Kondenserte fasers fysikk Modul 3

Transkript

1 FYS3410 Kondenserte fasers fysikk Modul 3 Sindre Rannem Bilden 20. april 2016

2 Oppgave 1 - Fri elektron gass At fri veilengde for elektroner er i størrelsesordenen med atomavstandene er en av de grunnleggende antagelsene i Drude-modellen. Om denne antagelsen er diskuterbar vil tolkningen av transportfaktorer som termisk ledningsevne κ og elektrisk ledningsevne σ kunne betviles. Bruk fri elektron gass modellen og utled forholdet L = κ σt i Widemann-Franz lov og vurder hvorfor L ser ut til å stemme godt med eksperimentelle verdier selv om κ og σ ikke er gode tolkninger i seg selv. Gjør en forbedring ved å innføre fri elektron fermi gass, ta spesielt høyde for at C el = π 2 Nk BT 2T F og bruk v F for elektronhastigheten. Svar: Ved fri elektron gass modellen Drude) vil elektronene ha en naturlig kinetisk energi lik den termiske energien. 1 2 mv2 t = 3 2 k bt Elektrisk ledningsevne kan finnes ved å se på hastigheten til partikler i et elektrisk felt. vt) = eet m Elektronenes frie veilengde antas å være λ a som gir en gjennomsnittlig tid mellom kollisjoner på τ = λ v t Om man erstatter t med τ får elektronene en gjennomsnittelig drifthastighet. v = eeτ m Strømfluks er definert som ladninger gjennom et areal per tidsenhet Fra modul 2 har man allerede en termisk ledningsevne for fononer lik κ = 1 3 τc V v 2 t Ved å sette inn τ og v t fra fri elektron gass modellen vil man få et uttykk som har samme tidsavgengighet som σ. Om man tenker på kriteriene satt for fri veilengde hos elektroner vil λ antagelgvis være litt feil når det gjelder termisk ledningsevne. Om man ser på LT = κ σ får vi LT = C V v 2 t m 3ne 2 E T = 3k2 B 2e 2 T Dette er relativt likt den kvantemekaniske løsningen π 2 kb 2 3 e 2 T = LT På denne måten er forholdet mellom κ og σ være relativt godt selv om de hver for seg er mindre gode tilnærminger. j = en v A = ne2 τ m E Siden j = σe vil man få en elektrisk ledningsevne σ lik σ = ne2 τ m

3 Oppgave 2 - Born-von Karman Introduser Born-von Karman grensebetingelser og utled tilstandstettheten for FEFG i en avgrenset tredimensjonell prøve. Beregn verdiene ε F,k F,v F og T V. Med andre ord: fermienergien, bølgevektoren, fermihastighet og fermitemperatur, for alkalimetaller. Forklar trenden. Svar: Antar at prøven er kubisk avgrenset og innfører Born - von Karman grensebetingelser. Dette gir kriteriet om en periodisk bølgefunksjon i hver dimensjon: y k F k min ɛ F x ψ x x + L) = ψ x x) En planbølgeløsning i tre dimensjoner tilfredstiller kravet om periodisitet ψ r) = A cosk r) + ib sink r) e ikx Der k-vektoren er kvantisert i alle dimensjoner k x = 2π L n x for n x = 1, 2, 3,... Om man ser bort fra potensialet i schrödingerlikningen får man Ĥψ r) =Êψ r) 2 2 2m e ψ r) + U r)ψ r) =Êψ r) 2 2 2m e ψ r) =Êψ r) E = 2 k 2 2m e Vi får fra dette at ɛ F = 2 2m e kf 2. Det vil være to elektroner per k-tilstand på grunn av spinn DOS = 2 1 = 2π L ) 3 2 L 2π )3 = V 4π 3 ). k F danner en sfære i k- rommet med volum V F = 4π 3 k3 F som vil romme N = V F DOS = k3 F V 3 okkuperte tilstander Figur 1). Vi vet at N π 2 også er lik antall valenselektroner i krystallen da dette er det maksimale antallet Figur 1: Illustrasjon av todimensjonelle k- vektorer i forhold til fermienergien. okkuperte tilstander. Skriver vi om dette finner vi verdien til k F og ɛ F : 3π 2 N k F = V ) 1/3 ɛ F = 2 3π 2 N 2m e V ) 2/3 Dette gjelder kun for alkalimetaller, en grov tilnærming for metaller med Z valenselektroner er å erstatte N med ZN. Vi kan finne fermihastigheten v F ved å sette ɛ F = 1 2 mv2 F da potensialet er null. Da får vi 2ɛF v F = m = 3π 2 ) 1/3 N = k F m e V m e På samme måte finner vi fermitemperatur ved k B T F = ɛ F og får T F = 2 3π 2 N 2m e k B V ) 2/3

