1 Fourieranalyse. Introduksjon
|
|
- Gunhild Vigdis Gundersen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Fourirlys Ihol INRODUKSJON... Hm h r, Fourir llr Lgrg?... 3 Hilk Fourirrsformr brukr i?... 3 FOURIERSERIE FS... 4 FS m rigoomrisk rprsso... 4 FS m cosius rprsso... 6 FS m komplks rprsso... 9 Diskr Fourir rsformso DF... 4 FOURIERINEGRL FI... 6 Dirc lpuls og Fouririgrl... 3 No gskpr rsformso m Fouririgrlr... 6 Diskr i Fourir rsform DF... 9 EKSEMPEL: NLYSE EN KOR SINUSSEKENS... 3 Iroukso E o bhør ikk ær r sius, m k bså gruo og rkk oror. Spillr m o på isrum, r opp m mikrofo og isr rsul på oscilloskop il m s srk som krøllr sg boror og som likr sær li på r sius Figur. D kommr oror s. or m høyr frksr bls i i gruo. På oscilloskop sr i br summ gruo og oro. His i øskr å fi u hor my som fis hr oro, så k i gør mkisk llr lkrisk å by mg rsoorr llr rsoskrsr som r sm il å rgr på hr si bsm frks. Hlmholz kul i Figur r ypisk ksmpl på mkisk rsoorr. å hol kul mo ør og or hm som rgr på gi lysigl, ku m fi u hilk frksr ly bso. i k gør smm m pio. Om m rykkr klg pl og sygr llr spillr o for ksmpl på sksofo, så il br piosrg som hr smm lg som frks i o, bgy å ibrr. Fom klls rsos. Figur Hlmholz rsoorr for lys lys frkskompor.
2 Fourirlys Liær krslkroikk i k også lysr ly, s. fi u hilk or bsår, mmisk. D fis flr rgmor som k bys, bå il å l opp o i si kl bslr Fi frks kompo og il å s m smm ig. D ms k mo r Fourirlys. i hr flr rir lys hgig sigl som skl lysrs. For log siglr hr i Fourirsrir FS og Fouririgrlr FI. D førs FS bruks på prioisk siglr ms r FI bys år i skl bhl kl pulsr. D igil ri r hh. Diskr Fourir rsformso DF og Diskr i Fourir rsformso DF. Fourirrsformso r yig rkøy flr grur. i k bruk år i il fi u hilk frkskompor sigl llr kurform bsår, llr om, år i il grr bsm sigl llr kurform. ir bruks fourirrsformsor il å forkl rg oprsor, og il å komprimr siglr og bilr. Bilkomprsosform JPG r for ksmpl bsr på Fourirrsformso. Fourirlys smmr fr J Bpis Josph Fourir Fourir r frsk mmikr og fysikr m rmrspor som irssfl. Fourirlys bl skr i 87 for Isiu Frc og omhl kororsill pås ll koiurlig prioisk siglr ku rprsrs m sum korrk lg sius cosius l. - Figur Eksmpl på koiurlig prioisk sigl m prioi. Josph Louis Lgrg og Pirr Simo Lplc ls korrkur på Fourirs rikkl. Lplc r posii il rikkl, ms Lgrg prosr og h ikk r mulig å ilærm sigl m skrp kkkpuk som firk og sg siglr hlp sius cosius l. Isiu Frc bøy sg for Lgrg iil h ø i 83 og førs 5 år r Lgrgs ø fikk Fourir ugi si rikkl. For Fourir by ikk i så my. H r ki m i poliikk, r m Npolo på kspisor il Egyp og forsøk grl å hol ho u giloi.
3 Liær krslkroikk Fourirlys Fourirs pås r grl prioisk sigl som i Figur ku bskris som sum rigoomrisk l his koffisi for hr l bl lg rikig. ok m m ilsrkklig mg rikig lg l ku m også bskri kkkpukr. Hm h r, Fourir llr Lgrg? Bgg h lis r. D r rikig som Lgrg h m ikk k bskri kkkpukr m sicos l, m på si k m komm mg ær. Så ær forskll mllom fukso og ilærmig hr rgi. U fr rgibrkig h rfor Fourir r sl om m på i iss li om h rgi r. Hilk Fourirrsformr brukr i?. FS Fourirsri. FI Fouririgrl 3. DF Diskr Fourir rsformso 4. DF Diskr i Fourir rsformso Fourirsrir FS irkr på koiurlig prioisk issiglr og rsulrr i iskr frks og fskompor i frkspl. i skl s på r formr llr mår å bhl Fourirsrir på. rigoomrisk rprsso, b cosius rprsso c komplks rprsso i brukr iss ulik rprsso fori r prkisk som uggspuk for å forså h som skr, b isr br h som r mpliu og fs, ms c of bys for å gør lys klr og mr kompk. i skl ul b og c fr. FI sår for Fouririgrl og bruks il å lysr siglr som bsår kl puls. E slik sigl k brks som prioisk sigl hor prioi går mo ulig. Dr k i fors å by form for Fourirlys. FI irkr på koiurlig isfuksor og prousrr koiurlig frksspkr i mosig il FS som lgr iskr frksspkr. FI k bys il å kosrur llr lysr log krsr. DF sår for Diskr Fourir rsformso. DF r igil rs sr på FS. Hr r bå isfukso og frksspkr iskr. D r s rsformso som k uførs mski. DF bruks il mg ulik oppgr i sigl og bil lys som f.ks. JPG komprso. 3
4 Fourirlys Liær krslkroikk DF sår for Diskr i Fourir rsformso. DF mosrr FI. Hr r isfukso iskr ms frksspkr r koiurlig. DF bys for å lysr iskr pulsr lyisk og il å kosrur og lysr orførigsfuksor for iskr sysmr. Fourirsri FS Fourirsrir lys irkr på koiurlig prioisk issiglr og rsulrr i iskr frks og fskompor i frks pl. FS m rigoomrisk rprsso Fuksor som i Figur k ilærms m følg sum Eq. c cos b si Dc ri r sigls likspig llr milrispig. D fir i å igrr or prio og så l på prioi. Eq. c Urykk for og b or frmkomm å miimlisr krisk fil mllom Fourirsri og opprilig fukso i øskr å ilærm m hsy på og b. Eq. 3 f c cos b si f D førr for lg å gå igom sl ulig brgig hr og i oppgir br rsul. 4
5 Liær krslkroikk Fourirlys 5 Eq. 4 b si cos Mrk og b r korr llr bllr som ku ær skr som [..N]=[,, 3 N> hor N of k ær ulig. D smm glr for b. i k også plo og b i figur. Figur 3. Plo bsm rlisrig og b. Om i lgr å l x-ks is llr ω r opp il oss, m sis oso isr yligs i å r i frkspl Forhol mllom c og i FS M k spørr om horfor i ikk k roppr c l og hllr l summ i Eq. løp fr. Om i gør så il i o få u kompo for ilfll frks r, slik skl ær for c ri. i skkr kl å s og s h i får. Eq. 5 si cos si cos si cos si cos si cos b b b b b b i sr i får skil u kompo og gsår å br å rg u hor sor r. 3.os b 3.os
6 Fourirlys Liær krslkroikk cos m si c ri r gi som milri sigl or prio c c Så r l å s r obbl så sor som c ri og rfor r lik gri å l c fors å h si g urykk ufor summso. FS m cosius rprsso Når i urykkr sigl på form c cos b si sr i ikk irk h som r mpliu og h som r fs. D k i lr s om i skrir Fourirsri på cosiusform som rfor k ær mg yig. FS på cosius form r gi m følg forml. Eq. 6 c c cos Ulig srr m å s på cosius il sum iklr cos x y cos x cos y si xsi y i lr x og y, og uir Eq. 6 or m c D får i sr si lik c cos x y c cos Fokusrr i så på høyr si c cos x cos y c si xsi y 6
7 Liær krslkroikk Fourirlys og øpr l c cos y og c si y b il høyr si form cos x b si x cos b si som i kr ig som im i origil Fourirsri. D isr i k skri c cos cos b si m c b cos c si i mglr br å urykk c og θ klrr. For å fi c krrr i og uyr si cos. i skrir: b c c cos som gir oss b si b c c c cos c cos si si c cos si c slik i fir c c b Cosius og sius r orogol fuksor. i k rfor g m i i igrm m ormlsil ksr som i lig xy-igrm llr som i komplks pl m rl og imgiær ks. Hr hr i bruk xy-igrm. 7
8 Fourirlys Liær krslkroikk y θ x c -b Figur 4. Forhol mllom, b, c, si, cos og θ i sr Figur 4 fsikl θ r gi lg il og b. i k by gssig for å fi θ, m må husk gs r yig x=x+8 o Figur 5. gs for iklr fr il 36 grr isr i hr x=x+8 o. Irsgsfukso r på smm må symmrisk slik 8
9 Liær krslkroikk Fourirlys b. 8 rc i k brg m irsgs, m må g i og b for å gør fs yig. Oppsummrig for cosius rprsso c c b c b rc cos FS m komplks rprsso Noso: For lkroisk sysmr r urlig å l og så for spigs siglr llr fuksor ms i og I bys om srøm siglr. D ikigs hr r i byr smm boks for smm sigl. Så lg mulig il i by sor boks år i bskrir frks pl og li boks år i bskrir is pl. i brukr for å bskri spigs sigl i i. for å bskri spigssigl i frks år bsår iskr frks kompor. ω for å bskri spigssigl som bsår koiurlig frks spkr. ilsr il i, I bli bruk om srøm, p, P om ffk os. Fi år i kr D r ær forbils mllom rigoomrisk fuksor og kspoilfukso i hr cos si Rlso klls Eulrs rlso og frmkommr ylor rkkuiklig. U fr k i ul cos si 9
