EKSAMENSOPPGAVE. Emnenavn/Emnenamn: GLU 1-7 Matematikk 2. Utdanning/kull/klasse: AL/H12/GLU 1-7 Matematikk 2, ordinær og ny/uts eksamen

Transkript

1 EKSAMENSOPPGAVE Emnekode: GBMA2212 Emnenavn/Emnenamn: GLU 1-7 Matematikk 2 Utdanning/kull/klasse: AL/H12/GLU 1-7 Matematikk 2, ordinær og ny/uts eksamen Dato: 19. mai 2015 Eksamensform: skriftlig Eksamenstid: 6 t Antall eksamensoppgaver: 3 Antall sider (inkludert denne): 5 Antall vedlegg/ Tal på vedlegg: 0 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator, passer, formelsamling Fagansvarlig: Johan Lie, tlf

2 Oppgave 1 (Teller 40% av karakter) En lærer ber elevene om å sortere tallene 2-20 ved å bruke små kvadratiske blokker og lage rektangler på så mange måter som mulig. For eksempel kan tallet seks stilles opp på følgende måte. (Merk at vi ikke skiller mellom rektangler med for eksempel 3 2 og 2 3 blokker.) a) Til hvilke heltall, N, som er større enn en kan barna bare lage ett tilhørende rektangel? b) Hvorfor brukte læreren denne aktiviteten for å introdusere barna til primtall? Hva må barna kjenne til for å forstå tilknytningen til primtall? c) Hvorfor starter ikke læreren med tallet 1 i denne aktiviteten? d) Beskriv en annen måte du kan introdusere elever på syvende trinn til primtall. e) Bestem om hvert av tallene (i) til (iv) er primtall eller ikke. Faktoriser eventuelt sammensatte tall. i) 8303 ii) iii) iv) f) Diskuter strategiene du brukte for å avgjøre om tallene i oppgave e) var primtall. g) Gitt at 1440 = og 4536 = , hva er største felles faktor og minste felles multiplum til 1440 og 4536? Skriv største felles faktor og minste felles multiplum som produkter av primtall. h) Beskriv generelt hvordan primtallsfaktoriseringen av største felles faktor og minste felles multiplum av to heltall kan knyttes til primtallsfaktorisering av de to tallene, og forklar hvorfor dette er tilfellet.

3 Oppgave 2 (Teller 30% av karakter) Grafen under viser farten til en løper som funksjon av tiden. Hun kommer i mål etter 8 sekunder. Del opp løpet i to deler, de første fire sekundene og de siste fire. a) Hva blir funksjonsutrykkene for farten v(t) i første og andre del av løpet. b) Hva vil arealet under kurven være et mål på? c) Finn dette arealet både ved klassisk regning og ved integralregning (husk igjen å dele løpet inn i to deler). Hva slags løp var dette? d) Finn også den deriverte til de to bitene og forklar hva den deriverte blir et mål på. e) Den formelle definisjonen for den deriverte til en funksjon f(x) er: ff (xx) = lim h 0 ff(xx + h) ff(xx) h Bruk dette til å finne den deriverte til ff(xx) = xx 2

