FORMELHEFTE ENT3R UMB 2012
2 Innhold TALL OG ALGEBRA... 4 Å REGNE MED NEGATIVE TALL: ADDISJON OG SUBTRAKSJON... 4 Å REGNE MED NEGATIVE TALL: MULTIPLISERE MED NEGATIVE TALL... 5 Å REGNE MED NEGATIVE TALL: DIVIDERE MED NEGATIVE TALL... 5 LØSE OPP PARENTESER:... 6 REGNEREKKEFØLGE... 7 STANDARDFORM: REGNE MED STORE TALL... 8 VALUTA... 9 BRØKREGNING... 10 GANGING... 10 DELING... 10 PROSENTREGNING... 11 PROSENTFAKTOR... 11 PROSENTTREKANTEN... 11 ENHETER I SVING... 13 LENGDE... 13 AREAL - FLATEMÅL... 14 VOLUM - ROMMÅL... 15 Fra kubikk til liter - og motsatt... 16 VEKT/MASSE... 16 STREKNING, FART OG TID-TREKANT... 17 GEOMETRI... 18 GEOMETRISKE FIGURER... 18 OMKRETS... 19 AREAL OG VOLUM... 20 PYTAGORAS... 21 FORMLIKHET OG KONGRUENS... 22 FAKTORISERING... 25 FAKTORISERING UTEN UKJENTE... 25 FAKTORISERING MED UKJENTE... 26 KVADRATSETNINGENE... 27 LIKNINGER MED TO UKJENTE... 28 INNSETTINGSMETODEN... 28 ADDISJONSMETODEN... 29 GRAFISK LØSNING... 30 ULIKHETER... 31 KOORDINATSYSTEMER... 32 VERDITABELL... 33 ETTPUNKTSFORMELEN FOR Å FINNE FUNKSJONSUTTRYKK... 34
3 TOPUNKTSFORMELEN FOR Å FINNE STIGNINGSTALL... 34 EKSEMPEL... 35 BEHANDLING AV DATA: STATISTIKK... 36 SENTRALMÅL... 36 GJENNOMSNITT... 36 MEDIAN... 36 TYPETALL... 36 VARIASJONSBREDDE... 36 FREKVENS... 36 FREKVENSTABELL... 36 RELATIV FREKVENS... 36 SEKTORDIAGRAM, SØYLEDIAGRAM, HISTOGRAM... 36 ET EKSEMPEL: EKSAMEN FRA VÅREN 2011, TIENDEKLASSE:... 37 SANNSYNLIGHET... 38 VENNDIAGRAM... 39 DISJUNKTE HENDELSER... 40 UAVHENGIGE HENDELSER... 41 BETINGET SANNSYNLIGHET... 42 VALGTRE... 42 KOMBINATORIKK... 44 Ordnet utvalg med tilbakelegging... 45 Ordnet utvalg uten tilbakelegging... 45 Uordnet utvalg uten tilbakelegging... 46 Uordnet utvalg med tilbakelegging... 46 BINOMISK FORDELING... 47 KONSTRUKSJON AV TREKANTER... 49 90 GRADERS VINKEL... 50 60 GRADERS VINKEL... 50 HALVERING AV VINKEL... 51 MIDTNORMAL... 51 NORMAL FRA ET PUNKT TIL EN LINJE... 52
4 Tall og algebra Pluss (Addere) Minus (subtraksjon) Gange (Multiplikasjon) Dele(Divisjon) Å regne med negative tall: Addisjon og subtraksjon Når en skal subtrahere kan en godt se for seg tallinjen, som vist under. Eksempel: Eksempler: Pluss og minus = minus ( ) Minus og pluss = minus ( ) Pluss og pluss = pluss ( ) Minus og minus = pluss ( )
5 Å regne med negative tall: Multiplisere med negative tall Når en skal multiplisere med et negativt tall blir svaret negativt. Eksempel: multiplikasjon med et negativt tall ( ) Eksempel: multiplikasjon med to negative tall ( ) ( ) Å regne med negative tall: dividere med negative tall Når en skal dividere, bruker en de samme reglene om fortegn som med multiplikasjon. Eksempel: divisjon med et negativt tall: ( ) ( ) Eksempel: divisjon med to negative tall ( ) ( )
6 Løse opp parenteser: Når vi regner med parenteser bruker vi reglene som nevnt i «å regne med negative tall». Eksempel: Løse opp parenteser med negativt fortegn ( ) ( ) Eller: ( ) Hvis det står et minus tegn foran en parentes, endrer den alle fortegn i parentesen til det motsatte.
7 Regnerekkefølge En fin visualisering av rekkefølgen en må følge. 1) Først løse opp parentesen. 2) Så regne ut potenser og kvadratrøtter. 3) Utføre multiplikasjon og divisjon. 4) Til sist all addisjon og subtraksjon.