4 Elektronkonsentrasjoner er hentet fra s.139 i læreboken. import numpy as np import matplotlib. pyplot as plt import math # DEFINE CONSTANTS kb = 8.617E -5 #evk -1 Ee = E6 # ev c = 3.0 E10 #cm/s hbarc = # evnm Alkali = np. array [[ Li,4.7 e22 ],[ Na,2.65 e22 ],[ K,1.4 e22 ],[ Rb,1.15 e22 ],[ Cs,0.91 e22 ]]) Figur 2: Trend for fermi k-vektor def kfnpv ): return 3.0* np.pi **2)**1./3)\ * NpV **1./3) def EFkF ): return hbarc *kf )**2.0/2* Ee )) def vfef ): return np. sqrt 2.0* EF/Ee )*c Figur 3: Trend for fermienergi def TFEF ): return EF/ kb numbers = np. linspace 1, len Alkali )\,len Alkali )) k_list = [] E_list = [] v_list = [] T_list = [] for i in range 0, len Alkali [:,0])): k = kf float Alkali [i,1])) k_list. append k) E=EFk*1E -7) E_list. append E) v_list. append vfe)) T_list. append TFE)) Figur 4: Trend for fermihastighet Man kan tydelig se at verdiene synker med en lavere elektronkonsentrasjon. Det er logisk når man ser at alle verdiene er avhengig av k-vektor som er avhengig av elektronkonsentrasjonen. Figur 5: Trend for fermitemperatur

5 Oppgave 3 - Varmekapasitet Se på oppvarmingen av den tredimensjonelle prøven opp til T > 0. Lag en tilnærming for elektronenes varmekapasitet som tar rede for at kun en begrenset mengde elektroner, i grensen ε F, bidrar til en økt total varmekapasitet. Forklar hvorfor. Svar: Vi har en elektronisk varmekapasitet N C el = U el T Vi kan gjøre en tilnærming for energien ved å se på Figur 6. Man kan se at elektroner innenfor k B T k B T k B T DOS Oppgave 4 - FEFG i én og to dimensjoner Se på FEFG i en og to dimensjoner. Svar: a) Vis at DOS i to dimensjoner er uavhengig av elektronenes energi. DOS 2D k)dk =2 ) 1 2 2πk 2 π π Lx = k L z π dk DOS 2D E)dE =DOS 2D k)dk DOS 2D E) = DOS 2Dk) de dk = k L z π = m 2 L z π 2m 2 1 2k L y ) 1 V dk b) Vis at DOS i én dimensjon er proporsjonal med E 1/2. Figur 6: Tilstandstetthet i tre dimensjoner. ɛ F under fermienergien vil kunne eksitere til et område k B T over fermienergien, med et hopp på k B T. ɛ Svar: DOS 1D k)dk =2 ) 1 1 ) 1 2 π V dk Lx = 1 1 π L y L z DOS 1D E) = DOS 1Dk) de dk = 1 1 2m 1 π L y L z 2 2k = m π L y L z k ) 2m 1/2 k = E 1/2 2 m DOS 1D E) = E ) 1/ π L y L z