10 Fourirlys Liær krslkroikk D brukr i for å ul urykk for komplks Fourirsri. i srr m urykk for rigoomrisk sri si cos b c og sr i kspoilfuksosurykk for sius og cosius slik i får b c i k å sml kspoill m lik forg b b c b b c b b c som i så lr opp i o srir b c b D r llr komplks kspoil rprsso, m i k gå lgr. i gør å su forg på i sis summso. For å få il må i førs s på h som skr m og b år i sr i i igrl for iss. For cosius får i ig forrig r lik symmrisk fukso. cosx = cos-x. For sius får i imilri forgsskif sius r isymmrisk fukso. b si si cos cos
11 Liær krslkroikk Fourirlys rr ikk forg år i skifr forg på, m gør b. D r gusig for oss førr il fkor før kspoill blir lik. i k såls kll l m og b for og skri b i sr r komplks sørrls fori iholr bå rl l og imgiær l. Når i sr i skifr også kspoill forg år r gi slik i får c sr i å også c k i skri l ur smm summ g. i får Eq. 7 som må ku sis å ær kompk form i forhol il rigoomrisk rprsso som r uggspuk. Urykk gir oss isfukso år frkskompo r k. i k orbis oss om r rikig å skri u l i summ for kor sri, og så gå bklgs il puk hor i bgy å riks m summr og forg. i srr m slusumm fr Eq. 7, hor i sr i for og korr summso b b c b Så sur i forg i l hor r gi og får
12 Fourirlys Liær krslkroikk b c b i sr så i l summg b c b og r ilbk uggspuk før i bgy å riks m summg og forg, sl om i hr br går fr - il. i sr i hr få smm. i summrr rikigok br fr - il, m sr likl r og k l g brgig m så mg l i må øsk. Fi år i kr I forrig si så i på hor i ku rsformr fukso fr frkspl il ispl. D r lik ikig å ku rsformr isfukso il frkspl. D byr i prksis å bsmm år i kr. Urykk for fir i å sr m igrl for og b og så s i kspoilform for sius og cosius. Gør i fir i urykk Fr il mpliu og fsspkr På smm må som i bruk cosiusrprsso for å fi mpliu og fs for rigoomrisk rprsso Fourirsrir må i kompor komplks ribl for å slør h sir om mpliu og fs. r komplks kor. D hørs ksk ill u, m byr br bsår x og y kompo i kssysm hor i sir y r oppik ks imgiær. L oss isfor y bruk boks for i ikk skl glmm ks r fsiks. i k us skri på ll lig må for kor i - imsol pl. M bkgru i Figur 6 k i skri:, b b cos si hor r rll ms b r imgiær l il. i k urykk å skri =R ms b =Im
13 Liær krslkroikk Fourirlys b θ x * Figur 6. D komplks kor m si komplkskougr *. Us hor i lgr å bskri kor så hr lg og ikl. Lg rprsr sigls mpliu ms ikl forllr om fs. Sr i på Figur 6 så sr i lg som lså r mpliu må ku fis lig rk brgig som for ksmpl Pyhgors ss om kr il si i rk mpliu b Ellr om ikl r k, å s på rigoomrisk forhol. i sr lg il r smm som hypous i rk, b, slik si cos moså hypous hosligg hypous.5b mpliu si.5 mpliu cos D ligs må å brg mpliu på r imilri å s på prouk mllom og *. Sr iikrr i hr å gør m hor b hr skif forg. * klls komplkskougr il. fi skl ær. 3
14 Fourirlys Liær krslkroikk mpliu b b b b * b b Som bl kkur smm som i fikk å bruk kr il si i rk ilsr kr il hypous. ikl som også ilsrr fs fir i å s på kombiso gs og forg il kompo og b Fs.5b rc.5 Im rc R Gru il i også må urr forg il og b r gs r oyig som is i Figur 5. Diskr Fourir rsformso DF i hr s på Fourirsri FS lys som i by il å ors siglr mllom is og frksom. I isom må sigl ær koiurlig og prioisk ms i frks må ærr iskr og prioisk. Digilrs sr på FS klls Diskr Fourir rsformso DF. D rsformso hr også sri som uggspuk, m irkr på iskr prioisk sigl i i. I frksom hr DF, på smm må som FS, iskr spkr, m il forskll fr prioisk FS spkr r DF spkr prioisk. E forusig for å få FS il å fugr rikig r bå i og frksom r ulig. D får i problmr m i mski. i r ug il å plukk u bi sigl og lgr i bll som for ksmpl [. N- ]. I illgg rgr i bll il å oppbr sius og cosius koffisi. [. N- ] b [. N- ] Som i sr bll k br ihol N smplr fr sigl år. 4
15 Liær krslkroikk Fourirlys i k br plukk u kor prio ulig sigl å lgg på iu. δ-iδ=[i] [i] i brkr uplukk som ulig i lys. Mrk kommr il uøsk skrp hopp Uplukk muliplisrs m δ-iδ puls for i= il N- Som gir oss ri il bll [i] Δ Figur 7 Fr log il igil sigl i k by følg formlrk for å rg frm og ilbk mllom i og frksom. i cos b b N N i N i i i i N i cos N i si N i cos N 5
16 Fourirlys Liær krslkroikk Fouririgrl FI i hr så lg s på lys prioisk siglr. i skl å ui Fourirlys il å gl prioisk siglr. D gør i å s på firksigl hor prioi oksr il ulig. Rsul blir Fouririgrl isfor opprilig sri. Når i rgr om fr i il frks for slik klpulsr llr prioisk siglr får i koiurlig frksspkr i mosig il prioisk siglr som hr iskr frksspkr. Figur 8 i lr prioi oks mo ulig for å fi fukso som k bskri frksspkr kl puls. Fi ω år r k Noso ω kllr i for Fourir rsformso D k ors m fri lg sor boks og m ω llr ω som rgum. lri il m of skri r Fourir rsformr il m oso F[] som lså r smm som om m skrir ω. Of sr m bys mr kusrisk sor F m krøllr og sigr. M k også m i rgum ω om m øskr å påpk k ær komplks. Si i hr by for isfukso r urlig i byr sor for frksspkr fukso llr spkrl hsfukso om m rgr fir for å forirrr og llr imporr ull ilhørr. D r slfølglig fri opp il kl å øp isfrks fukso il h m må øsk som, ω, s, Sω, g,gω, os. 6
17 Liær krslkroikk Fourirlys ω ω ω ω ω ω Figur 9. i sr hr o lik isfuksor m uk prioi hr øk i rs. i sr også økig i førr il r s mllom frkskompo i spkr il høyr. Årsk il spkr blir r kommr forhol mllom og ω. i hr i sr rfor blir ulig li år slik i k subsiur Si us går mo ulig får i ω går mo koiurlig ribl Spkr for prioisk sigl r gi Sr i hr skl gå mo ulig får i frksspkr lli blir for ll på gru i hr i r for igrl. E -spkr som srr på ll ksmsoppgr ær fi, m u or r ikk særlig myig. i flyr rfor or il srsi slik i får lim lim 7
18 Fourirlys Liær krslkroikk gir koiurlig frksspkr. Irsrsformso llr Fouririgrl som gskpr issigl hlp frksspkr llr orgg fr frkspl il ispl må i også fi. Irs Fourir rsformso ors of m F - [ ]=. Of sr m bys mr kusrisk sor F m krøllr og sigr. Fi år ω r k i h og k rfor s ir hr i fukso for Fourirsri Hr sr i urykk for og ω år, byr summg mo igrsosg, flyr u og byr rkkfølg på kspoilfukso og ω. D får i rlg rsformso fr frksom il isom. 8
19 Liær krslkroikk Fourirlys ω ω Figur. i sr hr prioisk koiurlig sigl m si koiurlig frksspkr. Eksmpl: Fi frksspkr il klpuls symmrisk om = - = Figur. i sr hr klpuls som r symmrisk om =, m righ = og mpliu NB! mrk ikk r smm som prio i Diskur sigl Fori r kl puls brukr i FI og ikk FS i lys. Fori puls br birr il igrl i prio fr =- il = rgr i ikk igrr or ulig i, m k øy oss m å igrr fr isromm [-.. ] Fori fukso r kos lik or irll k i s =, F For som r uø i form for lys k ær sklig å komm ir. D ø il s i r i ærh o som likr Eulrs ii uryk sius og prø. si 9
