Eksame R, Va re 013 Oppgave 1 (4 poeg) Deriver fuksjoee a) f x 3cos x f x 3 six 3si x b) gx x 6si 7 Bruker kjereregele på uttrykket si x der og Vi har da guu siu u cosu cos x gx 6cos x 6 cos x u x g u siu x c) hx 3e si3x x Vi bruker produktregele for derivasjo, uv u v uv der u 3 e og v si3x x x h x 3e si3x 3e 3cos3x x x x 6e si3x 9e cos3x 3e si3x 3cos3x Oppgave (4 poeg) Bestem itegralet x dx x 4 ved å bruke a) variabelskifte du du Vi setter u x 4 som gir x dermed er dx dx x x x x du 1 dx dx du l u C l x 4 C x 4 u u x u b) delbrøkoppspaltig Vi ka faktorisere evere til x x og ka da skrive x A B dx dx x x x Eksame REA304 Matematikk R våre 013 Side 1 av 17
Vi fier koeffisietee A og B x A B x 4 x x A x A B x A B B x x x 4 x x x x x Ax A Bx B x 4 x x x 0 x 4 x x A B A B 0 A B B B 0 A B 4 B B 0 A B 4B 4 A 1 B 1 A 1 B 1 Vi setter A og B i i det opprielige itegralet og får x 1 1 dx A dx B dx x 4 x x 1 1 1 dx 1 dx x x l x l x C l x x C l x 4 C Eksame REA304 Matematikk R våre 013 Side av 17
Oppgave 3 (4 poeg) Puktee A1, 1, 0, B3, 1, 1 og C 0, 0, 0 er gitt. a) Bestem AB AC. Bruk resultatet til å bestemme arealet av ABC.,, 1 og AC 1, 1, 0 AB ex ey ez AB AC 1 0 11, 0 1 1, 1 1 1, 1, 4 1 1 0 Arealet av ABC er gitt ved AB AC 1, 1, 4 1 1 4 18 9 3 b) Bestem AB AC. Bruk blat aet dette resultatet til å bestemme arealet av ABC. AB AC,, 1 1, 1, 0 0 0 Defiisjoe av skalarproduktet gir ABAC AB AC cos AB, AC Vi fikk skalarproduktet lik 0 og vektoree har legde. Det betyr at vikele mellom 90 da cos 90 0. Vi har altså e rettviklet trekat og arealet er gitt ved: AB og AC er AB AC 1 1 1 9 3 Oppgave 4 (3 poeg) Løs differesiallikige y xy y 6 år 0 Likige ovefor ka skrives som e lieær, førsteordes differesiallikig på forme y p x y q x. Vi velger å bruke metode med itegrerede faktor for å løse likige. De itegrerede faktor er gitt ved 3x 3x 3x 3x 3x 3x 3x 3x p x e. y 6xy 0 e e y e 3y 0e Gitt y 0 e y 0 e y 0dx e y C e Ce C y C e 30 3x Løsige av differesiallikige er dermed y 3 e x Eksame REA304 Matematikk R våre 013 Side 3 av 17
Oppgave 5 (5 poeg) E rekke er gitt ved S 13 57 a a) Bestem a16 og S 16 Vi ser at det er e aritmetisk rekke med differase, d og a 1 1. I e aritmetisk rekke er a gitt ved formele a 16 1 16 1 130 31 S 16 1 31 16 16 16 56 a1 a a a1 1 d og summe gitt ved formele S. b) Forklar at rekke er aritmetisk, og bruk dette til å fie et uttrykk for a og S. Vi har forklart at rekke er aritmetisk i oppgave a). a a1 1 d 1 1 1 1 a a 1 1 S 1 c) Bestem hvor mage ledd rekke mist må ha for at S 400. Det betyr at 400. For at 400 må 0. Det betyr at vi må ha mist 1 ledd for at summe skal være større e 400. Eksame REA304 Matematikk R våre 013 Side 4 av 17