8 Standardform: Regne med store tall Noen ganger er det upraktisk å regne med for mange nuller. I de situasjonene bruker vi standardform. Eksempel: Standardform store tall En omgjør det store tallet til et gangestykke der 10 X viser hvor stort tallet er. 10 6 = en million så: Denne metoden fungerer og med små tall. Da representerer 10 X hvor lite tallet er (X vil her alltid være et negativt tall). 10 (-6) = mikro= 0,000 001 så: Når en flytter komma til venstre øker potensen til 10-tallet (tallet øker, eller det negative tallet blir mindre negativt), når en flytter kommaet til høyre, blir eksponenten et mindre tall (eller mer negativt). Eksempel: Flytte komma Regne med standardform: Når en skal utføre regneoperasjoner med store tall, gjelder alle regler som ved vanlige regneopperasjoner, en må bare passe på at 10 X er den samme til alle tallene. Eksempel: Addisjon med store tall ( ) ( ) ( ) ( ) Eksempel: Substraksjon med store tall: ( ) ( ) ( ) ( )
9 Valuta Utenlandsk valuta er det samme som utenlandske penger. Kursen er prisen på de utenlandske pengene, altså valutaen. Kursen forteller hvor mye de utenlandske pengene er verdt i forhold til norske. Formel: Til å regne om fra utenlandsk valuta til norske kroner har vi denne formelen: Norske kroner = utenlandsk valuta x enhetskursen Formel: Til å regne om fra norske kroner til utenlandsk valuta har vi denne formelen: Utenlandsk valuta = norskekroner/ enhetskursen Enhetskursen er verdien av én myntenhet. (Dersom kursen er oppgitt for 100 enheter, må en huske å dele på 100 for å få enhetskursen) Eksempel: Hvor mange NOK (norske kroner) koster 100 euro? Enhetskurs = 8,23 Antall kroner = 100 x 8,23 = 823 Det koster 823 kroner. Eksempel: Hvor mye euro får du for 500 kr? Enhetskurs = 8, 23 Antall euro = 500 / 8,23 = 60,75 Vi får 60,75 euro
10 Brøkregning Ganging Når vi skal gange (multiplisere) to brøker med hverandre ganger vi teller med teller og nevner med nevner. Eksempel: Når et heltall skal ganges med en brøk skal heltallet ganges med teller og nevner skal stå urørt. Eksempel: Deling Å dele med en brøk er det samme som å gange med den omsnudde brøk. Når to brøker deles på hverandre skal den bakerste brøken snus samtidig som vi bytter ut deletegnet med et gangetegn. (For ganging av brøk, se over) Eksempel: Når en har heltall delt på brøk følger man bare regelen over og snur brøken. Eksempel: Når en har brøk delt på heltall ganger man inn heltallet med nevneren til brøken. Eksempel:
11 Prosentregning Prosent betyr «del av hundre» Symbol: % 45 % = 45 / 100 = 0,45 Prosentfaktor Her ser du at 42% er det samme som desimaltallet 0,42. Desimaltallet i prosentregning blir kalt prosentfaktoren, det er som oftest denne du må bruke i regneoppgaver. For å gå fra prosent til prosentfaktor deler man prosenten på 100. Eksempel : Finn prosentfaktoren til 83% 83 / 100 = 0,83 Finn prosentfaktoren til 5% 5 / 100 = 0,05 Hvor mange prosent er 0,97 0,97 100 = 97% Prosenttrekanten Akkurat som med Vei, fart, tid trekanten kan man lage en trekant for å huske prosentregning. Forklaring av trekant: DEL: Del av tallet HELE: Hele tallet %: Prosentfaktoren Fra trekanten kan vi finne 3 likninger vi trenger til prosentregning. 1: Del av tallet = Hele tallet Prosentfaktoren 2: Hele tallet = Del av tallet / Prosentfaktoren 3: Prosentfaktoren = Del av tallet / Hele tallet
12 Eksempel 1: En skjorte koster 420kr, men selgeren sier du kan få 15% rabatt. Hva må du betale? Løsning 1: Vi finner svaret ved å ta full pris minus rabatten. Her bruker vi likning 1. Rabatten er DEL (det vi skal finne), 420kr er HELE og prosentfaktoren er 15 / 100 = 0,15 Rabatten blir da: Du må betale: 420kr 0,15 = 63kr 420kr 63kr = 357kr Eksempel 2: I en klasse er det 14 jenter. Dette er 40% av elevene i klassen. Hvor mange elever er det i klassen. Løsning 2: Her skal vi finne HELE. Vi bruker likning 2. Prosentfaktoren: 40 / 100 = 0,4 Antall elever i klassen: 14 / 0,4 = 35 Eksempel 3: I en by med 10 000 innbyggere er det 1360 stykker som har hund. Hvor mange prosent av byens innbyggere har hund? Løsning 3: Her har vi DEL og HELE. Derfor må vi bruke likning 3. Husk at svaret vi får av likningen er prosentfaktoren så vi må regne over til prosent etterpå. Andel hundeeiere: 1360 / 10 000 = 0,136 Omregning til prosent: 0,136 100 = 13,6% Eksempel 4: Prisen på en bolig steg fra 1.600.000kr til 1.900.000kr. Hva er prisstigningen i prosent? Løsning 4: Her er 1.600.000 HELE og DEL er forandringen i pris. Vi skal bruke likning 3. Forandring i pris: 1.900.000kr 1.600.000kr = 300.000kr Prisstigning: 300.000kr / 1.600.000kr = 0,1875 Omregning til prosent: 0,1875 100 = 18,75%
13 Enheter i sving Lengde En lengde er gitt ved et måltall og en enhet. Enheten kalles for benevning. Eksempler på enheter er meter (m), desimeter (dm), centimeter (cm) og millimeter (mm). Vi har følgende sammenheng: 1m = 10dm = 100cm = 1000mm. Noen eksempler: 1 mil = 10 kilometer (km) = 10 000 meter (m) 1 kilometer (km) = 1 000 meter (m) = 1 000 000 millimeter (mm) 1 meter (m) = 1 000 millimeter (mm) 1 millimeter (mm) = 0,001 meter (m) For å regne fra meter og helt ned til millimeter kan det være lurt å bruke denne omregningsmetoden: 10 10 10 0,1 m 1 dm 10 cm 100 mm :10 :10 :10 Vi går fra en enhet til en mindre enhet ved å multiplisere måltallet med 10. Motsatt vei dividerer vi med 10. Ønsker man for eksempel å gå fra meter til centimeter må man multiplisere med 10 to ganger. Eksempel: Hvor mange centimeter er 3,5 meter? Man ganger med 10 to ganger og får: 3,5 m 10 = 35 dm 35 dm 10 = 350 cm Du kan selvfølgelig gange med 100 en gang, det blir det samme som å gange med 10 to ganger.
