2 Fourieranalyse. Introduksjon. jω s-plan σ. F(s)

Transkript

1 Fourirlys Ihol INRODUKSJON... Hm h r, Fourir llr Lgrg?... 3 Hilk Fourirlysr brukr i?... 3 FOURIERSERIENLYSE FS... 4 FS m rigoomrisk rprsso... 4 FS m cosius rprsso... 6 FS m komplks rprsso... 9 Diskr Fourir rsformso DF... 5 FOURIERINEGRL FI... 6 Dirc lpuls og Fouririgrl... 4 No gskpr rsformso m Fouririgrlr... 6 Diskr i Fourir rsform DF... 3 EKSEMPEL: NLYSE EN KOR SINUSSEKENS... 3 ω s-pl σ pol plssrig log krs Mω mp-spkr -spkr Mollrig Rlisrig Lplc rsform Fs Kosrukso Nyquis Digrm f rsi C-lys lys FS, FI irs rsform Fω Fω Boplo mpliu Fs Iroukso E o bhør ikk å ær r sius, m k bså gruo og rkk oror. Spillr m o på isrum, r opp m mikrofo og isr rsul på oscilloskop, så il m s srk som krøllr sg boror og som likr sær li på r sius sigig Figur. D kommr oror, s. or m høyr frksr, bls i i gruo. På oscilloskop sr i br summ gruo og oro. His i øskr å fi u hor my som fis hr oro, så k i gør mkisk llr lkrisk å by mg rsoorr llr rsoskrsr som r sm il å rgr på hr si bsm frks. Hlmholz-kul i Figur r ypisk ksmplr på mkisk rsoorr. å hol kul mo ør og or hilk som

2 Fourirlys Liær krslkroikk rgr på gi lysigl, k m fi u hilk frksr ly bsår. i k gør smm m pio. Om m rykkr klgpl og sygr llr spillr o, for ksmpl på sksofo, så il br piosrg som hr smm lg som frks i o, bgy å ibrr. Fom klls rsos. Figur Hlmholz rsoorr for lys lys frkskompor. i k også lysr ly, s. fi u hilk or bsår mmisk. D fis flr rgmor som k bys, bå il å l opp o i si kl bslr fi frks kompo og il å s m smm ig. D ms klig bs k mo r Fourirlys. i hr flr rir lys hgig sigl som skl lysrs. For log siglr hr i Fourirsrir FS og Fouririgrlr FI. D førs bruks på prioisk siglr ms r bys år i skl bhl kl pulsr. D igil ri r hh. Diskr Fourir rsformso DF og Diskr i Fourir rsformso DF. Fourirlys r yig rkøy flr grur. i k bruk lys år i il fi u hilk frkskompor sigl llr kurform bsår, llr om, år i il grr bsm sigl llr kurform. ir bruks fourirlys il å forkl rg oprsor, og il å komprimr siglr og bilr. Bilkomprsosform JPG r for ksmpl bsr på bilsigl omgørs il frkskompor m Fourirlys. Fourirlys smmr fr J Bpis Josph Fourir Fourir r frsk mmikr og fysikr m rmrspor som irssfl. Fourirlys bl skr i 87 for Isiu Frc og omhl kororsill pås om ll koiurlig prioisk siglr ku rprsrs m sum korrk lg sius cosius l.

3 Liær krslkroikk Fourirlys - Figur Eksmpl på koiurlig prioisk sigl m prioi. Josph Louis Lgrg og Pirr Simo Lplc ls korrkur på Fourirs rikkl. Lplc r posii il rikkl, ms Lgrg prosr og h ikk r mulig å ilærm sigl m skrp kkkpuk som firk og sg siglr hlp sius og cosius l. Isiu Frc bøy sg for Lgrg iil h ø i 83 og førs 5 år r Lgrgs ø fikk Fourir ugi si rikkl. For Fourir by ikk i så my. H r ki m i poliikk, r m Npolo på kspisor il Egyp og forsøk llrs å hol ho u giloi. Fourirs pås r grl prioisk sigl som i Figur ku bskris som sum rigoomrisk l his koffisi for hr l bl lg rikig. ok m m ilsrkklig mg rikig lg l ku m også bskri kkkpukr. Hm h r, Fourir llr Lgrg? Bgg h lis r. D r rikig som Lgrg h m ikk k bskri kkkpukr m sius og cosius l, m på si k m komm mg ær. Så ær forskll mllom fukso og ilærmig hr rgi. U fr rgibrkig h rfor Fourir r sl om m på i iss li om h rgi r. Hilk Fourirlysr brukr i?. FS Fourirsri. FI Fouririgrl 3. DF Diskr Fourir rsformso 4. DF Diskr i Fourir rsformso Fourirsrir FS irkr på koiurlig prioisk issiglr og rsulrr i iskr frks og fskompor i frkspl. i skl s på r formr llr mår å bhl slik Fourirsrir på. 3

