 7 84 = l) Hva er sannsynligheten for å nne eksakt halvparten av energien i system A? q A = q 16 2 = er 84 = i) Om alle mikrotilstander har samme sannsynlighet, hva er sannsynligheten til hver makrotilstand? Svar: Fra h) vet vi at det er totalt 84 mikrotilstander ved termisk kontakt. Fra g) har vi fordelingen av disse mikrotilstandene. Gitt at disse har samme sannsynlighet får vi: q A = 6 har sannsynlighet 7/84 q A = 5 har sannsynlighet 12/84 q A = 4 har sannsynlighet 15/84 q A = har sannsynlighet 16/84 q A = 2 har sannsynlighet 15/84 q A = 1 har sannsynlighet 12/84 q A = 0 har sannsynlighet 7/84

4 m) For N A = N B = 2 og q = 6 skriv et program for å nne antall mikrotilstander for hver makrotilstand q A og sannsynligheten P (q A ) = Ω(N A, q A )Ω(N B, q B )/Ω tot for hver makrotilstand. Sammenlign med tidligere resultater. Plott sannynligheten P (q A ) n) Lag en graf for sannsynligheten P (q A ) for et system med N A = N B = 50 og q = q A + q B = 100 Svar: Med nye verdier satt inn i programmet fra m) ble det tegnet Figur 2. Svar: Programkode er ligger som Vedlegg 1. Koden gir Tabell 1 og tegner Figur 1. Tabell 1: Oversikt over antall mikrotilstander og sannsynlighet tilhørende hver makrotilstand. qa N-micro P-macro Figur 2: Sannsynligheten P (q A ) som funksjon av makrotilstand q A i et system med N A = N B = 50 og q = q A + q B = 100. o) Hva er den mest sannsynlige makrotilstanden? Svar: Fra Figur 2 ser vi at makrotilstanden N A = N B = 50 er mest sannsynlig med en sannynlighet på P (N A ) = som er 56 ganger høyere enn den gjennomsnittlige sannsynligheten for tilstander. Dette virker logisk da det bør være mer sannsynlig for energi å fordeles jevnt i et system enn å samles i ett delsystem. Figur 1: Sannsynligheten P (q A ) som funksjon av makrotilstand q A i et system med N A = N B = 2 og q = q A + q B = 6 p) Gitt at energifordelingen var q A = 0 og q B = 100 hva er sannsynligheten for at denne tilstanden forblir ved termisk kontakt? Svar: Sannsynligheten P (q A = 0) = som kan sees på så godt som lik null.

5 Vedlegg 1 - tilhører deloppgave m og n %This program i s d e s i g n e d f o r 2 macrosystems Nn = 2 ; %number o f subsystems NA = 2 ; %number o f o s c i l l a t o r s i n subsystem A NB = 2 ; %number o f o s c i l l a t o r s i n subsystem B q = 6 ; %Total energy %C a l c u l a t e the number o f m a c r o s t a t e s qa = nchoosek ( q+nn 1,q ) ; %C a l c u l a t e a l l p o s s i b l e m i c r o s t a t e s i n thermal c o n t a c t t o t = nchoosek ( q+na+nb 1,q ) %C a l c u l a t e m i c r o s t a t e s o f A and B f o r every macro qa_list = z e r o s (qa, 1 ) ; N_list = z e r o s (qa, 1 ) ; P _ l i s t = z e r o s (qa, 1 ) ; f o r i = 0 : ( qa 1); microa = nchoosek ( i+na 1, i ) ; microb = nchoosek ( ( q i )+NA 1,(q i ) ) ; num = microa microb ; qa_list ( i +1) = i ; N_list ( i +1) = num ; P _ l i s t ( i +1) = num/ t o t ; end %Plot the p r o b a b i l i t y P _ l i s t ( 1 ) p l o t ( qa_list, P _ l i s t ) y l a b e l ( 'P(qA ) ' ) x l a b e l ( 'qa ' )