20 Fourirlys Liær krslkroikk Uir i m opp og får i r på. Byr i om på rkkfølg - l sr og rkkr g i i prs sr i i hr sius uryk på kspoill form. i k skri si Ig hr i spørsmål om h å. D rfr il s i r i ærh sixx fukso, og r prø å få smm urykk i r som i hr i rgum il sius fukso. D k i få his i uir urykk m u og sr -ll i sub r. Eq. 8 si si si x x Fukso r rl u o forsyrr imgiær l og i rgr rfor ikk fi orm, lg, llr mgiu kær br hr mg for å plo mpliuspkr hr. M uk grs x= som gir sixx= får i -pukr r siusfukso r si x år x,,, 3... os x si år,,, 4... os For sixx får i smm ullpuk m uk ilfll hor rgum =. ω Pk= båbr ω Figur. Firkpuls fr Figur is sg å h ω frksspkr. D sipl li isr fuksosri ms hlruk fuksosli is fuksos bsoluri. D r bsoluri i sr på år i surr mpliuspkr ms i må s på irklig ri år i skl gør fsspørsmål. Mrk form ikr o fr k sixx r frihåsgig
21 Liær krslkroikk Fourirlys Båbr il frksspkr for firkpuls Båbr il spkr r ilærm gi s mllom og førs -puk slik båbr hr blir båbr rsc Lgg mrk il båbr r om proporsol m pulsbr. D byr blir sørr og sørr s mllom førs -puk år puls blir korr og korr. H m frksspkr år puls blir ulig kor? H skr m mpliu? D sr i på år i bhlr Dirc lpulsr. Prouk mllom båbr og pulss righ r ilærm kos ~. D k sis å ær prllll il Hisbrgs usikkrhsrlso, som rprsrr smm r mmisk. Båbr i smmhg r gr bgrp i brukr år i sr på f.ks. båbr il båpssfilr llr il høylr. D r båbr fir som frksområ mllom r mpliuspkr liggr or -3B li. For sigl som i hr hr, byr båbr his i r m l spkr som r ifor bå, il i ku gskp sigl m rimlig øykigh. i sr ig rimlig r g bgrp. D k ikk ss yig fiiso båbr. D skyls sl form på mpliuspkr k rir mg. D førs ullpuk i spkr k grl ikk bruks som fiiso. M k o f.ks. h ullpuk ω=. M k rfor gi skøsmssig frksirll som kkr " ms" frksihol i sigl. Mrk i of gr i båbr slik sr u som må ær obbl som r oppgi i Figur. D kkr bå gi og posii frksr. Ngi frksr r o som i prksis ikk ksisrr så r lig å oppgi br fr og opp il førs posii -puk, m r ikk gl så lg m spsifisr h m mr. Fs il frksspkr for firkpuls i øskr også å s på fsspkr. Fs k i lis fi å bruk irsgs. im r k Hor k r hlll som gør ikl θ k h rir som -π, -π,, π, π os.
22 Fourirlys Liær krslkroikk i sr si i br hr rll i ω, så r fs ø il å ligg lgs rll ks. For å gør om fskor pkr mo sr llr høyr lgs rll ks sr i på forg il ω. Forg r l å s mpliuspkr i Figur. I områ -4 il - r ω gi. D byr fs må pk il sr i Figur 3. I områr - il r ω posii. D byr fs må pk il høyr i Figur 3 I områ il 4 r ω gi. D byr fs må pk il sr i Figur 3. For å gør om fs rir m klokk og blir llr om rir mo klokk og blir + år ω går gi k i ikk s u ifr, m fsspkr r lli isymmrisk m hsy il ω. D sr i irk å skri opp fiiso på FS llr FI, og lr ω skif forg fr pluss il mius. D får i smm rsul som om i lr skif forg fr pluss il mius, som byr i skifr forgskif i fs. Husk fs lli r fkor smm m år m skrir komplks urykk på polr form. Polr form. S også Figur 3 Siuso m symmrisk firkpuls r spsill si + og - pkr smm i. Pg. grll isymmri bør komm frm i grf, r i fkisk k lg om i il l fs gå posii i sr pl og gi i høyr pl llr om. Bgg løsig il ær rikig. I følg hr i lg å l fs gå gi for gi ω og posii for posii ω fx=f-x r symmrisk fukso spil om y-ks, ms fx=-f-x r isymmrisk fukso spil om igol i xy-koorisysm.
23 Liær krslkroikk Fourirlys Im + =- R - =- = Figur 3. Fsforskyig m r mulig lrir lgs rll ks θω ω Figur 4. Fsforskyig for ω Dirc lpuls og Fouririgrl Pul ri Muric Dirc Fø: 8 ug 9 i Brisol, Gloucsrshir, Egl, Dø: ok 984 i llhss, Flori, US. U Uirsi I G. Dircs okorgrshlig Quum mchics g hm Ph.D. gr i 96. I 93 publisr h h pricipls of Quum Mchics. For rbi fikk h Nobl pris i fysikk i 933. Ls mr om hm på hp:www-groups.cs.s.c.uk~hisorymhmicisdirc.hml Dirc fir ulig kor, m ulig høy puls for å løs problmr i kmkikk. D går of ur bgls Dl Dirc puls llr br Impuls. 3
24 Fourirlys Liær krslkroikk Impulsrspos hr is sg å ær yig fiiso også i liær krskikk og siglbhlig. His i sr ilærmig puls i i uk log llr igil rk il rspos som i kllr for impulsrspos bskri rks orførigsfukso. å sur impulsrspos k i fi s orførigsfukso og r lg som irkr på smm må som uk. Digilisrig Smplig E yig bruk kommr lpuls ku ksisrr i i = og igrl puls llr høy * lg =. Muliplisrr i -Δ m log sigl il i få igilisr fori prouk br r lik år -Δ=. Fr firkpuls il lpuls Når blir mir blir spkr brr og omfr flr frksr ulig høy ulig y rl lik Figur 5. Fr kor puls il Dirc lpuls også kl hs puls. ω Frksspkr kos lik, BW=, Hi søy ω i srr m å l firkpuls bli smlr og smlr iil blir ulig sml. For å ugå hl fllr smm il igig må i smiig l pulss høy bli ulig. For lpuls glr følg. rl mpliuspkr fir i Fourirlys på smm må som i is for lig firkpuls i Eq. 8, m hor i sr på grsilfll år blir ulig og u går mo. 4
25 Liær krslkroikk Fourirlys D liggr i fiiso lpuls går mo ulig og u går mo ull på slik må prouk llr igrl hl i r kos lik. D også si x lim x x sr i F si lim lim Kokluso r i får mpliuspkr som r kos = for ll frksr. Skl i gskp lpuls k ku gørs å m lik my ulig mg frksr. Hi søy og syhsizr Ly bskris of hlp frgr musikr og folk som rbir m syhsizr. E sksofo hr rø klg, ms sus og søy hr frgr som grå og hi. Hi søy hr si prllll i hi lys som bsår ll frksr. Frksspkr il lpuls hr lik my ll frksr og r rfor hi spkr. Hi søygrorr r my bruk i syhsizr iholr l som rgs frksr. å kobl i ulik filr k m skp mg forskllig klgr og or. Hi søy gror Filr Filr : Filr olum koroll Syisk ly ck, Dcy Susi, Rls Figur 6. Sys ly bsr på frksspkr il l Dirc puls. Hr filr i Figur 6 k plukk u o m øskr å hør fr hr g på kybor. M k også bl rsul fr flr filr og l iss rir syrk og frks i løp hr o forløp for å kosrur irss isrumklgr. D r yig å k il Fourir rsformsos gskpr iss k hlp oss il å forkl urgig. Egskp går ig i r grr som Lplcrsformso og mg r sr. 5
26 Fourirlys Liær krslkroikk No gskpr rsformso m Fouririgrlr Liri Lirisprisipp for Fourir rsformso sir rsformso il sum o siglr ilsrr summ rs Fourir rsformr. His i hr c c så k i skri rsformso som c c Ellr m oso: F c c Fc Fc c c D r yig illr oss å l opp sklig fuksor og så rsformr m hr for sg. Husk ll fuksor k ls opp i sum o og lik symmrisk fuksor og k forkl Fourirlys fori i får u r rll llr r imgiær rir. isforskyig -τ τ ω - ω= ω -ω 3 - τ τ τ - ωτ 3 ω= ω Figur 7. Forsikls i i førr il fsrig i frks. H byr for frksspkr og hor k i lysr isforsik siglr på? i skl førs rpr lys. D r ikk forsik, hilk ibærr r symmrisk om =. På gru symmri il i for rl fukso i frksspkr. si 6
27 Liær krslkroikk Fourirlys S iligr ulig i si Diskr Fourir rsformso DF i skl å s på som r forskø i i. D r rk r symmrisk llr isymmrisk om = og i må for sr m bå rll og komplks lmr. i k gør lys på o mår. E bhlr i m isforskø grsr llr i lysrr -. i skl is bgg lr og srr m å isforsky grs. Uris byr i i hr S i å i grs får i skillr l rkkr u uir m for å ku omskri il sius m Eulrs i. si Sr i sius og sokkr om for å s r sixx fukso Sr likr på ω m uk fsl Eq. 9 Fourir rsformso forsik firkpuls E lri må å lysr på r å s på - irk. D rgr i pr riks. D r yig i lli k muliplisr m r i må øsk. i skl brukr riks il å skill u forsikls i firr også 7
28 Fourirlys Liær krslkroikk 8 ' brukr riks : som r uhgig u flyr rkkr smm ' ' ' ' for og firr grs ' r subsiur ' Igrrr sr i grs rkkr i forg og uir m for å s r sius si Swr i sius og orr så i sr i får sixx fukso Sr også gg likr på ω m uk fsl Eq. Fourirrsformso forsik firkpuls, lri mo Fs isforskyig Fr iligr huskr i fs for ω pk lgs rll ks fori ω r rl. i huskr også fs ksl mllom, π og π hgig ri il ω og forg il ω. Skrir i ω og ω på polr form sr i klrrr likh i mpliuspkr og forskll i fsspkr.