4 Fourirlys Liær krslkroikk rigoomrisk rprsso, b cosius rprsso c komplks rprsso i brukr iss ulik rprsso fori r prkisk som uggspuk for å forså h som skr, b isr br h som r mpliu og fs, ms c of k gør lys klr og mr kompk. i skl ul b og c fr. FI sår for Fouririgrl og bruks il å lysr siglr som bsår kl puls. E slik sigl k brks som prioisk sigl hor prioi går mo ulig. Dr k i fors å by form for Fourirlys. FI irkr på koiurlig isfuksor og prousrr koiurlig frksspkr i mosig il FS som lgr iskr frksspkr. I illgg il å lysr pulsr brukr i også o som likr på FI år i skl s på hor lkroisk krs bhlr ulik frksr. S skso sr i bok som omhlr C-lys DF sår for Diskr Fourir rsformso. DF r igilrs sr på FS. Hr r bå isfukso og frksspkr iskr. D r s rsformso som k uførs mski. DF bruks il mg ulik oppgr i sigl og bil lys som f.ks. JPG komprso, sigl filrrig og sigl lys. Forsr r for ksmpl irssr i å lysr frksspkr il bår, ubår og fly. Ly fr iss hr of frksmøsr som k bruks il å iifisr frøy. DF sår for Diskr i Fourir rsformso. DF mosrr FI. Hr r isfukso iskr ms frksspkr r koiurlig. DF bys for å lysr iskr pulsr lyisk og il å kosrur og lysr orførigsfuksor for iskr sysmr. Fourirsrilys FS Fourirsri lys irkr på koiurlig prioisk issiglr og rsulrr i iskr frks og fskompor i frkspl. FS m rigoomrisk rprsso Fuksor som i Figur k ilærms m følg sum Eq. c cos b si 4

5 Liær krslkroikk Fourirlys Dc ri r sigls likspig llr milrispig. D fir i å igrr or prio og så l på prioi. Eq. c Urykk for og b or frmkomm å miimlisr krisk fil mllom Fourirsri og opprilig fukso i øskr å ilærm m hsy på og b. Eq. 3 f c cos b si f D førr for lg å gå igom sl ulig brgig hr og i oppgir br rsul. Eq. 4 b cos si Mrk og b r korr llr bllr som ku ær skr som [..N]=[,, 3 N> hor N of k ær ulig. D smm glr for b. i k også plo og b i figur. b 3.os 3.os Figur 3. Plo bsm rlisrig og b. Om i lgr å l x-ks is llr ω r opp il oss, m sis oso isr yligs i å r i frkspl 5

6 Fourirlys Liær krslkroikk 6 Forhol mllom c og i FS Når i kommr il FS uryk som komplks srir il i s i ikk lgr urykkr cri ksplisi, m igår i summ som l gi =. For FS uryk m rigoomrisk fuksor ku i også h gor m som i skl s hr så r li klr å hol c ri ufor summso og is l løp fr som i Eq.. L oss s h som skr om i r bor c-l og lr summ løp fr. Eq. 5 si cos si cos si cos si cos si cos b b b b b b i sr i får skil u kompo. og gsår å br å rg u hor sor r. cos m si c ri r gi som milri sigl or prio c c Så r l å s r obbl så sor som c ri. i ku go fir c ri il å ær, m r ksk lik gri å bhol ufor. FS m cosius rprsso Når i urykkr sigl på form si cos b c

7 Liær krslkroikk Fourirlys sr i ikk irk h som r mpliu og h som r fs. D k i lr s om i skrir Fourirsri på cosiusform som rfor k ær mg yig. FS på cosius form r gi m følg forml. Eq. 6 c c cos Ulig srr m å s på cosius il sum iklr cos x y cos x cos y si xsi y i lr x og y, og uir Eq. 6 or m c D får i sr si lik c cos x y c cos Fokusrr i så på høyr si c cos x cos y c og øpr l c cos y si xsi y og c si y b il høyr si form cos x b si x cos b si som i kr ig som im i origil Fourirsri. D isr i k skri c cos cos b si m c b cos c si i mglr br å urykk c og θ klrr. For å fi c krrr i og uyr 7

