DEFINISJON. (Data-avhengig triangulering) En triangulering AÂPÃ, P = ÆÂx i,y i,z i ÃÇ, der valg av sidekanter i A avhenger av funksjonsverdiene
|
|
- Jorun Hagen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 (Daa Dependen Triangulaions) DEFINISJON. (Daa-avhengig riangulering) En riangulering AÂPÃ, P = ÆÂx i,y i,z i ÃÇ, der valg av sidekaner i A avhenger av funksjonsverdiene F = Æz i Ç. (Æz i Ç er ypisk høydeverdiene il nodene i AÂPÃ) Dee er forskjellig fra Delaunay-rianguleringer der valg av sidekaner ble gjor eer (ekvivalene) krierier som var definer i plane. 1. Moivasjon 2. Opimale rianguleringer (revisied) 3. Generell maemaisk modell 4. Daa-avhengige swappe-krierier 5. LOP og varianer av denne 6. Simuler sørkning (Simulaed Annealing) 7. Eksempler 1
2 Gi en riangulering AÂPÃ, P = Æp i Ç Ana a alle p i = Âx i, y i Ã, i = 1, u,n i P har en assosier reell (høyde-)verdi z i. Ana a ÆÂx i,y i,z i ÃÇ er sample fra en underliggende funksjon (flae) F. La f A 5 S 1 0 ÂAà være en approximasjon il F definer som den enydige sykkevise lineære funksjonen som er e lineær polynom over hver rekan T i in A og som inerpolerer ÆÂx i,y i,z i ÃÇ, f A Ti 5 E1, f A Âx i, y i à = z i, i = 1, u,n, der E1 er romme av lineære polynomer. De er opplag a f A avhenger av valg av A. 2
3 Tesfunksjon Skal se på approksimasjoner il: y x F 1 Âx,yà = ÂanhÂ9y? 9xà + 1Ã/9. F 1 Âx, yã er gla Observasjon: Reningsderivere i reningen u = Â1,1Ã: Âf x, f y à 6 Â1,1à = 0 Â1, 1à f xx f xy f xy f yy Â1,1à = 0 Førse og andre reningsderivere il F 1 Âx,yà i reningen u = Â1,1à er null over al. 3
4 Sampler i e uniform grid over Ä0,1Å ¼ Ä0,1Å (a) (b) Delaunay-riangulering A og f A Âx,yà Daaavhengig riangulering A v og f A v Âx,yà (ABN & L1 & LOP) 4
5 Observasjoner: Sammenligner A med A v og f A Âx,yà med f A v Âx,yÃ: A er ikke likevinkle slik som Delaunay v Trekanene i A er langsrake i reninger u hvor v 2 / F 1 Âx,yà er lien. / 2 u Trekanene i A v er ynne i reninger u hvor /2 F 1 Âx,yà er sor. / 2 u f v A Âx, yã gjenspeiler bedre glaheen i F 1 Âx, yã (rikigere nivåkurver) f v A Âx, yã er rolig en bedre approksimasjon il F 1 Âx, yã X Ä0,1żÄ0,1Å f v A Âx, yã? F 1 Âx,yà dxdy Konklusjon: Må se eer andre krierier enn Delaunay, og algorimer for å konsruere A v. 5
6 Recall: Delaunay-rianguleringer En Delaunay-riangulering av e punkse P = ÆÂx i,y i,z i ÃÇ ble definer i plane uen å bruke funksjonsverdiene F = Æz i Ç: Til alle mulige rianguleringer k ÆA ÂPÃÇk=1,u ilordnes en indikaor-vekor: IÂA k à = ÂJ1, J2, u, JTÃ, Ji Jj, i < j, der Ji er den minse vinkelen i rekan T i. Sorerer k ÆIÂA ÂPÃÃÇk=1,u leksikografisk: a b IÂA à > IÂA à hvis J i a = J i b, i = 1, u,m? 1 og J m a > J m b av P DEFINISJON. Den opimale rianguleringen i er den med sørs indikaor-vekor. ÆA k ÂPÃÇk=1,u Dee definerer også MaxMin-vinkelkrierie DEFINISJON. (Delaunay-riangulering I) En riangulering av P som er opimal i henhold il MaxMin-krierie og som er definer på ConvÂPÃ, kalles en Delaunay-riangulering av P. 6
7 DEFINISJON. En sidekan E i kalles lokal opimal eer LOP. DEFINISJON. En riangulering A kalles lokal opimal hvis alle sidekaner i A er lokal opimale (eer LOP). LOP med MaxMin-krierie resulerer i en (enydig) global opimal riangulering, dvs. en Delaunay-riangulering, uanse i hvilken rekkefølge vi swapper kanene. d.v.s. en lokal opimal riangulering er også (allid) global opimal når vi bruker MaxMin-krierie (og de ekvivalene krieriene: sirkel-, og Voronoi). Men MaxMin krierie er de enese kjene krierie med denne egenskapen. 7
8 Daa-avhengige rianguleringer Defineres på ilsvarende måe som over eer opimalieskrierier, men: 1. Bruker andre lokale krierier (elemener i indikaor-vekoren) som avhenger av F = Æz i Ç 2. Den globale kosfunksjonen kan defineres på ulike måer 3. Bruker LOP og andre algorimer for å opimere kosfunksjonen (... og andre siden de nå blir vanskeligere å finne e god opimum). Vi skal kun se på sykkevise lineære funksjoner f A 5 S 1 0 ÂAà som inerpolerer F = Æz i Ç, d.v.s f A Âx i,y i à = z i, i = 1, u,v. 8
9 Generell maemaisk modell Konsruksjon av lokale og globale kosfunksjoner: Gi en vilkårlig riangulering AÂPà og daaverdier Æz i Ç Gi f A 5 S 1 0 ÂAà over A som definer idligere lokal kos câa,e i à il alle indre kaner i A. n (1) n (2) θ p 1 =(x 1,y 1,z 1 ) T Q Q 2 1 T 2 1 E i p 2 =(x 2,y 2,z 2 ) Eksempel på lokal kos, c ABN ÂA,E i à = S. Merk: c ABN ÂA,E i à måler glahe il f A Âx,yà langs E i Indikaor vekor: IÂAà = ÂcÂA, E 1 Ã, u,câa,e EI ÃÃ. 9
10 Kvalieen på A kan nå måles ved å måle IÂAà i en l p norm: Global kosfunksjon: C p ÂAà = > i=1 E I câa,e i à p, p = 1,2. Evn. C K ÂAà = max Ei câa, E i Ã. Ulike rianguleringer av P kan nå sammenlignes ved å sammenligne global kos. Den opimale rianguleringen av alle mulige rianguleringer av P er den med mins global kosfunksjon. Eksempel med c ABN ÂA, E i Ã: Den opimale rianguleringen gir en f A Âx,yà som er gla! 10
11 Swapping (lokal berakning): Anar a kun geomerisk info. om T k og T l som deler E i brukes i câa,e i à Effeken av å swappe en kan kan måles lokal: 1 Ei 2 E i T k E i 4 E i T l 3 E i A A v ved å swappe en kan E i Den globale kosfunksjonen C p ÂAà vil ikke minke hvis: 4 câa,e i à p k + > câa,e i à p < câa,e v v i à k=1 (A er mer opimal enn A v.) p 4 + > k=1 câa v,e i k à p Hvis ulikheen over holder, eller hvis E i ikke kan swappes, sier vi a E i er lokal opimal. Hvis alle kaner i A er lokal opmale sier vi a A er en lokal opimal riangulering. 11