14 Areal - flatemål Et areal er gitt ved et måltall og en enhet. Enheten kalles for benevning. Eksempler på enheter er kvadratmeter (m 2 ), kvadratdesimeter (dm 2 ), kvadratcentimeter (cm 2 ) og kvadratmillimeter (mm 2 ). Vi har følgende sammenheng: 1 m 2 = 100 dm 2 = 10 000 cm 2 = 1 000 000 mm 2. Noen eksempler: 1 kvadratkilometer (km 2 ) = 1 000 000 kvadratmeter (m 2 ) 1 dekar = 1 000 kvadratmeter (m 2 ) 1 hektar = 100 kvadratmeter (m 2 ) 1 kvadratmillimeter (mm 2 ) = 0,000 001 kvadratmeter (m 2 ) For å regne fra kvadratmeter og helt ned til kvadratmillimeter kan det være lurt å bruke denne omregningsmetoden: 100 100 100 0,001 m 2 0,1 dm 2 10 cm 2 1 000 mm 2 :100 :100 :100 Vi går fra en enhet til en mindre enhet ved å multiplisere måltallet med 100. Motsatt vei dividerer vi med 100. Ønsker man for eksempel å gå fra kvadratmeter til kvadratcentimeter må man multiplisere med 100 to ganger. Eksempel: Hvor mange kvadratdesimeter er 54 000 kvadratmillimeter? Man deler på 100 to ganger og får: 54 000 mm 2 :100 = 540 cm 2 540 cm 2 :100 = 5,4 dm 2
15 Volum - rommål Et volum er gitt ved et måltall og en enhet. Enheten kalles for benevning. Eksempler på enheter er kubikkmeter (m 3 ), kubikkdesimeter (dm 3 ), kubikkcentimeter (cm 3 ) og kubikkmillimeter (mm 3 ). Vi har følgende sammenheng: 1 m 3 = 1 000 dm 3 = 1 000 000 cm 3 = 1 000 000 000 mm 3. Noen eksempler: 1 kubikkmillimeter (mm 3 ) = 0,000 000 001 kubikkmeter (m 3 ) 1 kubikkilometer (km 3 ) = 1 000 000 000 kubikkmeter (m 3 ) 1 kubikkmeter (m 3 ) 0,000 000 001 kubikkilometer (km 3 ) For å regne fra kubikkmeter og helt ned til kubikkmillimeter kan det være lurt å bruke denne omregningsmetoden: 1000 1000 1000 0,000 1 m 3 0,1 dm 3 100 cm 3 100 000 mm 3 :1000 :1000 :1000 Vi går fra en enhet til en mindre enhet ved å multiplisere måltallet med 1000. Motsatt vei dividerer vi med 1 000. Ønsker man for eksempel å gå fra kubikkmeter til kubikkcentimeter må man multiplisere med 1 000 to ganger. Eksempel: Hvor mange kubikkcentimeter er 0,26 kubikkmeter? Man ganger med 1 000 to ganger og får: 0,26 m 3 1 000 = 260 dm 3 260 dm 3 1 000 = 260 000 cm 3
16 Fra kubikk til liter - og motsatt Du trenger kun å huske en ting: 1 liter = 1 dm 3. Ved hjelp av omregningsmetoden for volum og liter kan man løse det meste. For å regne fra liter og helt ned til milliliter kan det være lurt å bruke denne omregningsmetoden: 10 10 10 0,1 l 1 dl 10 cl 100 ml :10 :10 :10 Eksempel: Thor fyller bensintanken på mopeden med 8 500 kubikkcentimeter bensin. Hvor mange liter er det? 8 500 cm 3 = 8,5 dm 3 = 8,5 l. Vekt/masse Noen eksempler: 1 Tonn = 1 000 kilogram 1 kilogram = 1 000 gram 1 Hektogram = 10 gram 1 gram = 10 desigram 1 gram = 100 centigram 1 gram = 1 000 milligram
17 Strekning, fart og tid-trekant Ut i fra denne trekanten kan man finne tre likninger: Strekning = Fart Tid, Fart = Strekning/Tid og Tid = Strekning/Fart. Omregning fra m/s til km/t: 3,6 20 m/s 72 km/t Det er 3600 sekunder i 1 time, og 1000 meter i 1 km, derav 3,6. :3,6
18 Geometri Geometriske figurer
Omkrets 19
20 Areal og volum
Pytagoras 21
22 Formlikhet og kongruens Hva betyr det når vi sier at to figurer er formlike? Her skal vi se på to eksempler på hvordan vi anvender formlikhet i en praktisk sammenheng. I tillegg tar vi en titt på begrepet kongruens. To figurer er formlike dersom de har nøyaktig samme form, men ikke nødvendigvis samme størrelse. I to formlike figurer er forholdet mellom to samsvarende lengder konstant. Vi ser på en praktisk anvendelse av formlikhet. Eksempel 1 Vi skal bruke en pinne, et målebånd og sola til å måle høyden på et stort tårn. Vi har en pinne med høyde h 1, som vi plasser loddrett. Så måler vi lengdene l 1 og l 2 av skyggene som pinnen og tårnet kaster på bakken. La oss si vi fikk l 2 = 30 cm, h 1 = 120 cm og l 2 = 15 m. Vi ser at vi har to formlike trekanter, og da er forholdet mellom de samsvarende sidene likt: Vi ganger med h 1 på begge sider av likhetstegnet og får Så ved å måle lengden av en pinne og to skygger kan vi regne ut høyden til et 60 meter høyt tårn!
23 For å bruke at forhold er like, må vi selvsagt forsikre oss om at figurene vi regner på, virkelig er formlike. For to trekanter er det tilstrekkelig å vise at to av vinklene er parvis like store. Siden vinkelsummen i en trekant alltid er 180, må da også den tredje vinkelen være den samme i begge trekantene, og trekantene må ha samme form. Vi skal se på et eksempel, som også har interessante konsekvenser. Eksempel 2 På figuren ser vi tre trekanter:. Disse trekantene er formlike når vi forutsetter at og at CD er en normal ned på AB. er formlik med fordi er felles og. Da må vi også ha, og trekantene formlike. På samme måte finner vi at er formlik med fordi er felles og. Siden både og er formlike med, må også og være formlike med hverandre. Av dette kan vi trekke ut at forholdene mellom AD og DC er likt med forholdet mellom CD og DB, altså Da får vi videre at. En geometrisk tolkning av det siste er følgende: Hvis vi har et rektangel med sidelengder AD og DB, så har dette rektanglet like stort areal som et kvadrat med sidelengder DC, når C er kommet fram som på figuren foran. Lengden DC kalles mellomproporsjonalen mellom de to andre lengdene. Generelt for tall: Hvis tre tall a, b og c er slik at, kalles c mellomproporsjonalen mellom a og b.
24 Kongruens Hvis vi har to formlike figurer som også er like store, sier vi at figurene er kongruente. Kongruente figurer dekker hverandre helt. For trekanter kan vi sette opp kriterier som garanterer kongruens. Det betyr at to trekanter er kongruente dersom ett av disse kravene er oppfylt: 1. Sidene i de to trekantene er parvis like lange. 2. To sider og den mellom liggende vinkelen er like store. 3. To vinkler og den mellomliggende siden er parvis like store. Dette betyr også at dersom vi har opplysninger om en trekant tilsvarende ett av kriteriene, kan trekanten kun konstrueres på kun én måte. Den er med andre ord entydig bestemt.