29 Liær krslkroikk Fourirlys forsikls i isom gir Fourir rsformso ksr fsl i frksom som i illgg il kos ri, π og π il rir m prouk ω. Oppsummrig om isforskyig i ku fi frksspkr il isforskø isfukso på o ulik mår, å forsky grs llr å forsky fukso sl. i så år isfukso blir forskø i i før il: mpliuspkr bl ikk r. Fs bl r og fikk illgg som rir m prouk mllom iklfrks og isforsikls. Diskr i Fourir rsform DF i r også for ors skyl m smm rsformso for igil sysmr. Hr i log puls som i ill rsformr m Fourir Igrl FI k iskrisrs i pukr som lgrs i bll rry [k] som i så k rsformr m forml F k k k k rgum θ r som lig hskor på hssirkl hor θ= ω. i ku by mir krypisk ribl, m r lig å skri slik. Gru r m øskr å ursrk hr br k h rir lgs sirkl m rius. I s for ulig lg r ω ks hr i å fuksosrir lgs sirklbu. D r slfølglig mulig å g bu som r li, m m må ikk glmm år ω hr løp fr - π il + π så il hl g sg iisk. Når i uførr DF iskr puls får i koiurlig frksspkr, m i mosig il spkr fr Fouririgrl blir spkr å prioisk. Når i sr skl bhl Lplcrsformsor il i s også hr fis iskr rsformso. D klls Z-rsformso og r uils DF fr løsigr på hssirkl il hl pl. M summso i DF går o mo ulig! K i få o u i prksis år mskir ikk k hår ulig mg smpls? J isr sg i mg ilfllr urykk or blir gomrisk rkk som korgrr mo fs lig urykk. i hr før sg s mski k hår r Diskr 9
30 Fourirlys Liær krslkroikk Fourir rsform DF, og r fors rikig. i k imilri bruk DF i lys og sys kosrukso iskr sysmr. E ksmpl på r sys filr. i k g øsk pssbå i frksom, igilisr og bruk irs DF for å fi iskr isfukso som i så k bruk il å filrr igil siglr. Eksmpl: lys kor siussks Sigl i Figur 8 bsår kor sks siussigigr. = siω for =[-.. ] = llrs - Figur 8. Puls bså fm sius sigigr Gi sigl si m righ hor r prioi il kl siussigig. hor bskrir ll prior. Diskur sigl og oppg u fr følg momr: H k m si om symmri? b Hilk lys bør m by? c il i for koiurlig llr iskr frksspkr. Bgru sr. Hilk frkskompor forr i å fi? H r som grrr iss? f Fi mpliu- og fsspkr. Løsigsforslg for kor siussks Diskurr sigl Er sigl prioisk? J r prioisk, m br for kor su. Sr i på sigl or i r klr ikk kommr flr sksr. i k brk som prouk mllom ugg på sius gror og firkpuls m mpliu lik og righ lik slik i sr i Figur 9. 3
31 Liær krslkroikk Fourirlys - Figur 9. Eksmpl på kor sius sks D i hr m kl puls å gør, sr i i ikk k by Fourirsri lys FS, m i må lg lys yp som k hår klpulsr. i lgr rfor å by Fouririgrl FI m ku også by Lplc som også k fi frksspkr for slik pulsr. i mrkr oss ir si issigl r prioisk må i rg m å få koiurlig frksspkr. Symmri: i k lli skri =-- D byr sigl må ær isymmrisk bå ifor områ hor i hr sius og llrs. i må rfor for frksspkr br il ihol imgiær kompor. i srr løsig å s sigl i i fiiso for FI si Lgg mrk il i hr bå får ω og ω i urykk og i bå hr o fuksor, rigoomrisk og kspoill i igrl. På gru o fukso ill i orml s om i ku bruk lis igrso på slik må igrl ribl bl bor i fukso. D går ikk hr. i må rfor forsøk å skri om urykk og forkl m il o som k igrrs. Mo å gør på r å skri om kspoill il rigoomrisk l llr å skri om rigoomrisk l il kspoill. i lgr hr sis mo kspoill of r lr å hår. si Fr Eulrs ii S i i for sius får i 3
32 Fourirlys Liær krslkroikk 3 Ns skri blir å rkk kspoill som sår ufor, i i urykk fr siusl Si = for ll rir ufor områ [-τ.. τ] så k i s i som grsr. i k også l opp igrl i o klr igrlr. i får Diss o urykk r kl å igrr år i k rgl for igrso kspor. sr i i grs får i L L i sr i grs og fir
33 Liær krslkroikk Fourirlys 33 si si si si i k også s i for u si Gør i smiig som i flyr opp i llr får i si si D r urykk som bsår o sixx fuksor som r forskø i hr si rig. i sr også urykk br hr imgiær kompor hl urykk r muliplisr m komplks hskor. D smmr m i for iligsis ur symmri brkig. i k ss hr, m r fris å forkl o mr si i på gru symmri hr følg si si si si : si si : og o Lik Urykk siπ+θ k rfor skris som siθ for ll lik og som -siθ for ll o.
34 Fourirlys Liær krslkroikk Lik : o : si si si si -Puk mpliu il ω Si hl fukso br hr imgiær l så il lg llr mpliu ær lik bsoluri. For lik får i: si si Fs il ω Fs byr rig llr ikl il. i sr urykk for br hr imgiær kompor. Ds. br pkr lgs komplks -ks. Rig opp llr il ær hgig forg som s sik fukso. E plo fs il s u som igil sigl hor i br k h ri + og -. Im ω=+b R ω=-b Figur. i sr hr hor ω br k pk lgs imgiær ks fori i ikk hr o rll i kor ω. 34
35 Liær krslkroikk Fourirlys mpliu Fs mpliu Fs mpliu Fs Figur. Plo mpliu og fs il frksspkr ω for = ørs, =, mi og =3 rs. ω =5 rsc 35
36
2 Fourieranalyse. Introduksjon. jω s-plan σ. F(s)
Fourirlys Ihol INRODUKSJON... Hm h r, Fourir llr Lgrg?... 3 Hilk Fourirlysr brukr i?... 3 FOURIERSERIENLYSE FS... 4 FS m rigoomrisk rprsso... 4 FS m cosius rprsso... 6 FS m komplks rprsso... 9 Diskr Fourir
DetaljerFenomenet kalles resonans. Hvis lydtrykksvingninger treffer en gjenstand som liker å svinge i samme takt, så vil den også begynne å svinge.
Liær krslkroikk Fourirlys Fourirlys Ihol INRODUKSJON... Hm h r, Fourir llr Lgrg?...3 Hilk Fourirrsformr rukr i?...3 FOURIERSERIE FS...4 FS m rigoomrisk rprsso...4 FS m osius rprsso...6 FS m komplks rprsso...9
DetaljerFys3220 Forelesningsnotat uke 34 H.Balk
Fys3 Forlsigso uk 34 H.Blk Ihold VELKOMS OG KURSINFORMASJON.... VELKOMMEN.... KURS INFORMASJON....3 PENSUM OVERSIK... INRODUKSJONSEORI.... DEMONSRASJON AV LYDSIGNALER.... VEKORER....3 KOMPLEKSE VEKORER...3.4
Detaljer1 dc. Uke 35 FYS3220 Forelesningsnotater. H.Balk Fourier analyse
Uk 35 FYS3 Forlsgsor. H.Blk Fourr lys Rpso... Fors FS md komplks form... F mplud og fs fr V... 3 Dskr Fourr rsformso (DF... 5 Fourrgrl (FI... 7 Fr prodsk sgl l puls... 7 Bådbrdd l frkvsspkr for frkpuls...
DetaljerMuntlig eksamensøvelse. På en muntlig eksamen hjelper det ikke å kunne tenke svaret. Det må sies.
FYS3 9 Uk 39 Oppgvr md løsningsforslg 39. Lplc spørsmål om polr LR og LRC... 39. Lplc rnsformson * sin... 39.3 LP-filr Konsrukson og nlys. s ksir md n dl puls... 5 39.6 Fourirrnsformson v rmp puls... 9
DetaljerFormelsamling for matematiske metoder 3.