12 LOP med vilkårlige swapping-krierier Algorihm (LOP) 1. Make an arbirary legal riangulaion A of a poin se P. 2. If A is locally opimal, ha is, if he inequaliy holds for all inerior edges in A, STOP. 3. Le E i be an inerior edge of A which is no locally opimal. 4. Swap E i o E i v, ransforming A o A v. 5. Le A := A v. 6. GOTO 2. Naurlig å sare med en Delaunay riangulering Som Delaunay, men vilkårlige krierier i Sep 3. For hver swap vil den globale kosfunksjonen minke >> Siden anall rianguleringer er endelig, konvergerer LOP il e lokal minimum. MEN: Generel ikke il e global minimum og resulae er avhengig av i hvilken rekkefølge vi swapper kanene. 12
13 Daaavhengige swappe-krierier Ulike lokale kosfunksjoner câa, E i à ilordne kanene i A brukes i den globale kosfunksjonen: C p ÂAà = > E I câa,e i à p, p = 1,2. i=1 n (1) n (2) θ p 1 =(x 1,y 1,z 1 ) T Q Q 2 1 T 2 1 E i p 2 =(x 2,y 2,z 2 ) Bruker 3D geomerisk informasjon om T 1 og T 2 som deler E i Q i Âx,yà = a i x + b i y + c i, i = 1,2. Planene Q 1 og Q 2 er resriksjonen il f A Âx,yà il T 1 and T 2. 13
14 Angle beween normals (ABN) Normalvekorer n Â1à og n Â2à il Q 1 og Q 2 : der n Âià = nx Âià ¼ ny Âià = Â?a i,?b i,1ã, i = 1,2. nx Âià = Â1, 0, /Q i //xã = Â1,0,a i à og ny Âià = Â0, 1, /Q i //yã = Â0,1,b i Ã. c ABN ÂA, E i à = S = cos?1 n Â1à 6 n Â2à qn Â1à q 2 qn Â2à q 2 = cos?1 a 1 a 2 + b 1 b Âa b ÃÂa b Ã. Måler vinkelen mellom Q 1 og Q 2. Siden c ABN ÂA,E i à måler glahe lokal langs E i, vil LOP erminere med en A som er gla. Trianguleringen i førse eksempele ble generer med: x c ABN ÂA, E i Ã, x l 1 norm og x LOP. 14
15 Jump in normal derivaive (JND) n (1) n (2) θ p 1 =(x 1,y 1,z 1 ) T Q Q 2 1 T 2 1 E i p 2 =(x 2,y 2,z 2 ) Måler differanse i reningsderivere normal på E i : La n = Ân x, n y à være en enhesvekor i plane som er orhogonal på E i. Derivere av Q i Âx,yà in reningen n: /Q i //n = 4Q i 6 n = Â/Q i //x, /Q i //yã 6 Ân x,n y à = Âa i n x + b i n y Ã. Lokal kosfunksjon: c JND ÂA,E i à = /Q 1 //n? /Q 2 //n = Âa 1? a 2 Ãn x? Âb 1? b 2 Ãn y. 15
16 Deviaions from linear polynomials (DLP) n (1) n (2) θ p 1 =(x 1,y 1,z 1 ) T Q Q 2 1 T 2 1 E i p 2 =(x 2,y 2,z 2 ) Generell form: c DLP ÂA,E i à = Q 1 Âx 2, y 2 Ã? z 2 Q 2 Âx 1, y 1 Ã? z 1. Måler verikal avsand mellom Q 1 og p 2, og mellom Q 2 og p 1, i en norm q6q. Diskre l p norm gir: c DLP ÂA, E i à =  Q 1 Âx 2,y 2 Ã? z 2 p + Q 2 Âx 1,y 1 Ã? z 1 p à 1/p med p = 1 eller p = 2. 16
17 Disance from planes (DFP) n (1) n (2) θ p 1 =(x 1,y 1,z 1 ) T Q Q 2 1 T 2 1 E i p 2 =(x 2,y 2,z 2 ) Ersaer verikale avsander i (DLP) med normal-avsandene fra p 2 og p 1 il Q 1 og Q 2. Generell form: c DFP ÂA, E i à = disâq 1,p 2 à disâq 2,p 1 Ã. Avsanden mellom QÂx, yã = ax + by + c og p l = Âx l,y l,z l à er gi ved disâq,p l à = QÂx l,y l Ã? z l /Âa 2 + b 2 1Ã1/2 +. Diskre l p norm gir: c DFP ÂA,E i à = ÂdisÂQ 1,p 2 à p + disâq 2,p 1 à p à 1/p med p = 1 eller p = 2. 17
18 Smoohness of conours (SCO) Q 1 Q 2 E i l 1 l 2 γ v(1) v (2) SCO Q h Opimerer glahe av nivåkurver (koer) på f A Âx,yà Siden f A Âx, yã er sykkevis lineær, er også koene sykkevis lineære. La l 1 og l 2 være (horisonale) skjeringslinjer mellom e horisonalplan Q h og Q i, i = 1,2 La v Â1à og v Â2à være hor. normal vekorer il l 1 og l 2 v Â1à og v Â2à har samme reninger som projeksjonene av n Â1à og n Â2à under ABN ned i horisonalplane Vi får: v Â1à = Â?a 1,?b 1,0à og v 2 = Â?a 2,?b 2, 0Ã. La L være vinkelen mellom v Â1à og v Â2à 18
19 Lokal kosfunksjon: c SCO ÂA,E i à = L = cos?1 v Â1à 6 v Â2à qv Â1à q 2 qv Â2à q 2 = cos?1 a 1 a 2 + b 1 b 2 Âa b 1 2 ÃÂa b 2 2 Ã. Ekvivalen med c ABN ÂA, E i à når E i er verikal. Hvis vi roerer A il E i er horisonal vil L øke, men S i ABN er invarian. Unngår skarpe kaner i flae områder og dermed penere konurkar. 19
20 En digresjon 0 La f A være en funksjon i S 1ÂAà som inerpolerer daa-verdiene Æf i Ç. Definerer e krierium (roughness crierion) som en Sobolev semi-norm: der R r Âf A à = > f A Ti,1 T i=1 2 2 f A Ti,1 = X Ti /f A /x 2 + /f A /y 2 dxdy. Overraskende: Hvis vi minimerer R r Âf A k à over alle mulige rianguleringer A k ÂPà får vi en Delaunay-riangulering!!! R r Âf A à er dermed ikke e daa-avhengig krierium!!! 20
21 Eksempel: Sample fra en bil Delaunay 21
22 Observasjon: SCO, l 1, LOP Glaere f A Âx, yã Trekanene srekker seg langs feaures i den fysiske modellen. Men, forsa noen faslåse rekaner med høy lokal kos. 22
23 Noen konklusjoner: Alle de lokale kosfunksjonene er e mål for glahe av f A langs en kan E i. Alle har verdi null dersom Q 1 = Q 2, dvs. dersom T 1 og T 2 ligger i samme plane. JND and DFP er kun definer for f A Âx, yã : R 2 R. De andre krieriene kan brukes for rianguleringer i 3D, Âf A : R 2 R 3 Ã. Ofe er de lien visuell forskjell mellom ulike lokale kosfunksjoner. De finnes også andre lokale kosfunksjoner, f. eks. baser på (diskree) kurvaurmål og man kan lage varianer av de over. Valg av kosfunksjon avhenger av applikasjonen. 23