25 Faktorisering Faktorisering uten ukjente Faktorisering av et tall uten ukjente gjør vi ved å skrive det som et produkt (gange) av andre faktorer (tall). Tallet 6 kan skrives som 2*3 der 2 og 3 er faktorene og 6 er produktet vi får av de to faktorene. Dette bruker vi ofte når vi skal finne fellesnevner eller forkorte. Dersom vi skriver 8 = 2 4 har vi faktorisert 8. Men, vi har ikke primtallsfaktorisert siden 4 ikke er et primtall. Dersom vi skriver 8 = 2 2 2 har vi primtallsfaktorisert 8. Primtall er tall som bare kan dele på seg selv og 1 og svaret blir et heltall. Primtall fra (0-100): 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 Når vi skal faktorisere gjør vi følgende: Skriv tallet som skal faktoriseres på venstre side av en lang loddrett strek. Begynn med å prøve å dele tallet på 2. Dersom det er mulig skriver du 2 på høyre side av streken og svaret du får under tallet på venstre side av streken. Når du ikke kan dele på 2 lenger prøver vi med 3. Slik fortsetter vi med 5, 7 osv. Dersom man multipliserer alle primtallene på høyre side av streken skal man få det tallet man startet med. 16 primtallfaktoriseres slik: Vi kan teste om vi har gjort riktig ved å gange sammen det som står på Høyere side, og vi får da 2*2*2*2=16 altså har vi gjort det riktig.
26 Andre eksempler på primtallfaktorisering ser du her med 162, 12 og 4620. Faktorisering med ukjente Vi faktoriserer uttrykk ved å sette felles faktorer utenfor en parentes. ab + ac = a(b + c) Vi kan sette a utenfor parentesen, siden a er en faktor i begge leddene. Vi bruker ofte faktorisering for å forenkle brøkuttrykk 4x 2 x x( x ) x x x 4( x ) 4 Vi har trukket ut de verdiene som er felles i telleren, og de verdiene som er felles i nevneren. Dette gjør at vi i ledd 2 kan stryke de ledd som er felles for teller og nevner. Da står vi igjen med 2x/4 som blir x/2.
27 Kvadratsetningene Første kvadratsetning: (a + b)2 = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 Andre kvadratsetning: (a b)2 = a2 ab ab + b2 = a2 2ab + b2 Tredje kvadratsetning: (a + b)*(a b) = a2 ab + ab b2 = a2 b2 Eksempel 1: Regn ut (5x + 4) 2 Løsning: Vi husker å sette parentes rundt 5x, og bruker første kvadratsetning (5x + 4) 2 = (5x) 2 + 2*5x*4 + 4 2 = 25x 2 + 40x + 16 Eksempel 2: Regn ut (x - 7) 2 Løsning: Vi bruker andre kvadratsetning (x - 7) 2 = x 2 2*x*7 + 7 2 = x 2 14x + 49
28 Likninger med to ukjente Det finnes tre forskjellige måter å løse likningssettet på. Vi skal se på alle tre metodene. Innsettingsmetoden Addisjonsmetoden Grafisk løsning Dersom du får i oppgave å løse et likningssett er det likegyldig hvilken metode du bruker, alle tre gir samme svar. Dersom vi har to ligninger med to ukjente, kalles dette et sett med likninger, eller et likningssett. 1. Y = 2X + 1 2. Y = - X + 4 Likningen (1) og (2) hører sammen. Målet er å finne en X- verdi og en Y- verdi som passer i både (1) og (2). Når vi har to ukjente, X og Y, MÅ vi ha to likninger for å finne verdiene til X og Y. Har vi tre ukjente, må vi ha tre likninger osv. Man må altså ha minst like mange likninger som man har ukjente, for å kunne løse problemet. Innsettingsmetoden Du har 2 likninger som begge inneholder 2 ukjente, X og Y. Du setter den ene likningen inn i den andre likningen for å få en likning som inneholder kun en ukjent. Likning 1: Y = 2X + 1 Likning 2: Y = -X + 4 1. Gjør om likning 1 slik at du bare har X eller Y (velg den som er enklest å få alene) på den ene siden av likningen. I dette eksempelet har vi allerede Y = 2X + 1, dermed trenger vi ikke gjøre om likningen. 2. Sett uttrykket du fant for Y i punkt 1 inn for Y i likning 2. Det vil si at du bytter ut Y med (2X +1), siden du vet fra likning 1 at de er lik hverandre. 3. Nå har du kun X som ukjent i likning 2 og kan dermed regne ut denne på vanlig måte: Likning 2: Y = -X + 4 (2X + 1) = -X + 4
29 2X + 1 = -X + 4 2X + X =4 1 3X = 3 X = 1 Nå har du regnet ut hva X er. 4. Sett tallet du regnet ut for X inn i likning 1, og regn ut Y. Likning 1: Y = 2X + 1 Y = 2 *1 + 1 Y = 3 Addisjonsmetoden Addisjonsmetoden går, som navnet tilsier, ut på å legge sammen ligningene slik at vi får X eller Y til å forsvinne. La oss legge sammen ligning (1) og (2). Vi ser at verken X eller Y forsvinner sånn uten videre. Men, om vi først multipliserer ligning (2) med 2 ser vi at vi oppnår det vi ønsker. Vi får: Y = 2X + 1 + Y = -X + 4 Ganger denne likningen med 2 for å få -2X, slik at vi får 2X-2X, og Vi får da: Y = 2X +1 + 2Y = -2X + 8 = Y +2Y = 2X +1-2X +8 3Y = 9 Y = 9 : 3 Y = 3 dermed har en likning uten X Vi setter inn Y = 3 i en av ligningene, Y = 2X + 1 3 = 2X +1 2X = 2 X = 1. I beste fall kan vi addere ligningene direkte. Dersom den ukjente har en faktor med samme tallverdi, men med motsatt fortegn er det tilfelle. I nest beste fall må man multiplisere en av ligningene slik at den ukjente forsvinner ved addisjon. Eks: 2Y.. 2Y.. Multipliser en av ligningene med minus en, før addisjon.
30 I verste fall må begge ligningene multipliseres med det som gir faktorenes minste multiplum. Eks: 3Y. 2Y.. Minste felles multiplum til 2 og 3 er 6, hvilket betyr at første ligning multipliseres med 2 og den andre med 3. Grafisk løsning Når vi løser likningene grafisk betyr det at vi lager en verditabell for hver av dem og tegner dem i et koordinatsystem. 1. Y = 2X + 1 2. Y = - X + 4 Velger X = 1 og X = 2 i begge ligningene og får: Der grafene krysser hverandre har vi løsningen til likningssettet. Det er en fordel om du har kjennskap til lineære funksjoner. Dette vil se slik ut i et koordinatsystem: Vi ser at grafene krysser hverandre i X = 1 og Y = 3. Det er løsningsverdiene til likningssettet.