Formlsmli for mmis modr 3 f f Grdi Slrfl f r rdi f Risdrivr drivr il slrfl f i p o i ri r f f f os vor risvor r svor o r vil mllom rdi o risvor rivr v vorfl F m : F R F R vær diffrsirr i r F i d drivr
DetaljerMatematikk for IT, høsten 2018
Mtmtkk for IT, høst 8 Oblg Løsgsforslg 7. sptmbr 8.7. ) for >. 7 b) for >. 7 c) for >. 7 d) ) for >. 8 8 8 8 8 7 8 7 8 .7. ) for >. 7 8 b) for >. 7 ) 7 ) 7) ) 7 ) 7) c) for >..7.8 ) ) ) ) ). Bss:. Rkursjosforml:
DetaljerØVING 2: DIMENSJONERING MHT KNEKKING. Likevekt: Momentlikevekt om punkt C (venstre del av figur (b)): M +Hx - Fy = 0 M = Fy - Hx. Fy EI. Hx EI.
MSK0 Masiosrusjo ØSNINGSOSG TI ØVINGSOPPGV Kap. Oppgav.5.8 ØVING : DIMNSJONING MT KNKKING Oppgav.5 a) Uldig av ulr ilfll III iv: Momliv om pu C (vsr dl av figur ()): M +x - y 0 M y - x Vi v fra fashslær
DetaljerBALANCE. Sunniva. Vi har snakket med. Flerkulturell bakgrunn 13. FEBRUAR 2015 BALANCE
BALANCE k s i r f D i h o o sm p p o a r a h i V A M E T G I VIKT Flrkulurll bakgru Klub b bl m som bar r kl ubb Vi har sakk md Suiva magasi.idd 1 1 13.02.2015 13:02:52 Ldr Ihold I d ugav av BALANCE ka
DetaljerKrav om sikker påfyllingsanordning, transport og merking av emballasje for bioetanol til alkoholfyrte peiser.
D da Vår rfras Vår sasbhadlr Drs da Drs rfras gby, lf. 33 41 25 00 I hhld il lis 1 av 5 Arivd 422 Krav sir påfylligsardig, raspr g rig av ballasj fr bial il alhlfyr pisr. Dirra fr safssirh g brdsap (DSB)
DetaljerRekordhøy EBITDA og godt posisjonert for fremtidig vekst
Rkrhøy EBITDA ijr fr frii v I fjr kvrl vr Tlr rifir illirr krr, ilvr rik iv å r. EBITDA før r r vr, illirr krr, EBITDA-ri vr,6 r, rø vr, illirr krr. -I lø v hr Tlr-kr ø llr rhl rkl i vår vii rkr. I fjr
Detaljer2. Å R S B E R E T N I N G O G R E G N S K A P F O R A ) Å r s b e r e t n i n g o g r e g n s k a p f o r
I N N K A L L I N G T I L O R D I N Æ R G E N E R A L F O R S A M L I N G 2 0 1 0 O r d i n æ r g e n e r a l f o r s a m l i n g i, a v h o l d e s m a n d a g 3. m ai 2 0 1 0, k l. 1 8 0 0 p å T r e
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014
Norgs tkiskaturvitskaplig uivrsitt Istitutt for matmatisk fag MA Grukurs i aalys II Vår 4 Løsigsforslag Øvig 8.8. a) Vi har fuksjo f(). Vi skal taylorrkk til f i puktt, kovrgsitrvallt til d rkk, og vis
DetaljerVåre Vakreste # & Q Q Q A & Q Q Q - & Q Q Q.# arr:panæss 2016 E A A 9 A - - Gla- ned. skjul F Q m. ler. jul. eng- da- jul. ler.
Vå Vks rr:pnæss 06 Kor L JUL Q Q Q ^\ # Q Q Q ht Q Q Q # 6 Q Q Q # Q Q Q # Ju lg u u Q Q Q # # v blnt # LL: u # mj # # # # d fly p r ds Q Q m # # år lønn Ju v g v g # jul # grønt 6 # # u Lønn gå # hvor
DetaljerANNERLEDESLANDET NORGE? FOOD 2017: OSLO
ANNERLEELANET NRGE? : L.3. RE TEEN HLER NHH NG PRERHIP IN CMPETITIN ECNMIC N GRCERY MARKET EPARTMENT ECNMIC NRWEGIAN CHL ECNMIC JA! Ng vlig ks mak 45,% 4,% 35,% 3,% 5,%,% 5,%,% 5,%,% Cp Ng ICA NgsGupp
DetaljerK j æ r e b e b o e r!
K j æ r e b e b o e r! D e t t e e r i n n k a l l i n g e n t i l å r e t s g e n er a l f o r s a m l i n g. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g e t s å r s m e l d i n g o g r e g n s k a
DetaljerElevrådskokeboka. ~ Nyttige tips til deg som driver med elevråd ~
Elåkkbk ~ Nyig i il g i lå ~ F D l g øl bli lg, få li lig ø. O Bick Elå l g g å kl, g å fi il å k i f l. Ig lå l k b lå. Skl kl lgg il f lå k fug g, å øg f øig læig g ifj ui. My kuk g fig gå f i ykig illilg
DetaljerK j æ r e b e b o e r!
K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n nk a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g et s å r s b e r e t n i
DetaljerK j æ r e b e b o e r!
1 K e y s e r l ø k k a Ø s t B o r e t t s l a g K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n nk a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d
DetaljerGrunntall 10 Kapittel 2 Algebra Fordypning
Grunntll 0 Kpittl Algr Forypning Kvrtstningn Fsit: I t kvrt r ll sin lik lng. Vi innr rlt v kvrtt v å multiplisr n si m sg slv. Dtt r t smm som å opphøy t tll i nr potns. Å opphøy t tll i nr potns klls
DetaljerMatematikk 15 V-2008
Matmati V-8 Løsigsorslag til øvig 7 OPPGVE Liigssttt på matrisorm: t b t y. t z t Et liært og vadratis liigsstt ar tydig løsig vis og bar vis dt Drsom dt må ølglig liigssttt a dlig mag løsigr llr ig løsig.
DetaljerOffentlige anskaffelser
NIFS-mø 13. fbruar: Ny skkrhsov Off askaffsr 1. Hvk rvrk ska du bruk? 2. Hvk krav ka du s? Sorrådvr Mar Vsr Df I K T I K T r I K T r o f d s a I K T r o f d s a j h I K T r o f d s a j h I K T o f d s
DetaljerFORELESNINGSNOTATER I INFORMASJONSØKONOMI Geir B. Asheim, våren 2001 (oppdatert ). 2. ADFERDSRISIKO 2.1 ADFERDSRISIKO -PROBLEMET
FOREESNINGSNOTATER I INFORMASJONSØKONOMI Gr B. Ash, år odatrt.... ADFERDSRISIKO Otal kotraktr dr asytrsk forasjo. Agts sats r kk rfsrbar; ds., kotraktr ka kk btgs å. Agt å gs str tl å lg d sats rsal øskr.
DetaljerTegn og tekst. Om tegn og glyfer. Tegnkoder og kodetabeller Kode Noe som representerer noe annet. Et representert tegn kan vises på flere måter
r s s {rb} ærb p br brp r bs srr på ppr sr sr ss r r r rrr år på s s s sr rr s ss r r s brs å sr r pår rss r rør sp b b år rss å r s s s rprsr ss på r år prspp rprss r rs rr rprss r s r α r s r br s rprsrr
DetaljerK j æ r e b e b o e r!
K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n nk a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g et s å r s b e r e t n i
DetaljerP r in s ipp s ø k n a d. R egu l e r i ngsen d r i n g f o r S ands t a d gå r d gn r. 64 b n r. 4 i Å f j o r d ko mm un e
P r in s ipp s ø k n a d R egu l e r i ngsen d r i n g f o r S ands t a d gå r d gn r. 64 b n r. 4 i Å f j o r d ko mm un e O pp d ra g s n r : 2 0 1 50 50 O pp d ra g s n a v n : Sa n d s ta d g å r d
DetaljerK j æ r e b e b o e r!
K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n nk a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g e t s å r s b e r e t n i
DetaljerI N N K AL L I N G T I L O R D I N Æ R T S A M E I E R M Ø T E
I N N K AL L I N G T I L O R D I N Æ R T S A M E I E R M Ø T E 2 0 0 9 O r d i næ r t s am e i e rm ø t e i S am b o b o l i g s a m ei e fi n n e r s t e d t o r s d ag 3 0. 0 4. 2 0 0 9 K l. 1 8. 3 0
DetaljerI N N K A L L I N G T I L O R D I N Æ R T S A M E I E R M Ø T E
I N N K A L L I N G T I L O R D I N Æ R T S A M E I E R M Ø T E 2 0 0 9 O r d i n æ r t s am e i e rm øt e i S am e i e t W al d em a rs H a g e, a v h o l d e s t o rs d a g 1 8. j u n i 2 0 0 9, k l.
Detaljerslrrd s/ t-l Fi ia Fi fl:r ged <^'(n fi Ft'H s ks F;A= HX3 I(: 2 * d;gb ri EF g 3 = t?$ lh 3[ X +i ?$i Es xe 0i i,r s E O X > t-
#l l :ll.ll! i = l = :9X {n\j d,s.w{ 4. ld / l i i i fl: D LCJ Wi] fi ' ;= X h
DetaljerTore på sporet - Hvor tar avfallet ditt veien?
