SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL. GeoGebra 6 for Sinus 2PY

SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL GeoGebra 6 for Sinus 2PY

Sinus 2PY ble skrevet med utgangspunkt i GeoGebra 5. I boka er det også lagt opp til at elevene har en enkel lommeregner i tillegg til datamaskin. I dag er det mange lærere og elever som bruker GeoGebra 6, og i flere klasser ønsker de ikke å bruke lommeregner i timene. I dette heftet har vi derfor forklart hvordan en kan bruke CAS som lommeregner og hvordan vi bruker GeoGebra 6, der det i boka er beskrevet fremgangsmåter med GeoGebra 5. CAS er ikke et obligatorisk verktøy i 2PY, men det gir mange fordeler for elevene å beherske dette verktøyet. Det er derfor viktig at elevene blir fortrolige med CAS ved hyppig og systematisk bruk gjennom hele skoleåret. Disse forklaringene er både samlet her i et eget hefte, og lagt ut under de aktuelle delkapitlene på de gratis nettsidene til Sinus. 30.07.18 Sigbjørn Hals og Tore Oldervoll Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarframstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel.

Innhold Tall på standardform Sinus 2PY, side 18... 4 Prosentvis endring i flere perioder Sinus 2PY, side 33... 4 Histogram - Sinus 2PY side 84... 5 Digital graftegning - Sinus 2PY side 104... 7 Digital graftegning - Sinus 2PY side 106... 8 Konstantledd og stigningstall Sinus 2PY, side 111... 9 Digital løsning av likninger Sinus 2PY, side 119... 10 Digital løsning av likninger Sinus 2PY, side 119... 11 Digital løsning av likninger Sinus 2PY, side 120... 11 Funksjonsverdier Sinus 2PY, side 124... 12 Lineær regresjon - Sinus 2PY side 137... 13 Nullpunkt og ekstremalpunkt for polynomfunksjoner - Sinus 2PY side 146... 16 Andre typer regresjon - Sinus 2PY, side 148, 155 og 163... 16 Rotfunksjoner Sinus 2PY, side 153... 17 Gjennomsnittlig vekstfart - Sinus 2PY side 174... 18 Momentan vekstfart - Sinus 2PY side 178... 19 Simulering av terningkast, Sinus 2PY side 187... 20 3

Tall på standardform Sinus 2PY, side 18 Bruk CAS til å skrive tallene 230 000 og 0,0000000167 på standardform med tre gjeldende siffer. Klikk på dette ikonet oppe i høyre hjørne:. Klikk på Vis og merk av for CAS. Klikk på Innstillinger og Lagre innstillinger for å ha CAS oppe neste gang du bruker GeoGebra. Skriv Standardform(230000, 3) og Standardform(0.0000000167, 3) i hver sin linje i CAS og trykk Enter. Bruk punktum som desimaltegn. Prosentvis endring i flere perioder Sinus 2PY, side 33 Folketallet i en by øker i gjennomsnitt med 2 % per år i årene etter 2005. 1. januar 2010 var folketallet 48 500. a) Finn folketallet 1. januar 2013. b) Finn folketallet 1. januar 2005. Her er vekstfaktoren 1,02. a) 1. januar 2013 er 3 år fram i tid fra 2010. Skriv 48500*1.02^3 og klikk på. 1. januar 2013 var folketallet ca. 51 500. b) 1. januar 2005 er 5 år bakover i tid fra 2010. Skriv 48500*1.02^-5 og klikk på. 1. januar 2005 var folketallet ca. 43 900.