31 Ulikheter For å løse en ulikhet brukes alle de samme reglene som en bruker for å løse en ligning, med et unntak. Når en deler hele uttrykket med et negativt tall, skifter ulikheten retning. X er større enn Y X er større eller lik Y X er mindre eller lik Y X er mindre enn Y Eksempel: Vanlig regning X er mindre eller lik 3. Eksempel: Løse ulikhet når en må dele på negativt tall Ulikheten skifter retning X er større eller lik -3
32 Koordinatsystemer Et koordinatsystem består av to tallinjer som står vinkelrett på hverandre, kalt akser. Den vannrette aksen kalles for x- aksen, eller førsteaksen. Den loddrette aksen kalles for y- aksen, eller andreaksen. Alle punkter i koordinatsystemet kan beskrives med to tall, som vi kaller koordinater. For å finne koordinatene til et punkt, trekker vi først en linje rett ned til x-aksen og finner tallet som står der, og deretter en linje rett bort til y-aksen og finner tallet som står der. Så skriver ve de to tallene inni en parentes. Punktet A har for eksempel koordinatene (1,2). For å finne et punkt ved hjelp av koordinater, finner vi det første tallet i parentesen på x-aksen, og trekker en loddrett linje gjennom det punktet. Så finner vi det andre tallet i parentesen på y-aksen, og trekker en vannrett linje gjennom det punktet. Der de to linjene krysser hverandre, er punktet vi skal finne. Koordinatene (-1,-2) er for eksempel punktet B. Origo er det punktet hvor x- og y-aksen krysser. Origo har koordinatene (0,0). En funksjon beskriver en bane gjennom koordinatsystemet, for eksempel en rett linje eller en bue. Funksjonen sier hvilken y-koordinat som hører sammen med hvilken x-koordinat. Et eksempel på et funksjonsuttrykk kan være at: y = 2x + 1 Det betyr at hvis for eksempel x er 1, så vil y være 2*1 + 1 = 3. Hvis man regner ut y for flere verdier av x, vil man se at dette eksempelet beskriver en rett linje. Dette kaller vi en lineær funksjon, og de ser generelt slik ut: Y = ax + b Der a og b kan være et hvilket som helst tall. I en lineær funksjon, kalles a for stigningstallet, fordi det viser hvor fort linjen stiger, eller hvor mye større y blir når x øker med 1. I eksempelet over, stiger y-verdien fra 3 til 5 når vi går fra x=1 til x=2. Derfor er a lik 2. Vi kaller b for konstantleddet, fordi det er det som er igjen når x er 0. Konstantleddet sier hvor funksjonen krysser y-aksen. I eksempelet over, krysser den y-aksen når y er 1, og derfor er b lik 1.
33 Verditabell For å tegne grafen til en funksjon, lager vi en verditabell. Der velger vi noen x-verdier, og regner ut hvilke y-verdier som passer til. I en typisk eksamensoppgave, vil det være lurt å sette inn hele tall fra for eksempel -3 til 3. Hvis du er sikker på at du har en lineær funksjon, er det nok å regne ut to verdier. Når vi har valgt en x verdi setter vi den inn for x i funksjonstrykket. Da kan vi regne ut hva y blir. I eksempelet nedenfor, har vi funksjonsuttrykket y = x + 2. Vi har valgt x-verdiene -1, 0, 1 og 2: x -1 0 1 2 y Så regner vi ut y-verdiene. For x = 1, får vi at: y = x + 2 = (-1) + 2 = 1. Så fyller vi det inn i verditabellen: x -1 0 1 2 y 1 Vi gjør tilsvarende med de andre x-verdiene, og får til slutt at: x -1 0 1 2 y 1 2 3 4 Disse verdiene gir oss koordinatene til fire punkter som alle er en del av grafen vi skal frem til. Den første koordinaten er (-1, 1), den andre (0,2) osv. Vi krysser av disse punktene i et koordinatsystem, og så kan vi tegne grafen:
34 Ettpunktsformelen for å finne funksjonsuttrykk Ettpunktsformelen kan brukes til å finne et funksjonsuttrykk dersom man kjenner et punkt på en rett linje og vet stigningstallet: y y 1 = a (x x 1 ) der y 1 er y-verdien til det kjente punktet, x 1 er x-verdien til det kjente punktet og a er stigningstallet. y og x skal bare stå som de er. Topunktsformelen for å finne stigningstall Topunktsformelen kan brukes til å finne stigningstallet dersom man kjenner to punkter på en rett linje: der x 1 og y 1 er koordinatene til det ene punktet, og x 2 og y 2 koordinatene til det andre punktet. Ut fra disse to formlene, kan vi finne funksjonsuttrykket til en hvilken som helst rett linje, så lenge vi vet koordinatene til to av punktene. Først finner vi stigningstallet, og så bruker vi ettpunktsformelen til å finne funksjonsuttrykket etterpå. Eller vi kan kombinere de to formlene, og sette alt inn samtidig: y y 1 = a (x x 1 ) Putter uttrykket for a inn i den første formelen, og får at: ( )
35 Eksempel Dette er en eksamensoppgave fra 2011 Skjæringspunktet er punktet der de to linjene treffer hverandre, og også det eneste punktet der funksjonsuttrykket for begge linjene har samme løsning. I denne oppgaven kan man lese skjæringspunktet rett fra tegningen, og se at X = 2, og Y = 1. Svaret på oppgaven er da (2,1). For å finne funksjonsuttrykket til Y1, kan bruke ettpunktsformelen, og får a = 1. Man kan også se dette kjapt, ved å observere at den rette linja stiger 45 grader, da vil alltid stigningstallet være 1. b får man ved å se på tegningen langs y-aksen og ser hvor linja Y1 krysser den. Dette er i y = -1, og man kan da sette b = -1. Hele funksjonsuttrykket blir da Y 1 = X -1 Samme fremgangsmåte brukes på den andre linja, og funksjonsuttrykket blir da Y 2 = -0.5X +2 Dersom man er usikker på om man har kommet fram til rett svar, er det lurt å kontrollere svaret. For å kontrollere om Y2 er korrekt, kan man sette inn noen verdier for X, og se at punktene man får ligger på linja. Setter inn f.eks X =1, og får Y 2 = -0.5(1)+2 = 1.5. Punktet (1, 1.5) er langs linja, og svaret er korrekt.