6 c) Forklar DOS trenden for kvantebrønner og kvantetråder i forhold til bulk. Det samme fenomenet finnes i kvantedotter, der degenerasjonen kommer av kombinasjonen mellom n x,n y og n z. Svar: Kvantebrønner har en trappeformet DOSE), k-vektoren vil ligge i et plan med z-komponent lik k z,1 frem til k 2 x + k y ) 2 er så stor at kz kan eksiteres, der k-vektoren er så lang at k z kan eksitere fra n z = 1 til n z = 2. Da vil DOS gjøre et steg opp til DOS 3D og så fortsette konstant til neste eksitasjon fra n z = 2 til n z = 3 og videre. Dette vil si at DOS 2D E) er null for E < 2 2m k2 x + ky 2 + kz,1 2 ) og hopper for hver økning i n z. I én dimensjon vil k-vektoren kun ha én fri dimensjon, for eksempel x og derfor skaleres langs x-aksen helt til k 2 x+k 2 y,1 + k 2 z,1 ) er stor nok til å eksitere k y eller k z. Her vil DOS 1D E) gjøre et hopp og så minke med E 1/2 som vist i b), den vil minke helt til den på nytt kan eksitere k y eller k z og videre. d) Forklar degenerasjon i kvantetråder. Svar: Om man antar at de nedskalerte dimensjonene, y og z, har samme lengde L y = L z = L, vil man kunne se på energien som En x, n y, n z ) = 2 2m k2 x+ 2m ) 2π 2 n 2 y + n 2 ) z L Hvis man setter n 2 = n 2 y + n 2 z kan man se at energien En) vil være det samme uavhengig av n y og n z så lenge n 2 = n 2 y +n 2 z gjelder. Derfor vil degenerasjon i kvantetråder komme fra de mulige fordelingene av verdier for n, for eksempel vil En 2 = 5) ha degenerasjon 2 siden det kommer fra n y = 2 og n z = 1 i tillegg til n y = 1 og n z = 2.

7 Oppgave 5 - Konig-Penney Løs den tidsuavhengige schrödingerlikningen TUSL) hvor du introduserer et potensiale med formen som en deltafunksjon med størrelse V 0. Illustrer hvordan diskontinuitet i løsningen kan relateres til forbudte energinivåer. Bruk denne løsningen til å undersøke grensen V 0 0 og V 0. V x) α x Svar: 1a 0a 1a 2a Om man starter med et system hvor potensialet er V x) = V 0 δ der δ er 1 om x = na og 0 for x na, vil bølgefunksjonen for α være med k = β V 0 Ψ α x) = Ae ikx + Be ikx 2mE. Bloch teoremet sier at 2 den generelle bølgefunksjonen Ψx) kan uttrykkes som Ψx) = ux)e ikx 1) der K er en bølgevektor uavhenig av k. Vi vet fra 1 at Ψ0) = u0) og Ψa) = ua)e ika. Siden vi vet at ua+x) = ux) forholdet Ψa) Ψ0) = ua)eika u0) = e ika gi relasjonen Ψa) = Ψ0)e ika som også kan skrives Ψ β x) = Ψ β x) = Ψ α x a)e ika [ Ae ikx a) + Be ikx a)] e ika 2) Siden den generelle bølgefunksjonen Ψx) må være kontinuerlig vil Ψ α a) = Ψ β a) som gir Ψ α a) =Ψ β a) Ae ika + Be ika = [A + B] e ika Ae ika + Be ika =Ae ika + Be ika [ A e ika e ika] [ = B e ika e ika] 3) Et annet krav til Ψx) er at den deriverte også skal være kontinuerlig. Fra TUSL har vi et uttrykk for den andrederiverte 2 EΨx) = 2 Ψx) + V x)ψx) 2m x2 2 Ψx) =2m [V x) E] Ψx) x2 2 For å finne et uttykk for den førstederiverte av Ψx) integreres dette uttrykket over grensen i a fra a δ til a + δ) og vi får x=a+ x=a 2 x 2 Ψx) =2m [V x) E] Ψx) x Ψx)dx =2m x=a+ x=a Når 0 vil V x) V 0 og vi får : 2m 2 V 0Ψa) = x [Ψ βx) Ψ α x)] x=a 4) Dette blir [V x) E] Ψx)dx 2m 2 V 0 [A + B] e ika = [ ika e ika e ika] ikb [e ika ikbe ika]