Histogram - Sinus 2PY side 84 På de gratis nettsidene til Sinus finner du en film som viser trinn for trinn hvordan du kan lage et histogram med GeoGebra 6. I eksempelet nedenfor forklarer vi kort de ulike trinnene i fremgangsmåten for å lage et histogram. Tabellen nedenfor viser fordelingen av høydene til 218 elever. Lag et histogram som viser denne fordelingen. Høyde Frekvens 150,160 28 160,165 18 165,170 43 170,175 35 175,180 48 180,185 23 185,190 15 190, 200 8 N = 218 1. Åpne regnearket i GeoGebra ved å klikke på dette ikonet oppe i høyre hjørne:. Velg Vis og merk av for Regneark. 2. Skriv inn klassegrensene i kolonne A. 3. Regn ut klassebreddene ved å skrive A2 - A1 i celle B2. Merk denne cellen og kopier nedover ved å klikke på den lille firkanten nede i høyre hjørne på celle B2, holde nede venstre musetast og dra nedover til og med celle B9. 4. Skriv inn frekvensene i kolonne C. 5. Regn ut høydene i histogrammet ved å skrive C2/B2 i celle D2. Kopier nedover på samme måte som for klassebreddene i kolonne B. 5

6. Lag ei liste av klassegrensene ved å merke cellene A1 - A9, høyreklikke, velge Lag og Liste. Denne lista får navnet L 1. 7. Lag ei liste av høydene i celle D2 - D9. Denne lista får navnet L 2. 8. Skriv Histogram(L 1, L 2) i algebrafeltet. Du får fram L 1 ved å skrive L_1 og L 2 ved å skrive L_2. 9. Plasser et punkt i origo. Dette er bare et hjelpeobjekt som du kam slette senere. Det gjør det lettere å få vist både aksene og histogrammet samtidig når vi velger Vis alle objekter. 10. Høyreklikk på grafikkfeltet og velg Vis alle objekter. 11. Slett punktet i origo og juster litt på aksene om nødvendig. Vi ser at det vil være bedre om y-aksen ikke går gjennom origo, men gjennom punktet (140, 0). Det får vi til på denne måten: Høyreklikk på grafikkfeltet, velg Grafikkfelt, og yakse. Endre Kryss ved 0 til Kryss ved 140. Husk å tilbakestille y-aksen til å krysse ved x = 0 etter at du har tatt en skjermdump av histogrammet. En rask måte å ta skjermdump på er å trykke CTRL, Shift og C samtidig.

Digital graftegning - Sinus 2PY side 104 Vi kan bruke digitale hjelpemidler til å tegne rette linjer og andre grafer. Her viser vi hvordan vi kan bruke GeoGebra 6 til slik tegning. Tegn linja y 1,5 x 2 Vi åpnet programmet og klikker inne i grafikkfeltet. Hvis vi ikke får fram koordinatsystemet eller rutenettet, klikker vi på dette symbolet oppe i høyre hjørne av programvinduet. Da får vi fram denne menyen, der vi mellom annet kan vise eller skjule aksene og rutenettet: Nå skriver vi inn likningen for linja i algebrafeltet. Bruk desimalpunktum. I GeoGebra 6 fungerer algebrafeltet også som et inntastingsfelt. Når vi trykker Enter får vi dette bildet i algebrafeltet. Da får vi fram linja nedenfor. Du får kanskje et helt annet utsnitt og andre tall langs aksene enn det vi har fått. For å endre på koordinatsystemet trykker vi på symbolet. Hvis vi nå plasserer musepekeren inne i koordinatsystemet og holder inne venstre musetast, kan vi flytte koordinatsystemet. Hvis vi vil endre på en av aksene, plasserer vi musepekeren på en av aksene og holder inne venstre musetast. Da kan vi dra i aksen og få den slik vi vil. Vi kan også bruke dette verktøyet for å flytte på grafikkfeltet: Shift-tasten og venstre musetast for å endre på aksene.. Da må vi holde nede 7