36 Behandling av data: Statistikk Sentralmål Vi har tre typer sentralmål. Disse er gjennomsnitt, median og typetall. Gjennomsnitt Gjennomsnitt er summen av alle verdier delt på antall verdier. Median Median er den midterste verdien etter alle verdiene er blitt sortert i stigende rekkefølge. Dersom antall verdier er partall (2,4,6...) er median gjennomsnittet av de to midterste verdiene. Typetall Typetall er den verdien som forekommer oftest. Variasjonsbredde Variasjonsbredden er største verdi minus minste verdi. Frekvens Frekvens er et tall på hvor mange ganger noe (for eksempel en verdi) fins eller skjer. Frekvenstabell En frekvenstabell viser hvor mange ganger hver verdi forekommer. Denne kan vi bruke til å lage et diagram. Det er et eksempel på neste side. Relativ frekvens Relativ frekvens er frekvensen til en verdi delt på antall verdier. Sektordiagram, søylediagram, histogram Et sektordiagram er det samme som et «kakediagram»: Størrelsen på kakestykkene forteller hvor mange av alle verdiene som har denne verdien. Vi deler hele «kaken» i biter, etter hvor Søylediagram/Stolpediagram: VI lager en søyle for hver verdi, og høyden på denne er frekvensen til verdien. Vi har søylene på x-aksen, og høyde på y-aksen. Et histogram bruker vi i stedet for et søylediagram, dersom vi måtte lage mer enn 20 søyler. Vi samler alle verdier i grupper, og lager en søyle pr. gruppe. I et histogram står søylene inntil hverandre!
37 Et eksempel: Eksamen fra våren 2011, Tiendeklasse: Løsningsforslag: Tabellen som er oppgitt i oppgaven er frekvenstabellen for verdiene. Her der det som skjer ulykken, og frekvensen er antall ulykker. Vi sier at ulykkesfrekvensen i 2005 er 613. Her bør vi ikke bruke et kakediagram, fordi det ikke viser informasjon pr år, som oppgaven vil. Men et stolpediagram er fint. Et stolpediagram kan for eksempel se slik ut: Antall skadde Antall skadde 800 700 600 500 400 300 200 100 0 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 År Gjennomsnittet finner vi slik:
38 Sannsynlighet 10. klasse Hendelser som kan forutsies kalles deterministiske. Hendelser vi ikke kan forutsi, som for eksempel terningkast, kalles tilfeldige forsøk. En sannsynlighetsmodell for et tilfeldig forsøk gir sannsynligheten for hvert enkelt utfall i utfallsrommet Sannsynligheten for alle utfall i utfallsromet er til sammen 1. Sannsynligheten for hvert enkelt utfall er mellom 0 og 1. Hvor mange utfall kan et terningkast ha? En terning har øyner fra en til seks, det betyr at utfallet vil være blant disse. Vi kaller alle mulige utfall for utfallsrommet. Et enkelt utfall vil være et element i utfallsrommet:u = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Hvis vi lurer på hvilke sannsynlighet det er for å få terningkast 4, skriver vi det som P(4)=. Hvilke sannsynlighet er det for å få 4? Jo, du har seks mulige utfall, derav har vi bare en mulighet for å få utfallet 4. Derfor er sannsynligheten 1/6 eller hvis vi vil oppgi det i prosent 16,67%. Vi har like stor sannsynlighet for å få et av de andre tallene. Når vi har like stor sannsynlighet for å få for eksempel 3 som 4 kaller vi det for en uniform sannsynlighet. Når vi har en uniform sannsynlighetsmodell er sannsynligheten for en hendelse gitt ved: (1) Hva er sannsynligheten for å få en femmer eller en sekser i et terningkast? Sannsynligheten for å få en femmer er 1/6 og sannsynligheten for å få en sekser er 1/6. Sannsynligheten for femmer eller sekser blir da: Hva er så sannsynligheten for å få 1, 2, 3, 4, 5 eller 6? Det blir:
39 Venndiagram Et venndiagram er en grafisk fremstilling av en eller flere mengder, og eventuelle delmengder. Størrelsen av arealet i diagrammet har ingen matematisk betydning. Eksempel: I en klasse på 20 elever har 4 elever spansk og 12 elever fysikk. 2 elever har begge deler. Denne situasjonen kan fremstilles i et Venndiagram: Hvis vi ønsker å finne sannsynligheten for at et utfall/hendelse ikke inntreffer skriver vi dette som P(A*), eller som det er i noen lærebøker P( ). A* kalles for komplementær til A. Sannsynligheten til denne = 1-P(A), dvs 100%-P(A). Vi er også ute etter å vite sannsynligheten for at to ulike hendelser kan skje samtidig. Dette kan for eksempel illustreres ved å tenke seg at i en klasse spiller antallet A fotball, mens B driver med friidrett. Er vi ute etter å vite hvor mange som driver med fotball eller friidrett skriver vi P(A B), mens er vi ute etter å vite hvem som driver med begge idrettene skriver vi P(A B). Vi kaller ofte for snitt og for union. Illustrasjon av union:
40 Illustrasjon av snitt: La oss ta følgende eksempel: Eks: A er alle i klassen som spiller fotball på fritiden. B er alle som driver friidrett. A driver friidrett. B er alle som spiller fotball og Vi har: (3) P(A B) = P (A) + P (B) - P (A B) Denne regelen kalles addisjonsregelen/setningen. Disjunkte hendelser Dette er hendelser der A B ikke går an. Dette tilsvarer i forrige eksempel at ingen driver med både fotball og friidrett. Hvis vi har disjunkte hendelser kan vi fortsatt bruke addisjonssetningen, men siste leddet forsvinner. Illustrasjon av disjunkte hendelser:
41 Uavhengige hendelser Dersom vi kaster en terning en gang, så en gang til, er ikke det andre utfallet påvirket av det første. Slike situasjoner kaller vi for uavhengige hendelser. Når utfallet av første hendelse ikke påvirker det første kan vi benytte oss av følgende regel. P(A B) = P (A) P (B) Det er viktig å være sikker på at utfall nr 2 ikke påvirkes av det første, ellers går det ikke an å bruke den regelen. Kaster vi for eksempel disse to terningene og ser hva som er sannsynligheten for å få to seksere kan vi benytte oss av denne formelen. Dersom A (første kast) og B (andre kast) er uavhengige hendelser er: P(A B) = P (A) P (B) Sannsynligheten for å få en sekser i første kast er 1/6. Sannsynligheten er den samme i andre kast. Ved å sette inn i formelen ser vi at sannsynligheten for to seksere er 1/36. Hvis vi tar eksempelet, hva er sannsynligheten å få minst èn sekser på to kast? Da kan vi tenke/regne ut slik: Av og til kan det være lettere å regne ut antall ugunstige utfall. Hva er sannsynligheten for ikke å få 6 i første kast? Jo, den er 5/6 og det er det samme som for andre kast. Sannsynligheten for ikke å få en sekser i det hele tatt blir da 25/36. Sannsynligheten for minst en sekser må da være 1-25/36 = 11/36 Uavhengige hendelser forveksles av og til med disjunkte hendelser. For disjunkte hendelser gjelder P(A B) = 0
42 Vanskeligere del, først og fremst beregnet på vgs, men anbefalt å lese for 10. klasse også. Betinget sannsynlighet Med betinget sannsynlighet menes sannsynligheten for en hendelse når man har opplysninger om at en annen hendelse allerede har inntruffet. Sannsynligheten for hendelse A gitt at hendelse B har inntruffet skrives: P(A B) Man leser: "sannsynlighet for a gitt b". Vi har P(A B) = P(B) P(A B) Valgtre Bruker eksempelet om antall fotballspillere og friidrettsutøvere gitt tidligere: 10 spiller fotball, 5 med friidrett og 2 personer driver med begge idrettene. Vi finner følgende sannsynligheter: Sannsynligheten for at en tilfeldig elev ikke spiller fotball: P(A*) = 20/30 = 0,6667 Sannsynligheten for at en tilfeldig elev spiller fotball: P(A) = 1 - P(A*) = 0,3333. Du kan også regne denne direkte fra informasjonen du har i utgangspunktet: P(A) = 10/30 = 0,3333. Vi ser at det stemmer bra med valgtreet (selv om det bare har to desimaler i utregningen). Sannsynligheten for at en tilfeldig elev spiller fotball og driver friidrett:
43 P(A B) = P(A) P(B A) = 0,3333 0,2 = 0,0666. Sannsynligheten for at en tilfeldig elev spiller fotball, men ikke driver friidrett: P(A B*) = P(A) P(B* A) = 0,3333 0,80 = 0,2666. Sannsynligheten for at en tilfeldig elev ikke spiller fotball, men driver friidrett: P(A* B) = P(A*) P(B A*) = 0,6667 0,15 = 0,1000 Sannsynligheten for at en tilfeldig elev ikke driver med fotball eller friidrett: P(A* B*) = P(A*) P(B* A*) = 0,6667 0,85 = 0,5667 En elev driver friidrett. Hva er sannsynligheten for at eleven spiller fotball? Vi ønsker å finne P(A B). Vi har: P( fotball og friidrett ) = P (friidrett) P ( fotball gitt friidrett ) Litt mer matematisk: (6) P(A B) = P(B) P(A B) Denne setningen kalles produktsetningen for avhengige hendelser, eller den generelle produktsetningen. Dette gir følgende: (7) Som er den setningen vi bruker på betinget sannsynlighet. Dersom vi setter inn tall i vårt eksempel får vi P(A B) = 0,0666/0,1666 = 0,4 (P(B) = 0,1 + 0,0666 fordi hendelsene "spiller fotball og driver friidrett" og "spiller ikke fotball men driver friidrett" ikke kan opptre samtidig og derved er disjunkte.) Ved å bruke samme tankegang som over finner vi også: (8) P(A B) = P(A) P(B A) Dersom vi kombinerer (7) og (8) har vi at: (9) Setningen kalles Bayes formel.
44 Kombinatorikk La oss telle litt... På hvor mange måter kan vi arrangere n elementer? n = 1 Muligheter: 1 n = 2 Muligheter: 2 1 = 2 n = 3 Muligheter: 3 2 1 = 6 n = 4 Muligheter: 4 3 2 1 = 24 Dette leder oss til følgende formel: (10) n! En n med utropstegn bak leser vi "n fakultet". Det betyr: n! = n (n-1).. 4 3 2 1
45 Ordnet utvalg med tilbakelegging Nummererte kuler trekkes fra en urne. Rekkefølgen har betydning. Kulen legges tilbake før neste trekning. Ved første trekning kan vi velge mellom n elementer. Siden kulen blir lagt tilbake i urnen før neste trekning er dette situasjonen for k trekninger. Antall muligheter blir: (11) n k Eks: Vi trekker 3 nummererte kuler fra en urne med 7 kuler nummerert 1-7. Hvor mange muligheter finnes? 7 3 = 343 Det finnes 343 mulige kombinasjoner Eks: Hva er muligheten for å vinne i fotballtipping? Tenk deg en urne med 3 baller med bokstavene H, U og B. Vi trekker og legger ballen tilbake i urnen. Dette gjentar vi 12 ganger. Antall kombinasjoner på en tippekupong blir da: 3 12 = 531441 Sannsynligheten for å vinne dersom man tipper en rekke blir da 1:531441, eller litt under to millionedels sjanse. Ordnet utvalg uten tilbakelegging Nummererte kuler trekkes fra en urne. Rekkefølgen har betydning. Kulen legges ikke tilbake før neste trekning. Ved første trekning kan vi velge mellom n elementer. Ved andre trekning kan vi velge mellom (n-1) elementer. Antall mulige kombinasjoner: (12) Hvor vi trekker k elementer fra n elementer. Eks: Vi trekker 3 nummererte kuler fra en urne med 7 kuler nummerert 1-7. Hvor mange muligheter finnes? Det finnes 210 forskjellige muligheter.