8 som videre gir relasjonen [ A ike ika ike ika 2m ] 2 V 0e ika [ B ike ika ike ika + 2m ] 2 V 0e ika = 5) Likningen som oppfyller kravene i både 3 og 5 er coska) = 2mV 0 2 sinka) ka + coska) 6) Man kan se at venstre side av likningen kun gir verdier mellom 1 og 1, som vil defineres som det gyldige spekteret til høyre side av likningen. Høyre side vil endre sin oppførsel om V 0 endres. Om man lager en graf av høyre side vil man kunne se illustrativt områdene der det er lovlige tilstander og der det er ulovlige tilstander. Oppgave 6 - Brillouinsoner Anta at monovalente atomer krystaliserer i et primitivt kubisk gitter med a som gitterparameter. a) Beregn størrelsen til fermivektoren k F ) og sammenlign den med den korteste avstanden fra Γ-punktet til kanten på Brillouinsonen i det primitive kubiske gitteret k BZ ). Svar: Basert på Oppgave 2 finner man 3π 2 N k F = V ) 1/3 for monovalente atomer der volumet per atom er V = a 3. Vi setter N. Fra Modul 1 vet vi at k BZ,1D = 1 2 G [100] = 1 2 k max = π a for en primitiv kubisk enhetscelle og gir k BZ,3D π a da vektorene i de andre retningene antas å være neglisjerbare. Man kan se på π 3π 2 ) 1/3 at k F er nesten like stor som k BZ. 0 k Om man ser på grensen V 0 0 vil likning 6 bli coska) = coska) og alle tilstander blir tillatt, dette tilsvarer en fri partikkel. Om man ser på grensen V 0 vil sinusledder i likning 6 dominere og man får kun gyldige tilstander når sinka) = 0. Dette gir ka = nπ som tilsvarer k = nπ 2 a og E = nπ ) 2 2m a som er svært likt energioppslittingen til et enkeltatom, eller en partikkel i boks.

9 b) Om k F < k BZ vil det være ledige tilstander i båndet siden det er ledige tilstander opp til k = k BZ. Beregn nummerisk hvor mange divalente atomer som må legges til det primitive kubiske gitteret for å få k F = k BZ i blandingen. Ville en slik blanding gi bedre eller dårligere elektrisk ledningsevne? Svar: import numpy as np import matplotlib. pyplot as plt a = 1 N = 1 c = np. linspace 0,1,1000) def kfx): Z = 1 -x )+2* x e1 = 3* np.pi **2)**1./3) e2 = Z*N )**1./3)/ N*a) return e1* e2 Når dette skjer vil antallet ledige tilstander minke og man får dårligere ledningevne. Natrium er kjent som et av de beste metallene. Det krystalliserer i BCC struktur med to atomer i hver enhetscelle. c) Gjenta beregninene i a) på BCC strukturen til natrium. Svar: En BCC struktur kan beskrives av vektorer som gir et volum V = 1 2 a3. Dette gir N = V F DOS = k3 F V 3 π 2 og ved samme fremgangsmåte som i Oppgave 2 får man kbz = np. ones len c ))* np.pi/a C = c[kfc )[:] > kbz [ -1]][0] print C plt. plot c *100, kfc)/ kbz, label = $k_f$ ) plt. plot c *100, kbz /kbz, label = $k_ {BZ}$ ) plt. scatter C *100,1, label = x =%.3 f %C)) plt. xlim 0,100) plt. ylabel k- vector [ $k_ {BZ}$] ) plt. xlabel Compostition [%] ) plt. legend ) plt. show ) 6π 2 N k F = V ) 1/3. I en BCC celle vil lengste avstand til et tilsvarende atom være 2a i retning [110], dette gir en z k BZ 2π a a 1 y a 2 a 4 Man kan se at ved en blanding det 4.8% av atomene er divalente vil fermivektoren rekke ut til kanten av Brillouinsonen. a 3 x

10 d) Beregn hvor mye magnesium som må blandes inn med natriumet for at k F = k BZ i den korteste retningen fra Γ- punktet til kanten av Brillouinsonen. Anta at blandingen beholder BCC struktur. Svar: Ved å legge dette inn i programmet vil prosenten stige til 48%. e) Foreslå et scenario for utviklingen til den elektriske ledningevnen i en slik blanding som funksjon av blandingsforhold. Svar: Man tenke seg at den elektriske ledningsevnen vil være konstant frem til k F nærmer seg k BZ derifra vil ledningsevnen synkte kraftig til k F når k BZ og vil stige igjen når k F øker ytterligere. Dette kan man relatere til blandingsforhold: σ Na [x = 0.48] Na 1 x) Mg x