Digital graftegning - Sinus 2PY side 106 Noen ganger kan det være vanskelig å finne ut hvilke verdier vi skal ha langs aksene. Ofte står det i oppgaven hvilke x-verdier vi skal bruke. Men vi må selv finne ut hvilke verdier vi trenger langs y-aksen. Da kan i gå fram som i dette eksemplet. Tanken på en bil inneholder 60 liter bensin. Bilen bruker 0,55 liter bensin per mil. Etter x mil er bensinmengden y i liter gitt ved y = 60 0,55x Tegn digitalt ei linje som viser hvor mye bensin det er igjen på tanken helt til vi har kjørt 100 mil. Vi bruker GeoGebra og skriver først inn likningen slik i algebrafeltet: Bruk punktum og ikke komma som desimaltegn. For å kunne se grafen, må vi forandre på verdiene langs aksene. Høyreklikk inne i koordinatsystemet, velg Grafikkfelt, xakse og fyll ut skjermbildet slik det er vist nedenfor. Gjenta det samme for yakse. Legg merke til at vi har merket av for Avstand, og satt denne til 10 langs begge aksene. Vi har også tatt med enheten mil langs x-aksen og liter langs y-aksen. Dette er veldig viktig i slike tekstoppgaver. I oppgaver uten enheter er det nok å bare ha navnet på aksene. Det mest vanlige er å bruke x og y. Vi bruker nå dette verktøyet figuren nedenfor. og drar i aksene til vi får en graf som ligner på grafen på

Konstantledd og stigningstall Sinus 2PY, side 111 Vi kan finne stigningstallet og konstantleddet til ei rett linje gjennom to punkter ut fra opplysningene i algebrafeltet i GeoGebra. Finn stigningstallet og konstantleddet til linja som går gjennom punktene ( 1, 2) og (3,10). Skriv inn ( 1, 2) i algebrafeltet og trykk Enter. Punktet får automatisk navnet A. Skriv deretter inn (3,10) og trykk Enter. Dette punktet får navnet B. Dra i aksene slik at begge punktene er synlige. Skriv Linje(A, B) i algebrafeltet og trykk Enter. Du kan også velge dette verktøyet: og klikke etter tur på punktene A og B. Likningen er ikke slik vi pleier å skrive den. Hvis vi vil ha likningen på formen y ax b, høyreklikker vi på likningen og velger Likning y = ax + b. Det gir dette resultatet: Likningen er y 2x 4 Dermed er stigningstallet 2 og konstantleddet 4. Dersom vi ønsker at linjer alltid skal vises på formen y ax b, klikker vi på dette symbolet oppe i høyre hjørne:. Deretter klikker vi på firkanten som er innringer i figuren nedenfor, velger Algebra og formen y ax b for likninger. Etterpå må vi velge Innstillinger og Lagre innstillinger. 9

Digital løsning av likninger Sinus 2PY, side 119 Fredrik kjører fra Trondheim til Oslo med farten 70 km/h. Vi kaller antall timer han har kjørt for x og antall kilometer han har kjørt for y. Etter x timer er kjørelengden y, målt i km, gitt ved y 70x Finn grafisk hvor langt Fredrik har kjørt etter 3 timer. Vi tilpasser først aksene slik at x går fra 0 til 10 og y fra 0 til 500, slik vi lærte i kapittel 7.5. Deretter skriver vi y 70x i algebrafeltet og får fram linja l. Så skriver vi x 3 i algebrafeltet og får fram ei vertikal linje gjennom x 3. Deretter bruker vi verktøyet Skjæring mellom to objekt:. Dette verktøyet finner vi ved å klikke på dette ikonet:. Vi klikker deretter nær skjæringspunktet mellom de to linjene, slik at begge linjene blir markert. Vi har tatt med enhetene timer og km langs aksene. Vi får da dette resultatet: Vi kan bruke dette verktøyet og dra tekstene x = 3 og y = 70x inn i grafikkfeltet. For å få resultatet i figuren ovenfor, må vi høyreklikke på hver av tekstene, velge Innstillinger og så fjerne en av «true»-oppføringene under Basis og Definisjon. Her har vi i tillegg høyreklikket på skjæringspunktet, valgt Innstillinger og deretter Verdi. Vi ser av grafen at Fredrik har kjørt 210 km på 3 timer.