8 Fourirlys Liær krslkroikk si cos. i skrir: b c c cos som gir oss b si b c c c cos c cos si si c cos si c slik i fir c c b Cosius og sius r orogol fuksor. i k rfor g m i i igrm m ormlsil ksr som i lig xy-igrm llr som i komplks pl m rl og imgiær ks. Hr hr i bruk xy-igrm. y θ x c -b Figur 4. Forhol mllom, b, c, si, cos og θ i sr Figur 4 fsikl θ r gi lg il og b. i k by gssig for å fi θ, m må husk gs r yig x=x+8 o. 8

9 Liær krslkroikk Fourirlys Figur 5. gs for iklr fr il 36 grr isr i hr x=x+8 o. Irsgsfukso r på smm må symmrisk slik b 8 rc. i k brg m irsgs, m i må g i og b for å gør fs yig. Oppsummrig for cosius rprsso c c b c b rc cos FS m komplks rprsso Noso: For lkroisk sysmr r urlig å l og så for spigssiglr llr fuksor ms i og I bys om srøm siglr. D ikigs hr r i byr smm boks for smm sigl. Så lg mulig il i by sor boks år i bskrir frkspl og li boks år i bskrir is pl. i brukr for å bskri spigs sigl i i. 9

10 Fourirlys Liær krslkroikk for å bskri spigssigl i frks år bsår iskr frkskompor. ω for å bskri spigssigl som bsår koiurlig frksspkr. ilsr il i, I bli bruk om srøm, p, P om ffk os. Fi år i kr D r ær forbils mllom rigoomrisk fuksor og kspoilfukso i hr cos si Rlso klls Eulrs rlso og frmkommr ylor rkkuiklig. U fr k i ul cos si D brukr i for å ul urykk for komplks Fourirsri. i srr m urykk for rigoomrisk sri c cos b si og sr i kspoilfuksosurykk for sius og cosius slik i får c b i k å sml kspoill m lik forg

11 Liær krslkroikk Fourirlys b b c b b c b b c som i så lr opp i o srir b c b D r llr komplks kspoil rprsso, m i k gå lgr. i gør å su forg på i sis summso. For å få il må i førs s på h som skr m og b år i sr i i igrl for iss. For cosius får i ig forrig r lik symmrisk fukso. cosx = cos-x. For sius får i imilri forgsskif sius r isymmrisk fukso. b si si cos cos rr ikk forg år i skifr forg på, m gør b. D r gusig for oss førr il fkor før kspoill blir lik. i k såls kll l m og b for og skri b i sr r komplks sørrls fori iholr bå rl og imgiær l. Når i sr i skifr også kspoill forg år r gi slik i får c sr i å også c k i skri l ur smm summ g. i får

12 Fourirlys Liær krslkroikk Eq. 7 som må ku sis å ær kompk form i forhol il rigoomrisk rprsso som r uggspuk. Urykk gir oss isfukso år frkskompo r k. i k orbis oss om r rikig å skri u l i summ for kor sri, og så gå bklgs il puk hor i bgy å riks m summr og forg. i srr m slusumm fr Eq. 7, hor i sr i for og korr summso b b c b Så sur i forg i l hor r gi og får b c b i sr så i l summg b c b og r ilbk uggspuk før i bgy å riks m summg og forg, sl om i hr br går fr - il. i sr i hr få smm. i summrr rikigok br fr - il, m sr likl r og k l g brgig m så mg l i må øsk.

13 Liær krslkroikk Fourirlys Fi år i kr I forrig si så i på hor i ku rsformr fukso fr frkspl il ispl. D r lik ikig å ku rsformr isfukso il frkspl. D byr i prksis å bsmm år i kr. Urykk for fir i å sr m igrl for og b og så s i kspoilform for sius og cosius. Gør i fir i urykk Fr il mpliu og fsspkr På smm må som i bruk cosiusrprsso for å fi mpliu og fs for rigoomrisk rprsso Fourirsrir må i kompor komplks ribl for å slør h sir om mpliu og fs. M bkgru i Figur 6 k i skri:, b b cos si hor r rll ms- b r imgiær l il. i k urykk også å skri =R ms b =Im * θ x -b Figur 6. D komplks kor m si komplkskougr *. Us hor i lgr å bskri kor så hr lg og ikl. Lg rprsr sigls mpliu ms ikl forllr om fs. Sr i på Figur 6 så sr i 3