24 Implemenasjon av LOP Må ha en daasrukur med opologi for å kunne swappe effekiv. Kan f. eks. sare med en Delaunay riangulering Alle indre kaner represeneres i vilkårlig rekkefølge i en lineær array AÂE I Ã. AÂE I Ã gjennomløpes flere ganger hel il ingen kaner kan swappes i hh. câa, E i Ã. (dvs. il alle kaner er lokal opimale) Enkel å implemenere! Mege rask!! (konvergerer vanligvis eer noen få ierasjoner)!! Alernaiv: v AÂE IÃ inneholder kun de kaner som il enhver id ikke er lokal opimale. 24
25 MLOP (Modified LOP) Moivasjon: Resulae fra LOP avhenger av i hvilken rekkefølge vi swapper kaner. MLOP-algorimer velger ulike sraegier for rekkefølge av swaps. Eksempler: 1. Priorieskø : swapper den kanen som gir sørs reduksjon i den globale kosfunksjonen C p ÂAÃ. 2. Swapper den kanen som eerlaer fles swap-bare kaner il nese ierasjon av LOP. 25
26 Kommenarer: LOP & MLOP: Når algorimen erminerer kan de forsa være mange kaner med relaiv høy kos som ikke kan swappes (dvs. diagonaler i ikke-konvekse kvadrilaeraler). Bidrar il dårlig approksimasjon og synlig på konurer og shading av flaen Alernaiv 1 over gir ofe dårligere opimum. Årsak: Kaner med høy lokal kos blir frosse fas idlig og hindrer a andre kaner kan swappes. MERK: Kun gode swaps er lovlig, d.v.s. slik a den globale kosfunksjonen minker!!! jfr. Simuler herding... 26
27 Simuler herding Vi skal nå også illae dårlige swaps!!! Moivasjon: (a) (b) E 1 E 2 E 1 E 2 (c) E 1 E 2 Ana: A a er lokal opimal (eer LOP) med global kos C p ÂA a à câa a, E 1 à er relaiv høy (og kan ikke swappes) E 1 represenerer en (uønske) skarp kan. Swapper som følger: 1. Dårlig swap av E 2 il E 2 v gir A b, med C p ÂA b à > C p ÂA a à 2. Swap av E 1 il E 1 v gir A c s.a. C p ÂA c à < C p ÂA a à 27
28 Dee moiverer bruk av Simuler herding som alernaiv il LOP. Generell meode for å løse kombinaoriske opimeringsproblemer. F.eks. The Traveling Salesman Problem Analog il emodynamiske prosesser i nauren; f. eks. hvordan mealler avkjøles og sørkner: Samspill mellom energi og emperaur: Energien minker eer som emperauren minker. MEN: De er allid en viss sannsynlighe for a energien øker. Sannsynligheen blir mindre med minkende emperaur. En sake avkjøling fører oss nærmere e global minimum. 28
29 Simuler herding og rianguleringer La den globale kosfunksjonen C p ÂAÃ svare il energi La dårlige swaps svare il økning i energi som er mes sannsynlig ved høye emperaurer. Lager e minkende emperaurforløp (annealing schedule): 1 > 2 > ` > nemps > 0. Prinsipp: Velger en random sidekan E i i hver sep. Dersom C p ÂAÃ minker ved å swappe E i, så swappes E i (slik som i LOP) Hvis C p ÂAÃ øker, kan også E i swappes ( dårlig swap ): Men, sannsynligheen minker med minkende emperaur og med endring i C p ÂAÃ 29
30 Algorihm (Simulaed Annealing) 1. do k = 1, u,nemps 2. k = r k 0, 0 < r < 1, e.g., r = do l = 1, u, nlimi 4. while he number of good swaps glimi 5. le A be he curren riangulaion; and choose a random edge E i in A 6. if E i is swapable 7. le A be he resul of swapping E v i ; and le d = C p ÂA v Ã? C p ÂAÃ 8. if d < 0, i.e., if he global cos decr. 9. swap E i ( good swap ) 10. else 11. choose a random number S 5 Ä0, 1Å 12. if S e?d/ k 13. swap E i ( bad swap ) 14. endif 15. endif k Probabiliy of making bad swaps 30
31 Kommenarer: e?d/ k i Sep 12 svarer il Bolzmann s sannsylighesfordeling i ermodynamikk Merk: glimi konrollerer anall lovlige gode swaps ved hver emperaur: > Hvis vi seer glimi for høy, svarer dee il e ermodynamisk sysem som kjøles ned for rask. jfr. MLOP med alernaiv 1 over. Resula: Dårligere (lokal) opimum. Samme effek kan observeres hvis 0 sees for lav. Simuler herding er mye regere enn LOP Sensiiv overfor valg av paramere Bruk brukerinerface og polling-funksjon i indre løkke! 31
32 Eksempler: Sarer med en Delaunay riangulering. (a) (b) SIMAN, ABN, l 1 LOP, ABN, l 1 32
33 SIMAN, SCO, l 1 Lien visuell forskjell på nivåkurvene Men flere rekaner er langsrake i reninger hvor den andrederivere er lien > Dee indikerer a f A Âx, yã med A fra simuler herding er en bedre approksimasjon mål med: X f A Âx,yÃ? FÂx,yà dxdy. 33
Data-avhengige trianguleringer
Data-avhengige trianguleringer Øyvind Hjelle oyvindhj@simula.no, +47 67 82 82 75 Simula Research Laboratory, www.simula.no October 5, 2009 Definition (Data-avhengig triangulering) En triangulering (P),
DetaljerKlassisk teori: Optimale trianguleringer og Delaunay-trianguleringer. Voronoi-diagram og Delaunay trianguleringer. Delaunay-trianguleringer:
Klassisk eori: Opimale rianguleringer og Delaunay-rianguleringer Voronoi-diagram og Delaunay rianguleringer Delaunay-rianguleringer: 1. Lokale egenskaper 2. Globale egenskaper Skal bruke dee il algorimekonsruksjon
DetaljerTopologiske operatorer og operasjoner, G-maps. Presentasjon og analyse av datastrukturer. Kort om objekt-orientert implementasjon
Kor om grafer Topologiske operaorer og operasjoner, G-maps Presenasjon og analyse av daasrukurer Kor om objek-oriener implemenasjon Grafer DEFINISJON. En graf GÂV, EÃ besår av e se noder V og e se kaner
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO De maemaisk-naurvienskapelige fakule Eksamen i INF3320 Meoder i grafisk daabehandling og diskre geomeri Eksamensdag: 2. desember 2009 Tid for eksamen: 14.30 17.30 Oppgavesee er på
Detaljerav Erik Bédos, Matematisk Institutt, UiO, 25. mai 2007.