Digital løsning av likninger Sinus 2PY, side 119 Her jobber vi videre med eksempelet på forrige side. Fredrik kjører fra Trondheim til Oslo med farten 70 km/h. Vi kaller antall timer han har kjørt for x og antall kilometer han har kjørt for y. Etter x timer er kjørelengden y, målt i km, gitt ved y 70x Finn grafisk hvor lang tid Fredrik bruker på å kjøre 385 km. Vi bruker den samme grafen som i forrige eksempel og skriver y = 385 i algebrafeltet. Så bruker vi verktøyet Skjæring mellom to objekt, og får vist koordinatene til det nye skjæringspunktet på samme måte som i forrige eksempel. Vi ser av grafen at Fredrik bruker 5,5 timer på å kjøre 385 km. Digital løsning av likninger Sinus 2PY, side 120 Vi jobber også her videre med eksemplene med Fredrik som kjørte fra Trondheim til Oslo. Vanja kjører skuter til Oslo. Hun kjører med farten 40 km/h og har et forsprang på 120 km da Fredrik startet. Vi kaller antall timer Vanja har kjørt for x, og antall kilometer hun har kjørt for y. Etter x timer er kjørelengden hennes y, målt i km, gitt ved y 40x 120 Finn grafisk når Fredrik tar igjen Vanja. Vi sletter linjene for x = 3 og y = 385 i algebrafeltet. Så skriver vi inn y 40x 120 og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekt. Da får vi resultatet som er vist på neste side. 11

Vi ser av grafen at Fredrik tar igjen Vanja etter 4 timer. De er da 280 km fra Trondheim. Funksjonsverdier Sinus 2PY, side 124 Finn funksjonsverdiene f (0) og f (2) digitalt når f ( x) 2x 3 Det er lett å regne ut funksjonsverdiene uten hjelpemiddel: f (0) 2 0 3 3 f (2) 2 2 3 1 Når vi skal regne dette ut digitalt må vi passe på at funksjonen f er definert. Det kan vi gjøre ved å skrive funksjonsuttrykket inn i algebrafeltet. Vi kan også definere funksjonen i CAS. Da må vi bruke :=, slik det er vist nedenfor: Det er bedre å finne funksjonsverdiene i CAS enn i algebrafeltet. Det er fordi vi da ser hva som er regnet ut, og ikke bare får a = -3 og b = 1, slik vi vil få i algebrafeltet.

Lineær regresjon - Sinus 2PY side 137 I Statistisk årbok finner vi folketallet i Norge 1. januar hvert år fra 1900. Nedenfor er et utdrag av statistikken. Her er y folketallet i millioner og x antallet år etter 1900. Årstall 1900 1920 1940 1960 1980 2000 2010 x (år) 0 20 40 60 80 100 110 y (millioner) 2,22 2,62 2,96 3,57 4,08 4,48 4,86 a) Finn ved regresjon den rette linja som passer best til dataene i tabellen, og tegn linja sammen med punktene i et koordinatsystem. b) Finn folketallet i 1980 ifølge modellen fra oppgave a. c) Når vil folketallet etter dette passere 5,5 millioner? a) Vi åpner GeoGebra og merker av for Regneark på Vis-menyen. Vi legger inn verdien for x og folketallet i millioner som vist her: Nå markerer vi punktene i tabellen ved hjelp av musa og høyreklikker. Vi velger der Lag og Liste med punkt. Nå finner vi punktene i algebrafeltet med navnene A, B osv. Punktene finner vi også i en liste med navnet L 1: Vi ser ikke punktene i koordinatsystemet. Plasser et punkt i origo. Høyreklikk så på grafikkfeltet og velg Vis alle objekter. Da får vi fram alle punktene. Nå kan vi slette punktet i origo. Det er bare et helpepunkt for at aksene skal vise når vi velger Vis alle objekter. Vi ønsker ikke å vise navn og verdi for punktene i grafikkfeltet. Vi ordner derfor objektene i algebravinduet etter objekttype, klikker på overskriften Punkt, høyreklikker på ett av punktene og tar bort merkingen foran Vis navn. 13