4 Oppgave 3 (Teller 30% av karakter) I LK06 finner vi følgende målbeskrivelser innen statistikk og sannsynlighet, trinn: Statistikk Statistikk omfattar å planleggje, samle inn, organisere, analysere og presentere data. I analysen av data høyrer det med å beskrive generelle trekk ved datamaterialet. Å vurdere og sjå kritisk på konklusjonar og framstilling av data er ein sentral del av denne prosessen. I sannsynsrekning talfester ein kor stor sjanse det er for at ei hending skal skje. I kombinatorikk arbeider ein med systematiske måtar for å telje opp moglege utfall for å kunne berekne sannsyn. Mål for opplæringa er at eleven skal kunne samle, sortere, notere og illustrere data med teljestrekar, tabellar og søylediagram og samtale om prosessen og kva illustrasjonane fortel om datamaterialet a) Tenk deg at du skal undervise statistikk og sannsynlighet i en førsteklasse. Skisser en økt som går over to skoletimer, der du tar hensyn til læreplanens mål og arbeider med konkretisering av begreper i statistikken/sannsynlighetslæren. Ole er en grunnskolelærer som har ansvaret for en klasse på femte trinn, og han er over gjennomsnittet interessert i rollespill. Han ønsker å bruke terninger i et undervisningsopplegg som omhandler statistikk og sannsynlighet. Ole bestemmer seg for å starte undervisningen med å illustrere «De store talls lov». b) Beskriv «de store talls lov», og indiker på hvilken måte denne loven kan være aktuell for Ole sitt undervisningsopplegg. c) Hvordan kan kast med (vanlige) terninger brukes for å illustrere de store talls lov i klassen til Ole? Ole har gått til innkjøp av en litt spesiell terning. Terningen har åtte sider, men ikke alle sidene er like store. Dette fører til at terningen egner seg spesielt godt for å gjøre statistiske betraktninger. Ole har nemlig observert at terningen ofte lander på «8», og sjelden lander på «4». Han klarer ikke å se noen tendens for de andre tallene. Selv om det for Ole kan se ut som om terningen er «urettferdig», føler han seg ikke helt sikker. Han ønske derfor å forsikre seg om at terningen faktisk gir resultatet «8» oftere enn andre tall, og dette vil han gjøre ved å kaste terningen mange ganger. d) Vi kan bruke en binomisk modell for å avgjøre om terningen faktisk viser «8» oftere enn andre tall. Hvilke egenskaper må forsøket ha for at en skal kunne bruke en binomisk modell som utgangspunkt?

5 e) Når vi skal gjøre en hypotesetest trenger vi et såkalt «signifikansnivå». Hva innebærer dette begrepet? Ole gjennomfører en serie på 50 kast med den spesielle terningen sin. Han fører opp resultatene i en tabell som vist her Resultat Antall f) Forklar hva vi mener med «nullhypotese» og «alternativ hypotese». Ole velger å formulere nullhypotesen HH 0 som «Sannsynligheten for at terningen viser en åtter er lik 1/8». Formuler den alternativ hypotesen HH 1 for Ole sin test. Ole bruker sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra, og lager figuren under. g) Forklar hva figuren under viser, og hvordan den kan hjelpe Ole til å avgjøre om terningen er rettferdig eller ikke.

6 EKSAMENSOPPGÅVE Emnekode: GBMA2212 Emnenavn/Emnenamn: GLU 1-7 Matematikk 2 Utdanning/kull/klasse: AL/H12/GLU 1-7 Matematikk 2, ordinær og ny/uts eksamen Dato: 19. mai 2015 Eksamensform: skriftleg Eksamenstid: 6 t Antal eksamensoppgåver: 3 Antal sider (inkludert denne): 5 Tal på vedlegg: 0 Tilletne hjelpemiddel: Kalkulator, passar, formelsamling Fagansvarlig: Johan Lie, tlf

7 Oppgåve 1 (Tel 40% av karakter) En lærar ber elevane om å sortere tala 2-20 ved å bruke små kvadratiske blokker og lage rektangel på så mange måtar som mogleg. Til dømes kan talet seks stillast opp på følgjande måte. (Merk at me ikkje skil mellom rektangel med til dømes 3 2 og 2 3 blokker.) i) Til kva for heiltal, N, som er større enn ein kan barna berre lage eitt tilhøyrande rektangel? j) Kvifor brukte læraren denne aktiviteten for å introdusere barna til primtal? Kva må barna kjenne til for å forstå tilknytninga til primtal? k) Kvifor startar ikkje læraren med talet 1 i denne aktiviteten? l) Beskriv ein annan måte du kan introdusere elever på sjuande trinn til primtall. m) Bestem om kvart av tala (i) til (iv) er primtall eller ikkje. Faktoriser eventuelt samansette tall. v) 8303 vi) vii) viii) n) Diskuter strategiane du brukte for å avgjere om tala i oppgåve e) var primtall. o) Gjeve at 1440 = og 4536 = , kva er største felles faktor og minste felles multiplum til 1440 og 4536? Skriv største felles faktor og minste felles multiplum som produkt av primtal. p) Beskriv generelt korleis primtalsfaktoriseringa av største felles faktor og minste felles multiplum av to helital kan knyttast til primtalsfaktorisering av dei to tala, og forklar kvifor dette er tilfellet.