Om den diskree Fourier ransformen av Erik Bédos, Maemaisk Insiu, UiO,. mai 7. Vi lar H beegne indreproduk romme som besår av alle koninuerlige komplekse funksjoner definer på inervalle [, π] med indreproduke
DetaljerLøsning: V = Ed og C = Q/V. Spenningen ved maksimalt elektrisk felt er
Gruppeøving 6 Elekrisie og magneisme Flervalgsoppgaver 1. Dersom en kondensaor har en kapasians på på 7.28 µf, hvor mye må plaene lades opp for a poensialdifferansen mellom plaene skal bli 25.0 V?. 15
DetaljerINF-MAT5370. Trianguleringer i planet (Preliminaries)
INF-MAT5370 Trianguleringer i planet (Preliminaries) Øyvind Hjelle oyvindhj@simula.no, +47 67 82 82 75 Simula Research Laboratory, www.simula.no August 23, 2009 Innhold Notasjon og terminologi Graf-egenskaper
DetaljerBeskjeder. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering
Beskjeder MAT1030 Diskre maemaikk Forelesning 25: Trær Dag Normann Maemaisk Insiu, Universiee i Oslo 23. april 2008 Roger har bed meg gi følgende beskjeder: 1 De mese av plenumsregningen i morgen, 24/4,
DetaljerForelesning 26. MAT1030 Diskret Matematikk. Trær med rot. Litt repetisjon. Definisjon. Forelesning 26: Trær. Roger Antonsen
MAT1030 Diskre Maemaikk Forelesning 26: Trær Roger Anonsen Insiu for informaikk, Universiee i Oslo Forelesning 26 5. mai 2009 (Sis oppdaer: 2009-05-06 22:27) MAT1030 Diskre Maemaikk 5. mai 2009 2 Li repeisjon
DetaljerForelesning 25. Trær. Dag Normann april Beskjeder. Oppsummering. Oppsummering
Forelesning 25 Trær Dag Normann - 23. april 2008 Beskjeder Roger har bed meg gi følgende beskjeder: 1 De mese av plenumsregningen i morgen, 24/4, blir avleregning, slik a sudenene ikke kan belage seg på
DetaljerEksamen R2, Hausten 2009
Eksamen R, Hausen 009 Del Tid: imar Hjelpemiddel: Vanlege skrivesaker, passar, linjal med cenimeermål og vinkelmålar er illane. Oppgåve a) Deriver funksjonen f x x sinx Vi bruker produkregelen for derivasjon
DetaljerMAT1030 Forelesning 26
MAT030 Forelesning 26 Trær Roger Anonsen - 5. mai 2009 (Sis oppdaer: 2009-05-06 22:27) Forelesning 26 Li repeisjon Prims algorime finne de minse uspennende ree i en veke graf en grådig algorime i den forsand
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Oppgave 1 OpenGL (vekt 1 5 )
UNIVERSITETET I OSLO De maemaisk-naurvienskapelige fakule Eksamen i INF3320/INF4320 Meoder i grask daabehandling og diskre geomeri Eksamensdag: 7. desember 2007 Tid for eksamen: 14:30 17:30 Oppgavesee
Detaljer(x 0,y 0,0) α. Oppgave 3. Ved tiden t har vi følgende situasjon: α = ω1t β = ω2t
Oppgave 3 Ve ien har vi følgene siuasjon: oer vinkel om aksen parallell me -aksen: oer vinkel om aksen l: β l,, Punkes koorinaer ve ien kan besemmes ve hjelp av følgene serie av basisransformasjoner. ransformasjonene
DetaljerBevegelse i én dimensjon (2)
Beegelse i én dimensjon () 5..6 Daa-lab i dag: Hjelp med Pyhon / Malab insallasjon Førse skri Oblig er lag u: hp://www.uio.no/sudier/emner/mana/fys/fys-mek/6/maeriale/maeriale6.hml Innleeringsfris: Tirsdag,
DetaljerStyring av romfartøy STE6122
Syring av romfarøy STE6122 3HU -. 1LFNODVVRQ Høgskolen i Narvik Høs 2000 Forelesningsnoa 12 1 %UXN DY UHDNVMRQVWUXVWHUH Reaksjonsrusere benyes ved banekorreksjoner, for dumping av spinn og il akiv regulering
DetaljerAliasing: Aliasfrekvensene. Forelesning 19.februar Nyquist-Shannons samplingsteorem
Forelesning 9.februar 24 Delkapilene 4.4-4.6 fra læreboken, 4.3 er il selvsudium. Repeisjon om sampling og aliasing Diskre-il-koninuerlig omforming Inerpolasjon med pulser Oversamling bedrer inerpolasjon
DetaljerTrianguleringer i planet.
Trianguleringer i planet. Preliminaries Notasjon og teminologi Graf-egenskaper med trianguleringer i planet Enkle trianguleringsalgoritmer 1 Punkter og domener. Vi starter med et sett punkter i planet
DetaljerINF-MAT5370. Delaunay-trianguleringer og Voronoi-diagram
INF-MAT5370 Delaunay-trianguleringer og Voronoi-diagram Øyvind Hjelle oyvindhj@simula.no, +47 67 82 82 75 Simula Research Laboratory, www.simula.no September 7, 2009 Innhold Klassisk teori Optimale trianguleringer
DetaljerGo to and use the code Hva var viktig i siste forelesning? FYS-MEK
Go o www.meni.com and use he code 65 37 7 Ha ar ikig i sise forelesning? FYS-MEK 111.1.18 1 FYS-MEK 111.1.18 Beegelse i én dimensjon ().1.18 Ukesoppgaer og oblig 1 er lag u: hp://www.uio.no/sudier/emner/mana/fys/fys-mek111/18/maeriale/maeriale18.hml
DetaljerNewtons lover i to og tre dimensjoner
Newons loer i o og re dimensjoner 3..4 Innleering: på papir på ekspedisjonskonore: bruk forsiden elekronisk på froner én pdf fil nan på førse side egenerklæring med signaur innleeringsboks på ekspedisjon
DetaljerSkjulte Markov Modeller
CpG øy Skjule Markov Modeller år CG er eer hverandre i en DA sekvens vil C ofe muere il T ved meylase. (kalles ofe CpG for å ikke forveksles med pare C-G i o DA råder). CpG dinukleoiden forekommer mye
DetaljerKort om ny reguleringskurvelogikk. Trond Reitan 19/8-2013
Kor om ny reguleringskurvelogikk Trond Reian 19/8-2013 Hensik Hensiken med en reguleringskurver er å angi sammenhengen mellom en angi minimumsvannføring (apping) og nødvendig magasinvolum på årlig basis.