N 1 2011 Kubl T p p - Hv vfll v? D m bu m gj V lv v v l g fy g v u g Sull ll h lv m vll v h u M v m l p l v h, g g v p lvgulg v D v ll b l, bl v l V vfll lgg v l f gjvg N l vfll bu p y, m ff l y pu ll
DetaljerDELTAKERINFORMASJON FEMUNDLØPET 2014
DELAKERINFORASJON FEUNDLØPE 1 Vdg ir du vikig irj di dk. Vig vdg irj øy g jkk gå id vår www.ud. d d y øybkriv vriærirj g rgr. Vi økr dg gd ri i Rør g r r i å øk dg vk! Rgirrig krri g buikk Skrri bir å
DetaljerEKSAMEN Løsningsforslag
EKSAMEN Løningforlag 8. juni Emnkod: ITD5 Dao: 6. mai Emn: Mamaikk Ekamnid:.. Hjlpmidlr: - To A-ark md valgfri innhold på bgg idr. - Formlhf. Faglærr: Chriian F Hid Kalkulaor r ikk illa. Ekamnoppgavn:
DetaljerLøsningsforslag til øving 11
OPPGVE Kommnar: Høgskoln Gjøk d. for kn. øk. og ldls amakk Løsnngsforslag l øng ll nkn r løs md "Ubsm koffsnrs mod" sl om også knn a bn Lagrangs mod. a ODE:. d nalbnglsr: ( ( Homogn løsnng: ( Ds. løsnngn
DetaljerTraversering av grafer
Trvrsring v grr Algoritmr og tstrukturr Øvingsorlsning 8 Trvrsring v grr Algoritmr og tstrukturr Øvingsorlsning 8 v Hnrik Grønch Agn Hvoror lær om grr Rprsntsjon v grr BFS DFS Topologisk sortring Øving
DetaljerFaktor. Eksamen våren 2005 SØK 1003: Innføring i makroøkonomisk analyse Besvarelse nr 1: -en eksamensavis utgitt av Pareto
Fakor -n ksamnsavis ugi av Paro ksamn vårn 2005 SØK 1003: Innføring i makroøkonomisk analys Bsvarls nr 1: OBS!! D r n ksamnsbvarls, og ikk n fasi. Bsvarlsn r un ndringr d sudnn har lvr inn. Bsvarlsn har
DetaljerI n n k a l l i n g t i l o r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e
I n n k a l l i n g t i l o r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e 2 0 1 1 O r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e i L i s a K r i s t o f f e r s e n s P l a s s S E, a v h o l d e s o ns d a g 9. m a r s
DetaljerVEDLEGG EGENOPPGAVE Slgr/ir:,J air^ 0< K^ l,rn narrr' 5,/rzi{ rr? cnn, BNR l-, fl KoMMNR S*lrr/^ I Posnr: f Å,f0 Ko na^ l Grunnmur, fundamn og sokkl: L I Kjnnr du
DetaljerFAG: FYS Fysikk LÆRER: Fysikk : Per Henrik Hogstad
UNIVESITETET I AGDE Grimsd E K S A M E N S O P P G A V E : FAG: FYS Fysikk LÆE: Fysikk : Per Henrik Hosd Klsse(r): Do:.. Eksmensid, fr-il: 9. 4. Eksmensoppen besår følende Anll sider: 4 (inkl. forside)
DetaljerS T Y R E T G J Ø R O P P M E R K S O M P Å A T D Ø R E N E S T E N G E S K L
K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n nk a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g et s å r s b e r e t n i
DetaljerOppgave 1 (15%) KANDIDAT NR.:
ES DETTE FØRST: D 4 førs oppgavn bsvars vd a du sr kryss i valg alrnaiv og lvrr diss arkn s. 5 inn som svar sammn md din løsning av oppgav 5, som r n radisjonll rgnoppgav. Husk å skriv kandidanr på arkn!
DetaljerSex Offender Residency Restriced Areas
Mp Pi G Di c Hp Ri k T P Li pc c Bb Bi. J c G Bic Yk C G M M Bc k M Pic L Oc F P Hig Bk C Db Pk M V Ppc Cick P C L Ci F Qib k P N Mp Ck' C C M P C A Lci A. Db Pk C P C M V Mi Pk C BH Aic Fi ii A.,. Fi
Detaljers Ss H= ul ss i ges su Es $ ieig *isx E i i i * r $ t s$ F I U E,EsilF'Ea g g EE $ HT E s $ Eg i i d :; il N SR S 8'i R H g i,he$r'qg5e 3
"t q) )t 9q ) nf;'=i \0.l.j >, @ N c\, l'1 { rrl r) cg K X (), T t'1 s Ss q r' s S i i * r $ t s$ iig *isx i i gs su s $ Ss N SR S f, S = ul ss i? X $ $ g $ T s i :; il \ei V,t. =R U {N ' r 5 >. ct U,sil'
DetaljerINNKALLING TIL ORDINÆRT SAMEIERMØTE 2009
INNKALLING TIL ORDINÆRT SAMEIERMØTE 2009 O r d i n æ r t s am e i e rm øt e i R u d s h ø g d a V B / S, a v h o l d e s m a n d a g 1 6. m a r s k l. 1 8 : 0 0 p å L o f s r u d s k o l e, L i l l e a
DetaljerK j æ r e b e b o e r!
K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n n k a l l i n g e n t i l år e t s g e n e r a l f o rs am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g et s å r s b e r e t n i n
DetaljerINNKALLING TIL ORDINÆRT SAMEIERMØTE 2010
INNKALLING TIL ORDINÆRT SAMEIERMØTE 2010 O r d i n æ r t s am e i e rm øt e i S am B o B o l i g s am e i e, a v h o l d es o ns d a g 2 8. 04. 2 0 1 0, k l. 1 8. 3 0 i G r ef s e n m e n i g h e t s s
DetaljerINNKALLING TIL ORDINÆRT SAMEIERMØTE 2010
INNKALLING TIL ORDINÆRT SAMEIERMØTE 2010 O r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e i S / E S o r g e n f r i g a t e n 3 4, a v h o l d e s o ns d a g 1 0. m a rs 2 0 1 0 k l. 1 8. 0 0 i K l u b b r o m m
DetaljerK j æ r e b e b o e r!
K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n n k a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s a m l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g et s å r s b e r e t n
DetaljerI n n k a l l i n g t i l o r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e
1 V a l d r e s g t 1 6 S / E I n n k a l l i n g t i l o r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e 2 0 1 1 O r d i n æ r t s am e i e rm øt e i V a l d r es g t 1 6 S / E, a v h o l d e s o n s d a g 2 7. a
DetaljerK j æ r e b e b o e r!
1 H o v i n B o r e t t s l a g K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n nk a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s
Detaljersi1, }ll :i tl .nn -{i q il th; !9ft $.\ l l.i t- -l s i l l)l\ _1 L _!.1 '{'- l s -,,
.L q,. -, + s. :.nn = -,, _. ''- ' ' } 3, _ L ' s, - - s :,34 : q )L 9 h;,u 9 r c ( ( q ( : - ' -' D,T -a 4 : n,r 3' -r 3?' - : '?:). L '29_ 'r }5. r's '_, T e: 'a...nn. 2 T ' 3, Z ',, . ; :.,,r.' - *
DetaljerK j æ r e b e b o e r!
K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n nk a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g et s å r s b e r e t n i
DetaljerTa meg med hjem! Play-Doh tips og moro LEK OG LÆ NYE KREATIVE PROSJEKTER SOM GIR MANGE TIMERS GOD LEK FOR DEG OG BARNET DITT MER!