Ei rett linje er grafen til en førstegradsfunksjon. Vi sier at det er en polynomfunksjon av grad 1, og skriver funksjonsuttrykket på formen f ( x) a x b. Du kan lære om polynomfunksjoner av høyere grad på side 236. Vi skriver nå RegPoly(L_1, 1) i algebrafeltet, og trykker Enter. Vi får fram L 1 ved å skrive L_1. Da får vi tegnet den linja som passer best med punktene. Den linja som passer best best med opplysningene i tabeller er gitt ved funksjonsuttrykket nedenfor. Vi finner funksjonsuttrykket i algebrafeltet : b) Med denne modellen var folketallet i 1980 f (80) 0,024 80 2,14 4,06 Dette kan vi også finne i CAS. Vi skriver da f(80) og klikker på:. Folketallet i 1980 var 4,06 millioner i 1980. Det stemmer godt med den riktige verdien, som er 4,08 millioner.

c) For å finne når folketallet passerer 5,5 millioner, skriver vi f(x) = 5.5 i CAS og klikker på. Vi ser at folketallet er 5,5 millioner etter vel 140 år. Folketallet passerer 5,5 millioner i løpet av 2040. Vi kan også løse oppgave c grafisk ved å skrive y = 5.5 i algebrafeltet. Da får vi fram ei horisontal linje. Vi bruker så Skjæring mellom to objekt og finner skjæringspunktet som vist nedenfor: Vi får det samme svaret som i CAS. 15

Nullpunkt og ekstremalpunkt for polynomfunksjoner - Sinus 2PY side 146 Finn nullpunktene og ekstremalpunktene til funksjonen f gitt ved 3 f ( x) x 3x Vi velger her å definere funksjonen f i CAS slik det er vist nedenfor. Deretter skriver vi Nullpunkt(f) og Ekstremalpunkt(f). OBS! Når vi definerer noe i CAS, må vi bruke :=. Funksjonen f har nullpunktene x 3, x 0 og x 3. Ekstremalpunktene er ( 1,2) og (1, 2). Andre typer regresjon - Sinus 2PY, side 148, 155 og 163 Polynomregresjon I eksempelet med lineær regresjon brukte vi kommandoen RegPoly(L 1, 1), der L 1 er navnet på lista med punkt og 1-tallet står for at vi ønsker en polynomfunksjon av grad 1. Ønsker vi en andregradsfunksjon som er best mulig tilpasset punktene i liste L 1, skriver vi RegPoly(L 1, 2). Vi får fram L 1 ved å skrive L_1. Det er greit å bruke CAS til å finne funksjonsverdier, slik det er vist i løsningen av oppgave c i eksempelet om lineær regresjon. Potensregresjon Ønsker vi en potensfunksjon som er best mulig tilpasset punktene i liste L 1, skriver vi RegPot(L 1). Eksponentialregresjon Ønsker vi en eksponentialfunksjon som er best mulig tilpasset punktene i liste L 1, skriver vi RegEksp(L 1).