DetaljerKrefter og betinget bevegelser Arbeid og kinetisk energi 19.02.2013
Krefer og beinge beegelser Arbeid og kineisk energi 9..3 YS-MEK 9..3 obligaoriske innleeringer programmering er en esenlig del a oppgaen i kan ikke godkjenne en innleering uen programmering analyiske beregninger
DetaljerLøsningsforslag øving 6, ST1301
Løsningsforslag øving 6, ST1301 Oppgave 1 Løse Euler-Loka ligningen ved ruk av Newon's meode. Ana a vi har en organisme med maksimal alder lik n år. Vi ser kun på hunnene i populasjonen. La m i være anall
DetaljerNewtons lover i to og tre dimensjoner 09.02.2015
Newons loer i o og re dimensjoner 9..5 FYS-MEK 3..4 Innleering Oblig : på grunn a forsinkelse med deilry er frisen usa il onsdag,.., kl. Innleering Oblig : fris: mandag, 6.., kl. Mideiseksamen: 6. mars
Detaljer1 Trigonometriske Funksjoner Vekt: 1. 2 Trigonometriske Funksjoner Vekt: 1
OPPGAVER TIL FORELESNINGSUKE NUMMER Ukeoppgavene skal leveres som selvsendige arbeider. De forvenes a alle har sa seg inn i insiues krav il innlevere oppgaver: Norsk versjon: hp://www.ifi.uio.no/sudinf/skjemaer/erklaring.pdf
DetaljerOppgave 1. = 2(1 4) = 6. Vi regner også ut de andre indreproduktene:
Løsning Eksamen i ELE 379 Maemaikk Valgfag Dao 7. juni 26 kl 9-4 Dee e e foreløpig løsningsforslag som ikke er komple. De skal ikke publiseres i denne form. Oppgave. (a) Vi ve a kolonnevekorene il A er
DetaljerNewtons lover i to og tre dimensjoner
Newons loer i o og re dimensjoner 8..16 Innleeringsfris oblig 1: Tirsdag, 9.Feb. kl.18 Innleering kun ia: hps://deilry.ifi.uio.no/ Fellesinnleeringer (N 3): Alle må bidra il besarelsen i sin helhe. Definer
DetaljerRepetisjon 20.05.2015
Repeisjon 0.05.015 FYS-MEK 1110 0.05.015 1 Eksamen: Onsdag, 3. Juni, 14:30 18:30 Tillae hjelpemidler: Øgrim og Lian: Sørrelser og enheer i fysikk og eknikk eller* Angell, Lian, Øgrim: Fysiske sørrelser
DetaljerLøsningsforslag. Fag 6027 VVS-teknikk. Oppgave 1 (10%) Oppgave 2 (15%)
Fag 67 VVS-eknikk Eksamen 8. mai 998 Løsningsforslag Oppgave (%) (NR = Normalreglemene, ekniske besemmelser,.ugave, 99) Nødvendig akareal som skal dreneres pr. aksluk faslegges, ofe avhengig av akes fallforhold.
DetaljerØving 1: Bevegelse. Vektorer. Enheter.
Lørdagsverksed i fysikk. Insiu for fysikk, NTNU. Høsen 007. Veiledning: 8. sepember kl :5 5:00. Øving : evegelse. Vekorer. Enheer. Oppgave a) Per løper 800 m på minuer og 40 sekunder. Hvor sor gjennomsnisfar
DetaljerINF 2310 Digital bildebehandling. Hva er segmentering? forelesning nr 11 12/ Segmentering av bilder. To segmenterings-kategorier
INF 310 Digial bildebehandling forelesning nr 11 1/4 005 Segmenering av bilder Dagens ema: - Ikke-koneksuell erskling Lieraur: Efford, DIP, kap. 10.1-10. Friz Albregsen Deparmen of Informaics Universiy
DetaljerSpesialisering: Anvendt makro 5. Modul
Spesialisering: Anvend makro 5. Modul 1.B Lineære regresjonsmodeller og minse kvadraers meode (MKM) Drago Berghol Norwegian Business School (BI) 10. november 2011 Oversik I. Inroduksjon il økonomeri II.
DetaljerAlgoritmer for Delaunay-triangulering
Algoritmer for Delaunay-triangulering Øyvind Hjelle oyvindhj@simula.no, +47 67 82 82 75 Simula Research Laboratory, www.simula.no September 21, 2009 Innhold Algoritmer 1 En enkel algoritme 2 Radial Sweep
Detaljer, og dropper benevninger for enkelhets skyld: ( ) ( ) L = 432L L = L = 1750 m. = 0m/s, og a = 4.00 m/s.
eegelse øsninger på blandede oppgaer Side - Oppgae Vi kaller lengden a en runde for Faren il joggerne er da: A = m/s = m/s 6 6 + 48 48 = m/s = m/s 7 6 + 4 Når de møes, ar de løp like lenge Da er + 5 m
DetaljerTillatte hjelpemidler: Lærebok og kalkulator i samsvar med fakultetet sine regler
UNIVERSITETET I BERGEN De maemaisk-naurvienskapelige fakule Eksamen i emne MT11 Brukerkurs i maemaikk Mandag 15. desember 8, kl. 9-14 BOKMÅL Tillae hjelpemidler: Lærebok og kalkulaor i samsvar med fakulee
DetaljerINF april 2017
IN 310 19. april 017 Segmenering ved erskling Global erskling Kap 10.3 Generelle hisogramfordelinger og klassifikasjonsfeil To populære ersklingsalgorimer ruken av kaner, og effeken av søy og glaing Lokal
DetaljerRepetisjon
Repeisjon 19.05.014 FYS-MEK 1110 19.05.014 1 Eksamen: Tirsdag, 3. Jni, 9:00 13:00 Tillae hjelpemidler: Øgrim og Lian: Sørrelser og enheer i fysikk og eknikk eller* Angell, Lian, Øgrim: Fysiske sørrelser
DetaljerHarald Bjørnestad: Variasjonsregning en enkel innføring.