8 Oppgåve 2 (Tel 30% av karakter) Grafen under viser farten til ein løpar som funksjon av tida. Ho kjem i mål etter 8 sekund. Del opp løpet i to delar, dei første fire sekunda og de siste fire. f) Kva vert funksjonsutrykka for farten v(t) i første og andre del av løpet? g) Kva vil arealet under kurven være et mål på? h) Finn dette arealet både ved klassisk rekning og ved integralrekning (husk igjen å dele løpet inn i to delar). Kva slags løp var dette? i) Finn også den deriverte til de to bitane og forklar kva den deriverte blir et mål på. j) Den formelle definisjonen for den deriverte til ein funksjon f(x) er: ff (xx) = lim h 0 ff(xx + h) ff(xx) h Bruk dette til å finne den deriverte til ff(xx) = xx 2

9 Oppgåve 3 (Tel 30% av karakter) I LK06 finner vi følgjande mål innan statistikk og sannsyn, trinn: Statistikk Statistikk omfattar å planleggje, samle inn, organisere, analysere og presentere data. I analysen av data høyrer det med å beskrive generelle trekk ved datamaterialet. Å vurdere og sjå kritisk på konklusjonar og framstilling av data er ein sentral del av denne prosessen. I sannsynsrekning talfester ein kor stor sjanse det er for at ei hending skal skje. I kombinatorikk arbeider ein med systematiske måtar for å telje opp moglege utfall for å kunne berekne sannsyn. Mål for opplæringa er at eleven skal kunne samle, sortere, notere og illustrere data med teljestrekar, tabellar og søylediagram og samtale om prosessen og kva illustrasjonane fortel om datamaterialet h) Tenk deg at du skal undervise statistikk og sannsyn i ein førsteklasse. Skisser ei økt som går over to skuletimar, der du tek omsyn til læreplanen sine mål og arbeider med konkretisering av omgrep i statistikken/sannsynslæra. Ole er ein grunnskolelærar som har ansvaret for ei klasse på femte trinn, og han er over gjennomsnittet interessert i rollespel. Han ønskjer å bruke terningar i eit undervisningsopplegg som omhandlar statistikk og sannsyn. Ole bestemmer seg for å starte undervisninga med å illustrere «De store talls lov». i) Beskriv «de store talls lov», og indiker på kva for måte denne lova kan være aktuell for Ole sitt undervisningsopplegg. j) Korleis kan kast med (vanlege) terningar brukast for å illustrere de store talls lov i klassen til Ole? Ole har gått til innkjøp av ein noko spesiell terning. Terningen har åtte sider, men ikkje alle sidene er like store. Dette fører til at terningen eignar seg særskilt godt for å gjere statistiske betraktingar. Ole har nemleg observert at terningen ofte landar på «8», og sjeldan landar på «4». Han klarar ikkje å sjå nokon tendens for dei andre tal. Sjølv om det for Ole kan sjå ut som om terningen er «urettferdig», kjenner han seg ikkje helt sikker. Han ønskjer difor å forsikre seg om at terningen faktisk gjev resultatet «8» oftare enn andre tall, og dette vil han gjere ved å kaste terningen mange gangar. k) Me kan bruke en binomisk modell for å avgjere om terningen faktisk viser «8» oftare enn andre tall. Kva for eigenskapar må forsøket ha for at ein skal kunne bruke ein binomisk modell som utgangspunkt?

10 l) Når me skal gjere ein hypotesetest treng me eit såkalla «signifikansnivå». Kva inneber dette omgrepet? Ole gjennomfører en serie på 50 kast med den spesielle terningen sin. Han fører opp resultata i ein tabell som vist her Resultat Antal m) Forklar kva me meiner med «nullhypotese» og «alternativ hypotese». Ole vel å formulere nullhypotesa HH 0 som «Sannsynet for at terningen viser ein åttar er lik 1/8». Formuler den alternativ hypotesea HH 1 for Ole sin test. Ole bruker sannsynskulatoren i Geogebra, og lagar figuren under. n) Forklar kva figuren under viser, og korleis den kan hjelpe Ole til å avgjere om terningen er rettferdig eller ikkje.