Play-Doh tips og moro Y KRV PROJKR OM GR MG MR GOD LK FOR DG OG BR D LK OG LÆ MD O R D B FR B GG V ÅP, RDR. OG MR! JYR O R B V K a meg med hjem! 05 Hasbro. Med enerett. K L B R U G GR < ORM V KLK FRGR
DetaljerVEDLEGG FAUSKE KOMMUNE - REGULERINGSBESTEMMELSER I TILKNYTNING TIL REGULERINGSPLAN FOR SJÅHEIA 1 D rgulr områd r på plann v md rgulrnggrn Innnfor dnn bgrnnnglnj kal bbyggln plarng
DetaljerAsker 17.03.12. Kaare Granheim: Askers rolle i den regionale utviklingen. Konsekvenser for befolkning og boligmarked i Asker
Askr 17.03.12 Kaar Grahim: Askrs roll i d rgioal utviklig. Koskvsr for bfolkig og boligmarkd i Askr Kaar Grahim Vidrgåd (KG) NTH bygigsigiør md økoomi for kraftkommur som ksamsoppgav Aspla 1970 md kommual
DetaljerMAYERS LIVSSITUASJONS-SKJEMA (3) Er du i stand til å: På egenhånd Vanskelig Svært vanskelig
Nvn: MAYERS LIVSSITUASJONS-SKJEMA (3) Dto: Vnnligst svr på spørsmåln som r rlvnt for g, v å stt t i ktull rurikk. 1. TA VARE PÅ DEG SELV Er u i stn til å: På gnhån Vnsklig Svært vnsklig f g h i j k l m
DetaljerBakgrunnsstatistikk. Vedlegg til tilrådning kommunestruktur i Sør-Trøndelag
Bkgrssttistikk Vgg ti tiråig kommstrktr i Sør-Trøg 30.09.2016 Fok og smf Brhg og oppærig Br og forr Hs og omsorg Mijø og kim Lbrk, mt og ririft Komm styrig P og bygg Smfssikkrht og brskp Bfokigstvikig
DetaljerUTLEIGE AV CONTAINERAR. Botnetank AS Eidsfossveien Eidsfoss. Mob: E-post:
lsk k Avfllss l T I A l slsk s k l, IKS i i N, D k i v i f li. IATA IKS Å l s Nis s sli, i ki i ø ilj isk sik i øk ll f v v li slh s. Ml fsvl l fll j v v v. f k vi j s si vflls f i IATA h s kv i 28 ils
DetaljerSOMMERTID! 5.900,*Prisen gjelder ved utskifting av eksisterende klosett. Inkluderer eventuelle
SOMMERTID! r i d d a ø b r s! s b D Usil i vår bu all ikkr! 11.990,- Showrama 8-5 4.490,- Dusjkabi. 90x90 cm. Klar glass/hvi profilr. Lvrs md hvi avagbar fropal. Høyd 222-225 cm. Eksra brd døråpig. Ikludr
DetaljerIntern korrespondanse
BERGEN KOMMUNE Byrådsavdling for hls og omsorg Inrn korrspondans Saksnr.: 22858-9 Saksbhandlr: GHAL Emnkod: ESARK-44 Til: Fra: Hls og omsorg flls v/ Finn Srand Sksjon for hls og omsorg Dao: 15. mai 2013
DetaljerSk ie n ko mm une. R EG UL E R I N GS B ES T E MM E L SER T I L D eta ljr e gu l e ri n g
R EG UL E R I N GS B ES T E MM E L SER T I L D eta ljr e gu l e ri n g K j ø r b ekk d a l en 12 D 220 / 211 m. fl R e g u l e r i n g s be s te mm e ls e r sist date r t 27.09.17. P l an k a r t sist
DetaljerEKSAMEN løsningsforslag
. mai EKSAMEN løningforlag Emnkod: ITD5 Emnnavn: Mamaikk andr dlkamn Dao:. mai Hjlpmidlr: - To A-ark md valgfri innhold på bgg idr. - Formlhf. - Kalklaor om dl amidig md oppgavn. Ekamnid: 9.. Faglærr:
DetaljerI n n k a l l i n g t i l o r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e
1 S a m e i e t S o l h a u g e n I n n k a l l i n g t i l o r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e 2 0 1 1 O r d i n æ r t s am e i e rm øt e i S am e i e t S o l h a u g e n, a v h o l d e s o n s d a
DetaljerFAGKONFERANSE KONTROL L OG TILSYN GARDERMOEN JUNI A RSMØTE I FORU M FO R KONTROLL OG TILSYN 5. JUN I 2013
FAGKONFERANSE KONTROL L OG TILSYN GARDERMOEN 5.- 6. JUNI 201 3 A RSMØTE I FORU M FO R KONTROLL OG TILSYN 5. JUN I 2013 09. 0 0 1 0. 0 0 R E G I S TR E R I NG N o e å b i t e i 10. 0 0 1 0. 15 Å p n i ng
DetaljerFAG: MA-209 Matematikk 3 LÆRER: Per Henrik Hogstad KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG
UNIVEITETET I GDE Gimsa E K M E N O P P G V E : G: M-9 Mamaikk LÆE: P Hnik Hogsa Klass: Dao: 8.8. Eksamnsi a-il: 9.. Eksamnsoppgan bså a ølgn nall si: 5 inkl. osi nall oppga: nall lgg: Tilla hjlpmil :
DetaljerRidge-Midvale to Arrott Transportation Center
K i c Ju 9 9, 20 T P E f Ef Rig-Mil rr Trpri Cr rig Grmw Cumr ric 25-580-7800 TDD/TTY 25-580-7853 www.p.rg rk R 28 wy Pk Rb ick b WNDE i K m rr Whi k r lg um Fr mr r c l 28 k Tk Ch wl TTIN Fr Cr cill R
DetaljerE K S A M E N S O P P G A V E : FAG: FYS105 Fysikk LÆRER: Per Henrik Hogstad KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG
HØGSKOLEN I GDER Grisad E K S M E N S O P P G V E : FG: FYS05 Fysikk LÆRER: Per Henrik Hogsad Klasser: Dao:.09.08 Eksaensid, fra-il: 09.00 4.00 Eksaensoppgaen besår a følgende nall sider: 5 inkl forside
DetaljerNewtons lover i to og tre dimensjoner 09.02.2015
Newons loer i o og re dimensjoner 9..5 FYS-MEK 3..4 Innleering Oblig : på grunn a forsinkelse med deilry er frisen usa il onsdag,.., kl. Innleering Oblig : fris: mandag, 6.., kl. Mideiseksamen: 6. mars
DetaljerKap. 8-3 Sveiseforbindelser. Kap. 8-3 Sveiseforbindelser. Sveiseformer for lastbærende smeltesveis Gjennomgående sveis:
Kap. 8-3 Svisforbidlsr Kap. 8-3 Svisforbidlsr Svisformr for lastbærd smltsvis Gjomgåd svis: Svisig : prosss for sammføyig llr blggig av (i først rkk) mtallisk matrialr. bruks år dt r stor krav til styrk,
DetaljerI n n k a l l i n g t i l o r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e
I n n k a l l i n g t i l o r d i n æ r t s a m e i e r m ø t e 2 0 1 1 O r d i n æ r t s am e i e rm øt e i L y s e T e r r a s s e B s, a v h o l d e s o n s d a g 1 6. 0 3. 20 1 1, k l. 1 8 : 0 0 p
DetaljerNext Generation Plattformen Quick guide
Nxt Gnrtion Plttformn Quik gui Dnn kortftt guin hr litt stt smmn for å hjlp g å rskt li kjnt m mngfolig funskjonn og vrktøy som r tilgjnglig på Nxt Gnrtion Plttformn. Finn frm til prouktr å hnl og mrksnyhtr,
DetaljerTegn og tekst. Et representert tegn kan vises på flere måter. Noen definisjoner. Enda noen definisjoner. \yvind og ]se N{rb}? a a a.
o o {rb} rprr på r år o prpp rpro r r rr rpro o r o or α r o or bor brp or b rr på ppr r r r r r rrr år på o oroooro o r or o br å r r pår r r orør p o b b år r å r o o o rprrr o p o rprrr o or op r r
Detaljer145± ±175 St 52 S ± ±225
SNG V VKTG GNNG, DT, TB OG GU KP.. NNDNNG Pll: l o 5,, og. 5:, 6, 5,, 6,. :,.5, 6,, 5,.5,, 5, 6, 8,. :,..5,, 6, 8,,., 5, 8,.5, 5.5,, 5, 5, 56, 6, 7, 8, 9,. :,.6,.,.8,.5,.,, 5, 6, 7, 8, 9,,.,.,.6, 5, 6.5,
DetaljerO v e rfø rin g fra s to rt a n le g g til m in d re a n le g g
O v e rfø rin g fra s to rt a n le g g til m in d re a n le g g H v a k a n e n m in d re k o m m u n e ta m e d s e g? Iv a r S o lv i B enc hm a rk ing Wa ter S olutions E t s p ø rs m å l s o m m a
DetaljerDynamisk programmering. Hvilke problemer? Optimalitetsprinsippet. Overlappende delproblemer
ysk progrrg Mtod bl forlsrt v Rchrd Bll (RAN Corporto på -tllt. Progrrg btydg pllgg, t bslutgr. (Hr kk o d kod llr å skrv kod å gør. ysk for å dkr t dt r stgvs prosss. M også t pytord. Hvlk problr? ysk
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MAT 1100, 8/12-04 Del 1
Løsningsforslag til ksamn i MAT, 8/- Dl. (3 pong) Intgralt x x dx r lik: x x x + C x x + C x 3 3 x + C x / + C x x x3 3 x + C Riktig svar: a) x x x + C. Bgrunnls: Brukr dlvis intgrasjon md u = x, v = x.
DetaljerVed å prøve lykkehjulet 1000 ganger har vi funnet ut at sannsynligheten for at pila stopper på de ulike fargene er slik du ser i tabellen nedenfor.
Mtmtikk for ungomstrinnt KAPITTEL 5 STATISTIKK OG SANNSYNLIGHET FLERE UTFORDRINGER Oppgv 1 Osr h htt tr ulik mtmtikkprøvr. Hn h rgnt riktig 90 % på n først prøvn, 80 % på n nr prøvn og 75 % på n trj prøvn.