Haral Bjørnesa: Variasjonsregning en enkel innføring. Tiligere har vi løs oppgaven me å finne eksremalveriene ( maks./min. veriene) av en gi funksjon f () når enne funksjonen oppfyller beseme krav. Vi
Detaljerog ledelse av forsyningskjeder Kapittel 4 Del A - Prognoser SCM200 Innføring i Supply Chain Management
Logisikk og ledelse av forsyningskjeder Kapiel 4 Del A - Prognoser M200 Innføring i Suin Man Rasmus Rasmussen PREDIKSJON En prediksjon (forecas forecas) er en prognose over hva som vil skje i framiden.
DetaljerForelesning nr.9 INF 1410
Forelesning nr.9 INF 141 29 espons il generelle C- og -kreser 3.3.29 INF 141 1 Oversik dagens emaer Naurlig espons respons il generelle C- og -kreser på uni-sep funksjonen Naurlig og vungen respons for
Detaljer16.2 SKJÆR-FRIKSJON I UTSTØPTE FUGER
178 B16 SKJÆROVERFØRING Krafoverføringen kan være en kombinasjon av skjær-friksjon og dybelskjær. Ofe skal de overføres både srekk og skjær da anvendes ineraksjonsformler. I de flese ilfeller vil skjæroverføringen
DetaljerTillatte hjelpemidler: Lærebok og kalkulator i samsvar med fakultetet sine regler. 2 2x
UNIVERSITETET I BERGEN De maemaisk-naurvienskapelige fakule Eksamen i emne MT11 Brukerkurs i maemaikk Mandag 15. desember 8, kl. 9-14 BOKMÅL Tillae hjelpemidler: Lærebok og kalkulaor i samsvar med fakulee
DetaljerEksamensoppgave i FIN3006 Anvendt tidsserieøkonometri
Insiu for samfunnsøkonomi Eksamensoppgave i FIN3006 Anvend idsserieøkonomeri Faglig konak under eksamen: Kåre Johansen Tlf.: 73 59 19 36 Eksamensdao: 23. mai 2014 Eksamensid (fra-il): 6 imer (09.00 15.00)
DetaljerForelesning 14 REGRESJONSANALYSE II. Regresjonsanalyse. Slik settes modellen opp i SPSS
Forelesning 4 REGRESJOSAALYSE II Regresjonsanalyse Saisisk meode for å forklare variansen i en avhengig variabel u fra informasjon fra en eller flere uavhengige variabler. Eksempel: Kjønn Udanning Alder
DetaljerDiskretisering av tidsavhengig endimensjonal varmelikning
Disreisering av idsavhengig endimensjonal varmelining Forlengs Euler algorime (forward difference) Vi vil løse varmeliningen Ρ c T = T med grensebeingelser TH, L =, TH, L = og iniialbeingelse TH, L = Vi
DetaljerRepetisjon Eksamensverksted i dag, kl , Entropia
Repeisjon 30.05.016 Eksamensverksed i dag, kl. 1 16, Enropia Emneevaluering: dialogmøe nese uke (eer eksamen) a konak med meg hvis du vil være med vikig for oss å få ilbakemelding FYS-MEK 1110 30.05.016
DetaljerH Ø G S K O L E N I B E R G E N Avdeling for lærerutdanning
H Ø G S K O L E N I B E R G E N Avdeling for lærerudanning Eksamensoppgave Ny/usa eksamen høs 004 Eksamensdao: 07--004 Fag: NAT0-FY Naur og miljøfag 60sp. ALN modul fysikk 5 sp. Klasse/gruppe: UTS/NY/ALN
DetaljerYF kapittel 3 Formler Løsninger til oppgavene i læreboka
YF kapiel 3 Formler Løsninger il oppgavene i læreoka Oppgave 301 a E 0,15 l 0,15 50 375 Den årlige energiproduksjonen er 375 kwh. E 0,15 l 0,15 70 735 Den årlige energiproduksjonen er 735 kwh. Oppgave
DetaljerVirkninger av ubalansert produktivitetsvekst («Baumols sykdom»)
1 Jon Vislie; februar 2018 ECON 3735 vår 2018 Forelesningsnoa #2 Virkninger av ubalanser produkiviesveks («Baumols sykdom») I Forelesningsnoa #1 så vi på generelle likevekseffeker i en o-sekor-økonomi,
Detaljer16.2 SKJÆR-FRIKSJON I UTSTØPTE FUGER
Krafoverføringen kan være en kombinasjon av skjær-friksjon og dybelskjær. Ofe skal de overføres både srekk og skjær da anvendes ineraksjonsformler. I de flese ilfeller vil skjæroverføringen ofes være en
DetaljerSensorveiledning UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT. ECON 1310 Obligatorisk øvelsesoppgave våren 2012
Sensorveiledning UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT ECON 3 Obligaorisk øvelsesoppgave våren 22 Ved sensuren illegges alle oppgavene lik vek For å få godkjen besvarelsen må den i hver fall: gi mins
DetaljerVed opp -og utladning av kondensatorer varierer strøm og spenning. Det er vanlig å bruke små bokstaver for å angi øyeblikksverdier av størrelser.
4.4 INNE- OG TKOPLING AV EN KONDENSATO 1 4.4 INN- OG TKOPLING AV EN KONDENSATO Ved opp -og uladning av kondensaorer varierer srøm og spenning. De er vanlig å bruke små boksaver for å angi øyeblikksverdier
DetaljerSpesiell relativitetsteori
Spesiell relaivieseori 6.05.06 FYS-MEK 0 6.05.06 Einseins posulaene. Fysikkens lover er de samme i alle inerialsysemer.. Lyshasigheen er den samme i alle inerialsysemer, og er uavhengig av observaørens
DetaljerLevetid (varighet av en tilstand)
Leveid (varighe av en ilsand) Leveidsanalyse (survival analysis) Rosner.8-. av Sian Lydersen Forlesning 6 april 8 Eksempler: Tid il personen dør (mål fra fødsel, fra diagnose, fra behandling) Tid il en
DetaljerJernbaneverket. OVERBYGNING Kap.: 8 t Regler for prosjektering Utgitt:
e Hovedkonore Helsveis spor Side: 1 av 5 1 HENSIKT OG OMFANG... 2 2 KRAV... 3 2.1 Hovedspor... 3 2.1.1 Varig ufesing... 3 2.1.2 Minse kurveradius... 3 2.1.3 Ballas... 3 2.1.4 Sviller... 3 2.1.4.1 Svilleype...
DetaljerEt samarbeid mellom kollektivtrafikkforeningen og NHO Transport. Indeksveileder 2014. Indeksregulering av busskontrakter. Indeksgruppe 05.08.