14 Fourirlys Liær krslkroikk lg som lså r mpliu må ku fis lig rkbrgigr som for ksmpl Pyhgors ss om kr il si i rk mpliu b His ikl r k k i fi mpliu å s på rigoomrisk forhol. i sr lg il r smm som hypous i rk, -b, slik si cos moså hypous hosligg hypous.5b mpliu si.5 mpliu cos D ligs må å brg mpliu på r imilri å s på prouk mllom og *. Sr iikrr i hr å gør m hor imgiær ri b hr skif forg. * klls komplkskougr il. mpliu b b b b * b b Som bl kkur smm som i fikk å bruk kr il si i rk ilsrr kr il hypous. ikl som også ilsrr fs fir i å s på kombiso gs og forg il kompo og b.5b Fs rc.5 Im rc R Gru il i også må urr forg il og b r gs r oyig som is i Figur 5. 4

15 Liær krslkroikk Fourirlys Diskr Fourir rsformso DF i hr s på Fourirsri FS lys som i by il å ors siglr mllom is og frksom. I isom må sigl ær koiurlig og prioisk ms i frks må ærr iskr og prioisk. Digilrs sr på FS klls Diskr Fourir rsformso DF. D rsformso hr også sri som uggspuk, m irkr på iskr prioisk sigl i i. I frksom hr DF, på smm må som FS, iskr spkr, m il forskll fr prioisk FS spkr r DF spkr prioisk. E forusig for å få FS il å fugr rikig r bå i og frksom r ulig. D får i problmr m i mski. i r ug il å plukk u bi sigl og lgr i bll som for ksmpl [. K- ]. I illgg rgr i bllr for å oppbr sius og cosius koffisi. [. N- ] b [. N- ] Som i sr bll [ ] k br ihol K smplr måligr fr sigl år. i sir i lggr smpliu på sigl og sr på sigl igom iu. Hor i lggr på iu og hor mg smplr i r i iu hr byig for rsul. D kommr i li ærmr ipå i kpil om igilkikk sr i bok. [i] Δ [] [K-] Smpliu Figur 7 Fr log il igil sigl For å komm frm il igil rso fourirsrilys, som klls Diskr Fourir rsformso, så k i rs i m iδ smiig som i byr u igrsosg mo summsosg. Forml som frmkommr k bruks il å rsformr frm og ilbk mllom iskr i og iskr frks. 5

16 Fourirlys Liær krslkroikk log FS c cos Diskr DF c K K K i K i i i i cos K b si b K K i i i si K i k så gskp iskr issigl [i] i c N i cos b K i si K Fouririgrl FI i hr så lg s på lys prioisk siglr. i skl å ui Fourirlys il å gl prioisk siglr. D gør i å s på firksigl hor prioi oksr il ulig. Rsul blir Fouririgrl isfor opprilig sri. Når i rgr om fr i il frks for slik klpulsr llr prioisk siglr, får i koiurlig frksspkr i mosig il prioisk siglr som hr iskr frksspkr. Figur 8 i lr prioi oks mo ulig for å fi fukso som k bskri frksspkr kl puls. Fi ω år r k Noso ω kllr i for Fourirrsformso D k ors m fri lg sor boks og m ω llr ω som rgum. lri il m of skri r 6

17 Liær krslkroikk Fourirlys Fourir rsformr il m oso F[] som r smm som om m skrir ω. Of sr m bys mr kusrisk sor F m krøllr og sigr. M k også m i rgum ω om m øskr å påpk k ær komplks. Si i hr by for isfukso r urlig i byr sor for frksspkrfukso llr spkrl hsfukso om m rgr fir for å forirrr og llr imporr ull ilhørr. D r slfølglig fri opp il kl å øp isfrks fukso il h m må øsk, som f.ks., ω, s, Sω, g,gω, os. ω ω ω ω ω ω Figur 9. i sr hr o lik isfuksor m uk prioi hr øk i rs. i sr også økig i førr il r s mllom frkskompo i spkr il høyr. Årsk il spkr blir r kommr forhol mllom og ω. i hr i sr rfor blir ulig li år Si går mo ulig, så går prouk ω mo koiurlig ribl Spkr for prioisk sigl r gi. i k rfor subsiur 7

18 Fourirlys Liær krslkroikk Lr i hr gå mo ulig får i frksspkr lli blir for ll på gru sår i r for igrl. E -spkr som srr på ll ksmsoppgr ill ær fi, m llrs r ikk slik rsul særlig myig. i flyr rfor or il srsi likhsg slik i får lim lim Eq. 8 Eq. 8 gir koiurlig frksspkr år i kr isfukso og klls Fouririgrl rsformso. i rgr også å ku gå r i, s å ku fi isfukso år frksspkr r k. D klls irsfourirrsformso og ors of som F - [ ]=. I mg smmhgr sr m bys mr kusrisk sor F m krøllr og sigr. Irsrsformso. Fi år ω r k. i h og k rfor s ir hr i fukso for Fourirsri Hr sr i urykk for og ω år, byr summg mo igrsosg, flyr u og byr rkkfølg på kspoilfukso og ω. D får i rlg rsformso fr frksom il isom. 8