Detaljer6 Konsept. 6.1 Løysingar. Juni Statens vegvesen
tt Jui 2 j t r t i t r i 6 I f k k t pukt i firttikk:. Tiltk pårkr trprtttrpør trprti 2. Tiltk ir r ffkti ytti kitr ifrtruktur 3. tr kitr ifrtruktur 4. Nyitr tørr byir ifrtruktur ørt t r lit kt fr VU.
DetaljerEvaluering av NGU-dagen
.. :: QustBk xport - Evlurin v NGU-n Evlurin v NGU-n Pulis rom.. to.. rsponss ( uniqu). Forrn på NGU-n vr li rlvnt 9 9,9 %, %,8 %,8 %, %, % Avr,9,,. Tmn or rupprit vr o, % %, % 8, %, %, %, % Avr, 9,8,
Detaljerinf 1510: prosjekt Tone Bratteteig
if 1510: pj T Bi if1510: 23 ju 2013 Iiu f Ifi Li &l IDEO hbp://wwwic/w/hppi- c- ccphbp:// i hlv- vi wwwyuubc/wch?v=m66zu2pcicm Li &l 6å pj Kyi, li på i &l S hbp://ifiui/pj/yi/ hbp://vic/43105142 hbp://ifiui
DetaljerDemensplan Nedre Eiker Kommune 2009-2015
Dmsplan Ndr Eikr Kommun 2009 - Uarbidls av dmsplan for kommun r omal i Kommunlplan Hls og Sosial. Plan ar ugangspunk i Dmsplan fra hlsdirkora og r kny il ufordringr Ndr Eikr kommun sår ovrfor i år frmovr.
Detaljer3. Beregning av Fourier-rekker.
Forelesigsoaer i maemaikk. 3. Beregig av 3.. Formlee for Fourier-koeffisieee. Vi går re på sak: a f være e sykkevis koiuerlig fuksjo med periode p. De uedelige rigoomeriske rekka cos( ) si ( ) a + a +
DetaljerKinematikk i to og tre dimensjoner 29.01.2014
Knemkk o og re dmensoner 29.1.214 FYS-MEK 111 29.1.214 1 hp://pngo.up.de/ ccess numer:7182 En len l der en sørre lsel som hr død er. Mssen l lselen er sørre enn mssen l len. Hlke følgende usgn er korrek?
DetaljerStiftelsen norsk Okkupasjonshistore, ;j'1.}~0['l.:mrwn for ei 'lnne1 Flen,tV :!'J.~ o SNO. - l/~ 4... ,!j.';;'; - 45.
l..;j'1.}~0['l.:mrwn for ei 'lnne1 Flen,tV :!'J.~ o, :J 6. 7. - l/~ 4...,!j.';;'; - 45. .~~- ~,,: fc:c'.,.f., ~,.,;:.,,' ;,,' c, '.-. \'... -...,; 'y:~:,'... ~... -. '.,,,,\, ~ :.' ~'I' l ~'.. _. ~ '...,
DetaljerTDT4195 Bildeteknikk
D495 Bildtknikk Grafikk Vår 9 Forlsning 6 Jo Skjrmo Jo.skjrmo@idi.ntn.no Dpartmnt of Comptr And Information Scinc Jo Skjrmo D495 Bildtknikk D495 Forrig gang Gomtrisk transformasjonr dl Basistransformasjonr
DetaljerHåndbok 014 Laboratorieundersøkelser
Vdlgg 1 sid 1 av 5 Hådbok Vdlgg 1 Jordartsklassifisrig Vdlgg 1 Jordartsklassifisrig Vrsjo mars 2005 rstattr vrsjo juli 1997 Omfag Jord ka bstå av t miralsk matrial, orgaisk matrial llr bladig av diss.
DetaljerHverdagen. er bedre med meny -30% stort på fis. Nå kutter vi prisene på et stort utvalg av fisk og skalldyr med opptil 35% Ferske svinekoteletter
Hvag b m my 6 so ps u på fs Nå u v ps på so uvalg av fs og sally m oppl 35% 46% 28% 47-50% 9 o.ps 18,,/ o.ps 74,/g p pos Fs svol Eloao juc Po fa fsvas 1,5 l, appls/pl/foos(6,/l) 2 g, Asx. Ba, Pmpll (9,95/g)
DetaljerNewtons lover i to og tre dimensjoner
Newons loer i o og re dimensjoner 3..4 Innleering: på papir på ekspedisjonskonore: bruk forsiden elekronisk på froner én pdf fil nan på førse side egenerklæring med signaur innleeringsboks på ekspedisjon
DetaljerLevanger kommune, Foreløpig registrering, pr. 9. des. 2005
240.001 Levanger og Frosta, PPT Klienter A F ca. 1964 ca. 1984 404.6.6 362 240.002 Levanger og Frosta, PPT Klienter G K ca. 1965 ca. 1985 404.6.6 363 240.003 Levanger og Frosta, PPT Klienter L R ca. 1966
DetaljerEKSAMEN Løsningsforslag
. juni 7 EKSAMEN Løsningsorslag Emnkod: ITD Emnnavn: Matmatikk ørst dlksamn Dato: 6. juni 7 Hjlpmidlr: - To A-ark md valgritt innhold på bgg sidr. - Formlht. - Kalkulator som dls ut samtidig md oppgavn.
DetaljerNewtons lover i to og tre dimensjoner
Newons loer i o og re dimensjoner 8..16 Innleeringsfris oblig 1: Tirsdag, 9.Feb. kl.18 Innleering kun ia: hps://deilry.ifi.uio.no/ Fellesinnleeringer (N 3): Alle må bidra il besarelsen i sin helhe. Definer
Detaljer2. Å R S B E R E T N I N G F O R Å R S R E G N S K A P F O R M E D B U D S J E T T F O R
S a m e i e t E d v a r d G r i e g s V e i 3-5 INNKALLING TIL ORDINÆRT SAMEIERMØTE 2010 O r d i n æ r t s am e i e rm øt e i S a m e i e t E d v a r d G r i e g s V e i 3-5, a v h o l d e s t o r s d
DetaljerKrefter og betinget bevegelser Arbeid og kinetisk energi 19.02.2013
Krefer og beinge beegelser Arbeid og kineisk energi 9..3 YS-MEK 9..3 obligaoriske innleeringer programmering er en esenlig del a oppgaen i kan ikke godkjenne en innleering uen programmering analyiske beregninger
DetaljerUtforsk byen som aldri før. Bylørdag 19.11.11 10-21 (09-18)
Ufosk by som aldi fø. Bylødag 19.11.11 Føskommd lødag ha mag av buikk i by ksa god ilbud, o som skal gjø d spsil hygglig å bsøk Lillsøm. I illgg ha by magfold å ilby å d gjld buikk, caf, saua, usd, kus,
Detaljerd2x/dt2 dx/dt x F _ 1/m D F m K x m t-plan: x m s-plan: x m Transferfunksjon: m K m D m Standard form for en 2.orden transferfunksjon: 2
Mknik. jær, fjærkrf v pr, pkr En [kg] r f il fjær/pr- og lir påvirk n r krf. Mn vil opp okrfn: [ N ] [ kg ] [ ] jær vil opp okrfn: kg f [ N] [ ] [ ] pr vil opp okrfn: kg [ N] ] [ ] v[ rfln for : f or å
DetaljerGo to and use the code Hva var viktig i siste forelesning? FYS-MEK
Go o www.meni.com and use he code 65 37 7 Ha ar ikig i sise forelesning? FYS-MEK 111.1.18 1 FYS-MEK 111.1.18 Beegelse i én dimensjon ().1.18 Ukesoppgaer og oblig 1 er lag u: hp://www.uio.no/sudier/emner/mana/fys/fys-mek111/18/maeriale/maeriale18.hml
DetaljerKapittel 4 Kombinatorikk og sannsynlighet. Løsninger til oppgaver i boka. Løsninger til oppgaver i boka
Kpittel 4 Kombintorikk og snnsynlighet Løsninger til oppgver i bok 4.4 Oppgve 4.2 løst ved multipliksjonsprinsippet: multipliksjon v de ulike vlgmulighetene v forretter, hovedretter og desserter gir uttrykket
DetaljerK j æ r e b e b o e r!
K j æ r e b e b o e r! D u h o l d e r n å i n n k a l l i n g e n t i l å r e t s g e n e r a l f o r s am l i n g i h å n d e n. D e n i n n e h o l d e r b o r e t t s l a g et s å r s b e r e t n i
DetaljerInfo fra Statens naturoppsyn (SNO)
S'.u''ls \ \.1'r lì ()l'l'5\ \ nfo fra Saens nauroppsyn (SNO) Vegar Pedersen Regional rowilansvarlig Oppgaver eer loven r li bakgrunn Srnxs N\T( R O''SYN Kjerneoppgaver "Skal-oppgaver" ivarea nasj onale
DetaljerN e s s an e k r a f t ve r k
R e v 02 / m a rs 2012 K on s e s j on s s ø k n a d f o r N e s s an e k r a f t ve r k (Bilde 27.04.07, sn ø s m elti n g o g h ø g v a ss føri n g ) Ne ss a n e - Ba l e s t r a nd k o mm u n e 1 NV
Detaljer