Oppgave 6 ( poeg) Følgede iformasjo er gitt om e kotiuerlig fuksjo f : f x 0 for alle x f x 0 for x,, f x 0 for x og x f x 0 for x 1 og x 3 Lag e skisse som viser hvorda grafe til f ka se ut. Det første kulepuktet forteller at grafe ligger over x akse for alle reelle verdier av x. Det adre kulepuktet forteller at grafe syker i itervallee,,. Kulepuktet 3 samme med kulepukt 4 forteller oss at vi har et bupukt for toppukt for x. x og et Eksame REA304 Matematikk R våre 013 Side 5 av 17
Oppgave 7 ( poeg) Bruk iduksjo til å bevise påstade k P : a ak ak ak ak a, k 1 3 1 1 Tri 1, Iduksjosgrulaget Vi skal vise at formele gjelder for 1. Bevis Når 1 har vi ku ett ledd på vestre side. Vestre side a 1 k 1 Høyre side a a k 1 Formele gjelder for 1. Tri, Iduksjostriet Vi atar at formele gjelder for t. Vi har da at t 3 t1 k 1 a ak ak ak ak a k 1 Vi må vise at formele gjelder for t 1. Vi må altså vise at t1 3 t1 t11 k 1 a ak ak ak ak ak a k 1 Bevis Vi behadler uttrykket på vestre side i likige ovefor og viser at dette uttrykket blir lik uttrykket på høyre side i likige. 3 a ak ak ak ak t k 1 t a ak k 1 t t k 1 ak k1 a k 1 k 1 t t 1 t ak a ak ak k 1 t 1 ak a k 1 t 1 k 1 a k 1 t1 ak t 11 Vi har dermed vist at formele gjelder for t 1. I følge iduksjosprisippet gjelder formele da for alle verdier av 1. Eksame REA304 Matematikk R våre 013 Side 6 av 17
Oppgave 1 (4 poeg) E pasiet får 8 ml av e medisi hver time. De totale megde medisi i kroppe t timer etter at medisierige startet, er medisimegde. a) Forklar at yt ml. I løpet av e time skiller kroppe ut 5 % av de totale y 80,05 y Vi ser at edrige i medisimegde i kroppe y t er gitt ved likige y 80,05 y. Ved starte av behadlige har pasiete 8mL medisi i kroppe. Kroppe skiller ut 5 % per time av de totale medisimegde som er i kroppe til e hver tid. Medisimegde i kroppe reduseres dermed med 0,05 y t, altså 0,05y. 0,05t b) Vis at yt e y 160 160 år 0 0 Vi velger å fie de geerelle løsige av likige i CAS-verktøyet i GeoGebra. Vi bruker kommadoe LøsODE[likig, avhegig variabel, uavhegig variabel] Vi fier løsige y 160 Ce 0,05t Når t0, er y 0. Vi fier da de spesielle løsige. 0 160 Ce 0 160 C 1 C 160 0,050 y t 160 160e c) Bestem t t 0,05t lim y t. Kommeter svaret. 0,05t limy t lim 160 160e 160 160 0 160 x Når t går mot uedelig, vil medisimegde i kroppe gå mot 160 ml. Megde medisi kroppe skiller ut vil øke så lege medisimegde i kroppe øker. Når medisimegde i kroppe år 160 ml vil kroppe skille ut 0,05160 8 ml, altså det samme som de blir tilført. Megde medisi i kroppe vil altså stabilisere seg på 160 ml. Eksame REA304 Matematikk R våre 013 Side 7 av 17
Oppgave (6 poeg) Fuksjoe f er gitt ved 0,5x 1 si0,5, 0,4 f x e x x a) Teg grafe til f. Vi teger grafe til f i GeoGebra ved å bruke kommadoe fuksjo[fuksjo, start, slutt] b) Bestem evetuelle topp- og bupukter på grafe til f. Vi velger å bruke kommadoe ekstremalpukt[fuksjo, start, slutt] i GeoGebra for å fie topp- og bupukt. Dee kommadoe tar ikke med edepuktee (radpuktee) på grafe. Disse puktee er med i defiisjosmegde. Vi har satt i disse puktee i koordiatsystemet edefor. Eksame REA304 Matematikk R våre 013 Side 8 av 17