19 Liær krslkroikk Fourirlys ω ω Figur. i sr hr prioisk koiurlig sigl m si koiurlig frksspkr. Eksmpl: Fi frksspkr il firk klpuls symmrisk om = - = Figur. Firk klpuls som r symmrisk om =, m righ = og mpliu NB! mrk ikk r smm som prio i Diskur sigl Fori r klpuls brukr i FI og ikk FS i lys. Fori puls br birr il igrl i prio fr =- il = rgr i ikk igrr or ulig i, m k øy oss m å igrr fr isromm [-.. ]. Fori fukso r kos lik or irll k i s =, F For som r uø i form for lys k ær sklig å komm ir. D ø il s i r i ærh o som likr Eulrs ii uryk sius og prø. 9

20 Fourirlys Liær krslkroikk si His i uir m opp og får i r på. Byr i om på rkkfølg - l og rkkr g i i prs sr i i hr få sius uryk på kspoill form. i k skri si Ig sår i ofor spørsmål:-h å? D rfr il s i r i ærh sixx fukso, og r prø å få smm urykk i r som i hr i rgum il sius fukso. D k i få his i uir urykk m u og sr -ll i sub r. Eq. 9 si si si x x Fukso r rl u o forsyrr imgiær l og i rgr rfor ikk fi orm, lg, llr mgiu kær br hr mg for å plo mpliuspkr hr. M uk grs x= som gir sixx= får i -pukr r siusfukso r si x år x,,, 3... os x si år,,, 4... os For sixx får i smm ullpuk m uk ilfll hor rgum =. ω båbr Pk= ω

21 Liær krslkroikk Fourirlys Figur. Firkpuls fr Figur is sg å h ω frksspkr. D sipl li isr fuksosri ms hlruk fuksosli is fuksos bsoluri. D r bsoluri i sr på år i surr mpliuspkr ms i må s på irklig ri år i skl gør fsspørsmål. Mrk form ikr o fr k sixx r frihåsgig Båbr il frksspkr for firkpuls Båbr il spkr for firkpuls r ilærm gi s mllom og førs -puk slik båbr hr blir Eq. båbr b rsc Lgg mrk il båbr b r om proporsol m pulsbr. D byr blir sørr og sørr s mllom førs -puk år puls blir korr og korr. H m frksspkr år puls blir ulig kor? H skr m mpliu? D sr i på år i sr bhlr Dirc lpulsr. Dfiiso båbr i smmhg r ulik m ligis kr på år m skkr om båbr for lkroisk sysm, filr, ssor llr gir som høylr. D r båbr fir som frksområ r følsomh, llr siglsyrk liggr or -3B li rli il høys puk på kur. Når i skkr om båbr i forbils m frksspkr il puls så r mr ull bgrp og ikk yig fiiso. For firkpuls or k s mllom origo og førs puk s u il å gi gri fiiso, m fis mg ypr pulsr som ikk gir så kl smmhg. i hr for ksmpl pulsr som hr si førs -puk ω=. M må gi skøsmssig frksirll som kkr ilsrkklig mg frksr il m, år m sr iss i i irsfourirrsformso, fir ilbk il opprilig isfukso m rimlig gr ilærmig. E ksmpl hor holob fugrr som fiiso r kkolo som sr u puls m righ τ. Ekkolomokr r som ofs s opp il å ku mo kko m frkskompor ifor grs il holob. I bl sør m på gigr båbr hor sr u som må ær obbl som r oppgi i Figur. D kkr bå gi og posii frksr. Ngi frksr r o som i prksis ikk ksisrr m så lg m spsifisr h m mr så r ikk så ikig om m lgr llr r må. Som igrso k i pk på prouk mllom firkpulss båbr i frks og righ i i r ilærm kos ~. D k sis å ær prllll il Hisbrgs usikkrhsrlso i kmkikk.