46 Uordnet utvalg uten tilbakelegging Nummererte kuler trekkes fra en urne. Rekkefølgen har ikke betydning. Kulen legges ikke tilbake før neste trekning. Fra ordnet utvalg uten tilbakelegging har vi (12): Vi har sett at k elementer kan arrangeres på k! måter. Siden rekkefølgen her ikke har betydning deler vi formelen over med k! og får: (13) Utrykket kalles for binominalkeffisienten. Eks: Vi trekker 3 nummererte kuler fra en urne med 7 kuler nummerert 1-7. Hvor mange muligheter finnes? Vi benytter () og får: Det finnes 35 muligheter. Eks: I Lotto skal du plukke ut 7 forskjellige tall av 34 mulige (vi ser bort fra tilleggstall). Vi får: Med 5.379.616 kombinasjoner er det ca. 10 ganger mindre sannsynlig at man treffer hovedgevinsten i Lotto enn i fotballtipping. Uordnet utvalg med tilbakelegging Nummererte kuler trekkes fra en urne. Rekkefølgen har ikke betydning. Kulen legges tilbake før neste trekning. Det er lite sannsynlig at du får bruk for dette avsnittet, men det er tatt med for fullstendighetens skyld. Vi har følgende relasjon: (14)
47 Eks: Vi trekker 3 nummererte kuler fra en urne med 7 kuler nummerert 1-7. Hvor mange muligheter finnes? Det er 84 muligheter. Binomisk fordeling Binomisk fordeling eller binomialfordeling er en diskret fordeling som håndterer hyppige forsøk med fast sannsynlighet. En binomisk sannsynlighetsmodell kan brukes dersom følgende tre kriterier er oppfylt: 1. Et forsøk består av at en hendelse inntreffer eller ikke inntreffer, altså kun to mulige utfall. F.eks: Om man får en 6 er ved et terningkast, eller ikke en 6 er. 2. Sannsynligheten, p, for at hendelsen skal inntreffe er den samme i alle forsøk. F.eks: Sannsynligheten for å få en 6 er når du kaster en terning er alltid, uavhengig av når og hvor du kaster terningen. 3. Forsøkene er uavhengige av hverandre, slik at resultatet fra et forsøk ikke virker inn på det neste. Dersom en stokastisk variabel, X, er binomisk fordelt, har X sannsynlighetsfunksjonen: n = antall forsøk p = sannsynligheten for å lykkes (få 6 er ved et terningkast) (1-p) = sannsynligheten for ikke å lykkes (ikke få 6 er) x (ofte r) = antall ganger man vil oppnå resultatet Binomialkoeffisienten: Binomialkoeffisienten hjelper oss med å finne antall kombinasjoner som er mulige når mengdene blir store, altså når det blir for tidkrevende å telle alle mulige kombinasjoner for hånd. der utropstegnet er fakultet-produktet, som betyr at man ganger tallet n med alle forestående ledd i tallrekka. F.eks: 6! = 6*5*4*3*2*1 = 30 Binomialkoeffisienten gir altså antall måter å plukke ut r uordnede utvalg fra totalt n mulige valg. og gode kalkulatorer vil ha en funksjon for dette, ofte merket C.
48 Eksempel: Dersom man kaster en terning 3 ganger, og sannsynligheten for å få en 6 er er en 6 er 2 ganger:, blir sannsynligheten for å få n = 3 (antall forsøk = antall kast) r = 2 (antall ganger man vil oppnå resultatet = antall ganger man vil få en 6 er) p = (sannsynligheten for å få en 6 er) (1-p) = 1 - = (sannsynligheten for ikke å få en 6 er) Forventningsverdien til X er: -gjennomsnittet av utfallene vil nærme seg forventningen E(X) = np Variansen til X er: - et mål på variasjon Var (X) = np(1-p) Standardavviket til X er: - et mål for spredningen av verdiene Tilleggsinformasjon: Stokastisk variabel: En stokastisk variabel er en funksjon som tilordner verdier til elementer i utfallsrommet til et tilfeldig eksperiment. F.eks: en stokastisk variabel kan beskrive utfallet av et terningkast og de mulige utfallene er da elementene i mengden {1,2,3,4,5,6}. Eksempel: En terning kan gi 6 mulige utfall. Dette gir utfallsrommet S = { 1,2,3,4,5,6 }. Det innføres en X som representer dette utfallsrommet før terningen kastes. X er foreløpig bare funksjonen X, men vi vet før kastet hvilke ulike verdier X kan ta. Derfor kalles den en stokastisk variabel, den kan anta en av flere ulike verdier, men det er før forsøket er utført uvisst hvilken. Hvis X er en funksjon, og x er et måleresulatat, vil utrykket X = x bety at X antar verdien x. For hvert utfall (kast) knyttes X til en enkelt verdi fra utfallsrommet.
49 Konstruksjon av trekanter Når vi konstruerer figurer må vi alltid huske tre ting: 1. Tegne skisse/hjelpefigur av trekanten. 2. Konstruere trekanten. 3. Skrive en forklaring til konstruksjonen. Her er et eksempel på hvordan det burde gjøres: For å konstruere vinklene du trenger i en trekant kan de følgende fremgangsmåtene være nyttige:
50 90 graders vinkel 1. Tegn en linje og merk av et punkt A på linja. 2. Sett passeren i A og slå en bue/halvsirkel som skjærer linja i to punkter, en på hver side av A. 3. Slå sirkelbuer fra hvert av de to skjæringspunktene med linja slik at de skjærer hverandre over A. Husk samme passeråpning 4. Trekk linja gjennom skjæringspunktet for sirkelbuene og A. Du har nå konstruert en vinkel på grader. 60 graders vinkel 1. Tegn en linje og merk av et punkt A på linja. 2. Sett passerspissen i A og slå en bue som skjærer linja. Kall skjæringspunktet med linja for B. Ikke endre på passeråpningen etter du har laget buen. 3. Sett passerspissen i B og slå en bue med samme passeråpning som på forrige punkt. Kall skjæringspunktet med buen for C. 4. Trekk linjestykket AC. Du har nå konstruert en vinkel på 60 grader.
51 Halvering av vinkel 1. Tegn en vinkel med hjørne i P. Sett passerspissen i P og slå en bue som skjærer begge vinkelbeina. Kall skjæringspunktene for A og B. 2. Sett passerspissen først i A og slå en liten sirkelbue mellom de to vinkelbeina. Gjenta i punkt B med samme passeråpning. Pass på at buene skjærer hverandre. Vi kaller dette skjæringspunktet for C. 3. Trekk halveringslinjen fra P gjennom skjæringspunktet C. Halveringslinjen deler vinkelen i to like store vinkler. 4. Halvere 60 gir 30 vinkel, halvere mellom 60 og 90 gir 75 vinkel,osv. Midtnormal 1. Tegn et linjestykke AB 2. Sett passerspissen i A og slå en sirkelbue. Gjør det samme i B. Husk samme passeråpning. Pass på at passeråpningen blir så stor at buene skjærer hverandre. 3. Trekk en linje gjennom de to skjæringspunktene til sirkelbuene. Denne linja er midtnormalen til linjestykket AB.
52 Normal fra et punkt til en linje 1. Tegn linje I og merk av et punkt P over linja. 2. Sett passerspissen i P og slå en sirkelbue slik at du får to skjæringspunkter med I. 3. Slå sirkelbuer fra hvert av skjæringspunktene slik at du får et nytt skjæringspunkt på motsatt side. Husk samme passeråpning. 4. Trekk linja mellom skjæringspunktet og P. Linja er normalen fra P til I.