Vi ser av grafe at toppuktee er 1.57, 3.87 og 1.57, 0 og bupuktee er 0, 0 og 7.85, 0.17 c) Bestem arealet som er begreset av grafe til f og x akse. Grafe skjærer x akse i kommadoe Itegral[fuksjo, start, slutt]. 4 f xdx og. Vi fier itegralee 0 f x dx ved å bruke Arealet som er begreset av grafe til f og 1,54 0,54 13,08 x akse er Eksame REA304 Matematikk R våre 013 Side 9 av 17
Oppgave 3 (8 poeg) Skisse edefor viser e pyramide OABCD som er plassert i et romkoordiatsystem. Hjøree i pyramide er O0, 0, 0, A3, 0, 0, B3, 3, 0, C 0, 3, 0 og D 0, 0, 4. a) Bestem ved regig arealet av sideflate ABD i pyramide. Vi fier først vektorproduktet AB AD ved å bruke CAS-verktøyet i GeoGebra. 3 3, 3 0, 0 0 0, 3, 0 og 0 3,0 0, 4 0 3, 0, 4 AB AD Vi fier at vektorproduktet ABAD 1, 0, 9 Arealet av ABC er gitt ved AB AD 1, 0, 9 1 9 5 15 b) Sideflate ABD ligger i et pla. Vis ved regig at plaet har likige 4x3z1 0. Likige for et pla er gitt ved ax x by y cz z 0 0 0 0 der a, b, c er ormalvektore til plaet og x0, y0, z 0 er et pukt i plaet. Vi bruker puktet A og ormalvektore 4, 0, 3 1 1, 0, 9 x y z 4 3 0 0 3 0 0 4x 3z1 0 fra oppgave a). 3 Eksame REA304 Matematikk R våre 013 Side 10 av 17
c) Bestem avstade fra puktet O til plaet. For å fie avstade fra puktet O til plaet bruker vi avstadsformele: q ax by cz d 40 00 30 1 1 1 a b c 4 3 5 5 1 1 1 d) Bestem ved regig vikele mellom de to plaee som sideflatee ABD og BCD ligger i. Vi fier først e ormalvektor til plaet sideflate BCD ligger i ved å fie BC BD. 0 3, 3 3, 0 0 3, 0, 0 og BD 0 3,0 3, 4 0 3, 3, 4 BC Bruker CAS-verktøyet i GeoGebra for å fie vektorproduktet BC BD. Vi fier at vektorproduktet BC BD 0, 1, 9 30, 4, 3. Vi lar 0, 4, 3 Vi fier så vikele mellom ormalvektoree til disse to plaee ved å bruke defiisjoe til skalarproduktet. cos, cos, cos, 55 9 cos, 5, 68,9 4, 0, 30, 4, 3 4 3 4 3 9 Vi fier at vikele mellom ormalvektoree til plaee gjeom sideflatee 68,9. ABD og BCD er Vikele mellom ormalvektoree er midre e 90. Det betyr at vikele mellom plaee og også er 68,9 Eksame REA304 Matematikk R våre 013 Side 11 av 17
Oppgave 4 (6 poeg) Figure edefor viser e sirkelsektor OBC der C ligger i første kvadrat. Bue BC er e del av sirkele med likig x y 9. Puktet A har koordiatee, 0 og OAC 90 a) Vis at koordiatee til C er, 5. Bestem likige for de rette lije gjeom O og C. Vi har at BC er e del av sirkele med likige 9 Vi vet at koordiatee til puktet y x 9 x. x y. Det betyr at A, 0 og OAC 90. Det betyr at y -koordiate til puktet C er gitt ved y 9 5. Her ser vi av figure at puktet C ligger i 1. kvadrat. Puktet C har dermed koordiatee, 5. AC De rette lije gjeom O og Char stigigstallet a 5 og går gjeom origo. OA Likige for lije blir dermed y 5 x b) Når flatestykket F1 OAC dreies 360 om x -akse, får vi e kjegle. Bestem volumet av dee kjegle ved hjelp av itegralregig. Vi bruker formele for volum til et omdreiigslegeme V f x dx. I dette tilfelle vil det være lije y f x 5 x som dreies 360 om x -akse mellom x -verdiee 0 og. 5 5 VF f x dx x dx 1 x dx. Vi løser i CAS-verktøyet i GeoGebra 0 0 0 4 x x1 Vi fier at volumet av kjegle er 10 3 Eksame REA304 Matematikk R våre 013 Side 1 av 17