22 Fourirlys Liær krslkroikk Eq. b Fs il frksspkr for firkpuls i øskr også å s på fsspkr. Fs k i lis fi å bruk irsgs. im r k Hor k r hlll som gør ikl θ k h rir som -π, -π,, π, π os. i sr si i br hr rll i ω, så r fs ø il å ligg lgs rll ks. For å gør om fskor pkr mo sr llr høyr lgs rll ks, så sr i på forg il ω. Forg r l å s mpliuspkr i Figur. I områ -4 il - r ω gi. D byr fs må pk il sr i Figur 3. I områr - il r ω posii. D byr fs må pk il høyr i Figur 3 I områ il 4 r ω gi. D byr fs må pk il sr i Figur 3. Om fs rir m klokk og blir llr om rir mo klokk og blir + år ω går gi k i ikk s u ifr, m fsspkr r lli isymmrisk m hsy il ω. D sr i irk å skri opp fiiso på FS llr FI, og lr ω skif forg fr pluss il mius. D får i smm rsul som om i lr skif forg fr pluss il mius, som også byr fs skifr forg. Husk fs lli r fkor smm m år m skrir komplks urykk på polr form. Polr form. S også Figur 3 Siuso m symmrisk firkpuls r spsill si + og - pkr smm i. Pg. grll isymmri bør komm frm i grf, r i fkisk k lg om i il l fs gå posii i sr pl og gi i høyr pl llr om. Bgg fx=f-x r symmrisk fukso spil om y-ks, ms fx=-f-x r isymmrisk fukso spil om igol i xy-koorisysm.

23 Liær krslkroikk Fourirlys løsig il ær rikig. I følg hr i lg å l fs gå gi for gi ω og posii for posii ω Im + =- R - =- = Figur 3. Fsforskyig m r mulig lrir lgs rll ks 3

24 Fourirlys Liær krslkroikk θω -4-4 ω - Figur 4. Fsforskyig for ω Dirc lpuls og Fouririgrl Pul ri Muric Dirc Fø: 8 ug 9 i Brisol, Gloucsrshir, Egl, Dø: ok 984 i llhss, Flori, US. U Uirsi I G. Dircs okorgrshlig Quum mchics g hm Ph.D. gr i 96. I 93 publisr h h pricipls of Quum Mchics. For rbi fikk h Nobl pris i fysikk i 933. Ls mr om hm på hp:www-groups.cs.s.c.uk~hisorymhmicisdirc.hml Dirc fir ulig kor, m ulig høy puls for å løs problmr i kmkikk. D går of ur bgls Dl Dirc puls llr br Impuls. Impulsrspos hr is sg å ær yig fiiso også i liær krslkroikk og siglbhlig. His i sr ilærmig puls i i uk log llr igil rk il rspos som i kllr for impulsrspos bskri rks orførigsfukso. å sur impulsrspos k i fi s orførigsfukso og r lg som irkr på smm må som uk. Digilisrig Smplig E yig bruk kommr lpuls ku ksisrr i i = og igrl puls llr høy * lg =. Muliplisrr i -Δ m log sigl il i få igilisr fori prouk br r lik år -Δ=. Fr firkpuls il lpuls 4

25 Liær krslkroikk Fourirlys Når blir mir blir spkr brr og omfr flr frksr ulig høy ulig y rl lik Figur 5. Fr kor puls il Dirc lpuls også kl hs puls. ω Frksspkr kos lik, BW=, Hi søy ω i srr m å l firkpuls bli smlr og smlr iil blir ulig sml. For å ugå hl fllr smm il igig må i smiig l pulss høy bli ulig. For lpuls glr følg. rl mpliuspkr fir i Fourirlys på smm må som i is for lig firkpuls i Eq. 9, m hor i sr på grsilfll år blir ulig og u går mo. D liggr i fiiso lpuls går mo ulig og u går mo ull på slik må prouk llr igrl hl i r kos lik. D også si x lim x x sr i F si lim lim Kokluso r i får mpliuspkr som r kos = for ll frksr. Skl i gskp lpuls k ku gørs å m lik my ulig mg frksr. Hi søy og syhsizr Ly bskris of hlp frgr musikr og folk som rbir m syhsizr. E sksofo hr rø klg, ms sus og søy hr frgr som grå og hi. Hi søy hr si prllll i hi lys som bsår ll frksr. Frksspkr il lpuls hr lik 5