E samarbeid mellom kollekivrafikkforeningen og NHO Transpor Indeksveileder 2014 Indeksregulering av busskonraker Indeksgruppe 05.08.2015 Innhold 1. Innledning...2 1.1 Bakgrunn...2 2 Anbefal reguleringsmodell
DetaljerInfoskriv ETØ-1/2016 Om beregning av inntektsrammer og kostnadsnorm for 2015
Infoskriv Til: Fra: Ansvarlig: Omseningskonsesjonærer med inneksramme Seksjon for økonomisk regulering Tore Langse Dao: 1.2.2016 Vår ref.: 201403906 Arkiv: Kopi: Infoskriv ETØ-1/2016 Om beregning av inneksrammer
DetaljerEksamensoppgave i TFY4190 Instrumentering
Insiu for fysikk Eksamensoppgave i TFY49 Insrumenering Faglig konak under eksamen: Seinar Raaen Tlf.: 482 96 758 Eksamensdao: 6. mai 27 Eksamensid (fra-il): 9: 3: Hjelpemiddelkode/Tillae hjelpemidler:
Detaljert [0, t ]. Den er i bevegelse langs en bane. Med origo menes her nullpunktet
FAO 9 Forberedelse il skoleprøve Del Prakisk bruk av inegral Oppgave parikkelfar Hasigheen il en parikkel ved iden er gi ved v () = i m/min. Tiden er ( + ) + regne i min, for angivelse av posisjon. [,
DetaljerLøsningsforslag til obligatorisk øvelsesoppgave i ECON 1210 høsten 06
Løsningsforslag il obligaorisk øvelsesoppgave i ECON 0 høsen 06 Oppgave (vek 50%) (a) Definisjon komparaive forrinn: Den ene yrkesgruppen produserer e gode relaiv mer effekiv enn den andre yrkesgruppen.
DetaljerSystem 2000 HLK-Relais-Einsatz Bruksanvisning
Sysem 2000 HLK-Relais-Einsaz Sysem 2000 HLK-Relais-Einsaz Ar. Nr.: 0303 00 Innholdsforegnelse 1. rmasjon om farer 2 2. Funksjonsprinsipp 2 3. onasje 3 4. Elekrisk ilkopling 3 4.1 Korsluningsvern 3 4.2
DetaljerEksamensoppgave i TFY4190 Instrumentering
Insiu for fysikk Eksamensoppgave i TFY49 Insrumenering Faglig konak under eksamen: Seinar Raaen Tlf.: 482 96 758 Eksamensdao:. juni 26 Eksamensid (fra-il): 9: 3: Hjelpemiddelkode/Tillae hjelpemidler: Alernaiv
DetaljerMAT Oblig 1. Halvard Sutterud. 22. september 2016
MAT1110 - Oblig 1 Halvard Sutterud 22. september 2016 Sammendrag I dette prosjektet skal vi se på anvendelsen av lineær algebra til å generere rangeringer av nettsider i et web basert på antall hyperlinker
DetaljerBetydning av feilspesifisert underliggende hasard for estimering av regresjonskoeffisienter og avhengighet i frailty-modeller
Beydning av feilspesifiser underliggende hasard for esimering av regresjonskoeffisiener og avhengighe i fraily-modeller Bjørnar Tumanjan Morensen Maser i fysikk og maemaikk Oppgaven lever: Mai 2007 Hovedveileder:
DetaljerStyring av romfartøy STE6122
Syring av romfarøy STE6122 3HU -. 1LFNODVVRQ Høgskolen i Narvik Høs 2000 Forelesningsnoa 8 1 6W\ULQJ RJ UHJXOHULQJ DY RULHQWHULQJ,, Nødvendig med nøyakig syring og/eller regulering av orienering i en rekke
Detaljer1. Betrakt følgende modell: Y = C + I + G C = c 0 + c(y T ), c 0 > 0, 0 < c < 1 T = t 0 + ty, 0 < t < 1
. Berak følgende modell: Y = C + I + G C = c 0 + c(y T ), c 0 > 0, 0 < c < T = 0 + Y, 0 < < Hvor Y er BNP, C er priva konsum, I er privae realinveseringer, G er offenlig kjøp av varer og jeneser, T er
DetaljerFYS3220 Oppgaver om Fourieranalyse
FYS3220 Oppgaver om Fourieranalyse Innhold Enkle fourieranalyse oppgaver... 1 1) egn frekvensspeker for e sammensa sinus signal... 1 2) Fra a n og b n il c n og θ... 2 Fourier serieanalyse... 2 3) Analyse
DetaljerLøsningsforslag for regneøving 3
Ulever: 3.mars 7 Løsningsforslag for regneøving 3 Oppgave : a Se opp ligning for spenningen over som funksjon av id, for. R v + - Kres Løsning: Beraker kresen førs: I iden før null vil spenningen over
DetaljerOppgaveverksted 3, ECON 1310, h14
Oppgaveverksed 3, ECON 30, h4 Oppgave I denne oppgaven skal du forklare de økonomiske mekanismene i hver deloppgave, men de er ikke men a du skal bruke id på å forklare modellen uover de som blir spur
DetaljerLevetid og restverdi i samfunnsøkonomisk analyse
Visa Analyse AS Rappor 35/11 Leveid og resverdi i samfunnsøkonomisk analyse Haakon Vennemo Visa Analyse 5. januar 2012 Dokumendealjer Visa Analyse AS Rapporiel Rappor nummer xxxx/xx Leveid og resverdi
DetaljerOm muligheten for å predikere norsk inflasjon ved hjelp av ARIMA-modeller
Om muligheen for å predikere norsk inflasjon ved hjelp av ARIMA-modeller av Kjell-Arild Rein Hovedfagsoppgave i samfunnsøkonomi Våren Insiu for økonomi Universiee i Bergen . INNLEDNING.. LITTERATUR 3.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 4. oktober 20 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerElgbeiteregistrering i Trysil og omegn 2005
Elgbeieregisrering i Trysil og omegn 2005 Fyresdal Næringshage 3870 Fyresdal Tlf: 35 06 77 00 Fax: 35 06 77 09 Epos: pos@fna.no Oppdragsgiver: Trysil og Engerdal Umarksråd Uarbeide av: -Lars Erik Gangsei
DetaljerForelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011. c) Hva er kritisk verdi for testen dersom vi hadde valgt et signifikansnivå på 10%?
Forelesning 4 og 5 MET59 Økonomeri ved David Kreiberg Vår 011 Diverse oppgaver Oppgave 1. Ana modellen: Y β + β X + β X + β X + u i 1 i i 4 4 i i Du esimerer modellen og oppnår følgende resulaer ( n 6
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT111 Prøveeksamen Eksamensdag: 5. juni 21. Tid for eksamen: 1. 13.3. Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
Detaljer6. mai 2018 MAT Obligatorisk oppgave 2 av 2 - Løsningsforslag
6. mai 218 MAT 24 Obligaoris oppgave 2 av 2 - Løsningsforslag Oppgave 1. La X være veorromme X = C([ 1, 1], R usyr med sup-norm. For j = 1,..., n, la a j R og la x j [ 1, 1]. La F : X R være definer ved
DetaljerArbeid og potensiell energi
Areid og poensiell energi 3.3.4 olig 5: midveis hjemmeeksamen forusening for å a slueksamen kreves individuell innlevering lir lag u mandag 3. mars innleveringsfris mandag. mars YS-ME 3.3.4 Areid-energi
Detaljerf (x) = a 0 + a n cosn π 2 x. xdx. En gangs delvisintegrasjon viser at 1 + w 2 eixw dw, 4 (1 + w 2 ) 2 eixw dw.