c) Når flatestykket F dreies 360 om x -akse, får vi et kulesegmet. Bestem volumet av dette kulesegmetet ved hjelp av itegralregig. Vi har at bue BC er e del av e sirkel med likig x y 9. Vi vet da at radie i dee sirkele er 9 3. Puktet B har dermed koordiatee 0, 3. I dette tilfelle vil det være likige y g x 9 x som dreies 360 om x -akse mellom x -verdiee og 3. 9 9 V g x dx x dx x dx. F 3 3 3 Vi løser itegralet ved hjelp av CAS-verktøyet i GeoGebra. Volumet av kulesegmetet blir 8 3 Eksame REA304 Matematikk R våre 013 Side 13 av 17
Oppgave 5 (6 poeg) På figure er et rektagel med sider v er vikele mellom x og D. x og y iskrevet i e sirkel. Sirkele har diametere D. a) Forklar at omkretse O til rektagelet ka skrives som O v D cosv D siv Bestem også et fuksjosuttrykk for arealet Av av rektagelet. Vi bruker defiisjoe til sius og cosius og fier et uttrykk for si v og cosv. y x si v og cosv. Dette gir at si og D D y D v x Dcosv. Omkretse av rektagelet ka dermed skrives som Ov x y Dcosv Dsiv. Arealet Av ka skrives som, A v x y Dcosv Dsiv D cosv siv b) Bruk Ov og vis at det rektagelet som har størst omkrets, er et kvadrat. Bestem de største omkretse av rektagelet uttrykt ved diametere D. O v D siv D cosv D cosv D siv Vi setter Ov 0 og fier vikele som gir størst omkrets. Ov 0 Vi velger å løse likige ved hjelp CAS-verktøyet i GeoGebra. Fra figure ovefor ser vi at vikele v ligger i første kvadrat. Det eeste svaret som ligger i første kvadrat er. 4 Eksame REA304 Matematikk R våre 013 Side 14 av 17
Ovefor har vi teget grafe til første kvadrat. Ov mellom 0 og år D 0. Vi ser at vi har et toppukt i Det betyr at rektagelet har størst omkrets år vikele er 45. Når vikele er 45, får vi 4 e likebeit trekat med sidee x, y og D, der x y. Vi har altså et kvadrat. De største omkretse er dermed O D cos Dsi D D D D D 4 4 4 c) Bruk Av og vis at det rektagelet som har størst areal, også er et kvadrat. Bestem det største arealet av rektagelet uttrykt ved diametere D. A v D siv siv cosv cosv D cos v si v Vi setter Av 0 og fier vikele som gir størst areal. Av 0 Vi velger å løse likige ved hjelp CAS-verktøyet i GeoGebra. Fra figure ovefor ser vi at vikele v ligger i første kvadrat. Det eeste svaret som ligger i første kvadrat er. 4 Ovefor har vi teget grafe til Av mellom 0 og år D 0. Vi ser at vi har et toppukt i første kvadrat. Vikele er de samme som i oppgave b), altså har vi et kvadrat i dette tilfellet også. Det største arealet blir dermed: 1 A D cos si D D D 4 4 4 4 Eksame REA304 Matematikk R våre 013 Side 15 av 17