26 Fourirlys Liær krslkroikk my ll frksr og gir rfor hi frksspkr. Hi søygrorr r my bruk i syhsizr iholr l som rgs frksr. å kobl i ulik filr k m skp mg forskllig klgr og or. Hi søy gror Filr Filr : Filr olum koroll Syisk ly ck, Dcy Susi, Rls Figur 6. Sys ly bsr på frksspkr il l Dirc puls. Hr filr i Figur 6 k plukk u o m øskr å hør fr hr g på kybor. M k også bl rsul fr flr filr og l iss rir syrk og frks i løp hr o forløp for å kosrur irss isrumklgr. D r yig å k il Fourir rsformsos gskpr iss k hlp oss il å forkl urgig. Egskp går ig i r grr som Lplcrsformso og mg r sr. No gskpr rsformso m Fouririgrlr Liri Lirisprisipp for Fourir rsformso ibærr rsformso il sum o siglr ilsrr summ rs Fourir rsformr. His i hr c c så k i skri rsformso som c c Ellr m oso: F c c Fc Fc c c D r yig illr oss å l opp sklig fuksor og så rsformr m hr for sg. Husk ll fuksor k ls opp i sum o og lik symmrisk fuksor og k forkl Fourirlys fori i får u r rll llr r imgiær rir. isforskyig 6

27 Liær krslkroikk Fourirlys -τ τ ω - ω= ω -ω 3 - τ τ τ - ωτ 3 ω= ω Figur 7. Forsikls i i førr il fsrig i frks. H byr for frksspkr og hor k i lysr isforsik siglr? i skl førs rpr lys. D r ikk forsik. D ibærr r symmrisk om i =. På gru symmri il i for rl fukso i frksspkr. si i skl å s på som r forskø i i. D r rk r symmrisk llr isymmrisk om i = og i må for sr m bå rll og komplks lmr. i k gør lys på o mår. E bhlr i m isforskø grsr llr i lysrr -. i skl is bgg lr og srr m å isforsky grs. Uris byr i i hr S i å i grs får i 7

28 Fourirlys Liær krslkroikk 8 i skillr l og rkkr u Så uir i m for å ku omskri il sius m Eulrs ii. si i sr i sius og sokkr om for å s r sixx fukso Så sr i likr på ω m uk fsl Eq. Fourirrsformso forsik firkpuls E lri må å lysr på r å s på - irk. D rgr i pr riks. D r yig i lli k muliplisr m r i må øsk. i skl brukr riks il å skill u forsikls i firr også ' Førs brukr i riks : så flyr i u som r uhgig Drr rkkr i smm ' ' ' Og subsiurr -= og firr grsr for ' i igrrr

29 Liær krslkroikk Fourirlys Og sr i grs Så rkkr i i forg og uir m for å s r sius si Sr så i sius og orr urykk så i sr i får sixx fukso il slu sr i også gg likr på ω m uk fsl Eq. 3 Fourirrsformso forsik firkpuls, lri mo Fs isforskyig Fr iligr huskr i fs for ω pk lgs rll ks fori ω r rl. i huskr også fs ksl mllom, π og π hgig ri il ω og forg il ω. Skrir i ω og ω på polr form sr i klrrr likh i mpliuspkr og forskll i fsspkr. forsikls i isom gir Fourir rsformso ksr fsl i frksom som i illgg il kos ri, π og π il rir m prouk ω. Oppsummrig om isforskyig i ku fi frksspkr il isforskø isfukso på o ulik mår, å forsky grs llr å forsky fukso sl. i så år isfukso blir forskø i i før il: mpliuspkr bl ikk r. Fs bl r og fikk illgg som rir m prouk mllom iklfrks og isforsikls.... Folig Liri: 9

30 Fourirlys Liær krslkroikk Diskr i Fourir rsform DF i r også for ors skyl m smm rsformso for igil sysmr. Hr i log puls som i il rsformr m Fouririgrl lys FI så k pukr lgs kur llfss og lgrs i bll rry [k] som så k rsformrs m forml F k k k k 3

31 Liær krslkroikk Fourirlys rgum θ r som lig hskor på hssirkl hor θ= ω. i ku by mir krypisk ribl, m r lig å skri slik. Gru r m øskr å ursrk hr br k h rir lgs sirkl m rius. I s for ulig lg r ω ks hr i å fuksosrir lgs sirklbu. D r slfølglig mulig å g bu som r li, m m må ikk glmm år ω hr løp fr - π il + π så il hl g sg iisk. Når i uførr DF iskr puls får i koiurlig frksspkr, m i mosig il spkr fr Fouririgrl blir spkr å prioisk. Når i sr skl bhl Lplcrsformsor il i s også hr fis iskr rsformso. D klls Z-rsformso og r uils DF fr løsigr på hssirkl il hl pl. M summso i DF går o mo ulig? K i få o u i prksis år mskir ikk k hår ulig mg ll? J isr sg i mg ilfllr urykk or gir gomrisk rkkr som korgrr mo fs lig urykk. D s mski k hår r Diskr Fourir rsform DF. i k imilri bruk DF i lys og sys kosrukso igil sysmr. E ksmpl på r sys filr. i k g øsk pssbå i frksom, igilisr og bruk irs DF for å fi iskr isfukso som i så k bruk il å filrr igil siglr m. Eksmpl: lys kor siussks Sigl i Figur 8 bsår kor sks siussigigr. = siω for =[-.. ] og llrs - Figur 8. Puls bså fm sius sigigr Gi sigl si m righ 3