Rotfunksjoner Sinus 2PY, side 153 En funksjon f er gitt ved f x x 2 ( ) 5 3 a) Tegn grafen til f digitalt. b) Finn ekstremalpunktet til f. c) Finn nullpunktene til f. a) Vi definerer funksjonen i CAS og justerer aksene. Trykk Alt og r samtidig for å få rottegnet. b) Ønsker vi en eksakt verdi for ekstremalpunktet, skriver Ekstremalpunkt(f) i CAS og klikker på. For å få en tilnærmingsverdi for koordinatene til ekstremalpunktet, kan vi enten skrive Ekstremalpunkt(f) i CAS og klikke på eller skrive Ekstremalpunkt(f) i algebravinduet. Med den siste metoden får vi også tegnet ekstremalpunktet i grafikkfeltet. Funksjonen f har et bunnpunkt i (0, 0,76). c) For å finne nullpunktene til f, skriver vi Nullpunkt(f) i CAS og klikker på. Funksjonen f har nullpunktene x 2 og x 2. 17

Gjennomsnittlig vekstfart - Sinus 2PY side 174 En sommerdag var temperaturen i celsiusgrader x timer etter midnatt gitt ved 3 21 T x x x x 8 2 2 ( ) 50, 8, 20 a) Finn temperaturen kl. 10, kl. 12, kl. 17 og kl..19. b) Finn digitalt den gjennomsnittlige vekstfarten i perioden fra kl. 10 til kl. 14 og i perioden fra kl. 17 til kl. 19. a) Definer funksjonen i CAS uten å avgrense funksjonen. Skriv deretter T(10), T(12), T(17) og T(19). Bruk. Temperaturen var 17,5 C kl. 10, 22 C kl. 10, 20,1 C kl. 17 og 14,1 C kl. 19. b) Det er to timer mellom kl. 10 og kl. 12 og to timer mellom kl. 17 og kl. 19. Vi finner de gjennomsnittlige vekstfarten i de to periodene i CAS: Bruk. Den gjennomsnittlige vekstfarten fra kl. 10 til kl. 12 er 2,25 grader per time. Den gjennomsnittlige vekstfarten fra kl. 17 til kl. 19 er 3 grader per time.

Momentan vekstfart - Sinus 2PY side 178 Finn den momentane vekstfarten til funksjonen f er gitt ved f x x x når x = 2. 2 ( ) 2 4 Vi definerer først funksjonen i algebrafeltet. Deretter skriver vi Tangent(2, f) og trykker Enter. Tangenten til f i punktet (2, f(2)) har fått navnet g. Til slutt skriver vi Stigning(g) og trykker Enter. Den momentane vekstfarten til f når x = 2 er 2. 19

Simulering av terningkast, Sinus 2PY side 187 Vi kan bruke CAS i GeoGebra til å simulere terningkast. a) La GeoGebra lage et tilfeldig tall mellom 1 og 6. b) La GeoGebra lage 600 tilfeldige tall mellom 1 og 6, og telle opp hvor mange av disse som er 6. a) Åpne CAS og skriv inn TilfeldigMellom(1,6). Her fikk vi 5. Hvis vi klikker på uttrykket og trykker på Enter, får vi på nytt et tilfeldig valgt tall mellom 1 og 6. b) Fordelen med simuleringer er at det går raskere enn å gjennomføre mange virkelige hendelser. Det er for eksempel tungvint å kaste 600 terninger og så telle opp hvor mange seksere vi får. Dersom vi skriver Sum(Dersom(TilfeldigMellom(1,6) == 6, 1, 0), teller GeoGebra opp hvor mange seksere vi får på 600 kast. Legg merke til at vi har skriver to = etter hverandre. Da får vi dette tegnet i CAS:. Her er x en variabel som skal gå fra 1 til 600. Den forteller oss at forsøket blir gjentatt 600 ganger. Når vi får en sekser, får x verdien 1. Ellers får x verdien 0. Funksjonen Sum legger sammen alle de 600 verdiene x har fått. Det blir da antall seksere på 600 kast. Sannsynligheten for å få en sekser når vi kaster en terning er 1. Vi kan derfor forvente at 6 omtrent 1 6 av de 600 kastene blir seksere. Vi kan altså forvente å få 100 seksere. Vi fikk 101 seksere, som er omtrent som forventet. Om vi gjentar forsøket får vi gjerne andre tall.