Oppgave 6 (6 poeg) Sierpiński-trekate, som har sitt av etter de polske matematikere Wacław Fraciszek Sierpiński (188 1969), lages slik: 1. Vi starter med e likesidet, svart trekat som har areal A. Se figur 1.. Midtpuktet på hver av sidee i trekate er hjøree i e y hvit, likesidet trekat. Dee hvite trekate fjerer vi. Vi står da igje med tre likesidede, svarte trekater. Se figur. 3. Vi gjetar dee prosesse med hver av de svarte trekatee. Se figuree 3 5. Vi teker oss at prosesse blir utført uedelig mage gager. De «gjeomhullede» figure vi da står igje med, kalles Sierpiński-trekate. Summe av arealee som fjeres (de hvite trekatee), er gitt ved rekke 1 3 9 7 A 4 16 64 56 a) Bestem summe av rekke ovefor. Hva forteller svaret ditt om arealet av Sierpiński-trekate? 3 9 7 3 Dette er e geometrisk rekke med kvotiet, k 16 64 56. 1 3 9 4 4 16 64 Rekke kovergerer da 1 k 1, og summe er gitt ved 1 1 a 4 4 1 1 k 3 1 1 4 4 1 S A A A A Vi har å fuet arealet som blir fjeret. Vi startet med e likesidet trekat med areal A. Det må bety at vi har tatt bort like mye areal som vi startet med. Arealet av Sierpiński-trekate må altså være 0. Eksame REA304 Matematikk R våre 013 Side 16 av 17
b) Sidee i trekate i figur 1 er lik a. Forklar at omkretsee av de svarte trekatee i figuree 5 ovefor er heholdsvis 3 9 7 81 3 a, 3 a, 3 a og 3 a 4 8 16 a a I figur blir sidee i de svarte trekatee. Hver trekat har omkrets 3. Figur består av 3 svarte trekater og omkretse blir a I figur 3 blir sidee i de svarte trekatee a 4 Figur 3 består av 9 svarte trekater og omkretse blir a I figur 4 blir sidee i de svarte trekatee 4 a 8 Figur 4 består av 7 svarte trekater og omkretse blir a I figur 5 blir sidee i de svarte trekatee 8 a 16 3 3 a.. Hver trekat har omkrets 3 4 a. 9 3 a 4. Hver trekat har omkrets 3 8 a. 7 3 a 8. Hver trekat har omkrets 3 16 a. Figur 5 består av 81 svarte trekater og omkretse blir 81 3 a 16 c) Vi gjør prosesse som forklart i tri ovefor gager. 3 Forklar at omkretse av de svarte trekatee da er lik 3 a 3 Forklar at 3 a år Hva forteller dette om omkretse til Sierpiński-trekate? For hver ye figur multipliseres atall svarte trekater med 3. Figur har 3 svarte trekater, figur 3 har 9 svarte trekater osv. Sidekatee i de svarte trekatee halveres for hver y figur. Det betyr at omkretse også halveres. Atall ye trekater fra e figur til este triples, mes arealet halveres. Det betyr at omkretse fra e figur til este øker med faktore 3 3 Vi starter med e trekat som har omkrets 3a. Figur blir da 3a 3 a. 3 Gjør vi dette gager, får vi 3 a. 1 3 3. 3 3 Faktore år. Det betyr 3 a år Vi får at omkretse av Sierpiński-trekate går mot uedelig samtidig som arealet er 0, se oppgave a) Eksame REA304 Matematikk R våre 013 Side 17 av 17