32 Fourirlys Liær krslkroikk hor r prioi il kl siussigig. hor bskrir ll prior. Diskur sigl og oppg u fr følg momr: H k m si om symmri? b Hilk lys bør m by? c il i for koiurlig llr iskr frksspkr. Bgru sr. Hilk frkskompor forr i å fi? H r som grrr iss? f Fi mpliu- og fsspkr. Løsigsforslg for lys kor siussks Diskurr sigl Er sigl prioisk? J r prioisk, m br for kor su. Sr i på sigl or i r klr ikk kommr flr sksr. i k brk som prouk mllom ugg på sius gror og firkpuls m mpliu lik og righ lik slik i sr i Figur 9. - Figur 9. Eksmpl på kor sius sks D i hr m kl puls å gør, sr i i ikk k by Fourirsri lys FS, m i må lg lysyp som k hår klpulsr. i lgr rfor å by Fouririgrl lys FI. Lplcrsformso k også fi frksspkr for slik pulsr og ku r lg. i mrkr oss ir si issigl r prioisk, så må i rg m å få koiurlig frksspkr. Symmri: i k lli skri =--. D byr sigl må ær isymmrisk bå ifor områ hor i hr sius og llrs. i må rfor for frksspkr br il ihol imgiær kompor. 3

33 Liær krslkroikk Fourirlys 33 i srr løsig å s sigl i i fiiso for FI si Lgg mrk il i hr bå får ω og ω i urykk og i bå hr o fuksor, rigoomrisk og kspoill i igrl. På gru o fukso ill i orml s om i ku bruk lis igrso på slik må igrlribl bl bor i fukso. D går ikk hr. i må rfor forsøk å skri om urykk og forkl m il o som k igrrs. Mo å gør på r å skri om kspoill il rigoomrisk l llr å skri om rigoomrisk l il kspoill. i lgr hr sis mo kspoill of r lr å hår. i hr si fr Eulrs ii Som i sr i for sius slik i får Ns skri blir å rkk kspoill som sår ufor, i i urykk fr siusl Si = for ll rir ufor områ [-τ.. τ] så k i s i som grsr. i k også l opp igrl i o klr igrlr. i får Diss o urykk r kl å igrr år i k rgl for igrso kspor.

34 Fourirlys Liær krslkroikk 34 Sr i å i grs får i For å l skriig firr i x og y y x i sokkr i li om på l for å s om i k omskri urykk m Eulrs ii. y y x x Og sr i i k bruk Eulrs ii for sius Når i gør og sr i for x og y så sr ikk urykk så gl u. y x si si i ursøkr å om i k bruk siuscril. D k i om i uir m τ y y x x y x si si si si i sr i siuscril og rkkr u som r flls. I illgg uir i m for å få opp i llr. sic sic y x

35 Liær krslkroikk Fourirlys 35 D r urykk som bsår o sixx fuksor som r forskø i hr si rig. i sr også urykk br hr imgiær kompor hl urykk r muliplisr m komplks hskor. D smmr m i for iligsis ur symmribrkig. His i å sr i så får i fukso uryk frks og ll prior y x Som is gir: sic sic mpliu il ω Si hl fukso br hr imgiær l og ig rll kompor så sigr fukso lgs -ks. Lg il fukso blir lik fukso sl: sic sic i får -pukr år sicx=sicy, m orlr il lsr å obb ir m. Sl hr g s fukso i i rgrk og få il å g mpliufukso for ulik rir ω, og Fs il ω Fs byr rig llr ikl il. i sr urykk for br hr imgiær kompor. Ds. br pkr lgs komplks -ks. Rig opp llr il ær hgig forg som s sik fukso. E plo fs il s u som igil sigl hor i br k h ri + og -.

36 Fourirlys Liær krslkroikk Im ω=+b R ω=-b Figur. i sr hr hor ω br k pk lgs imgiær ks fori i ikk hr o rll i kor ω. mpliu Fs mpliu Fs

37 Liær krslkroikk Fourirlys mpliu Fs Figur. Plo mpliu og fs il frksspkr ω for = ørs, =, mi og =3 rs. ω =5 rsc 37

38