NTNU Institutt for matematiske fag Eksamen i TMA Matematikk M høsten 008 Løsningsforslag a Cosinusrekka til f blir av formen - 0 6 f (x a 0 + n0 a n cosn π x Vi har a 0 0, og a n R 0 f (xcosnπ xdx En gangs
DetaljerArbeid og kinetisk energi
Arbeid og kiisk energi..8 FYS-MEK..8 hp://pingo.upb.de/ access number: 63473 To isbåer, en med masse m og en med masse m, kjører på en friksjonsfri, horisonal, frossen innsjø. Begge båene sarer fra ro,
Detaljerx t + f y y t + f z , og t = k. + k , partiellderiverer vi begge sider av ligningen x = r cos θ med hensyn på x. Da får vi = 1 sin 2 θ r sin(θ)θ x
TMA4105 Matematikk 2 Vår 2015 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 5 Alle oppgavenummer refererer til 8. utgave av Adams & Essex Calculus:
DetaljerLøsningsforslag til øving 9 OPPGAVE 1 a)
Høgskole i Gjøvik vd for ek, øk og ledelse aemaikk 5 Løsigsforslag il øvig 9 OPPGVE ) Bereger egeverdiee: de I) ) ) ) Egeverdier: og ) ) Bereger egevekoree: vi ivi ii) vi ed λ : ) ) v Velger s som gir
Detaljer5.8 Iterative estimater på egenverdier
5.8 Iterative estimater på egenverdier Det finnes ingen eksplisitt formel for beregning av egenverdiene til en kvadratisk matrise. Iterative metoder som finner (ofte) en (meget god) approksimasjon til
DetaljerLøsningsforslag for Eksamen i MAT 100, H-03
Løsningsforslag for Eksamen i MAT, H- Del. Integralet cos( ) d er lik: Riktig svar: b) sin( ) + C. Begrunnelse: Vi setter u =, du = d og får: cos( ) d = cos u du = sin u + C = sin( ) + C. Integralet ln(
Detaljer3. Beregning av Fourier-rekker.
Forelesigsoaer i maemaikk. 3. Beregig av 3.. Formlee for Fourier-koeffisieee. Vi går re på sak: a f være e sykkevis koiuerlig fuksjo med periode p. De uedelige rigoomeriske rekka cos( ) si ( ) a + a +
DetaljerEksamensoppgave i SØK3001 Økonometri I
Insiu for samfunnsøkonomi Eksamensoppgave i SØK3001 Økonomeri I Faglig konak under eksamen: Kåre Johansen Tlf.: 73 59 19 33 Eksamensdao: 1. desember 2017 Eksamensid (fra-il): 5 imer (09.00-14.00) Sensurdao:
Detaljer12 Projeksjon TMA4110 høsten 2018
Projeksjon TMA0 høsten 08 En projeksjon er en lineærtransformasjon P som tilfredsstiller P x = P x for alle x Denne ligningen sier at intet nytt skjer om du benytter lineærtransformasjonen for andre gang,
DetaljerBevegelse i én dimensjon
Beegelse i én dimensjon 17.1.213 Forelesningsplan: hp://www.uio.no/sudier/emner/mana/fys/fys-mek111/13/plan213.hm FYS-MEK 111 17.1.213 1 Mekanikk Kinemaikk Dynamikk læren om beegelser uen å a hensyn il
DetaljerBevegelse i én dimensjon
Beegelse i én dimensjon 21.1.215 FYS-MEK 111 21.1.215 1 Lærebok kan henes på ekspedisjonskonore. Lenke il bealingsside: hp://www.uio.no/sudier/emner/mana/fys/fys-mek111/15/bok.hml FYS-MEK 111 21.1.215
DetaljerIkke lineære likninger
Ikke lineære likninger Opp til nå har vi studert lineære likninger og lineære likningsystemer. 1/19 Ax = b Ax b = 0. I en dimensjon, lineære likninger kan alltid løses ved hjelp av formler: ax + b = 0
DetaljerLøsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 3
Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 3 I dette kapittelet har mange av oppgavene et mindre teoretisk preg enn i de foregående kapitlene, og jeg regner derfor med at lærebokas eksempler og fasit
DetaljerLøsningsforslag til regneøving 5. Oppgave 1: a) Tegn tegningen for en eksklusiv eller port ved hjelp av NOG «NAND» porter.
TFE4110 Digialeknikk med kreseknikk Løsningsforslag il regneøving 5 vårsemeser 2008 Løsningsforslag il regneøving 5 Ulever: irsdag 29. april 2008 Oppgave 1: a) Tegn egningen for en eksklusiv eller por
DetaljerWORKING PAPER SERIES
ISSN 1503-299X WORKING PAPER SERIES No. 9/2003 SPORTSFISKE ETTER LAKS. EN BIOØKONOMISK ANALYSE. Rune Logsein Anders Skonhof Deparmen of Economics N-7491 Trondheim, Norway www.sv.nnu.no/iso/wp/wp.hm Laks0503
DetaljerBankers utlånspolitikk over konjunkturene
Bankers ulånspoliikk over konjunkurene en analyse av opimalie fra e foreaksøkonomisk synspunk av irik Fjellså Hærem Maseroppgave Maseroppgaven er lever for å fullføre graden Maser i samfunnsøkonomi (Profesjonssudium
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 12.6.4: Vi finner først lineariseringen i punktet (2, 2). Vi har at Lineariseringen er derfor 2x + y f x (x, y) = 24 (x 2 + xy + y 2 ) 2 2y + x f y (x, y) = 24
DetaljerUniversitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Eksamen GFO210 Dynamisk oseanografi. Mandag 11. november 2003, kl 09-15
Universiee i Bergen De maemaisk-naurvienskaelige fakule Eksamen GFO Dnamisk oseanografi Mandag. november 3 kl 9-5 (ogaven har 5 sider) Tillae hjelemidler: Kalkulaor og maemaisk formelsamling Ogave - ermalvindligningene
DetaljerKromatografisk separasjon bygger på stoffers likevektsfordeling mellom en stasjonær fase og en mobil fase. A MP A SP. Likevektskoeffisienten er:
OPPSUEING FOELESNINGE UKE 35 Kromaografisk separasjon bygger på soffers likeveksfordeling mellom en sasjonær fase og en mobil fase. A P Likevekskoeffisienen er: A SP K = [ A] [ ] SP A Likeveksfordelingen
DetaljerSensitivitet og kondisjonering
Sensitivitet og kondisjonering Gitt en lineær likningssystem Ax = b vi skal studere effekten av perturbasjoner av input data: 1/19 på output data: Man kan A, b x perturbere bare b perturbere b og A samtidig.
Detaljer